CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA LA OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES.

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1 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA LA OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. Guía práctica para utilizar el Criterio de la segunda derivada en el análisis y la graficas de funciones. 1) DETERMINAR EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN DADA. Se define el Dominio de F(x) como el conjunto de valores reales (x є R) tal que F(x) є R. {x є R / F(x) є R}. ) CALCULAR LA PRIMERA DERIVADA. Se aplica y la ventana de diálogo que aparece nos aseguramos de que los campos variable y orden tengan asignados los valores x y 1 respectivamente y a continuación se elige la opción. Y se obtiene el resultado. 3 Ejemplo: Analizar la siguiente función: f ( x) = x + 3x a) Domf ( x): b) Se introduce la función en Derive y se determina la primera derivada. 3) VALORES 0 PUNTOS CRITICOS. Igualando la primera derivada a cero, y luego despejar los valores de la variable x, además, buscar los valores de la variable mencionada donde no existe la derivada. c) Para determinar analíticamente los puntos críticos de la función se calculan los puntos que anulan la derivada. Por tanto, hay que resolver la ecuación: 6x 6x = 0

2 Se elige el botón de herramientas (resolver), y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos: Variable, Método y Dominio tengan asignados las opciones x, Algebraico y Real y finalmente se elige la opción El resultado es: Los valores encontrados son los valores críticos. 4) SE DETERMINA LA SEGUNDA DERIVADA. Debe seleccionar la primera derivada, en este caso la expresión # 3, se aplica y la ventana de diálogo que aparece nos aseguramos de que los campos variable y orden tengan asignados los valores x y 1 respectivamente y a continuación se elige la opción. Y se obtiene el resultado. De igual forma si prefiere selecciona la expresión # 1, se aplica y la ventana de diálogo que aparece nos aseguramos de que los campos variable y orden tengan asignados los valores x y respectivamente y a continuación se elige la opción. Y se obtiene el resultado.

3 5) SE SUSTITUYE LOS VALORES CRÍTICOS EN LA SEGUNDA DERIVADA. Teorema: Sea ƒ una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c, y tal que ƒ (c) = 0. a) Si ƒ (c) > 0, entonces en c, existe un mínimo. b) Si ƒ (c) < 0, entonces en c, existe máximo. Se selecciona la segunda derivada en este caso expresión # 7, luego se sustituye los valores críticos en ella, utilizando los comandos: SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLE, COLOCAR EL VALOR CRÍTICO, Y SIMPLIFICAR. El valor encontrado (6), se obtiene al sustituir el valor crítico 0, esto quiere decir que 0 0, por lo tanto en 0 existe MÍMINO. Ahora para determinar el punto MÍNIMO Se sustituye ese valor crítico en la función ORIGINAL, para ello se selecciona, en este caso expresión # 1, luego se sustituye el valor crítico, en ella, utilizando los comandos: SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLE, COLOCAR EL VALOR CRÍTICO, Y SIMPLIFICAR. Esto indica que el punto MÍMINO es 0,0 Se repite todas las operaciones anteriores para cada valor crítico encontrado. El valor encontrado ( 6), se obtiene al sustituir el valor crítico 1, esto quiere decir que 0 0, por lo tanto en 1 existe MÁXIMO. El punto MÁXIMO es 1,1

4 6) SE CALCULA LOS POSIBLES PUNTOS DE INFLEXIÓN (P.P.I.) Los puntos en los que ƒ (x) = 0 o donde ƒ (x) no existe son llamados posibles puntos de inflexión. Para determinar analíticamente los posibles puntos inflexión de la función se calculan los puntos que anulan la segunda derivada. Por tanto, hay que resolver la ecuación: 6 1x = 0indicada como la expresión # 7 Se elige el botón de herramientas (resolver), y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos: Variable, Método y Dominio tengan asignados las opciones x, Algebraico y Real y finalmente se elige la opción El resultado es: El resultado es un posible punto de inflexión. 7) EN UN CUADRO DE CUATRO COLUMNAS SE ANALIZA LA FUNCIÓN: INTERVALOS ƒ ( X ) F ( X ) RESUMEN. 7.1) Primera columna: se organizan intervalos formados por los posibles puntos de inflexión encontrados, ordenados de menor a mayor. 7.) Segunda columna: se coloca la función dada, para en ella sustituir los posibles puntos de inflexión.

5 Procedimiento en Derive: Se selecciona la función f(x), en este caso expresión # 1, luego se sustituye el valor de, utilizando los comandos: SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLE, COLOCAR EL VALOR CRÍTICO, Y SIMPLIFICAR. Se repite la operación para cada P.P.I. encontrado. 7.3) Tercera columna: se coloca la Segunda derivada, para buscar el signo que esta posee, dándole un valor que esté en cada uno de los intervalos formados. Procedimiento en Derive: Se selecciona la segunda derivada en este caso la expresión # 7, luego se sustituye un valor de x, que esté dentro del primer intervalo (ejemplo: 0 ), utilizando los comandos: SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLE, COLOCAR EL VALOR SELECCIONADO, Y SIMPLIFICAR Se repite la operación para cada intervalo y cada valor seleccionado. Nota: se seleccionó los valores: 0; para realizar los cálculos respectivos los resultados son los señalados anteriormente. (Únicamente nos interesa el signo) 7.4) Cuarta columna: indica el resumen de lo analizado. En ella se indica el resultado al aplicar los teoremas respectivos. (Intervalos donde la función cóncava hacia arriba, Intervalos donde la función cóncava hacia abajo, puntos de inflexión si existen). Criterio para la concavidad. Si ƒ (x) > 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia arriba, en ese intervalo.

6 Si ƒ (x) < 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia abajo, en ese intervalo. Y si ƒ (k) cambia de signo, entonces k es un punto de inflexión. Punto de inflexión, es aquel donde la función cambia de concavidad. Para insertar la tabla ver GUÍA DEL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN., + P. inflexión, 8) REPRESENTACIÓN GRÁFICA. VER PROCEDIMIENTO EN LAS GUÍAS ANTERIORES APLICACIONES DE LA OPTIMIZACIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS PRÁCTICOS. Ejemplo 1. Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 1 cm. de lado. Cortando cuadrados iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los laterales. Hallar las dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo.

7 Procedimiento: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA a) Planteamiento: Volumen de un cubo: v = xyz Volumen de la caja: ( )( )( ) ( ) v = 1 x 1 x x v = x 1 x b) Introducir esas condiciones en Derive. c) Se aplica el procedimiento del criterio de f (x) c.1) Se calcula la primera derivada. c.) Se buscan los valores críticos. c.3) Se determina la segunda derivada. c.4) Se sustituyen los valores críticos en la segunda derivada. Para x = v () = 48 < 0 Para x = 6 máximo Se concluye que el valor de los cuadrados cortados es x = Ejemplo. La distancia R = OA (en el vacío) que cubre un proyectil, lanzando con velocidad inicia, y 0 desde una pieza de artillería que tiene un ángulo de evaluación φ y0 Sen( ϕ) respecto al horizonte, se determina según la fórmula: R( ϕ ) = ; g

8 Determinar el ángulo φ con el cual la distancia R es máxima dada la velocidad inicial y 0. Procedimiento: a) Planteamiento: en este caso ya se tiene la expresión para analizarla. y0 Sen( ϕ) π R( ϕ ) = ; 0 φ ( condición) g b) Introducir esa expresión en Derive. c) Se aplica el procedimiento del criterio de f (x) De los resultados obtenidos el único que cumple con las condiciones del problema es π φ = (..) 4 vc

9 Se sustituye el valor crítico. (4 y0 ) π Como: < 0 en φ = máximo g 4 Para calcular el alcance máximo se sustituye el valor crítico en la expresión# 1 Este valor es el alcance máximo horizontal. Ejemplo 3. Qué dimensiones debe tener un cilindro para que sea mínima su área total, dado el volumen V? Procedimiento: a) Planteamiento: Se Define el área (S) y el volumen de un cilindro (Z) r radio; h altura S π r π rh = = = + ; Z= π r h

10 b) Introducir esa expresión en Derive. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA De la expresión #, se despeja h Se sustituye en la expresión # 1. c) Se aplica el procedimiento del criterio de f (x) La expresión #9 es el valor crítico.

11 1π > 0 mínimo INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Por último se determina el valor de la altura, se sustituye el valor r, en la expresión # 4 Z Z Las dimensiones pedidas son: r = 3 ; h= 3 π 144π DÁMASO ROJAS MAYO 009