Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por:

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1 Tema 4. Trasformada Z. La trasformada Z para sistemas discretos desempeña u papel aálogo a la trasformada de Laplace para sistemas cotiuos. os va a permitir represetar la relació etrada salida de u sistema LTI mediate u cociete de poliomios e lugar de mediate ua ecuació e diferecias. Esto facilitará el cálculo de operacioes como la covolució o el cálculo de la salida de u sistema ate ua determiada etrada. Veremos su defiició y el cocepto de regió de covergecia, los procedimietos más secillos para el cálculo de la trasformada directa e iversa y fialmete aaliaremos sistemas discretos utiliado dicha trasformada. 4.. Defiició: Regió de covergecia Dada ua secuecia g[] se defie su trasformada Z TZ directa G, como G g[ ] dode es ua variable compleja. G Z{ g } Habitualmete se represeta [ ] o G TZ{ g[ ] } La relació etre la secuecia y su trasformada se deota por: g [ ] G Regió de Covergecia.ROC Dado que la trasformada Z es ua serie de potecias ifiita, sólo existe para aquellos valores de para los que la serie coverge. El cojuto se valores de Z para los que la suma es fiita se deomia regió de covergecia. La TZ de ua secuecia [ ] Ejemplos: x,,3,5 g se especifica como G y su ROC 3 a [] { } X 3 5 ROC plaoz { } b [] x {,,3,5 } X 3 5 ROC plaoz {, } c x [] δ X ROC plaoz d x[] δ X { } ROC plaoz 4. JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

2 A ser ua variable compleja podemos hacer el cambio trasformada se puede expresar como: r e jω luego la G jω j G r e r e ω g[ ] r e jω Para que esta serie coverja G <, es ecesario que se verifique g [ ] r < es decir que la secuecia { g[ ] r } sea absolutamete sumable. El cálculo de la ROC cosiste e determiar para qué valores de r la suma coverge. E geeral, para ua secuecia bilateral podemos expresar como sumatorios uo para la parte causal y otro para la aticausal G g[ ] r g[ ] r g[ ] r g[ ] r g[ ] r Para que ambas secuecias coverja, se debe cumplir: g [ ] r < y g [ ] < r Para que el primer sumatorio coverja r debe ser lo suficietemete pequeño como para que la secuecia producto sea sumable, y e el segudo caso debe ocurrir lo cotrario; es decir r debe ser lo suficietemete grade. E geeral para ua secuecia bilateral la ROC debe estar compredida e ua aillo del plao complejo de radios r < < r siedo r el límite de la regió de covergecia para la parte causal y r para la parte aticausal. 4. JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

3 Im Im Im r r Re Re r r Re Sec. Ifiita derecha Sec. Ifiita ida Sec. Bilateral Ejemplo : Determia la TZ de la secuecia: x[ ] α u[ ] X α u[ ] α α para que se pueda realiar la suma es ecesario que α < Luego: X, ROC > α α Ejemplo : Determia la TZ de la secuecia: y[ ] α u[ ] Y Coclusió: α m α m m α α α Y, ROC < α α, para α < La trasformada Z de ua secuecia x[] viee determiada por: x [ ] X y ROC Es IPRESCICIBLE especificar la regió de covergecia, ya que de los cotrario la obteció de x[] a partir de X o esta completamete especificada la solució o es úica Ejemplo 3: Determia la TZ de la secuecia: g[ ] α u[ ] β u[ ] Utiliado los resultados ateriores obteemos 4.3 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

4 G α β, ROC : >, ROC : < α β α β G ROC ROC ROC : α < < β α β 3 Ι Si β < α la TZ la serie o coverge e igú puto y la TZ o existe Ejemplos de secuecias y su regió de covergecia. Propiedades de la ROC. Extraído de: Tratamieto Digital de Señales. J.G. Proais La ROC está siempre limitada por u círculo, ya que viee determiada por el módulo de. La ROC de ua secuecia derecha de ifiitos térmios térmios o ulos para > o, es el exterior de ua circuferecia de radio r. La ROC de ua secuecia iquierda de ifiitos térmios térmios o ulos para < o, es el iterior de ua circuferecia de radio r. 4.4 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

5 La ROC de ua secuecia ifiita bilateral es u aillo. r < < r, o bie o existe. La ROC o puede coteer polos, ya que e ellos la trasformada diverge. Al meos hay u polo e los límites de la ROC de ua trasformada, X, racioal. Veremos la defiició de polo y cero e u apartado posterior de este capítulo. 4.5 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

6 4.. Propiedades de la trasformada Z. Extraído de: Tratamieto Digital de Señales. J.G. Proais 4.6 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

7 Ejemplos: Aplicado las propiedades ateriores determia la trasformada Z y la ROC de las siguietes secuecias.. x [ ] u. x cos ωo u 3. x a 4. x cos ωo u 5. x u 6. x u 3 7. h {,,3}, x u u 4. y h * x, Calcule Y 8. x u u u 9. x a a u a u. x u Pares de trasformadas básicos Extraído de: Tratamieto Digital de Señales. J.G. Proais 4.7 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

8 4.3. Trasformadas Z racioales. U familia muy importate de trasformadas Z so aquellas e las que X es u cociete de poliomios e la variable o -. So las trasformadas Z racioales. Para u sistema LTI sabemos que la relació etrada salida viee dada por: [ ] x[ ] h[ ] y * Si aplicamos trasformadas Z y aplicamos la propiedad de covolució. Y H X H, que es la trasformada Z de la respuesta impulsioal, se deomia FUCIÓ DE TRASFERECIA DEL SISTEA. Si os cetramos e los sistemas LTI caracteriados por ecuacioes e diferecias co coeficietes costates, cuya expresió geeral es: b x[ ] a y[ ] y calculamos trasformadas Z e ambos miembros aplicado las propiedades de liealidad y desplaamieto temporal teemos: H Y b b... b b... X a a a a a Observamos que se trata de ua trasformada Z racioal. De ahí el iterés de este tipo de trasformadas Polos y Ceros Ceros: so los valores de que hace que H Polos: so los valores de que hace que H b 4.8 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

9 4.9 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9- A partir de los ceros y polos de u sistema se puede obteer su fució de trasferecia salvo u posible factor de gaacia. Si e la trasformada Z racioal aterior, expresada e potecias de - b y a, sacado factor comú b y a podemos expresar: a a a a a a b b b b b b a b H Si calculamos las raíces de los poliomios del umerador ceros y del deomiador polos podemos expresar de forma factoriada como: p c a b H sistema polos del, sistema ceros del, p c Tambié podemos expresarlo e potecias egativas de como p c a b H el térmio G a b es u factor de gaacia del sistema. El sistema tiee - ceros e el orige si >, y - polos e el orige si <. Puede existir ceros o polos e. Si H existe u cero e y si H existe u polo e. El úmero total de ceros y polos de u sistema, cosiderado los que está e el ifiito debe coicidir. Hay que ser muy cuidadosos cuado se obtiee la fució de trasferecia a partir del diagrama de polos y ceros, si éste tiee ceros o polos e el orige y/o e el ifiito. Si expresamos e potecias de Z, u cero e el orige implica u termio Z e el umerador, y u polo e el orige u térmio Z e el deomiador. Si utiliamos potecias de los ceros e el orige implica u térmio de e el deomiador y los polos e el orige u térmio aálogo pero e el umerador. REGLA: Utiliar siempre potecias de Z.

10 La represetació gráfica de los ceros o y los polos x de u sistema e el plao complejo se deomia DIAGRAA DE POLOS Y CEROS O DIAGRAA DE ARGAD. Si la multiplicidad de u cero o polo es superior a la uidad se idicará mediate u úmero al lado del símbolo correspodiete. Ej: Determia el diagrama de polos y ceros de u sistema cuya TZ es H, ROC > si expresamos e potecias positivas de Z multiplicado por umerador y deomiador H ROC > cero: polo: Extraído de: Digital Sigal Processig. A computer-based approach. S. K, itra Ej: Calcula la fució de trasferecia del sistema defiido por la ecuació e diferecias y.5y.3y x x 3. Si tomamos trasformadas Z e ambos miembros y aplicamos las propiedades de liealidad y desplaamieto temporal teemos Y.5 Y.3 Y X 3 X 4. JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

11 3 3 3 H polos: ceros: j j j j Im Re Ejercicio: Determia la fució de trasferecia del sistema a partir del diagrama de polos y ceros aterior. Iterpretació del diagrama de Polos y Ceros. Podemos iterpretar el sigificado de los ceros y los polos de u sistema represetado log H 4. JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

12 Ejemplo: Para el sistema aterior.4.88 Ejemplo : H.8.64 ceros :.4 ± j.698 polos :. ± j. 4. JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

13 Ejercicio: Dibuja el diagrama de polos y ceros de u sistema de promediado móvil de orde Comportamieto temporal de u sistema segú la localiació de polos y ceros. Existe ua relació etre el diagrama de polos y ceros y el comportamieto de u sistema. Veamos las relacioes existetes para sistemas causales, depediedo de que los polos esté coteidos e >, <, ó. E este último caso se dice que está sobre la CIRCUFERECIA UIDAD. Sistema co u polo simple debe ser real h a u H ROC : a > a ceros : El sistema tiee : polos : a La siguiete gráfica muestra las diversas posibilidades de localiació y la respuesta temporal Extraído de: Tratamieto Digital de Señales. J.G. Proais Sistema co u polo doble debe ser real 4.3 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

14 a h a u H a ROC : > a ceros : El sistema tiee : polos : a doble La siguiete gráfica muestra las diversas posibilidades de localiació y la respuesta temporal Extraído de: Tratamieto Digital de Señales. J.G. Proais 4.4 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

15 Sistema co u par de polos complejos cojugados ω r cos o h r cos ω o u H r cos r ωo ROC : > r Extraído de: Tratamieto Digital de Señales. J.G. Proais 4.5 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

16 Fució de trasferecia para sistemas LTI de coeficietes costates. Sabemos que la fució de trasferecia de u sistema es: H y para sistemas LTI de coeficietes costates podemos expresar como h [ ] CASO : b Y H cosideramo a X a Si a para H b b El sistema tiee ceros, y u polo de orde e el orige. Dado que el sistema solo tiee polos triviales e se dice que es u sistema TODO CEROS. La respuesta impulsioal es fiita por lo que tambié se le llama sistema FIR o sistema de media óvil sistema A CASO : Si b para b b H cosideramos a a a El sistema tiee polos, y u cero de orde e el orige. Dado que el sistema solo tiee ceros triviales e se dice que es u sistema TODO POLOS. La respuesta impulsioal es ifiita por lo que tambié se le llama sistema IIR o sistema Autoregresivo sistema AR CASO 3: E geeral el sistema tedrá ceros y polos, polos y ceros, más los ceros y polos e y que o se cueta explícitamete. Este tipo de 4.6 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

17 sistema es IIR siempre que los polos o se cacele co ceros. Tambié se dice que so sistemas ARA. 4.4 Trasformadas Z iversa. TZI Sabemos que la trasformada Z de ua secuecia x esta completamete especificada a partir de su trasformada y la regió de covergecia. uestro objetivo ahora es obteer la secuecia origial a partir de la TZ y la ROC. Existe varios procedimietos: Cálculo directo mediate itegració de cotoro. Ispecció directa. Expasió e serie de térmios y -. Expasió e fraccioes simples Cálculo directo mediate itegració de cotoro. El procedimieto directo supoe el cálculo de la itegral de cotoro h[ ] πj C H mediate la aplicació del teorema de los residuos de Cauchy, que dejaremos para cursos posteriores. Proais pg 87,88, Ispecció directa. La trasformada se obtiee comparado uestra expresió co ua tabla de las trasformadas más comues d Ej: X ROC : > x u Ej: X ROC : > x u Ej3: X ROC : < x u 4.7 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

18 Desarrollo e serie de potecias. Como dada ua X y su ROC, podemos expadir X e serie de potecias de la forma. X Dada la defiició de la trasformada Z, y que la secuecia x es úica detro de la ROC, la secuecia será x c < < c Ej: X ROC : X x δ δ 4 δ 3 δ 5 Ej: X e ROC : 3 X e... x u 3! Co este procedimieto se puede calcular la trasformada iversa de trasformadas poliómicas, sio o proporcioa expresioes compactas salvo e casos muy secillos Descomposició e fraccioes simples. Este método tiee como objetivo expresar X de la forma: X α X α X... α K X K Si coocemos las Trasformadas iversas de X, X,, X K, utiliado la propiedad de liealidad sabemos que x α x α x... α K xk Este procedimieto es especialmete útil cuado teemos trasformadas Z racioales. 4.8 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

19 Sea H b a Si, podemos realiar la divisió de los poliomios y expresar como: H c P a co grado de P meor que El cálculo de la iversa del primer térmio es imediato ya que se trata de ua suma de impulsos retardados y multiplicados por los factores c. Ejemplo: H realiado la divisió.8. H Si < realiamos ua descomposició e fraccioes simples. Vamos a distiguir casos: Polos simples multiplicidad. Polos de multiplicidad mayor que Polos simples: Si H tiee polos simples e H p podemos expresar A - p A : Residuos de H e dicho polo. Los residuos se puede calcular como: A p H p 4.9 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

20 La trasformada iversa de cada ua de las fraccioes simples es imediata. Para sistemas causales, cada fracció simple tiee ua ROC > p y da lugar a u térmio del tipo: La iversa será: h A p u[ ] h A p u[ ] Ejemplo: Calcula la respuesta impulsioal de u sistema causal cuya fució de trasferecia es H Si descompoemos e fraccioes simples: H A. A.6 Ahora calculamos los residuos, A.6. H...75 A.6 H Luego, H..6 Polos de multiplicidad superior a : h[ ].75. u[ ].75.6 u[ ] Si H tiee polos simples e p y u polo de multiplicidad L e q la descomposició geeral es: 4. JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

21 H A L L c p q El cálculo de los A es idético y para los B utiliaremos la expresió: B B L [ q H ] q L d L L L L! q d Se puede obteer la expresió geeral de la trasformada iversa de térmios tipo: B P q mediate la itegració de cotoro o mediate la propiedad de derivació. 4.4 Aálisis de sistemas LTI utiliado la Trasformada Z. E este apartado veremos como se puede hacer u estudio de las características de u sistema LTI, estabilidad, causalidad, determiació de la salida ate ua etrada determiada, etc, a partir de su fució de trasferecia. Trabajaremos co poliomios e la variable, e lugar de utiliar ecuacioes e diferecias Respuesta de sistemas co fució de trasferecia racioal. Cosideremos u sistema cuya fució de trasferecia es ua fució racioal al que aplicamos ua etrada que tambié puede represetarse mediate ua fució racioal de la variable. Y B H X A La salida del sistema será: Y H X X B A D D Si el sistema tiee polos simples e p, y la etrada tiee L polos simples e q y o hay cacelacioes polo cero, la salida total del sistema, haciedo ua descomposició e fraccioes simples teemos: 4. JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

22 p u Q q y A u RESPUESTA ATURAL L RESPUESTA FORZADA RESPUESTA ATURAL: es fució de los polos del sistema; la ifluecia de la señal de etrada aparece e el cálculo de los coeficietes A. RESPUESTA FORZADA: es fució de los polos de la señal de etrada; la ifluecia del sistema aparece e el cálculo de los coeficietes Q Respuesta trasitoria y e régime permaete estacioaria Del apartado aterior sabemos que la respuesta de u sistema la podemos poer como la suma de la respuesta atural y r y la respuesta forada y fr. y r A p u si p < la respuesta atural decaerá a cero a medida que aumeta. os referimos a la RESPUESTA TRASITORIA, del sistema. La rapide del decaimieto depede de la proximidad de los polos a la circuferecia uidad. La respuesta forada tiee la forma: y rf L Q q u Si los polos verifica la misma codició que hemos citado e el párrafo aterior, dicha respuesta tambié decaerá expoecialmete a cero. Esto es lógico si cosideramos etradas de tipo trasitorio; es decir, que sólo actúa e u determiado istate. Si la etrada persiste idefiidamete, como ocurre co ua siusoide, o u escaló, la respuesta forada persiste tambié para todo, se habla etoces de RESPUESTA E RÉGIE PERAETE. 4. JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

23 4.3 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9- Ejemplo: Calcula la respuesta trasitoria y e régime permaete de u sistema causal co ecuació e diferecias.5 x y y ate la etrada 4 cos u x π Solució: Tomado trasformadas Z e la ecuació e diferecias teemos: > X Y H X Y Y De la tabla de trasformadas obteemos que la TZ de la etrada es: > X Luego.5 X H Y Si calculamos las raíces del deomiador y descompoemos e fraccioes simples teemos: 4, π j e polos ± e e e e Y j j j j π π Si calculamos trasformadas iversas u e e e e y j j j j π π La respuesta atural o trasitoria será:

24 y r.5 u.9, que tiede a para Y la respuesta e régime permaete: y 6.78 e π π j j j.55 4 j.55 4 fr e 6.78 e e π u 3.56cos.55 4 La respuesta e régime permaete o se aula, al igual que ocurre co la etrada. E el siguiete tema veremos u procedimieto más secillo para el cálculo de la respuesta estacioaria utiliado la respuesta e frecuecia del sistema Causalidad, estabilidad y diagrama de polos y ceros. Causalidad: U sistema LTI es causal si h < Sabemos que la ROC de ua secuecia causal es el exterior de u círculo de radio r, luego: U sistema LTI es causal si y solo si la ROC de la fució de trasferecia es el exterior de ua circuferecia de radio r < icluyedo Estabilidad: Estabilidad BIBO para sistema LTI implica h < La fució de trasferecia para este sistema es: H h 4.4 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

25 Si evaluamos la H sobre la circuferecia uidad; es decir, y calculamos su módulo, H h h h Es decir H h Esto implica que sobre la circuferecia uidad la trasformada Z o debe hacerse ifiita, o lo que es lo mismo, la circuferecia uidad esta coteida e la ROC. U sistema LTI es estable BIBO si y solo si la circuferecia uidad está coteida e la ROC. Las propiedades de CAUSALIDAD Y ESTABILIDAD so idepedietes etre sí. Si combiamos ambas propiedades, de acuerdo co las coclusioes ateriores teemos: LTI CAUSAL ESTABLE, ICLUIDO E LA ROC LTI ATICAUSAL ESTABLE LTI CAUSALESTABLE: POLOS E EL ITERIOR DEL CÍRCULO UIDAD LTI ATICAUSALESTABLE POLOS E EL EXTERIOR DEL CÍRCULO UIDAD Las dos últimas propiedades se puede verificar fácilmete. Cosideremos u sistema LTI causal expresado como: H K A p 4.5 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

26 si calculamos Trasformadas Z iversas h K K A p u h Para que la TZ de cada ua de las Fraccioes simples coverja se debe cumplir que: p < La ROC será > p max max p K. Luego si el sistema es causal y estable los polos debe estar detro del círculo uidad. si estuviese fuera H sería ifiito e dichos putos, y la circuferecia uidad o perteecería a la ROC. La implicació iversa tambié es cierta; es decir Si p < para,..., K. polos e el iterior del círculo uidad, como h K A p u el sistema es estable. Veámoslo. Si calculamos la codició de estabilidad BIBO h K A p K A p < ya que todos los polos tiee módulo meor que la uidad la suma ifiita coverge Polos y regió de covergecia Ya que o puede haber polos e la regió de covergecia, será estos los que limite dichas regioes. Por ejemplo para sistema co polos teemos 3 posibles regioes: 4.6 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

27 Extraído de: Digital Sigal Processig. A computer-based approach. S. K, itra a Las secuecias discretas origiales debe ser ambas causales. b La secuecia origiada a partir del polo e β es aticausal y la secuecia origiada a partir del polo e α es causal. c Ambas secuecias so aticausales. Es decir, teemos 3 secuecias discretas co la misma trasformada Z. Si el úmero de polos aumeta se icremeta el úmero de secuecias discretas que va a origiar la misma H. Esta es la raó por la que es imprescidible que especifiquemos la ROC de ua TZ racioal. Ejercicio: La Trasformada Z de u sistema LTI viee dada por la expresió: 3 4 H Determia la respuesta impulsioal h e cada uo de los siguietes casos: a Es sistema es estable. b El sistema es causal. c Es sistema es aticausal. 4.7 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

28 Ejercicio: U sistema LTI causal tiee por Trasformada Z H, determia su respuesta impulsioal. r cos r ω o Fucioes de ATLAB relacioadas co la fució de trasferecia de u sistema discreto. IPZ: permite calcular la respuesta impulsioal de u sistema. FILTER: determia la salida de u sistema ate ua etrada arbitraria. ZPLAE: permite dibujar el diagrama de polos y ceros de u sistema. RESIDUEZ: permite obteer los coeficietes de la descomposició e fraccioes simples. Tambié puede realiar la operació iversa ZPTF: permite expresar u sistema del que coocemos sus ceros y polos como ua fució de trasferecia cociete de poliomios e Z. TFZP: operació iversa a la aterior. irar la ayuda e líea de atlab para cada ua de estas fucioes y determia los parámetros de etrada y salida. 4.8 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

29 Resume. A cotiuació vamos a dar alguas otas resume que combia muchos de los coceptos vistos hasta ahora y su relació co la trasformada Z. La TZ permite trasformar ecuacioes e diferecias e ecuacioes algebraicas. Cuado se calcula la TZ de ua secuecia es imprescidible especificar su ROC. Cuado se calcula la trasformada iversa de Z IZT de ua secuecia utiliaremos su ROC para determiar si la secuecia es causal, aticausal o bilateral. La IZT de u poliomio de Z o u cociete siempre se puede expresar co fucioes δ retardadas multiplicadas por los coeficietes del poliomio. La ROC de u sistema o puede coteer polos el sistema se haría ifiito e dichos putos. Los POLOS delimita la ROC Ua secuecia FIITA tiee ua ROC que icluye a todo el plao complejo excepto los putos secuecia causal y secuecia aticausal. Si la secuecia es bilateral iguo de los putos ateriores estará e la ROC. Ua secuecia CAUSAL co ifiitos térmios tiee por ROC el EXTERIOR de u círculo. Ua secuecia ATICAUSAL co ifiitos térmios tiee por ROC el ITERIOR de u círculo Ua secuecia BILATERAL co ifiitos térmios tiee por ROC u aillo. Y El cociete H es la fució de trasferecia del sistema. X Si expresamos H como u cociete de poliomios e potecias positivas de Z. Las raíces del umerador so los CEROS del sistema y las raíces del deomiador so los POLOS del sistema. Si para H el sistema tiee u cero e el ifiito. Si para H el sistema tiee u polo e el ifiito. El úmero de ceros y polos de u sistema debe coicidir, teiedo e cueta los posibles ceros y polos e el ifiito. U sistema causal O puede teer polos e el ifiito. Si coocemos la fució de trasferecia de u sistema H podemos calcular su salida ate cualquier etrada de la forma Y H X. Posteriormete calcularemos { } y IZT Y 4.9 JUA GÓEZ SACHIS CURSO 9-

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