1 Campos de Vectores y Sistemas Dinámicos en R n

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1 UTFSM - Departamento de Matemática Nociones Básicas de Sistemas Dinámicos Pablo Aguirre En estos apuntes introductorios iremos dando brevemente las primeras definiciones y teoremas de lo que se conoce como la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias, llamada así pues su objetivo es conocer las propiedades topológicas de las soluciones, en vez de buscar las soluciones explícitas analítica o numéricamente. Comenzamos mostrando la relación entre los sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos, los campos de vectores y los sistemas dinámicos asociados a cada uno de ellos. Enseguida completamos el capítulo al introducirnos al amplio tema de las propiedades topológicas de los sistemas dinámicos y de las soluciones de los sistemas de ecuaciones, conocidas como trayectorias o curvas integrales. 1 Campos de Vectores y Sistemas Dinámicos en R n Definición 1 Un campo de vectores es una aplicación desde una variedad diferenciable M a su fibrado tangente T M tal que la imagen de cada punto p es un vector X p con punto base p, es decir, tal que el diagrama de la Figura 1 sea conmutativo, donde π denota proyección. Figura 1: Diagrama Conmutativo de Campos de Vectores Siempre supondremos que nuestro campo vectorial posee algún grado de diferenciabilidad C r, r > 1 y posiblemente r = o incluso r = ω (analítico). Para cada punto p M podemos escoger una vecindad V p y una carta ϕ : V p R n 1

2 Figura 2: Campo de vectores tangente a las curvas integrales (dimm = n) tal que, en coordenadas locales x i = ϕ i, el campo de vectores se pueda representar como una aplicación R n R n, x = (x 1,..., x n ) (f 1 (x),..., f n (x)). Esto es, a cada punto x se le asocia un vector. Para estudiar y describir la forma geométrica de este campo de vectores X en M (o equivalentemente, en R n ) necesitamos que por cada punto p seamos capaces de hallar un curva α : ( ε, ε) M que pase por p y cuyo campo de vectores tangente (o campo de velocidades) coincida con X, ver Figura 2, es decir, tal que α(0) = p y α(t) = X(α(t)), t ( ε, ε) (La existencia de esta curva α se probará con el Teorema 1). En las coordenadas locales x i = ϕ i, esto significa resolver el problema de valor inicial: { ẋ i = f i (x 1,..., x n ) x i (0) = p i (1) cuyas soluciones, llamadas curvas integrales de la ecuación (1), son exactamente las curvas α. Por lo tanto, hemos mostrado que cada campo de vectores define lo que se conoce como un Sistema Dinámico, que pasamos a definir a continuación. Definición 2 Un Sistema Dinámico o Flujo sobre una variedad diferenciable M es una aplicación diferenciable Φ : R M M, tal que para todo x M y para cualesquiera t, s R se cumple 2

3 (i) Φ(0, x) = x; (ii) Φ(t, Φ(s, x)) = Φ(t + s, x). De esta definición se desprende que un sistema dinámico diferenciable también define un difeomorfismo local de la forma Φ t Φ(t, ) : M M, t ( ε, ε). La razón de porqué un campo de vectores define un sistema dinámico sale en forma natural al considerar el flujo Φ como una familia de curvas R M de la forma siguiente: Si Φ : R M M es un flujo y p M, la curva α p : R M, dada por t Φ t (p) es una línea de flujo que pasa por el punto p y coincide justamente con la curva integral de su campo de velocidades. La imagen α p (R) en M se denomina órbita o trayectoria del punto p por el flujo Φ. En resumen, a cada sistema dinámico se le puede asociar un campo de vectores y viceversa, y además cada campo de vectores tiene asociado un sistema de ecuaciones diferenciales autónomas. Es fácil darse cuenta que el recíproco también es cierto, esto es, a cada sistema de ecuaciones diferenciales autónomas de la forma (1) se le puede asociar un campo de vectores, el cual corresponde justamente al campo de vectores tangentes a las curvas integrales del sistema en cada punto. Por lo tanto, tenemos la alternativa de considerarlo todo en el contexto de ecuaciones diferenciales o usar el lenguaje de los campos de vectores (en este caso definidos sobre R n ). Como notación estándar para campos vectoriales, además de escribir ẋ i = f i (x 1,..., x n ), utilizaremos: X(x) = n i=1 f i (x 1,..., x n ) x i. 1.1 Teoremas preliminares A continuación, daremos algunos resultados básicos relativos a la existencia, unicidad y continuación de flujos de sistemas dinámicos (o de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, si se prefiere). Para ello, consideremos un sistema de ecuaciones un poco más general que el de la ecuación (1), esto es, un campo de vectores no-autónomo: ẋ = f(t, x), (2) donde f(t, x) es continua y lipschitziana en algún abierto U R R n. 3

4 Teorema 1 Sea (t 0, x 0 ) U. Entonces existe una solución de (2) que pasa por el punto x 0 en t = t 0, denotada por x(t, t 0, x 0 ), con t t 0 suficientemente pequeño. Esta solución es única en el sentido de que cualquier otra solución de (2) que pase por x 0 en t = t 0 debe ser igual a x(t, t 0, x 0 ) en su intervalo de definición en común. En otros términos, las órbitas de X coinciden o son disjuntas. Esto es, el abierto U se puede descomponer en una unión disjunta de curvas diferenciables, pudiendo cada una de ellas ser: a) Imagen biunívoca de un intervalo de R, b) Un punto, o c) Difeomorfa a un círculo. En el caso b), la órbita se llama punto singular o singularidad y corresponde al caso Φ X (t, p) = p, t, o equivalentemente, X(p) = 0; en el caso c), la órbita se llama periódica, y es tal que existe un τ > 0 tal que Φ X (t + τ, x) = Φ X (t, x), t R, y Φ(t 1 ) Φ(t 2 ) si t 1 t 2 < τ. Dem. Teorema 1 El resultado es consecuencia directa del Teorema de Picard, ver Sotomayor [15]. El Teorema 1 sólo garantiza existencia y unicidad para intervalos de tiempo suficientemente pequeños. El siguiente resultado nos permite extender aquellos intervalos de existencia de las soluciones. Teorema 2 Sea C U R R n. Entonces la solución x(t, t 0, x 0 ) puede ser extendida unívocamente (en sentido positivo y negativo) en t hasta la frontera de C. Dem. Teorema 2 Ver Sotomayor [15]. El resultado de extensión maximal de una curva integral se puede mejorar aún más bajo la hipótesis de compacidad, con la siguiente proposición. Proposición 3 Sea X un campo de clase C r sobre una variedad compacta M. Entonces en M existe un flujo global de clase C r para X. Esto es, existe una aplicación C r ϕ : R M M tal que ϕ(0, p) = p y ϕ (t, p) = X(ϕ(t, p)), t R. t Dem. Proposición 3 Ver Palis & de Melo [13] o Bröcker & Jänich [5]. En modelos aplicados de la física, la ingeniería y otras ciencias naturales, siempre encontraremos ecuaciones que dependen de parámetros del modelo, y a veces es necesario saber cómo cambian las soluciones de un sistema al perturbar dichos parámetros. El siguiente teorema nos da la respuesta. 4

5 Teorema 4 Considere el siguiente campo de vectores ẋ = f(t, x, µ), (3) donde f(t, x, µ) C r, r 1, en algún abierto U R R n R p. Entonces para (t 0, x 0, µ) U, la solución x(t, t 0, x 0, µ) es una función C r de t, t 0, x 0 y µ. Dem. Teorema 4 Ver Sotomayor [15]. Retomando el caso de ecuaciones diferenciales autónomas, podemos conseguir algunas propiedades útiles. Consideremos el campo de vectores ẋ = f(x), x R n, (4) donde f(x) C r, r 1, en algún abierto U R n. Por simplicidad, supongamos que las soluciones existen para todo tiempo t. Los siguientes resultados serán de mucha utilidad en nuestras aplicaciones. Proposición 5 Si x(t) es una solución de (4), entonces también lo es x(t + τ), para cualquier τ R. Dem. Proposición 5 Por definición, dx(t) dt dx(t + τ) dt = dx(t) t=t0 dt lo que prueba la proposición. t=t0 +τ = f(x(t)). Luego, para cualquier t 0 R, se tiene = f (x(t 0 + τ)) = f (x(t + τ)) t=t0, El anterior resultado nos dice que para campos de vectores autónomos, las soluciones trasladadas en el tiempo siguen siendo soluciones y la Proposición siguiente dice que, más aún, corresponden a la misma curva integral. Es decir, es sólo otra forma de expresar la propiedad (ii) de la Definición 2 para un Sistema Dinámico. Proposición 6 Para cualquier x 0 R n existe una y sólo una curva integral del campo (4) que pasa por este punto. Dem. Proposición 6 Si x 1 (t), x 2 (t) son soluciones de (4) satisfaciendo x 1 (t 1 ) = x 2 (t 2 ) = x 0, entonces por la Proposición 5, x 2 (t) x 2 (t (t 1 t 2 )) también es una solución de (4), y satisface x 2 (t 1 ) = x 0. Luego, por el Teorema 1, x 1 = x 2. Para lidiar con las nociones de comportamiento a largo plazo o asintótico de las órbitas, debemos definir los conceptos de conjuntos α y ω límites. 5

6 Definición 3 El ω límite de un punto p R n es el conjunto de aquellos puntos q R n para los cuales existe una sucesión t n con Φ X (p, t n ) q. El conjunto α límite se define similarmente tomando una sucesión {t i }, t i. Notación: ω lim(p), α lim(p). Análogamente, podemos definir los conjuntos α y ω límites locales considerando una vecindad U de 0, p U, q U. Notación: ω lim(p, U), α lim(p, U). Intuitivamente, α lim(p) es el conjunto donde la órbita de p nace y ω lim(p) es donde muere. Teorema 7 Sea X : Ω R n un campo de clase C r, k 1, definido en un abierto Ω R n y γ + (p) = {Φ(t, p); t 0} (resp., γ (p) = {Φ(t, p); t 0}) una semi-órbita positiva (resp. negativa) del campo X por el punto p. Si γ + (p) (resp. γ (p)) está contenida en un subconjunto compacto K Ω, entonces: a) ω lim(p) (resp. α lim), b) ω lim(p) es compacto (resp. α lim(p)), c) ω lim(p) es invariante por X (resp. α lim(p)), esto es, si q ω lim(p), entonces la curva integral de X por q está contenida en ω lim(p), d) ω lim(p) es conexo (resp. α lim(p)). Dem. Teorema 7 Ver Sotomayor [15]. Corolario 8 Bajo las condiciones del teorema anterior, si q ω lim(p), entonces la curva integral de X por el punto q está definida para todo t R. Dem. Corolario 8 Como ω lim(p) es compacto e invariante, entonces la órbita de X que pasa por q está contenida en el compacto ω lim(p). El resultado sigue de la Proposición 3. Para terminar esta primera sección, vamos a suponer que Ω es un abierto de R 2 y X es un campo vectorial de clase C r, r 1, en Ω. γ p + denota la semi-órbita positiva por p, γ p + = {Φ(t, p); t 0}. Teorema 9 (Poincaré-Bendixson) Sea Φ(t) = Φ(t, p) una curva integral de X, definida para todo t 0, tal que γ p + está contenida en un compacto K Ω. Suponga que el campo X posee un número finito de singularidades en ω lim(p). Entonces se tienen las siguientes alternativas: a) Si ω lim(p) contiene sólo puntos regulares, es decir, X(q) 0, q ω lim(p), entonces ω lim(p) es una órbita periódica. b) Si ω lim(p) contiene puntos regulares y singulares, entonces ω lim(p) consiste de un conjunto de órbitas, cada una de las cuales tiende a una de estas singularidades para t ±. 6

7 c) Si ω lim(p) no contiene puntos regulares, entonces ω lim(p) es un punto singular. Dem. Teorema 9 Ver Sotomayor [15]. Este teorema nos dice cómo son los posibles tipos de conjuntos límite que pueden ocurrir en flujos planares. En particular, la parte a) nos dice que un conjunto límite compacto no-vacío de un flujo en el plano, que no contiene singularidades, debe ser necesariamente una órbita periódica. Como consecuencia inmediata del teorema de Poincaré-Bendixson tenemos que si γ es una órbita cerrada de X tal que intγ Ω, entonces existe un punto singular de X contenido en intγ. Definición 4 Una órbita cerrada aislada es llamada un ciclo límite. El Teorema de Poincaré-Bendixson tiene el importante corolario de que cualquier conjunto compacto K no vacío que sea positiva o negativamente invariante bajo un flujo contiene ya sea un ciclo límite o, al menos, una singularidad. 2 Equivalencia y Conjugación de Campos Vectoriales Nuestro objetivo aquí es describir las soluciones de una ecuación del tipo (1), por medio de la estructura topológica de las órbitas del campo vectorial X en alguna vecindad de un punto p. Estas órbitas llenan toda una vecindad V p de p y nos muestran cómo los puntos de V p se mueven bajo la acción del flujo del campo vectorial. Por ejemplo, el teorema de Poincaré-Bendixson es uno de los pocos resultados que nos dan la existencia de características globales para la forma de las órbitas. Definición 5 Un conjunto abierto Ω R n provisto de una descomposición en órbitas de X se llama Retrato de Fase de X. Las órbitas están orientadas en el sentido de las curvas integrales de X. ( ) Por ejemplo, en el caso x + y, todos los puntos en una vecindad del origen tienden x y al origen 0 para t, ver Figura 3a; pero, en el caso y x, todas las órbitas son x y periódicas y rotan en torno a 0, ver Figura 3b. Claramente, las trayectorias son muy distintas topológicamente entre uno y otro caso. Esto nos lleva a definir el concepto de Equivalencia Topológica. Definición 6 Dos campos de vectores (X, p) y (Y, q) definidos en algunas vecindades V p y V q de p y q, respectivamente, son topológicamente equivalentes o C 0 equi-valentes si existe un homeomorfismo h definido en alguna vecindad W p de p, h : W p R n, 7

8 Figura 3: Ejemplo de dos retratos de fase no-equivalentes. con h(p) = q, y tal que h envía órbitas de X en W p a órbitas de Y en h(w p ), preservando la orientación de las trayectorias. Es decir, que para todo x W p, t R 0, tal que la órbita Φ X (x, [0, t]) W p, exista τ con t τ > 0 tal que h (Φ X (x, [0, t])) = Φ Y (h(x), [0, τ]). Decimos que dos campos de vectores son C r equivalentes si son topológicamente equivalentes por medio de un homeomorfismo que es un C r difeomorfismo. Por ejemplo, los campos de vectores en R x, 2x, 3x y, en general, λx, con λ > 0, x x x x son todos equivalentes en 0. Los campos x y x no lo son. x x Hasta ahora, con las equivalencias el parámetro t podría cambiar bajo el homeomorfismo. Cuando el parámetro se preserva hablamos de una conjugación de campos vectoriales. Definición 7 Decimos que dos campos de vectores (X, p) y (Y, q) son C r conjugados si existe una C r equivalencia entre (X, p) y (Y, q) que preserva el parámetro t. Es decir, si h : W p h(w p ) es la C r equivalencia, entonces x W p y t R tales que Φ X (x, t) W p, tenemos h(φ X (x, t)) = Φ Y (h(x), t). Notemos que para r 1, dado un difeomorfismo ϕ : W p R n que sea C r conjugación entre X e Y, entonces dϕ X ϕ 1 = Y, esto es, x h(w p ) se tiene: y lo denotamos por dϕ ϕ 1 (x) ( X(ϕ 1 (x)) ) = Y (x), ϕ X = Y. El concepto de equivalencia topológica nos ayuda a comprender, entre otras cosas, el comportamiento local de puntos regulares de un campo de vectores, esto es, puntos p donde X(p) 0. 8

9 Figura 4: Teorema del Flujo Tubular. Teorema 10 (Flujo Tubular) Sea X un campo de vectores de clase C r, en alguna vecindad de p R m, tal que X(p) 0. Sea C ε = {(x 1,..., x m ) R m ; x i < ε} un ε cubo en R m y sea X 1 un campo vectorial en C ε definido por X 1 (x 1,..., x m ) =. x 1 Entonces existe un difeomorfismo de clase C r, ϕ : W p C ε tal que ϕ es una C r conjugación entre X Wp y X 1 Cε, ver Figura 4. Más aún, ε > 0, X 1 Cε es C equivalente (incluso C ω ) con X 1 C1. Dem. Teorema 10 Ver Sotomayor [15] o Palis [13]. De este teorema se desprende que, a pesar de que las soluciones analíticas de un sistema pueden ser muy complicadas, la estructura de las órbitas puede ser muy simple. Además, con este resultado resolvemos el problema de determinar la dinámica en los puntos regulares; sin embargo, aún queda la incógnita de estudiar los puntos donde X se anula, es decir, en p tales que X(p) = 0. 3 Puntos de Equilibrio Definición 8 Un punto de equilibrio es un triple (R n, p, X) tal que X es un campo de clase C k definido en alguna vecindad de p R n con la propiedad de que X(p) = 0. En muchos casos, simplemente diremos que el campo X posee un equilibrio en el punto p si X(p) = 0. 9

10 3.1 Puntos de equilibrios hiperbólicos Consideremos el espacio vectorial L(R n ) de aplicaciones lineales de R n en sí mismo. Del Teorema de la Forma Normal de Jordan (ver [9]) se sabe que si L L(R n ), entonces existe una base de R n en la cual la matriz de L queda determinada por sus valores propios y tiene la forma A 1... A r, B 1... B s donde y A i = λ i 1 λ i 1 λ i λ i C j, i = 1,..., r, λ i R I C j B j =......, I C j ( ) ( αj β C j = j 1 0, I = β j α j 0 1 j = 1,..., s ), α j, β j R. Las submatrices A 1,..., A r, B 1,..., B s quedan unívocamente determinadas excepto por su orden. Definición 9 Un campo vectorial lineal L L(R n ) es llamado hiperbólico si todos sus valores propios tienen parte real distinta de cero. El número de valores propios de L con parte real negativa es llamado el índice. Observemos que bajo la condición de hiperbolicidad, el cero del campo de vectores es aislado. Ahora daremos algunos resultados cuyas pruebas se encuentran en Palis [13], y se basan principalmente en el teorema de la forma de Jordan. Proposición 11 Sea L L(R n ) un campo vectorial hiperbólico, entonces existe una única descomposición de R n como suma directa R n = E s E u tal que E s y E u son subespacios invariantes bajo el flujo de L y tales que los valores propios de L s = L E s tienen parte real 10

11 negativa y los valores propios de L u E u tienen parte real positiva. L = L s L u y dim(l s ) es el índice de L. Proposición 12 Sea L un campo vectorial lineal y R n = E s E u la descomposición dada en la Proposición anterior. Si x E s entonces el flujo L t (x) converge al origen cuando t y si x E u entonces L t (x) converge al origen cuando t. Proposición 13 El conjunto H(R n ) de campos vectoriales lineales hiperbólicos es abierto y denso en L(R n ). Proposición 14 Dos campos vectoriales lineales hiperbólicos T y L en R n son topológicamente conjugados si y sólo si tienen el mismo índice. Proposición 15 Los valores propios de un operador L L(R n ) dependen continuamente de L. Corolario 16 El índice de un campo de vectores hiperbólico es localmente constante Estabilidad local de equilibrios hiperbólicos Es ampliamente conocido el comportamiento cualitativo de las soluciones de un sistema lineal bidimensional L cerca de un equilibrio en el origen (hiperbólico o no). Se tienen los siguientes casos (Sotomayor [15]): a) Los valores propios λ 1, λ 2 de L son reales y distintos. Necesariamente λ 1, λ 2 0. a.1) λ 2 < λ 1 < 0. El origen es un nodo atractor o estable. a.2) λ 2 < λ 1 > 0. El origen es un nodo repulsor o inestable. a.3) λ 2 > 0 > λ 1. El origen es una silla. b) Los valores propios son complejos conjugados: λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ, con β 0. b.1) α = 0. El origen es no-hiperbólico y se llama centro. b.2) α < 0. El origen es un foco atractor o estable. b.3) α > 0. El origen es un foco repulsor o inestable. c) Los valores propios son reales e iguales: λ 1 = λ 2 = λ 0. c.1) λ posee dos vectores propios linealmente independientes. El origen es un nodo estelar atractor (repulsor) si λ < 0 (> 0). c.2) λ posee sólo un vector propio linealmente independiente. 11

12 Figura 5: Teorema de Hartman-Grobman En todos los casos anteriormente descritos, claramente b.1) es el único no hiperbólico. A continuación miramos el caso de equilibrios hiperbólicos en campos vectoriales generales y damos un teorema (probado en forma independiente por P. Hartman y D. Grobman) según el cual un campo vectorial X es localmente equivalente a su parte lineal en un equilibrio hiperbólico. Definición 10 Decimos que la restricción de un campo de vectores (M, p, X) a una vecindad del punto p M es hiperbólica si DX(p) : T p M T p M es un campo lineal hiperbólico en p. Teorema 17 (Hartman-Grobman) Sea V una vecindad de 0 R n. Si X es un campo de clase C r en V y 0 un equilibrio hiperbólico de X, llamemos L = DX(0). Entonces X es localmente conjugado a L en 0. Ver Figura 5. Dem. Teorema 17 Ver Dumortier [6] Variedades invariantes Nos interesa estudiar el comportamiento asintótico de las órbitas de un campo X en la vecindad de un equilibrio hiperbólico p. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que este equilibrio está situado en el origen, pues cualquier traslación en R n es en sí una conjugación topológica. 12

13 Definición 11 Sea (R n, 0, X) un equilibrio hiperbólico definido en una vecindad U de 0. Definimos la variedad estable local de 0 por Definimos la variedad inestable local de 0 por W s loc(0) = {p U ω lim(p, U) = 0}. W u loc(0) = {p U α lim(p, U) = 0}. Definimos las variedades estable e inestable globales de la siguiente manera: W s (0) = t 0 Φ X (t, W s loc(0)), W u (0) = t 0 Φ X (t, W u loc(0)). Es claro que estas variedades son invariantes bajo el flujo de X. Más aún, si L es un campo lineal hiperbólico y U = B(ε) es una ε bola, entonces Wloc s (0) = Es U y Wloc u (0) = Eu U. En general, se tiene el siguiente resultado, cuya demostración se encuentra en Dumortier [6], y es independiente del teorema de Hartman-Grobman. Proposición 18 Sea X un campo vectorial de clase C r y 0 un equilibrio hiperbólico de X, entonces existe una vecindad U de 0 tal que Wloc s y W loc u son variedades diferenciables de clase C r, con T 0 Wloc s = Es y T 0 Wloc u = Eu. Más aún, Wloc s W loc u = {0}. De la proposición anterior se desprende inmediatamente que dimw s loc (0) = dimes y dimw u loc (0) = dime u El λ lema En esta sección discutimos un hecho local probado inicialmente por Jacob Palis, que es muy relevante para varios resultados en Sistemas Dinámicos. Sea p M un equilibrio hiperbólico para un campo vectorial X de clase C r. Sean Wloc s y Wloc u las variedades estable e inestable locales del punto p. Sea Du un disco transversal a Wloc s s que contiene un punto q Wloc y tiene dimdu = dimwloc u. Sean Bs un disco topológico incrustado en Wloc s que contiene a p, Bu un disco topológico incrustado en Wloc u que contiene a p y V = B s B u una vecindad de p. Lema 19 (El λ Lema) Dado ε > 0 existe un t 0 > 0 tal que, si t > t 0 y Dt u es la componente conexa de Φ X (t, D u ) V que contiene a Φ X (t, q), entonces Dt u es ε C 1 cercano a B u. Definición de C 1 cercanía: Sean V y W dos subvariedades de M de clase C r y ε > 0. Decimos que V y W son C r cercanos si existe un C r difeomorfismo h : V W tal que i W h es ε cercano a i V in C(V, M). Aquí, i V y i W denotan las inclusiones de V y W, respectivamente, en M. 13

14 Figura 6: El λ Lema. Dem. Lema 19 Naturalmente, la prueba se puede hallar en el libro de J. Palis y W. de Melo [13] y se basa en la demostración de una propiedad análoga para el difeomorfismo f = Φ X (1, ) inducido por el flujo de X en el tiempo t = 1, en base a una sencilla idea geométrica para la dinámica de este mapeo. Por último, comentemos que en [13] se da una segunda demostración, más geométrica, del Teorema de Hartman-Grobman (ver Teorema (17)) con la ayuda del λ lema y de la proposición 11, cuya prueba es independiente del Teorema de Hartman-Grobman, como ya indicamos. 3.2 Equilibrios Parcialmente Hiperbólicos Supongamos que X es un campo de vectores de clase C r en R n con X(0) = 0. Si DX(0) denota su parte lineal en 0, entonces podemos considerar una descomposición de R m (usando el teorema de la Forma de Jordan): R n = E s E u E c tal que cada E i es invariante bajo la acción de DX(0), y los valores propios de DX(0) restringido a E s, resp. E u, resp. E c tienen parte real < 0, resp. > 0, resp. = 0. Definición 12 Usando la notación de arriba, decimos que X es parcialmente hiperbólico en 0 si dime c 0 y dim(e s E u ) 0. Al igual que en el caso de equilibrios hiperbólicos, aquí también se puede probar la existencia de ciertas variedades invariantes que juegan los mismos roles para X que E s, E u y E c para DX(0). 14

15 Figura 7: Ejemplo de un equilibrio parcialmente hiperbólico en el plano. Teorema 20 Sea (R n, 0, X) un equilibrio de clase C r, r <, y sea E s E u E c = R n la descomposición asociada a DX(0) en la forma descrita anteriormente. Supongamos que X es parcialmente hiperbólico en 0. Entonces existen variedades de clase C r W s (0), W u (0) y W c (0) todas conteniendo a 0 e invariantes bajo el flujo de X, tales que (i) W s (0) es tangente a E s en 0 y DX W s(0) = DX(0) E s. (ii) W u (0) es tangente a E u en 0 y DX W u(0) = DX(0) E u. (iii) W c (0) es tangente a E c en 0 y DX W c(0) = DX(0) E s. En el teorema anterior, W s (0) es llamada variedad estable de 0, W u (0) es la variedad inestable de 0, y W c (0) es la variedad central del origen, ver Figura 7. Observemos además que para un equilibrio parcialmente hiperbólico no hay unicidad para la variedad central [7, 8]; sin embargo, esto no nos preocupa pues estamos interesados en el estudio local de las singularidades, y cualquier variedad central deberá satisfacer el teorema anterior, el cual nos dice justamente cómo se comporta localmente un campo X restringido a una variedad central, sin distinción. Dem. Teorema 20 Ver Dumortier [6]. Notemos que si el campo X es de clase C r, 1 r <, entonces el teorema anterior nos dice que estas variedades invariantes también son de clase C r. Sin embargo, si X es C, no necesariamente la variedad central W c también lo es. Incluso hay ejemplos [7, 8] donde no existe ninguna variedad central C, aunque sí existan variedades centrales C r con r tan grande como queramos. 15

16 X W s y X W u son campos vectoriales hiperbólicos en 0, luego conocemos su comportamiento bastante bien usando el teorema de Hartman-Grobman. Lo que no conocemos aún es X W c. El siguiente teorema expresa el hecho de que basta estudiar X W c para caracterizar la dinámica de X en una vecindad del origen módulo C 0 conjugación. Teorema 21 Sean X y W c (0) como en el enunciado del Teorema 20. Entonces existe k N con 0 k n c tal que X es C 0 conjugado a Y en 0, donde Y (z) = c i=1 X i (z 1,..., z c ) z i + c+k i=c+1 z i z i n i=c+k+1 z i, z i donde (z 1,..., z c ) es un sistema de coordenadas en W c (0), (z 1,..., z n ) son coordenadas en R n extendidas desde (z 1,..., z c ) y c X i=1 i z i = X W c. Además, si c Y (z) = Ỹ i (z 1,..., z c ) + z i i=1 c +k i=c +1 z i z i n i=c +k +1 z i, z i con c = c, k = k y si c conjugado a X en 0. i=1 Ỹ i z i es C 0 conjugado a c i=1 X i z i en 0, entonces Y es C 0 Dem. Teorema 21 Ver Dumortier [6]. Finalmente, para una discusión acerca de las técnicas para calcular explícitamente una variedad central, el lector puede acudir a [7, 8]. 3.3 El Método de Blow-Up en R 2 Al toparnos con un campo de vectores X cuya linealización en un equilibrio p es hiperbólica, podemos usar el Teorema de Hartman-Grobman para determinar localmente el retrato de fase; si DX(p) tiene algún (pero no todos) valor propio con parte real nula, decimos que el campo es parcialmente hiperbólico en p, y tenemos el Teorema 21 de la variedad central. Sin embargo, también se da el caso extremo en que todos los valores propios tengan parte real igual a cero. Examinaremos este caso en R 2. Definición 13 Un equilibrio (R 2, 0, X) es no-hiperbólico si los dos valores propios de DX(0) tienen parte real igual a cero. Es decir, W c (0) = R 2. La definición anterior nos plantea que estos ceros implican la existencia de restricciones algebraicas que deben satisfacer los elementos de DX(0). En el caso planar tenemos tres posibilidades para un equilibrio no-hiperbólico en 0: 16

17 (i) DX(0) tiene valores propios imaginarios puros, es decir, trdx(0) = 0, detdx(0) > 0; (ii) Ambos valores propios son cero, pero DX(0) no es la matriz nula, es decir, (iii) DX(0) = 0. trdx(0) = detdx(0) = 0, DX(0) 0; A este tipo de puntos también podríamos añadir los equilibrios parcialmente hiperbólicos en R 2 : (iv) DX(0) tiene valores propios reales y uno de ellos es cero, es decir, detdx(0) = 0, trdx(0) 0. Las igualdades (desigualdades) anteriores son llamadas condiciones de degenerancia (nodegenerancia). De hecho, con frecuencia a los equilibrios no-hiperbólicos se les llama singularidades degeneradas. El número de condiciones de degenerancia que una singularidad satisface indica su codimensión; ver [6, 7, 8]. Luego, si detdx(0) = 0 o trdx(0) = 0 es la única condición de degenerancia que satisface la singularidad, entonces X en 0 tiene codimensión uno. Sin embargo, una singularidad que satisface (ii) o (iii) posee, al menos, codimensión dos. Las técnicas de Blow-Up involucran cambios de coordenadas que expanden ( blow up, en inglés) un equilibrio no-hiperbólico a toda una curva en la cual vive una cantidad de otros equilibrios. El tipo topológico de estos equilibrios se puede investigar mediante el Teorema de Hartman-Grobman o el Teorema 21, según corresponda. Los cambios de coordenadas usados son, por supuesto, singulares en el punto de equilibrio, pues mapean una curva en un punto; fuera de este punto, son difeomorfismos. A continuación, damos los principales tipos de Blow-up utilizados. Los detalles técnicos se pueden encontrar en Dumortier [6] Blow-up polar Mediante la transformación a coordenadas polares Φ : R + S 1 R 2, Φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) = (x, y), podemos ver R + S 1 como un semi-cilindro que al expresarlo en coordenadas locales e r (cos θ, sin θ) es mapeado difeomórficamente a R 2 \{0}, mientras que el círculo r = 0 se mapea al origen de R 2, ver Figura 8. Por lo tanto, definimos nuestras ecuaciones diferenciales sobre este semicilindro r > 0, o equivalentemente, sobre un plano pinchado. En la práctica, decimos que la aplicación Φ 1 abre el origen al círculo r = 0. 17

18 Figura 8: Ilustración de la equivalencia del semi-cilindro y el plano pinchado: g es un difeomorfismo. El campo en las nuevas coordenadas es X = Φ X y tiene la forma X(r, θ) = r k+1 R(r, θ) r + rk Θ(r, θ) θ. Cambiando el tiempo t t/r k, obtenemos un campo vectorial C equivalente: X(r, θ) = rr(r, θ) r + Θ(r, θ) θ, donde es posible estudiar las separatrices en una vecindad de la curva r = 0. En general, Θ(0, θ) 0 y podemos usar el teorema de Hartman-Grobman o el Teorema 21 para estudiar los equilibrios en el círculo r = 0. Así, si estos equilibrios son hiperbólicos o parcialmente hiperbólicos, entonces se puede conseguir el retrato de fase local del campo X en 0. Si no, se deben aplicar sucesivos Blow-up hasta obtener equilibrios que sean, al menos, parcialmente hiperbólicos. Un ejemplo notable del uso de esta técnica se puede hallar en el artículo de Arrowsmith [2], donde( prueba) que sólo hay siete tipos topológicamente distintos de singularidades con 0 1 DX(0) =, y encuentra explícitamente sus retratos de fase

19 3.3.2 Blow-up direccionales Consideremos el cambio de coordenadas (u, v) (x, y) dado por Ψ : R 2 R 2, tal que Ψ(u, v) = (u, uv) = (x, y). Al restringirnos a u > 0 (< 0), Ψ nos da un difeomorfismo hacia el semiplano x > 0 (< 0). El Blow-up anterior se conoce como blow up en la dirección de x o blowing up horizontal y nos entrega información sobre las separatrices de 0 que son tangentes al eje x. En las coordenadas (u, v), el nuevo campo X = Ψ X queda de la forma X(u, v) = X 1 (u, v) u + X 2 (u, v) v = X 1(u, uv) u + 1 u [X 2(u, uv) vx 1 (u, uv)] v. Al igual que en el blow-up polar, se deberá cambiar el tiempo t t/u k para luego poder estudiar las separatrices transversales a la recta u = 0. Es posible desarrollar una transformación similar para obtener un blow-up en la dirección y o blow-up vertical. El cambio de coordenadas es Ψ : R 2 R 2, tal que Ψ(u, v) = (uv, v) = (x, y), y el campo transformado viene dado por X(u, v) = 1 v [X 1(uv, v) ux 1 (uv, v)] u + X 2(uv, v) v. En algunos casos, para efectos de cálculo, puede ser más conveniente utilizar blow-ups direccionales para abrir singularidades, particularmente si se deben aplicar sucesivos blow-ups sobre un mismo equilibrio. 3.4 Formas Normales El método de las formas normales nos provee de un mecanismo para encontrar un sistema de coordenadas en el cual el sistema dinámico tome su forma más simple. El método es local, en el sentido de que las transformaciones de coordenadas son aplicadas en una vecindad de una solución conocida. Además, en general, estas transformaciones serán funciones no-lineales de las variables dependientes. Sin embargo, el punto importante es que estas transformaciones de coordenadas se pueden hallar al resolver una secuencia de problemas lineales. Otro detalle que veremos es que la estructura de la forma normal queda determinada completamente por la parte lineal del campo de vectores. Definición 14 Sean X e Y dos campos de clase C en una vecindad de 0 R n. Entonces X e Y son k jet-equivalentes (con k N) si se tiene X Y = O( x k+1 ); 19

20 es decir, c > 0, δ > 0 tales que (X Y )(x) c x k+1, x < δ, donde denota la norma euclideana en R n. Una clase de equivalencia para esta relación es llamada un k jet de un campo vectorial y será denotada por j k (X)(0). Si X es un campo C, podemos considerar su expansión de Taylor en 0, la cual es n j=1 1 n i s=1 is 0 i 1 i n X j x i 1 1 x in n (0) x i 1 1 x in n. x j Es fácil chequear que el k jet de X expresado en estas coordenadas (x 1,..., x n ) es la serie de Taylor truncada de orden k n j=1 is=k is=0 1 i i 1 i n X j x i 1 1 x in n (0) x i 1 1 x in n. x j De esta forma, es claro que existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto Jk n de k jets de campos vectoriales en R n en 0, y el espacio de campos vectoriales Y tales que Y (0) = 0, cuyas funciones componente son polinomios de grado k. Esta correspondencia induce en Jk n una estructura de espacio vectorial real, como también una topología euclideana. La elección de las coordenadas no interesa. Los siguientes mapeos son homeomorfismos continuos: π lk : J n l J n k, l k j l (X)(0) j k (X)(0), y satisfacen: π lk π ml = π mk, para m l k, y π ll = Id, l. Luego, podemos definir el límite inverso de los conjuntos Jl n por los mapeos π lk ; lo denotamos por J n y a sus elementos los llamamos jets. En coordenadas locales, un jet de un campo X es la serie de Taylor asociada a X en 0. La idea que desarrollaremos a continuación es llevar el jet de una singularidad a una forma más simple usando un cambio de coordenadas C. Sea X un campo de vectores C k en R n con X(0) = 0, y sea L el campo vectorial lineal en R n que tiene el mismo 1 jet en 0 que X: j 1 (X)(0) = j 1 (L)(0). Suponga que inicialmente las coordenadas locales son tales que DX(0) = DL(0) está en su Forma Canónica de Jordan. Sea H h el espacio vectorial de campos de vectores en R n cuyas funciones componente son polinomios homogéneos de grado h. Sea [L, ] h : H h H h el mapeo lineal que a cada Y H h le asigna el corchete de Lie [L, Y ]. Recordemos que [X, Y ] = DX(0)Y DY (0)X está definido en coordenadas locales por [ n i=1 X i, x i n i=1 Y i x i ] = ( n n ) Y i X i X j Y j. x j x j i=1 20 j=1

21 Claramente [L, Y ] H h. Por cada h, podemos definir la descomposición H h = B h G h, donde B h = Im ([L, ] h ) y G h es algún espacio complementario. Teorema 22 (Forma Normal) Sean X, L, B h, G h como arriba, y de clase C k. Entonces para l k, existe un C difeomorfismo ϕ : (R n, 0) (R n, 0) tal que ϕ X = X es de la forma: X = L + g g l + R l, donde g i G i, i = 2,..., l y R l es un campo de vectores C k cuyo l jet en 0 es cero. El caso l = k = no está excluido. Dem. Teorema 22 Damos una prueba constructiva que puede ser usada para implementar los cálculos de formas normales en ejemplos. Usamos inducción, notando que el 1 jet de X está en su forma normal si y sólo si su matriz asociada está en la forma canónica de Jordan. Supongamos que X ha sido transformado de tal forma que los términos de grado menor a s están en el subespacio complementario G i, 2 i < s. Luego introducimos una transformación de coordenadas de la forma x = h(y) = y + P (y), donde P es un polinomio homogéneo de grado s cuyos coeficientes deben ser determinados. Al sustituir obtenemos la ecuación de la forma o equivalentemente, (I + DP (y))ẏ = L(y) + f (2) (y) f (s) (y) + DL(0)P (y) + o( y s ); ẏ = (I + DP (y)) 1 ( L(y) + f (2) (y) f (s) (y) + DL(0)P (y) + o( y s ) ) = (I DP (y) + o( y s )) ( L(y) + f (2) (y) f (s) (y) + DL(0)P (y) + o( y s ) ). Los términos de grado menor que s permanecen invariantes por esta transformación, mientras que los nuevos términos de grado s son f (s) (y) + DLP (y) DP (y)l = f (s) (y) + [L, P ](y). Claramente, una adecuada elección de P hará que f (s) (y) + [L, P ](y) G s, como se desea. El procedimiento para hallar la transformación ϕ del teorema de la Forma Normal es iterativo en i = 2,..., l. De hecho, ϕ = ϕ l ϕ 2, donde cada ϕ k es una transformación que simplifica los términos de orden k del campo original. Como vimos en la demostración, cada simplificación de los términos de orden k no modifica ningún término de orden más bajo. Sin embargo, los términos de orden mayor que k sí son modificados. Para ejemplos de la aplicación de este teorema para distintos casos, ver Arrowsmith & Place [3] o Guckenheimer & Holmes [7]. 21

22 Figura 9: Ilustración de la función de retorno de Poincaré para órbitas periódicas. 4 Estructura Local de Órbitas Periódicas En esta sección extendemos los conceptos de variedades estable e inestable e hiperbolicidad para el caso de ciclos límite. Sea γ una órbita periódica de período T de un campo vectorial X de clase C k en R n. Tomemos un punto p γ y un hiperplano (n 1) dimensional Σ que pase por p en forma transversal a γ. Sea V una vecindad suficientemente pequeña de p en Σ y sea x V. Entonces la órbita por x retornará a Σ después de un tiempo τ T. Luego, definimos la función de retorno de Poincaré P : V Σ, P (x) = Φ X (τ, x), donde a cada punto x V le asociamos P (x), el primer punto donde su órbita retorna a intersectar a Σ. El conocimiento de este mapeo nos permite dar una descripción de las órbitas en una vecindad de γ, ver Figura 9. Por medio del teorema de la Función Implícita se puede demostrar que si X es de clase C r, entonces P también es de clase C r. Además, es posible construir P 1 siguiendo las órbitas en sentido inverso. Por lo tanto, P es un difeomorfismo local de clase C r. Definición 15 Sea p γ, donde γ es una órbita cerrada de X. Sea Σ una sección transversal a X a través del punto p. Decimos que γ es una órbita periódica hiperbólica si ninguno de los valores propios de DP (p) tiene módulo igual a uno. En el caso contrario, se dice que γ es una órbita cerrada no-hiperbólica o múltiple. Se puede comprobar que esta definición es independiente de la elección de Σ y de p γ. Con las notaciones anteriores, además tenemos que γ es un ciclo límite si y sólo si p es un punto fijo aislado de P. El teorema siguiente establece una condición suficiente para que una órbita periódica sea un ciclo límite localmente estable o inestable. 22

23 Teorema 23 Sea Ω R 2 un abierto y X : Ω R 2 un campo vectorial de clase C 1. Sea γ una órbita periódica de período T y P : V Σ la transformación de Poincaré en una sección transversal Σ en p γ. Entonces ( T ) P (p) = exp ( X) γ(t) dt. 0 En particular, si P (p) < 1 entonces γ es localmente estable; y si P (p) > 1, γ es localmente inestable. Por ejemplo, en la Figura 9, se muestra un ciclo límite localmente inestable o repulsor. Dem. Teorema 23 Ver Sotomayor [15]. Análogamente al caso de singularidades, se puede concluir que si γ es una órbita periódica hiperbólica del campo X, entonces todo campo Y que se consiga de perturbar ligeramente a X, debe poseer una órbita periódica hiperbólica γ Y cercana a γ. La razón se debe a la dependencia continua del flujo Φ X en el campo X, y por ende, en la dependencia continua de la función de retorno de Poincaré en el campo. Si γ es una órbita periódica hiperbólica de un campo vectorial X de clase C r en una variedad M, definimos las variedades estable e inestable de γ como W s (γ) = {y M : ω lim(y) = γ}, W u (γ) = {y M : α lim(y) = γ}. Existe una vecindad V de γ tal que si Φ X (t, q) V, para todo t 0, entonces q W s (γ). Esto se obtiene de una propiedad análoga del mapeo de Poincaré de γ. Consideremos los conjuntos WV s (γ) = {y V : Φ X (t, y) V, t 0}, W u V (γ) = {y V : Φ X (t, y) V, t 0}. Tenemos W s (γ) = n N Φ X( n, WV s (γ)), W u (γ) = n N Φ X(n, WV u (γ)) y se cumple la siguiente proposición, cuya demostración está en Palis & de Melo [13]: Proposición 24 Sea γ un ciclo límite hiperbólico de un campo de vectores X de clase C r sobre una variedad M. Si V es una pequeña vecindad de γ entonces WV s (γ) y W V u (γ) son subvariedades de M de clase C r, WV s (γ) es transversal a W V u(γ) y W V s (γ) W V u (γ) = γ. 23

24 5 Estabilidad Estructural Definición 16 Dos campos vectoriales X e Y en R n con X(0) = Y (0) = 0 son gérmenes de un mismo campo en 0 si ambos coinciden en alguna vecindad V de 0, es decir, X V Y V. Las clases de equivalencia para esta relación de equivalencia son llamados gérmenes de campos de vectores en 0. Denotemos G n el conjunto de gérmenes de campos de vectores de clase C en R n. En 3.4 definimos el espacio J n de los jets como el límite inverso de J n k por el mapeo π lk. También tenemos un mapeo j : G n J n, dado por el límite inverso de los j k. En la práctica a cada germen X G n le asociamos su jet j (X)(0) en 0, el cual en coordenadas locales corresponde a la serie de Taylor asociada a X en 0. Un teorema de Borel [11] garantiza que j es sobreyectiva. Esto significa que cada elemento de J n puede ser obtenido como el jet de algún campo vectorial. Recordemos también que los espacios Jk n tenían una estructura de espacio vectorial real con una topología euclideana. Esto nos permitirá poner una topología en G n. Consideremos los mapeos π k : J n Jk n, j (X)(0) j k (X)(0). Definiremos una topología en G n como la topología más gruesa para la cual todas las proyecciones j k : G n J n k son continuas. En J n podemos hacer lo mismo para los mapeos π k. Esta elección implica que j : G n J n es continua. Definición 17 Decimos que X G n es C k estable o estructuralmente estable en G n si existe una vecindad U de X en G n tal que cada Y U es C k equivalente con X. La propiedad de estabilidad estructural implica en pocas palabras que si uno efectua una pequeña perturbación en un campo de vectores, entonces el campo perturbado debe ser cualitativamente equivalente al original. En particular, se desprende el siguiente resultado. Teorema 25 Un germen en G n es C 0 estable si y sólo si es hiperbólico. Dem. Teorema 25 Supongamos que X G n es hiperbólico. Por el teorema de Hartman- Grobman en 3.1, X es C 0 conjugado a su parte lineal. Más aún, los gérmenes cercanos son también hiperbólicos y sus partes lineales son cercanas a j 1 (X)(0); por la Proposición 14 y el Corolario 16, éstas últimas serán conjugadas a j 1 (X)(0) si están suficientemente cerca, y por ende, también conjugadas a X. Por otro lado, sea X G n un campo C 0 estable. Supongamos que X no es hiperbólico; por definición, esto implica que j 1 (X)(0) es un campo lineal no hiperbólico. Luego, cercano a j 1 (X)(0) en L(R n ) siempre podemos hallar dos campos de vectores lineales hiperbólicos con un índice distinto, y luego, no equivalentes entre sí. Por el teorema de Hartman-Grobman, estos 24

25 campos lineales determinan la estructura topológica local de las órbitas sin importar cuántos términos de orden superior agreguemos. Ahora podemos escoger y añadirles los términos de orden superior para obtener campos de vectores tan cercanos a X como queramos, pero que, por construcción, no son topológicamente equivalentes entre sí, contradiciendo la hipótesis de estabilidad estructural sobre X. 5.1 Campos Vectoriales de Morse-Smale En general, es posible hallar condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad estructural de un sistema. Esta clase de campos de vectores, llamados sistemas de Morse-Smale, forman un subconjunto abierto no vacío y sus elementos son estructuralmente estables. Aunque estos resultados siguen siendo válidos en variedades compactas de cualquier dimensión [12, 14], sólo estudiaremos el caso bidimensional, donde la clase también es densa. Denotemos por X r (M) al espacio de campos de vectores de clase C k en una variedad compacta M. Introducimos una topología en X r (M) como una generalización natural de la topología definida en G n ; aquí, dos campos X, Y X r (M) serán cercanos si ambos y sus derivadas hasta un cierto orden r son cercanos en todos los puntos de M. Para detalles técnicos, ver Palis & de Melo [13], Capítulo 1, 2. Definición 18 Sea X X r (M). Decimos que p M es un punto errante (wandering point) para X si existe una vecindad V de p y un número t 0 > 0 tales que Φ X (t, V ) V = para t > t 0. De lo contrario, decimos que p es un punto no-errante (non-wandering point). Denotamos por Ω(X) el conjunto de puntos no-errantes de X, y α lim(x) = {p M : p α lim(q), para algún q M} al conjunto de todos los puntos límite para t < 0. Análogamente definimos ω lim(x) para t > 0. Las siguientes propiedades salen inmediatamente de esta definición: a) Ω(X) es compacto e invariante por el flujo de X; b) α lim(x) ω lim(x) Ω(X). En particular, Ω(X) contiene los elementos críticos de X (equilibrios, órbitas cerradas). c) Si X, Y X r (M) y h : M M es una equivalencia topológica entre X e Y, entonces h(ω(x)) = Ω(Y ). Definición 19 Sea M una variedad compacta de dimensión n y sea X X(M). Decimos que X es un campo de vectores de Morse-Smale si: (1) X tiene un número finito de elementos críticos (equilibrios y órbitas cerradas), y todos son hiperbólicos; (2) Si σ 1, σ 2 son elementos críticos de X, entonces W s (σ 1 ) es transversal a W u (σ 2 ); 25

26 (3) Ω(X) es igual a la unión de elementos críticos de X. La siguiente proposición nos da una caracterización más simple de los campos de Morse- Smale en variedades bidimensionales; la prueba se puede hallar en Palis & de Melo [13]. Llamaremos conexión entre sillas (saddle-connection) a una órbita cuyos α límite y ω límite sean una silla. Proposición 26 Sea M una variedad compacta bidimensional. Un campo de vectores X X r (M) es de Morse-Smale si y sólo si: (a) X tiene un número finito de elementos críticos, todos hiperbólicos; (b) No hay conexiones entre sillas; (c) Cada órbita tiene un único elemento crítico como su α límite y tiene un único elemento crítico como su ω límite. Teorema 27 Si X X k (M) es un campo de Morse-Smale, entonces X es estructuralmente estable en M. Más aún, si M es orientable, el conjunto de campos de Morse-Smale es denso en X r (M). Dem. Teorema 27 Ver Palis & de Melo [13]. 6 Bifurcaciones de Campos Vectoriales En esta sección estudiamos las bifurcaciones de campos de vectores estructuralmente inestables. Como es sabido, los sistemas de ecuaciones que provienen de las aplicaciones, en general, tienen parámetros que aparecen de la modelación. A medida que estos parámetros varían, pueden ocurrir cambios en la estructura cualitativa de las soluciones para ciertos valores de los parámetros. Estos cambios se llaman bifurcaciones y los valores de los parámetros para los cuales ocurren son llamados valores de bifurcación. En particular, nos concentraremos en dos tipos bien conocidos de bifurcaciones: la bifurcación de Hopf y la bifurcación homoclínica. Ambas dicen relación con la generación de ciclos límite. Definición 20 Dada una familia de campos vectoriales X(x, µ), x R n, µ R k, un valor µ 0 para el cual el campo X(x, µ 0 ) no sea estructuralmente estable se llama valor de bifurcación. Esta definición implica que en cualquier vecindad de µ 0, existen valores de µ tales que el correspondiente campo X(x, µ) sufre un cambio topológico en su retrato de fase. Dada una familia X(x, µ), nos gustaría poder dibujar su conjunto de posibles bifurcaciones. Esto consiste en una división del espacio de parámetros llamado diagrama de bifurcación, que incluye una clasificación de los miembros de la familia X(x, µ) según sus distintos retratos de fase no-equivalentes. Estos esquemas de clasificación se basan en conceptos que tienen 26

27 su origen en la teoría de transversalidad en topología diferencial. Recordemos que el teorema de transversalidad (Ver Bröcker & Jänich [5] para más detalles) implica que cuando dos variedades (superficies) de dimensiones k y l se intersectan en un espacio n dimensional, entonces, en general, su intersección será una variedad de dimensión (k + l n). Si k + l < n uno no espera que ocurran intersecciones. Por ejemplo, superficies bidimensionales en un espacio tridimensional generalmente se intersectan a lo largo de curvas, mientras que dos curvas en un espacio tridimensional generalmente no se intersectan. Observemos que las intersecciones no-transversales pueden ser perturbadas hasta obtener transversalidad, pero intersecciones transversales preservan su topología bajo perturbaciones. Una intersección de variedades en un espacio n dimensional es aquella para la cual los espacios tangentes de las variedades intersectadas generan un espacio n dimensional. Esto también se puede expresar en términos de codimensión. La codimensión de una subvariedad l dimensional en un espacio n dimensional es n l. Entonces la intersección de dos subvariedades Σ 1, Σ 2 generalmente satisface (n l) + (n k) = 2n (l + k) = n (l + k n). Por lo tanto, la codimensión de Σ 1 Σ 2 es la suma de las codimensiones de Σ 1 y Σ 2 si la intersección es transversal. De esta forma, decimos que una singularidad tiene codimensión k si la menor dimensión del espacio de parámetros para la cual es posible representar todos los posibles retratos de fase no-equivalentes en un diagrama de bifurcación de la singularidad, es k. A cada representante de menor codimensión de la familia X(x, µ) le llamamos un desdoblamiento o deformación de la singularidad. Un diagrama de bifurcación es entonces una división del espacio de parámetros que contiene los posibles desdoblamientos de una singularidad de cierta codimensión. En concreto, al ocurrir una bifurcación, la familia X(x, µ) perderá alguna de las condiciones satisfechas por los sistemas estructuralmente estables. Se tendrán los siguientes casos: (1) El sistema tiene al menos un equilibrio con un valor propio λ con Reλ = 0. (1.a) El equilibrio tiene algún valor propio imaginario puro, o sea, λ = ia, a R. Por ejemplo, en el caso planar, el sistema podría tener un centro o un foco débil. (1.b) El equilibrio posee algún valor propio λ = 0. Por ejemplo, en el caso planar, podría tratarse de una bifurcación silla-nodo [7, 8] si es el colapso de una silla y un nodo, o una bifurcación Bogdanov-Takens [2, 4, 8, 16] si se tiene el caso de dos valores propios nulos. (2) El sistema posee al menos una órbita cerrada no-hiperbólica. (2.a) La órbita cerrada es aislada, o sea, es un ciclo límite múltiple. Este ciclo límite múltiple puede dividirse en varios ciclos límite en su vecindad o desaparecer (sillanodo) [1, 10]; también podría cambiar su estabilidad apareciendo una segunda órbita periódica con el doble del período de la órbita original (period-doubling) [7, 8]; o bien podría expandirse a un toro invariante (torus bifurcation) [8]. (2.b) El sistema posee una familia de órbitas cerradas. Mientras la mayoría de ellas se rompen bajo pequeñas perturbaciones, otras se preservan para volverse ciclos límite. A este tipo de bifurcación se le llama Bifurcación de Poincaré [10]. 27