IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

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1 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 0-0 Opción A Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Un alambre de longitud metros se divide en dos trozos Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima Función a optimizar Área = área rectángulo + área cuadrado = a + b Relaciones: perímetro: 6a = x a = x/6; b = - x b = ( x)/ Mi función A(x) = (x /36) + ( x) /6 El mínimo anula A (x) A (x) = x/36 (-)( x)/6, De A (x) = 0 x/9 -( x)/6 = 0 x/9 = ( x)/8 8x = 8 9x 7x = 8 x = 8/7 m Veamos que es mínimo A (x) = /36 + /6 > 0, luego es mínimo independientemente del valor de x Dimensiones pedidas: x = 8/7 m y x = 8/7 = 6/7 m Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y = x, y = 8 - x y la curva y = x x [0'5 puntos] Realiza un esbozo de dicho recinto [ puntos] Calcula su área Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y = x, y = 8 - x y la curva y = x x Realiza un esbozo de dicho recinto y = x es una recta, con dos valores basta, el (0,0) y el (,) y = 8 - x es una recta, con dos valores basta, el (,) y el (,0) f(x) = x x es unaparábola con las ramas hacia abajo, corte con los eje en (0,0) y (,0), y abscisa de su vértice en la soluuxió de f (x) = 0 = x x =, luego V(,) Un esbozo de las gráficas es el siguiente: (Veremos las abscisas donde se cortan para el área) y = x e y = 8 -x se cortan en x = 8 x, de donde 8x = 8 x = y = x y f(x) = x x se cortan en x = x x Las soluciones de x + x = 0 son x = 0 x = - y = 8 - x e y = x x se cortan en 8 - x = x x, de donde x - 6x +8 =0 Sus soluciones son x= y x= Como sólo me lo piden en el primer cuadrante, nos interesan las abscisas x = 0, x = y x =

2 Calcula su área Área = 0 [(x)-(x-x )]dx + [(8-x)-(x-x )]dx = 0 [x+x ]dx + [x 6x + 8]dx = = [x + x 3 /3] 0 + [x 3 /3 3x + 8x ] = [ (+/3)-(0) ] + [ (8/3-+6) - (/3-3+8) ] = = /3 + 0/3-6/3 = 8/3 u Ejercicio 3, Opción A, Modelo 5 de 0 Considera el sistema de ecuaciones x + ky + z = k + x + y + kz = 3 (k+)x + y + z = k + ['5 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución [0'5 puntos] Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución? (c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para k = 0 y Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución k La matriz de los coeficientes del sistema es A = k y la matriz ampliada k+ k k+ * A = k 3 k+ k+ Si det(a) = A 0, rango(a) = rango(a * ) = 3 = nº de incógnitas El sistema es compatible y determinado y tiene solución única k Adjuntos A = k primera = k+ fila ()(-k) (k)(-k -k) + ()(-k-) = -k-k+k 3 +k --k = k 3 +k -6k = k(k +k-6) Resolviendo la ecuación k(k +k-6) = 0, tenemos k = 0, y de k +k-6 = 0 obtenemos k = -3 y k = Si k 0, k -3 y k, det(a) = A 0, rango(a) = rango(a * ) = 3 = nº de incógnitas El sistema es compatible y determinado y tiene solución única Si k = -3-3 A = -3 - y * A = -3 3 En A como -3 = 0, tenemos rango(a)= -3 - Adjuntos 3 primera - - fila = ()(-5) (-3)(5) + (-)(5) = = 0, tenemos rango(a * ) = Como rango(a) = = rango(a * ), el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Si k = A = 3 y 3 3 * A = 3 En A como = -5 0, tenemos rango(a)= 3

3 3 3 3 = 0, por tener dos filas iguales tenemos rango(a * ) = Como rango(a) = rango(a * ) = < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Si k = * A = 0 y A = 0 3 En A como 0 = 0, tenemos rango(a)= 0 Adjuntos 3 primera fila = ()() 0 + ()(-) = 0, tenemos rango(a * ) = Como rango(a) = rango(a * ) = < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Por tanto para k = -3, k = 0 y k =, el sistema tiene más de una solución (c) Resuelve el sistema para k = 0 Hemos visto en el apartado anterior que si k = 0, rango(a) = rango(a * ) =, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Como el rango es, sólo necesitamos ecuaciones (Tomo las del menor de A distinto de cero con el que hemos determinado el rango, es decir la ª y la ª) x + z = x + y = 3 Tomo x = a R, con lo cual tenemos z = / a/ e y = 3/ a/, con a R La solución del sistema es (x,y,z) = (a, 3/ a/, / a ) con a R Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 Se consideran los vectores u = (k,, ); v = (,, -) y w = (,, k), donde k es un número real [0'75 puntos] Determina los valores de k para los que u, v y w son linealmente dependientes [ punto] Determina los valores de k para los que u + v y v w son ortogonales (c) [0'75 puntos] Para k = -, determina aquellos vectores que son ortogonales a v y w y tienen módulo Se consideran los vectores u = (k,, ); v = (,, -) y w = (,, k), donde k es un número real Determina los valores de k para los que u, v y w son linealmente dependientes Los vectores son linealmente dependientes si su determinante es cero k k k +k Adjuntos det(u; v; w) = 0 = - F +F (-)= -k 0-3 = -k 0 --k segunda = -()( 0 (--k)(-k) ) = k F +F (-) -k 0 k- C +C -k 0 0 columna 3 3 = (--k)(-k) = k = 0, luego k = ± para que los vectores sean dependientes Determina los valores de k para los que u + v y v w son ortogonales Los vectores son ortogonales si su producto escalar ( ) es cero u + v = (k,, ) + (,, -) = (k+,, -) v w = (,, -) - (,, k) = (, 0, --k) (u + v) (v w) = (k+,, -) (, 0, --k) = 0 = k k+ = k+ = 0, de donde k = - para que sean ortogonales (c) Para k = -, determina aquellos vectores que son ortogonales a v y w y tienen módulo El vector perpendicular a la vez a v y w es su producto vectoiral (x) v = (,, -) y w = (,, -) 3

4 v x w = i j k - - = i() j(0) + k() = (,0,) Como me dicen que el vector sea unitario dividimos dicho vector por su módulo v x w = El vector pedido es ( /,0, / ) = ( /, 0, / ) + = Opción B Ejercicio, Opción B, Modelo 5 de 0 Sea la función f : R R definida por f(x) = ln(x + 3x + 3) - x donde ln denota la función logaritmo neperiano ['5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) [ punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = - Sea la función f : R R definida por f(x) = ln(x + 3x + 3) - x donde ln denota la función logaritmo neperiano Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) Me piden la monotonía es decir el estudio de la ª derivada f(x) = ln(x + 3x + 3) x x+3 f (x) = x +3x+3 - = x+3 - (x +3x+3) - x - x = x +3x+3 x +3x+3 De f (x) = 0 -x x = 0 = x(-x-), de donde x = 0 y x = -, que serán los posibles extremos relaticos ց en (-,-) Como f (-) = -/(+) < 0, f es estrictamente decreciente ( ) Como f (-0 ) = (-0 )(-0 9)/(+) > 0, f es estrictamente creciente ( ր) en (-,0) Como f () = -/(+) < 0, f es estrictamente decreciente en ( ց ) (0,+ ) Por definición x = - es un mínimo relativo y vale f(-) = ln() + = Por definición x = 0 es un máximo relativo y vale f(0) = ln(3) + 0 = ln(3) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = - La ecuación de la recta normal en x = - es y f(-) = [ -/f (-) ] (x + ) f(x) = ln(x + 3x + 3) x f(-) = ln() (-) = - x - x f (x) = f (-) = (-)/ = - x +3x+3 La ecuación de la recta normal en x = - es y = (/) (x + ) Ejercicio, Opción B, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f : (0;+ ) R definida por f(x)=ax + bln(x), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en x = y que f(x)dx =- 8ln() Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f : (0;+ ) R definida por f(x) = ax + bln(x), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en x = y que Como tiene un extremo relativo en x =, tenemos f () = 0 f(x) = ax + bln(x) f (x) = ax + b/x, de donde f () = 0 nos dá a + b = 0, luego b = -a Nuestra función es f(x) = ax aln(x) f(x)dx = 7-8ln() De f(x)dx = 7-8ln(), tenemos (ax - aln(x))dx = 7-8ln() = {**} = [ax 3 /3 -a(x lnx x) ] = = (6a/3 a( ln() ) (a/3 -a(0-)) = 6a/3 8a ln() + 8a a/3 + a = 7a 8a ln(), de donde obtenemos que a = y b = - Ejercicio 3, Opción B, Modelo 5 de Dada la matriz A = 5, sea B la matriz que verifica que AB = - 7 3

5 [ punto] Comprueba que las matrices A y B poseen inversas ['5 puntos] Resuelve la ecuación matricial A - X - B = BA 3 - Dada la matriz A = 5, sea B la matriz que verifica que AB = Comprueba que las matrices A y B poseen inversas A tiene inversa si det(a) 0 det(a) = 3 - = = 3 0, luego A tiene inversa 5 Sabemos que det(a B) = det(a) det(b), si A y B son matrices cuadradas de igual orden det(a B) = det(a) det(b) = 3 det(b) = - = -6-7 = -3, de donde det(b) = -3/3 = - 0, luego B tiene 7 3 inversa Resuelve la ecuación matricial A - X - B = BA Multiplicamos la expresión anterior por A por la izquierda AA - - X - AB = ABA, de donde X = AB + ABA = = = Ejercicio, Opción B, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Encuentra los puntos de la recta r (x-)/ = (-y)/ = z-3 cuya distancia al plano π x-y+z= vale cuatro unidades Ponemos la recta en paramétricas recta r (x-)/ = (-y)/ = z-3 = λ R, de donde x = + λ -y = - + λ, luego y = - λ, z = 3 + λ Un punto genérico de la recta r es X(x,y,z) = X( + λ, - λ, 3 + λ) Le imponemos a este punto que su distancia al plano π x - y + z = 0 sea u (+ λ) - (- λ) + (3+ λ) λ d(x, π) = = =, de donde + 0λ =, que nos dan lugar a dos ecuaciones: +( + 0λ) =, de donde λ = y el punto es X ( + (), (), 3 + ()) = X (5, 0, ) +( + 0λ) = -, de donde λ = -/0 = -7/5 y el punto es X ( + (-7/5), (-7/5), 3 + (-7/5)) = = X (-3/5, /5, 8/5) Luego hay dos puntos el X (5, 0, ) y el X (-3/5, /5, 8/5) 5

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