2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 Vector tangente y gráficas en coordenadas polares De la misma forma que la ecuación cartesiana y = yx ( ) define una curva en el plano, aquella formada por los puntos ( x, yx ( )), cuando la variable independiente x recorre un cierto intervalo; una ecuación de la forma r = r( θ ) permite definir una curva en el plano: la que está formada por aquellos puntos P cuyas coordenadas polares (, r θ ) verifican r = r( θ ), que se llama ecuación de la curva en coordenadas polares En concreto, las coordenadas cartesianas de los puntos de la curva r( θ )cos θ, r( θ)sen θ, cuando la variable independiente θ recorre un cierto intervalo son ( ) Para dibujar la curva de ecuación r = r( θ ), vamos calculando los valores de r para algunos valores significativos del ángulo θ y dibujamos los correspondientes puntos ( r( θ )cos θ, r( θ)sen θ ), de forma parecida a lo que haríamos para dibujar una curva de ecuación y = yx ( ) en coordenadas cartesianas De la misma manera, también pueden considerarse simetrías, valores extremos (que corresponden a los puntos de la curva más alejados o más cercanos al origen de coordenadas), etc Recta tangente en coordenadas polares Un elemento esencial para la representación de curvas, es la pendiente de la tangente (si es que existe dicha tangente) en un punto de la curva Sabemos que si la curva está dada en coordenadas cartesianas por la ecuación y = yx ( ), entonces la pendiente de la recta tangente en el punto ( x0, y 0) de la curva es y ( x0 ) El siguiente resultado establece una fórmula similar cuando la curva viene dada en coordenadas polares en término de las derivadas x ( θ ) e y ( θ ) Si r = r( θ ) es la ecuación polar de la curva, recordemos que las coordenadas cartesianas de los puntos de curva vienen dados por las funciones x( θ ) : = r( θ)cosθ e y( θ ) : = r( θ)sen θ TEOREMA Sea r = r( θ ) la ecuación de una curva en coordenadas polares y supongamos que r( θ ) es derivable Si x ( θ ) 0, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto P, de y ( θ ) r ( θ)sen θ + r( θ)cosθ coordenadas polares ( r, θ ), es m( θ ) = = x ( θ ) r ( θ)cos θ r( θ)senθ DEM Podemos expresar en el entorno de este punto P, de coordenadas polares ( r, θ ), la curva en coordenadas cartesianas y = yx ( ) La pendiente en este punto P, digamos de coordenadas cartesianas ( x0, y 0), sabemos que viene dada por y ( x0 ), es decir, y ( x) evaluada en el punto x 0 Puesto x( θ ) = r( θ)cos θ, que usando la regla de la cadena y la derivada de la función inversa obtenemos y( θ ) = r( θ)sen θ, y ( θ ) r ( θ)sen θ + r( θ)cosθ que y ( x) = y ( θ) θ ( x) = = x ( θ ) r ( θ)cos θ r( θ)senθ NOTA Recordemos que si la función x = x( θ ) = r( θ)cosθ es derivable en un punto θ y la derivada x ( θ ) 0, entonces existe función inversa θ = θ ( x) y su derivada se puede expresar como θ ( x) = Los puntos en los que la deri- x ( θ ) vada x ( θ ) = 0, como veremos en la siguiente observación, tienen, en principio, tangente vertical y en ellos no es posible, en general, describir la curva como la gráfica de una función y = y( x)

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 OBSERVACIÓN (TANGENTES HORIZONTALES Y VERTICALES) Al igual que en el caso de curvas en coordenadas cartesianas, cuando tratamos de dibujar una curva en coordenadas polares es muy útil conocer los puntos donde la tangente es horizontal, o bien vertical Si la curva viene dada por la ecuación r = r( θ ), el teorema anterior nos dice que los puntos de tangente horizontal son aquellos para los que r ( θ )sen θ + r( θ)cosθ = 0, siempre que r ( θ )cos θ r( θ)senθ 0 Por el contrario, los puntos de tangente vertical son aquellos que verifican que r ( θ ) cos θ r( θ) senθ = 0, siempre que r ( θ )sen θ + r( θ)cosθ 0 Los puntos que verifican simultáneamente las dos ecuaciones deben ser estudiados de forma particular y ( θ) = r ( θ)sen θ + r( θ)cosθ = 0, x ( θ) = r ( θ)cos θ r( θ)senθ = 0, EJEMPLO En el caso de la curva de ecuación r = cos θ, que se llama cardioide porque tiene forma de corazón, tenemos que Para obtener las soluciones de r + = + r ( θ ) cos θ r( θ)senθ = senθ + cosθsen θ ( θ )sen θ r( θ)cosθ cosθ cos θ sen θ, cosθ cos θ sen θ 0, + = observemos que [ z ] cos cos + sen = cos cos + cos = cos + cos + = = cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ = z + z+ = 0 ± + 8 ± 3 Entonces z = = = De aquí deducimos que cosθ puede tomar los valores y Si cosθ =, tenemos que θ = 0 o θ = Por el contrario, si cos θ =, tenemos que θ = o θ = Para obtener las soluciones de senθ + cosθsenθ = 0, observemos que ( ) senθ + cosθ senθ = senθ cosθ = 0, con lo que tenemos también dos posibilidades Si senθ = 0, tenemos que θ = 0, θ = o θ = 5 Por el contrario, si cos θ =, tenemos que θ = o θ = Las soluciones comunes, es decir, las cosθ cos θ + sen θ = 0, soluciones del sistema son θ = 0 y θ = Esto nos dice que los puntos de tangente horizontal se obtienen para θ = y θ = ; y los puntos de tangente vertical para senθ + cosθ senθ = 0, 5 los valores θ =, θ = y θ = Veámoslo en el siguiente gráfico, en el que hemos dibujado la cardioide y los puntos donde aparecen tangentes horizontales o verticales El caso del origen, es decir, para θ = 0 o θ =, es especial puesto que estos valores verifican las dos ecuaciones y, a priori, no podemos decidir si la tangente es horizontal, vertical, oblicua o no existe tangente La grá-

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 fica nos indica que la tangente es, de hecho, horizontal Para comprobar esto analíticamente calculemos el límite de las pendientes ( ) m θ cuando el ángulo polar se acerca a cero, esto es + + r ( θ) cos θ r( θ)senθ senθ + cosθsenθ cosθ cos( θ) senθ + sen( θ) = lim = [L'Hôpital] = lim = 0 θ 0 senθ + sen( θ) θ 0 cosθ + cos( θ) r ( θ)sen θ r( θ)cosθ cosθ cos θ sen θ lim m( θ ) = lim = lim θ 0 θ 0 θ 0 Este resultado nos indica que la tangente es, como intuíamos, horizontal Simetrías de curvas en polares Cuando dibujamos la gráfica de la curva C de ecuación cartesiana y = yx ( ) es usual estudiar su simetría respecto del eje OY y su simetría respecto del origen de coordenadas Sabemos que la curva es simétrica respecto del eje OY (es decir, si ( x, y) C, entonces ( x, y) C) si verifica que y( x) = y( x) para todo x De forma similar, la curva es simétrica respecto del origen (es decir, si ( x, y) C, entonces ( x, y) C) si verifica y( x) = y( x) para todo x En el caso de una curva C de ecuación polar r = r( θ ) también es posible expresar las simetrías en términos de unas relaciones sencillas en las que interviene la función r = r( θ ) Establecer estas relaciones es lo que haremos a continuación Simetría respecto del eje OX Una curva de ecuación polar r = r( θ ) es simétrica respecto del eje OX si verifica que r( θ ) = r( θ ) para todo θ Simetría respecto del eje OY Una curva de ecuación polar r = r( θ ) es simétrica respecto del eje OY si verifica que r( θ) = r( θ) para todo θ Simetría respecto del origen Una curva de ecuación polar r = r( θ ) es simétrica respecto del origen si verifica que r( + θ) = r( θ) para todo θ La simetría respecto del origen no implica ninguna relación con las simetrías respecto de los ejes coordenados Es decir, una curva de ecuación polar r = r( θ ) puede ser simétrica respecto del origen y no ser simétrica respecto de ninguno de los dos ejes coordenados 3

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 EJEMPLO Ahora dibujaremos la curva llamada lemniscata, cuya ecuación en coordenadas polares es r = a cos( θ ), siendo a > 0 un número fijo Observemos que se verifican las siguientes igualdades que nos indican distintas simetrías de la curva Simetría respecto de OX r( θ ) = a cos( θ) = a cos( θ) = r( θ) Simetría respecto de OY r( θ) = a cos(( θ)) = a cos( θ) = a cos( θ) = r( θ) Simetría respecto de O r( θ + ) = a cos(( θ + )) = a cos( θ) = r( θ) Teniendo esto en cuenta, basta estudiar la curva en el primer cuadrante Dominio de definición En este caso tenemos que r( θ ) está bien definido si y, sólo si, se verifica que cos( θ ) 0, o lo que es lo mismo, 0 θ Observemos además que 0 r( θ ) a para todo 0 θ Esto nos indica que la curva se encuentra dentro de la circunferencia de radio a centrada en el origen Tangentes En función del ángulo polar, las coordenadas x( θ ) e y( θ ) vienen dadas por las fórmulas Derivando x( θ ) en la igualdad anterior obtenemos x( θ ) = a cos( θ) cos θ, y( θ ) = a cos( θ) sen θ x ( θ) = a ( cos( θ) ) ( sen( θ)) cosθ a cos( θ) senθ sen( θ ) cosθ sen( θ) cosθ + cos( θ) senθ = a + cos( θ) sen θ a cos( θ) = cos( θ) Igualmente si derivamos y( θ ) obtenemos que y ( θ) = a ( cos( θ) ) ( sen( θ))senθ + a cos( θ) cosθ sen( θ ) senθ cos( θ) cosθ sen( θ) senθ = a cos( θ) cos θ a cos( θ) = cos( θ) Ahora calculamos los valores de θ para los que y ( θ ) = 0 Como se verifica la relación trigonométrica cos( x + y) = cos xcos y sen xsen y, tenemos que y ( θ ) = a Entonces la igualdad cos(3 θ ) cos( θ ) y ( θ ) = 0 implica que cos(3 θ ) = 0, o lo que es lo mismo, 3 θ =, es decir, θ = De forma similar, resolvemos la ecuación x ( θ ) = 0 De la igualdad sen( x + y) = cos xsen y+ sen xcos y, tenemos 6 sen(3 θ ) que x ( θ ) = a Entonces la igualdad x ( θ ) = 0 implica que sen(3 θ ) = 0, o lo que es lo cos( θ ) mismo 3θ = 0 o 3 θ =, es decir, θ = 0 o θ = Como estamos estudiando la curva en el interva- 3

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 lo 0 θ nos quedamos sólo con el punto θ = 0 Tangente horizontal Calculamos los valores de θ para los que y ( θ ) = 0 y x ( θ ) 0 Como x 0 en el punto correspondiente a este valor del ángulo la curva tiene tangente horizontal 6 Tangente vertical Calculamos los valores de θ para los que x ( θ ) 0 = e y ( θ ) 0 Como y ( 0) 0 en el punto correspondiente a este valor del ángulo la curva tiene tangente vertical Es interesante conocer la pendiente de la tangente para el valor θ = El punto que se obtiene en este caso es el origen de coordenadas, es decir, r = 0 Sin embargo, las derivadas no están definidas en este punto Entonces, para calcular la pendiente debemos calcular el límite cos(3 θ ) a 3 cos y ( θ) cos( θ ) cos(3 θ) lim m( θ ) = lim = lim = lim = = = x ( θ) sen(3 θ ) sen(3 θ) 3 sen cos( θ ) θ θ θ a θ Con estos datos, podemos realizar el dibujo que mostramos en la figura de abajo, con a = OBSERVACIÓN A veces hay valores de θ para los que r( θ ) < 0, lo que no tendría sentido si exigimos que el radio polar sea positivo Sin embargo, el punto de coordenadas ( r( θ )cos θ, r( θ)senθ ) puede ser representado en el plano aunque r( θ ) < 0 Por eso, en algunos libros se admiten radios negativos, con lo que un punto tiene dos pares de coordenadas polares, la habitual y ( r, θ ± ) No obstante, nosotros siempre supondremos, como venimos haciendo, que r 0 EJERCICIO Calcula la pendiente de las curvas dadas por las siguientes ecuaciones polares en los puntos que se indican: 3 a) r = senθ en θ = 0, b) r = sen( θ ) en θ =±, ± c) r = cos( θ ) en θ = 0, ±, 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 EJERCICIO Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos de intersección de los siguientes pares de curvas a) r = cos θ, r = + cos θ, b) r = sen θ, r = + sen θ, c) r = sen θ, r = sen( θ ), d) r = cos θ, r = cos θ, e) r r θ =, = sen, f) r = cos( θ ), r = sen( θ ) EJERCICIO 3 Dibuja la curva de ecuación polar r = cos θ EJERCICIO Dibuja las siguientes curvas espirales de ecuación polar: r = θ, r = e θ y r = θ EJERCICIO 5 Dibuja la región plana limitada por la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = + senθ con θ [0, ] EJERCICIO 6 Dibuja la curva que, en coordenadas polares, viene dada por r = cos( θ ) Esta curva se conoce como rosa de cuatro hojas EJERCICIO 7 Consideremos dos puntos fijos del plano C y C distintos Fijemos un sistema de referencia en el plano de forma que C = (,0) c y C = ( c,0), con c > 0 Determina la ecuación cartesiana de los puntos P= ( x, y) tales que el producto de las distancias de P a C y de P a C es una constante k > 0 Comprueba que, en el caso particular en el que k = c, dicha curva es una lemniscata obteniendo su ecuación polar 6

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