VECTORES Magnitudes escalares y vectoriales Vectores Figura 1.1 Figura 1-1 vector. Año: 2010

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1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio --- UDB Físi Cátedr VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo de su medid. Si se trtn de mgnitudes físis, vn ompñds de l unidd orrespondiente. Ejemplos: longitud, volumen, peso espeífio, densidd, presión, trjo, tiempo, et. Otrs mgnitudes no quedn determinds dndo solo un número (omo l veloidd o el desplzmiento) sino que he flt onoer tmién su direión sentido. Ests son ls mgnitudes vetoriles. Ls mgnitudes eslres pueden ser representds sore un ret en l ul se elige un origen un unidd; el número rel resultdo de l medid se represent on un segmento desde el origen siendo el número su medid. Ls mgnitudes vetoriles se representn on segmentos de longitud vriles on l direión sentido que orresponde. Vetores Cundo neesitmos identifir el vlor de un longitud nos st on indir el número que epres el vlor medido l unidd on que se midió. En el so de un lápiz, por ejemplo deimos que mide 15 m donde el número 15 es l ntidd de vees que l unidd elegid, el m, está ontenid en el lápiz. Lo mismo suede si lo que indimos es el volumen de un reipiente, por ejemplo un otell o un vso. Un detlle importnte es que si, por ejemplo, tenemos vrios reipientes on un líquido semos el ontenido de d uno de los reipientes; pr ser el ontenido totl lo únio que neesitmos her es sumr el ontenido de d uno de ellos. Est sum se puede her sin preouprnos por el orden en que los summos. El resultdo es independiente del orden; en mtemátis diremos que es sum es onmuttiv. H en físi otro tipo de situiones que no son tn simples de desriir; un de ells es, por ejemplo, el movimiento de un uerpo. Si desplzmos un uerpo por un hitión no result lo mismo que lo llevemos de un esquin l ventn que de l mism esquin l puert. Aunque l distni se l mism el resultdo finl no es el mismo (Figur 1.1) Figur 1-1 Cundo tenemos un situión en que no st l longitud reorrid sino que demás deemos indir su sentido direión es neesrio otro tipo de ente mtemátio que nos filite l desripión del fenómeno. Este nuevo ente mtemátio que vmos desriir es el vetor. Iniilmente identifiremos un vetor omo un segmento orientdo. L longitud del segmento será proporionl l vlor de l mgnitud que represent lo llmmos módulo; en el ejemplo nterior 1 Año: 2010

2 es el vlor del desplzmiento del uerpo en l hitión. L direión del segmento indi l direión en l que el fenómeno onsiderdo está tundo; en el ejemplo, l direión del uerpo en l hitión. Con l fleh indimos el sentido del vetor, en el ejemplo, indimos el sentido de desplzmiento del uerpo de l esquin l ventn no l invers. Definiión de vetor: Se llm vetor todo segmento orientdo. El primero de los puntos que lo determin se llm origen el segundo de ellos etremo del vetor. Pr que un mgnitud vetoril quede determind es neesrio onoer: módulo o intensidd: Nº rel positivo que represent l medid del vetor u notión es: 0 direión: ret que ontiene l vetor o prlel él (ángulo que form l ret que ontiene l vetor on el eje horizontl). Sentido: un de ls dos orientiones posiles de l ret. α: determin l direión del vetor respeto de un direión tomd omo refereni α Figur 1-2 Direión de refereni Ejemplos de mgnitudes vetoriles: desplzmiento, veloidd, elerión, fuerz, et. Vetor desplzmiento Pr entender mejor los vetores su ominión, omenemos on l ntidd vetoril más simple, el desplzmiento, que es un mio en l posiión de un punto. L Figur 1-3 muestr l tretori de un prtíul que se mueve desde el punto P 1 hst un segundo punto P 2 luego un terer punto P 3. El desplzmiento de P 1 P 2 viene representdo por el vetor el desplzmiento de P 2 P 3 Por. Osérvese que el vetor desplzmiento depende sólo de los puntos etremos no de l tretori rel de l prtíul; no se relion diretmente on l distni totl reorrid. Si l prtíul volvier P 1, el desplzmiento totl serí ero. P 1 P 2 Figur 1-3 P 3 Al diujr digrms on vetores, deemos usr un esl deud, en l que l distni en el digrm se proporionl l mgnitud del vetor. Por ejemplo, un desplzmiento de 5 km podrí representrse on un vetor de 1 m en el digrm lo notrímos omo ESC. Desplzmiento = 5 km/1m Al trjr on ntiddes vetoriles distints los desplzmientos, omo por ejemplo fuerzs, tmién deemos doptr un esl. En un digrm de vetores de fuerz podrímos representr un fuerz de 4 N on un vetor de 1 m. Entones, un vetor de 5 m representrí un fuerz de 20 N lo notrímos omo ESC. Fuerz = 4 N/1m IGUALDAD DE VECTORES Dos vetores son igules si sólo si tienen igul módulo, igul direión e igul sentido. = = ( ó = ) // sentido = sentido 2

3 Operiones on vetores Sum de vetores Pr otener gráfimente l sum de vetores tenemos: Regl del prlelogrmo. Regl del polígono. En l Figur 1-1 el desplzmiento resultnte de P 1 P 3, llmdo, es l sum de los dos desplzmientos suesivos : = + El resultdo finl es el mismo que si l prtíul huier prtido del punto P 1 huier sufrido un solo desplzmiento hst P 3. Llmmos omo vetor sumtori, o resultnte de los desplzmientos. Dos vetores se sumn gráfimente situndo el origen de uno en el etremo del otro (Figur 1-4). El vetor resultnte se etiende desde el origen del primer vetor l etremo finl del segundo. Un form equivlente de sumr vetores es el llmdo método del prlelogrmo, que onsiste en desplzr hst que oinid su origen on el de. L digonl del prlelogrmo formdo por es igul. Como puede verse en l Figur 1-5, no eiste difereni en el orden en que sumemos los vetores; es deir + = +. = + Figur 1-4 Figur 1-5 Si neesitmos sumr más de dos vetores, podemos sumr primero dos ulesquier luego sumr l resultnte l terero sí suesivmente. Vetor opuesto Ddo un vetor (Figur 1-6) se define el vetor opuesto de todo vetor = - tl que sumdo on de ómo resultdo el vetor nulo ( 0) uo módulo es ero. + = +(-) = 0 Responde justifi: Qué direión, sentido módulo tendrá el vetor opuesto? = - Figur 1-6 Rest, sustrión o difereni de vetores Ddos dos vetores del l Figur 1-7, se define omo l difereni de menos - =d d un vetor d tl que: Sumdo d omo resultdo. d + = Figur 1-7 OBSERVACION: l sum d + se he on l regl del triángulo (polígono de 3 ldos). Responde justifi: Es onmuttiv l difereni entre dos vetores? 3

4 Produto de un vetor por un eslr Ddo un vetor un eslr λ R, se define =λ. l vetor que tiene: ) = λ. = λ. El módulo es igul l produto del vlor soluto del eslr por el módulo de ) =λ // L direión es l mism que l del vetor =λ. ) sentido λ. = sentido El sentido de λ es el mismo sentido que si λ es positivo sentido El sentido de λ es opuesto l sentido de si λ es negtivo 2. Figur ,5. VERSOR. Todo vetor u r de módulo unidd se llm versor. u r es un versor u r = 1 Ddo un vetor prlelo un versor (en este so es u r ) eiempre se puede enontrr un nº (un eslr) que multiplido por el versor es igul l vetor. Si // u r λ R tl que = λ u r OBSERVACIONES: = λ. u = λ. 1 = λ λ = λ = + si el sentido de es igul l sentido de u λ = - si el sentido de es opuesto l sentido de u Ejemplos: = 3. u u = - 2. u Figur 1-9 Desomposiión de un vetor en dos direiones oplnres. Pr desomponer un vetor en dos direiones oplnres, r 1 r 2 (Figur 1-10), se trzn por el origen el etremo del vetor prlels ls direiones dds quedndo // r 1 determindos los vetores 1 2 omo se indi en l figur. Amos vetores, 1 2, son ls omponentes vetoriles de según ls direiones dds. L desomposiión de un vetor en dos direiones oplnres es úni. r 2 2 // r 2 = Figur

5 Componentes de los vetores Hst hor summos vetores utilizndo métodos gráfios, doptndo esls relizndo los digrms, pero l etitud de ls mediiones es mu limitd. Neesitmos un método simple pero generl pr sumr vetores: el método nlítio de omponentes. Pr definir ls omponentes de un vetor prtimos de un sistem retngulr de ejes oordends (rtesino) (Figur 1-11) diujmos el vetor en uestión on su origen en O. Podemos representr ulquier vetor en el plno omo l sum de un vetor prlelo l eje uno prlelo l eje. Rotulmos esos vetores en l figur; son los vetores omponentes del vetor su sum vetoril es igul : = + Por definiión, d vetor omponente tiene l direión de un eje de oordends, por lo que sólo neesitmos un número pr desriirlo. Si el vetor omponente de punt hi l direión positiv, definimos el número omo positivo si punt en l direión negtiv, es igul l negtivo de dih mgnitud, teniendo presente que l mgnitud en sí de un vetor nun es negtiv. Definimos el número del mismo modo. son ls omponentes de. Ls omponentes de un vetor son sólo números que pueden ser positivos o negtivos, no son vetores. Por ello ls simolizmos on letrs delgds, en vez de ls letrs negrits ursivs que están reservds pr los vetores. Podemos lulr ls omponentes de si onoemos su módulo, direión sentido. Desriimos l direión sentido de un vetor on el ángulo de refereni θ (l letr grieg thet ) que se mide en un sistem de ejes ortogonles -, en giro ntihorrio ( ) desde l semi-ret positiv del eje hst l ret de direión del vetor. Si medimos de est mner θ, por l definiión de ls funiones trigonométris: os θ = / =. os θ (1) sen θ = / =. sen θ (2) En l Figur 1-11 son positivos porque su direión está en el primer udrnte (entre 0 90 ). Esto es ongruente on ls euiones (1) (2) pues tnto el oseno omo el seno del ángulo son positivos en este udrnte. En mio, en l Figur 1-12, l omponente es negtiv; su direión es opuest l del eje +. Esto tmién es ongruente on ls euiones (1); el oseno de un ángulo en el segundo udrnte es negtivo. L omponente es positiv (sen θ es positivo en el segundo udrnte), en l Figur 1-12, tnto omo son negtivs (os θ sen θ son negtivos en el terer udrnte), en l Figur 1-12, l omponente d es negtiv; Esto tmién es ongruente on ls euiones (2); el seno de un ángulo en el urto udrnte es negtivo. O θ Figur 1-11 (+) θ (-) θ B (-) θ θ C (-) d (-) θ D θ d (+) d () () () Figur

6 Podemos desriir un vetor plenmente dndo su mgnitud direión o ien sus omponentes e. Ls euiones (1) (2) indin ómo otener ls omponentes si onoemos l mgnitud l direión. Tmién podemos invertir el proeso otener l mgnitud l direión prtir de ls omponentes. Aplindo el teorem de Pitágors l Figur 1-11, vemos que l mgnitud de un vetor es: = (3) Donde siempre tommos l ríz positiv. L euión (3) es válid pr ulesquier ejes e, en tnto sen perpendiulres. L epresión pr l direión vetoril proviene de l definiión de l tngente de un ángulo. Si medimos θ desde el eje +, un ángulo positivo se mide hi el eje +, entones: tg θ = θ = rtg En el uso de l euión (4) h un pequeñ ompliión, undo lgun de ls omponentes se negtiv, es onveniente lulr θ (Figur 1-12) pero on ls omponentes on signo positivo. Pr el vetor B de l Figur 1-12: (4) θ = rtg Pr el vetor C de l Figur 1-12: θ = rtg Pr el vetor D de l Figur 1-12: θ = θ θ = θ θ = rtg d d θ d = θ Sum de vetores utilizndo omponentes Vemos ómo usr omponentes pr lulr l resultnte de dos o más vetores. L Figur 1-13 muestr dos vetores, su sum junto on ls omponentes e de los vetores. Es evidente que l omponente es l resultnte de l sum ( + ) de ls omponentes de los vetores sumdos. Lo mismo suede on ls omponentes. En símolos: = + = + (5) (Componentes de R = A + B) Figur 1-13 Si onoemos ls omponentes de dos vetores ulesquier, tl vez usndo ls euiones (1) (2), podemos lulr ls omponentes de l resultnte. Entones, si neesitmos l mgnitud l direión de podremos otenerls de ls euiones (3) (4), mindo ls por. Es fáil etender este proedimiento ulquier ntidd de vetores, ls omponentes de son: = d +. = d +. Por último, unque nuestro nálisis de l sum de vetores se entró en ominr vetores de desplzmiento, el método se puede plir igulmente tods ls demás ntiddes vetoriles. Al estudir el onepto de fuerz veremos que ls fuerzs son vetores que oedeen ls 6

7 misms regls de sum vetoril que usmos on el desplzmiento. Vetores unitrios Un vetor unitrio es un vetor on mgnitud 1, sin uniddes. Su únio fin es direionr, o se, desriir un direión en el espio. Los vetores unitrios son un notión ómod pr muhs epresiones que inluen omponentes de vetores. En un sistem de oordends - (Figur 1-14) podemos definir un vetor unitrio que punte en l direión del eje + un vetor unitrio que punte en l direión +. Así, podemos epresr l relión entre vetores omponentes omponentes, omo sigue: = A i Figur 1-14 = A j (6) Asimismo, podemos esriir un vetor en términos de sus omponentes omo: = A i + A j (7) Ls euiones (6) (7) son vetoriles; d término, omo es un vetor (Figur 1-14). Los signos igul más indin iguldd sum de vetores. Cundo representmos dos vetores en términos de sus omponentes, podemos epresr l resultnte usndo vetores unitrios omo sigue: = A i + A j = B i + B j = + = (A i + A j) + (B i + B j) = (A + B ) i + (A + B ) j (8) = i + j L euión (8) plnte el ontenido de ls euiones (5) en form de un sol euión vetoril en lugr de dos euiones de omponentes. Si todos los vetores no están en el plno, neesitremos un terer omponente. Introduimos un terer vetor unitrio k que punt en l direión del eje +z. Ls forms generlizds de ls euiones (7) (8) son: = A i + A j + A z k = (A + B ) i + (A + B ) j + (A z + B z ) k = C i + C j + C k A j i A 7

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