Ejercicio 2 (Examen de septiembre de 2009) Razona cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales:

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1 Ejercicio 1 De los siguientes subconjuntos de R 3 decida cuales son subespacios y cuales no: a) U 1 = {(x,y,z) / x = 1 = y+z} b) U 2 = {(x,y,z) / x+3y = 0,z 0} c) U 3 = {(x,y,z) / x+2y+3z= 0 = 2x+y} d) U 4 = {(x,y,z) / xy+z = 0} Ejercicio 2 (Examen de septiembre de 2009) Razona cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales: A = { (x,y,z) R 3 / x = y = 0 } ; B = { (x,y,z) R 3 /x = y } ; C = { (a+1,a) R 2 / a R } D = { (a,b) R 2 /a 2 + b 2 = 1, a,b R } ; E = { (a,b) R 2 / a b, a,b R } Ejercicio 3 En el R espacio vectorial R 5 se considera el sistema de vectores siguiente: S = { v 1 = (1,1,0,1,1), v 2 = (1,1,0,0,1), v 3 = (2,1,1,5,6)} Demuestra que u = (1,2, 1, 4, 3) es combinación lineal de S, y calcula la combinación lineal pedida. Es única? Es w = ( 1, 1, 2, 0, 1) combinación lineal de S?, razona tus respuestas. Ejercicio 4 En R 3 se considera el sistema de vectores: S = { v 1 = (1,4, 2), v 2 = (4,1,7), v 3 = (2, 1,5)} demuestra que se trata de un sistema ligado. Encuentra una combinación lineal de S cuyos escalares no sean todos nulos y que represente al vector 0. Ejercicio 5 Se consideran los vectores: u = (3,1,7, 5,4), v = (0,2,4, 3, 2), w = (0,0, 6,5,1) estudia si son linealmente independientes. Ejercicio 6 Determinar a y b de manera que las siguientes matrices sean linealmente independientes: ( ) ( ) ( ) a,, b Ejercicio 7 Sea V un K-espacio vectorial, u, v V demuestre que u, v = u + v, u v Ejercicio 8 Sean a,b R con a b, el sistema de vectores de R 2 [x] { 1+ax+ax 2,1+bx+bx 2,x 2} es un sistema libre? Ejercicio 9 Sea E un espacio vectorial definido sobre el cuerpo R, y sean v 1, v 2, v 3 E λ 1 λ 2 0 y λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = 0. Demostrar que < v 1, v 3 >=< v 2, v 3 >. λ 1,λ 2,λ 3 R cumpliendo Ejercicio 10 Sea S = { v 1, v 2,..., v n } un sistemas de vectores libre de un espacio vectorial V, y sea u / S, qué puedes decir del sistema { u, v 1, v 2,..., v n }? Z. Fernández Muñiz Tema 2. 1 M. Serrano Ortega

2 Ejercicio 11 Se considera el espacio vectorial R 3. Determinar según los valores de α, el rango del sistema S = { v 1 = (1,1,α), v 2 = (1,α,1), v 3 = (α,1,1)}. Ejercicio 12 Encuentra una base de cada uno de los siguientes subespacios vectoriales: a) U = {A M 3 (R) / A = A t } como subespacio vectorial de M 3 b) V = {A M 3 (R) / A = A t } como subespacio vectorial de M 3 c) W = {p(x) R 3 [x] / xp (x) = p(x)} como subespacio vectorial de R 3 [x]. Ejercicio 13 Se considera el sistema de vectores de R 2 [x]: S = { 1+x,1+x+x 2,x 2} a) Describa el subespacio vectorial S dando una base, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones implícitas. b) Utilice el teorema de la base incompleta y obtenga una base de R 2 [x] cuyos primeros elementos sean los de la base de S obtenida en el apartado anterior. Ejercicio 14 Hallar el rango del sistema de vectores: {(2,6, 1,0, 1),(2, 2,1, 3,2),(3,4,1, 1,2),(1, 2,2, 1,2),( 1,0,1,2,1),(1,8, 3,1, 4)} Ejercicio 15 En R 4 se consideran los subespacios: S =< (1,0,1,1),(0,1,1,1) >, T =< (1, 1,0,0),(1,1,1,1),(1,0,0,0) > encontrar una base de la suma y otra de la intersección. Ejercicio 16 (Examen de Junio de 2009) En R 4 se consideran los subespacios vectoriales: U = { (x,y,z,t) R 4 / 3x z+2t = 0 = x 2y+3t } V = (1,2,3,0),(0,0,1,1),(1,1,1,1) Calcula bases, ecuaciones implícitas y ecuaciones paramétricas de los subespacios U V y de U + V. Ejercicio 17 (Examen de septiembre de 2006) En el espacio vectorial de las matrices reales de orden (2, 2), se consideran los siguientes subespacios: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V 1 =,,, V =,, a) Da la dimensión y una base de cada uno de los subespacios siguientes: V 1, V 2, V 1 +V 2 y V 1 V 2. ( ) 2 3 b) Comprueba si la matriz M = pertenece a V V 2 y, en caso de que pertenezca, calcula sus coordenadas respecto de la base obtenida para ese subespacio en el apartado anterior. Ejercicio 18 (Examen febrero de 2004) Contestar de forma razonada si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a) El conjunto { (x,y) R 2 / y < x } es un subespacio vectorial de R 2 b) Si { u 1, u 2, u 3 } es una base de R 3 y v es un vector no nulo de R 3, entonces { u 1 + v, u 2 + v, u 3 + v} es otra base de R 3. Z. Fernández Muñiz Tema 2. 2 M. Serrano Ortega

3 c) Si { u 1, u 2,..., u p } es un sistema libre de un espacio vectorial de dimensión n, entonces p < n. d) El subespacio (1,2,1),(2,1,2) de R 3 es {(2x,x+2y,2x+y) / x,y R} e) Si u, v, w son vectores de R n, no pueden existir cuatro vectores linealmente independientes en u, v, w Ejercicio 19 Determínese una base de la suma y de la intersección de los subespacios engendrados por los siguientes sistemas: S = { v 1 = (1,2,1,0), v 2 = ( 1,1,1,1)} S = { w 1 = (2, 1,0,1), w 2 = (1, 1,3,7)} Ejercicio 20 Se consideran los siguientes subespacios vectoriales de R 2 [x]: a) Calcula una base de U + V b) Calcula una base de U V c) Es la suma directa? U = 1+x 2,1 x 2 V = 1+2x 2 Ejercicio 21 Probar que los siguientes subespacios de R 3 son suplementarios: L 1 = {(a 1,a 2,a 3 ) R 3 / a 2 = a 3 = 0} L 2 = {(b 1,b 2,b 3 ) R 3 / b 1 = 0} Ejercicio 22 En R 3 se considera el subespacio E =< (1,0, 1) >. Cuál de los siguientes sistemas de vectores forma una base de un subespacio suplementario de E? a) {(2,1, 1),( 1, 1,0)} b) {(0,1,0)} c) {(1,0,0),(0,0, 1),(0,1,0)} d) {(0,1,1),(1,1,0)} e) {(1,0,1),(0,1,1)} Ejercicio 23 Decir razonadamente si los siguientes subespacios de R 4 E 1 = { (x,y,z,t) R 4 / x+y 2z = 0 } E 2 = { (x,y,z,t) R 4 / x = y = 0, 2z t = 0 } cumplen E 1 E 2 = R 4 Es la suma E 1 + E 2 directa?. ( a b Ejercicio 24 Se considera el conjunto de matrices de la forma b a ) donde a, b R. Demuéstrese que constituyen un subespacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos sobre R. Obténgase una base del mismo. Ejercicio 25 Sea W = { (x,y,z) R 3 / x+y+z = 0 } y sea v = (2, 1, 1) W. a) Comprobar que B W = {( 1,0,1),( 1,3, 2)} es una base de W. b) Hallar las coordenadas de v respecto de B W c) Hallar las coordenadas de v respecto de la base B de R 3 dada por B = {(1,1,0),(0,1,1),(2,0,1)} d) Dar la matriz de cambio de base de B a la base canónica. Z. Fernández Muñiz Tema 2. 3 M. Serrano Ortega

4 Ejercicio 26 Se consideran los subespacios de R 5 : U = {(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) / x 1 x 3 + x 5 = 0 = x 2 2x 4 } V = {(a,a 2b,a+b,a b,b) / a,b R} a) Hallar una base y la dimensión de U b) Hallar una base y la dimensión de V c) Hallar una base y la dimensión de U V d) Hallar una base y la dimensión de U +V Ejercicio 27 Dadas las bases de R 3 B 1 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} B 2 = {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} B 3 = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} a) Calcula la matriz de cambio de base considerando como base antigua B 1 y como base nueva B 2 b) Calcula la matriz de cambio de base considerando como base antigua B 1 y como base nueva B 3 Ejercicio 28 Se consideran dos bases de R 2 [x], B = { x,1+x,1 x+x 2} y B = {p 1, p 2, p 3 }. Si P = , es la matriz de cambio de base, tomando como base antigua B y como base nueva B puedes calcular los vectores p 1, p 2 y p 3? Ejercicio 29 Sea la base de R 4 : B 1 = { v 1 = (1,0,0, 1), v 2 = (0,1, 1,0), v 3 = (0,1,0, 1), v 4 = (0,1,1,1)} Obtener en dicha base las coordenadas del vector v cuyas coordenadas en la base son ( 3,2,1, 2) B2. B 2 = { w 1 = (1,2,0,2), w 2 = ( 1,0,1,1), w 3 = (0,0, 2,1), w 4 = ( 1,0, 1,0)} Ejercicio 30 Dadas dos bases B, B en R 3, conocemos las expresiones en ambas bases de un sistema de tres vectores v 1, v 2, v 3. En la base B tenemos En la base B tenemos v 1 = (2, 1,1) B, v 2 = (1,0, 1) B, v 3 = (2, 2,0) B v 1 = (1,3,0) B, v 2 = (3,4, 2) B, v 3 = (0,2,1) B Hallar las coordenadas de los vectores de B respecto de los de B. Ejercicio 31 Se consideran las bases de R 2 [x] B = { x,1+x 2,x+x 2} y B = { 1,1+x,x 2}, calcula la matriz de cambio de base tomando como base antigua B y como base nueva B. Expresa el vector p(x) = 4 2x x 2 en coordenadas respecto de ambas bases, qué relación matricial existe entre las dos columnas de coordenadas? Ejercicio 32 Demostrar que las matrices simétricas y las matrices antisimétricas son subespacios suplementarios del R-espacio vectorial M 3 (R). Descomponer la matriz A en suma de dos matrices, una simétrica y otra antisimétrica: A = Z. Fernández Muñiz Tema 2. 4 M. Serrano Ortega

5 Ejercicio 33 Calcular el rango de las matrices: , , Ejercicio 34 Calcular según los valores de a, b R el rango de las matrices a a 0 ; a a+2 a 3 3 b 0 0 b Ejercicio 35 Sea A una matriz cuadrada que verifica aa 2 + ba+ci = [0], siendo a,b,c R, con c 0. Probar que A posee inversa, y calcularla en función de A. Ejercicio 36 Calcular las matrices inversas de las siguientes matrices: ; Ejercicio 37 Sea T (: R 3 R 2 una ) aplicación lineal, cuya matriz asociada respecto de las bases {ē 1,ē 2,ē 3 } de R 3 y { f 1, f 2 } de R 2 es: a) Conservando la base { f 1, f 2 } de R 2, tomamos en R 3 una nueva base formada por: ē 1 = ē 2 + ē 3 ; ē 2 = ē 3 + ē 1 ; ē 3 = ē 1 + ē 2. Hállese la nueva matriz asociada a T. b) Conservando en R 3 la base {ē 1,ē 2,ē 3 }, y tomando en R 2 la base formada por f 1 = 1 2 ( f 1 + f 2 ); f 2 = 1 2 ( f 1 f 2 ), hállese la nueva matriz asociada a T. c) Hallar la matriz asociada a T al tomar {ē 1,ē 2,ē 3} y { f 1, f 2 } como bases de R3 y R 2, respectivamente. Ejercicio 38 Se considera la aplicación lineal T de R 3 en R 4 que a los vectores v 1 = (1,1,0), v 2 = (2,3,1) y v 3 = (0, 2,1) hace corresponder T( v 1 ) = (3,2,0,1), T( v 2 ) = (1, 2,1,1) y T( v 3 ) = (4,0,1,2). a) Ecuaciones y matriz de la aplicación referidas a las bases canónicas. b) Ecuaciones y base del subespacio imagen. c) Ecuaciones y base del núcleo. d) Ecuaciones y base del subespacio imagen de x 1 + x 2 + x 3 = 0. Ejercicio 39 Sea T : E F una aplicación lineal, con dime = dimf. Demostrar: a) T isomorfismo T inyectiva. b) T isomorfismo T suprayectiva. c) T isomorfismo la matriz asociada a T en dos bases cualesquiera es regular. Ejercicio 40 En R 3 se reemplaza la base canónica por la base f 1 = (5, 1,2), f 2 = (4,1,1), f 3 = ( 3,0,1). Hállese la nueva expresión de la función lineal que en la base canónica se escribe f(x 1,x 2,x 3 ) = 2x 1 + 3x 2 x 3. Z. Fernández Muñiz Tema 2. 5 M. Serrano Ortega

6 Ejercicio 41 Sea la aplicación lineal T : R 3 R 3 que en la base {ē 1,ē 2,ē 3 } tiene asociada la matriz Obténgase la matriz asociada a T en la base {ē 2,ē 3,ē 1 }. Ejercicio 42 Sean E y F espacios vectoriales de dimensión 3 sobre R, y sea T : E F una aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases {ē 1,ē 2,ē 3 } de E y { f 1, f 2, f 3 } de F es: A = Dada la base v 1 = ē 1 + ē 2, v 2 = ē 2 + ē 3, v 3 = ē 3 de E, calcúlese la base { w 1, w 2, w 3 } de F, tal que respecto de las nuevas bases T tenga por matriz asociada A. Ejercicio 43 Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal que cumple: a) f tiene la misma matriz asociada respecto de la base B = {ē 1,ē 2,ē 3 } y de la base B = {2ē 1 ē 2, ē 1 +2ē 2,ē 1 + ē 2 + 2ē 3 }. b) f(s) = f(r 3 ), con S = { v R 3 / v = aē 1 + 2ē 3 a R}. c) f 2 = f. d) v = ē 1 ē 2 f(r 3 ). 1) Determinar la matriz A de f respecto de la base B. 2) Hallar una base de Ker f. 3) Hallar una base de f(r 3 ). Ejercicio 44 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal definida por: f(ū 1 ) = ū 1 ; f(ū 2 ) = 2ū 2 ; f(ū 3 ) = ū 3 donde ū 1,ū 2,ū 3 son tres vectores de R 3 cuyas coordenadas respecto de la base canónica {ē 1 = (1,0,0),ē 2 = (0,1,0),ē 3 = (0,0,1)} de R 3 son: ū 1 = ( 1,0, 2); ū 2 = (0,1,7); ū 3 = (2,0,3) a) Demostrar que ū 1,ū 2,ū 3 forman una base de R 3. b) Hallar la matriz asociada a la aplicación lineal f respecto de las bases i) {ū 1,ū 2,ū 3 } y {ū 1,ū 2,ū 3 } (de los espacios inicial y final, respectivamente). ii) {ē 1,ē 2,ē 3 } y {ē 1,ē 2,ē 3 }. iii) {ē 1,ē 2,ē 3 } y {ū 1,ū 2,ū 3 }. iv) {ū 1,ū 2,ū 3 } y {ē 1,ē 2,ē 3 }. c) Hallar la imagen por f del vector v = 2ū 1 + ē 2 y expresarla: Z. Fernández Muñiz Tema 2. 6 M. Serrano Ortega

7 i) en la base {ū 1,ū 2,ū 3 }; ii) en la base {ē 1,ē 2,ē 3 }. Ejercicio 45 Repite el ejercicio 30 utilizando la composición de aplicaciones lineales. Ejercicio 46 Sea T : R 3 R 4 una aplicación lineal tal que respecto de las bases B 1 = { v 1, v 2, v 3 } de R 3 y B 2 = { w 1, w 2, w 3, w 4 } de R 4 cumple: T( v 1 ) = w 1 + 2w 2 + 5w 3 + w 4 T( v 2 ) = 2w 1 + 6w 3 T( v 3 ) = w 1 + 3w 2 + 6w 3 + a) Decir si T es inyectiva. Es suprayectiva? Es biyectiva? Justifíquense las respuestas. b) Respecto de la base canónica B c1 de R 3 y la base B 2 de R 4, la matriz asociada a T es 1 1/2 1/3 M 1 = / /2 1/3 Calcular los vectores de la base B 1 en función de la canónica. c) Calcular la matriz M 2 asociada a T respecto de las bases canónicas B c1 de R 3 y B c2 de R 4, si M 3 = es la matriz asociada a T en la base canónica B c2 de R 4 y la base B 1 de R 3. d) Sean H = {[x,y,z] B1 R 3 / x+y 2z = 0} y J = [1,3,6,1] B2,[1,0,1,0] B2, subespacios de R 3 y R 4, respectivamente. Se cumple que H T 1 (J) = R 3? Razónese la respuesta. Ejercicio 47 Se considera la aplicación lineal T 1 : R 3 R 2 definida como sigue: w 4 T 1 (x,y,z) = (x+y z,2y) 1. Dar la matriz de la aplicación en las bases {(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1)} de R 3 y canónica de R 2 respectivamente. 2. Ecuaciones implícitas de KerT 1 e ImT 1 en la base canónica de R 3 y la base {(1,1),( 1,1)} de R Calcular T 1 1 {(0,2)}, T 1 1 (0,1) y T 1 1 (1,0). Es T1 1 (0,1) T1 1 (1,0) = R 3? Y T1 1 (0,1) +T1 1 (1,0) = R 3? Justifica las respuestas. Ejercicio 48 En R 3 se considera la base canónica B c = { e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1)}, y la base B = { v 1 = (5,3,1), v 2 = (1, 3,2), v 3 = (1,2,1)}. Sea la aplicación lineal: f : R 3 R 3 definida como sigue: f( v 1 )=( 2,1,0), f( v 2 ) = ( 1,3,0), f( v 3 ) = ( 2, 3,0). Calcúlese la matriz A de f tomando las bases B en el espacio inicial y la canónica en el final, la matriz M de f, tomando la base canónica en el espacio inicial y en el final y la matriz N de f tomando la base canónica en el espacio inicial y B en el espacio final. Z. Fernández Muñiz Tema 2. 7 M. Serrano Ortega

8 Ejercicio 49 (Examen de febrero de 2007) Se considera la aplicación lineal f : R 4 R 3 que, en las bases canónicas tiene asociada una matriz A = a R a a) Calcula en caso de que exista un valor del parámetro a para que dim(im f) = 2 b) Para el valor calculado en el apartado a), da una base, ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas del núcleo c) Calcula la matriz asociada a f respecto de las bases: B 1 = {(1,1,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,0),(1,1, 1 1)}; B 2 = {(1,2,1),(0,1,3),(1,1,1)} d) Calcula unvalor de a para el cual la primera columna de la matriz de f en las bases B 1 en R 4 y la canónica de R 3 sea Ejercicio 50 (Examen de junio de 2007) Sea T : R 2 R 2 [x] la aplicación lineal definida como sigue: T(a,b) = b+(a+b)x+ax 2 a) Hallar la matriz de la aplicación lineal respecto de las bases canónicas b) Sean B 1 = {(1,1),( 1,0)} base de R 2, y B 2 = { x,x 2 + 1,x x 2} base de R 2 [x]. Hallar la matriz de T respecto de dichas bases. c) Hallar ker(t) e I(T), es T biyectiva? razona la respuesta. d) Es T 1( x+x 2 ) + T 1( x 2 1 ) suma directa? en caso afirmativo Es T 1( x+x 2 ) T 1( x 2 1 ) = R 2? Ejercicio 51 (Examen de febrero de 2008) Se considera la aplicación lineal f : R 2 R 2 [x] definida como sigue f (a,b) = a+b+bx+(a+b)x 2 a) Calcular la matriz asociada a f en las bases canónicas de R 2 y R 2 [x]. b) Decir si es f inyectiva. Es suprayectiva?. Justifica las respuestas. c) Calcular f 1 1+x+x 2 y expresar el resultado en la base B 1 = {(1,0),(1,1)} de R 2. Se considera ahora la aplicación lineal g : R 2 [x] R 2 cuya matriz asociada en la base ( de R 2 [x] y la base canónica de R 2 es M = B 2 = { 1+x,x+x 2,1+x+x 2} ) d) Dado el endomorfismo T : R 2 R 2 definido como sigue: T( v) = g( f( v)), calcular la matriz de T en la base canónica de R 2. Z. Fernández Muñiz Tema 2. 8 M. Serrano Ortega

9 Ejercicio 52 (Examen de febrero de 2009) Se consideran las aplicaciones lineales T 1 : R 2 [x] R 2 y T 2 : R 2 R 2 [x] de las que se conoce la matriz A 1 asociada a T 1 en las bases canónicas de R 2 [x] y R 2 y la matriz A 2 asociada a T 2 en la base B = {(1,1),(0,1)} de R 2 y la base canónica de R 2 [x] ( A 1 = ) A 2 = a) calcular la matriz asociada a la aplicación lineal T = T 2 T 1 en la base canónica de R 2 [x]. b) Dar una base, unas ecuaciones implícitas y unas paramétricas de KerT e ImT. Es ker(t) Im(T)? son los subespacios ker(t) y Im(T) suplementarios? c) Calcular T 1 1+x y T 1 {x,1+x}. Ejercicio 53 (Examen de septiembre de 2009) En el R espacio vectorial R 3 [x], se considera la aplicación lineal T : R 3 [x] R 3 [x] definida como sigue: T[p(x)] = xp (x) 2p (x) a) Dar ecuaciones y base de los subespacios KerT e ImT. Es kert ImT? b) Determinar los polinomios de R 3 [x] cuya imagen es 2x 2. c) Obtener la matriz asociada a T respecto de la base { 1,x 1,(x 1) 2,(x 1) 3} d) Decir si es T inyectiva y suprayectiva razonando las respuestas. Es biyectiva? Z. Fernández Muñiz Tema 2. 9 M. Serrano Ortega