Master en Economía Macroeconomía II. 1 Learning by Doing (versión en tiempo discreto)

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1 Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 4 - Soluciones 1 Learning by Doing (versión en iempo discreo) Considere una economía cuyas preferencias, ecnología, y acumulación de los facores de producción, se describen como sigue: u(c ) = c1 θ 1 θ, Y = K α (h L ) 1 α, k +1 = (1 δ)k + i, h = bk, b > 0, L = L 1. Describa cómo el capial humano, dado por h, se acumula en esa economía. Preguna: aquí, las firmas y los individuos invieren direcamene para incremenar el nivel de capial humano? O, es simplemene un side effec de la acumulación de capial físico? Dada su respuesa, cree que la solución del planificador social y del equilibrio compeiivo coincidirán en ese modelo? Respuesa: La acumulación de capial humano en esa economía es simplemene un side effec de la acumulación de capial fisico. A mayor capial físico por unidad de rabajo, k, mayor capial humano por rabajador. Luego, cuano mayor capial físico iene el rabajador, mayor capial humano se acumulará con dicho capial (aprenden mas, rabajando con mas capial físico: learning by doing). Dado que el capial humano no surge de inverir direcamene en conocimieno, sino que surge de una exernalidad que genera la creación de capial físico, enonces esperararíamos que la solución descenralizada sea diferene a la solución del planificador social (al como vimos en la clase). De hecho, deberíamos esperar una sub-inversión de capial físico en la solución de equilibrio compeiivo. 2. Escriba y resuelva el problema del planificador social en esa economía. (Asuma que el facor de descueno es β (0, 1).) Cuál es la asa de crecimieno del consumo en la economía? Respuesa: Tal como escribimos usualmene en clase, la resricción de recursos de 1

2 la economía en érminos per capia es simplemene la siguiene: c + i = y Luego, uilizando las definiciones dadas para la ecnología y la acumulación de capial físico en esa economía, enemos la siguiene resricción de recursos: c + k +1 = k α h 1 α + (1 δ)k Uilizando la definición para la acumulación de capial humano (h = bk ), enemos enonces: c + k +1 = b 1 α k + (1 δ)k. Finalmene, el problema del planificador social puede escribirse como: max =0 Luego, el Lagrangeano resula: L = β c1 θ 1 θ s.a. c + k +1 = (b 1 α + 1 δ)k, { β =0 c 1 θ 1 θ λ [c + k +1 (b 1 α + 1 δ)k ] Las condiciones de primer orden son las siguienes: } L c = c θ λ = 0 L k+1 = λ + βλ +1 (b 1 α + 1 δ) = 0. Combinando ambas condiciones, enemos la ecuación de Euler: c θ = βc θ +1 (b1 α + 1 δ), la cual podemos escribir, alernaivamene, como una expresión para el crecimieno del consumo: c = [β(1 + b 1 α δ)] 1/θ. (1) 3. Resuelva para el equilibrio compeiivo en esa economía. Por simplicidad, asuma que la ofera de rabajo de los individuos es exógena e igual a 1, y considere una 2

3 resricción presupuesaria para las familias del ipo: c + k +1 + a +1 = wh + (1 + R δ)k + (1 + r )a (a) donde a son los acivos financieros cuyo reorno es r. (b) Cuál es la condición de no-arbiraje enre los acivos libres de riesgo y el capial? Respuesa: El problema de opimización de las familias puede escribirse como: max =0 β c1 θ 1 θ, s.a. c + k +1 = wh + (1 + R δ)k + (1 + r )a. Formando el Lagrangeano, obenemos las siguienes condiciones de primer orden: c : c θ = λ k +1 : λ = β λ +1 (1 + R +1 δ) a +1 : λ = β λ +1 (1 + r +1 ) La condición de no-arbiraje enre capial físico y acivos financieros esá dada por R δ = r. Uilizando esa condición, sabemos que los individuos esarán indiferenes enre asignar su ahorro a capial físico o a acivos financieros. Por oro lado, la ecuación de Euler resula: c θ = βc θ +1 (1 + R +1 δ), con lo cual, una expresión para el crecimieno del consumo esaría ahora dada por: c = [β(1 + R +1 δ)] 1/θ (2) (c) Del problema de maximización de beneficios de la firma, cuáles son las expresiones de equilibrio para la asa de inerés y el salario? (Recordar que la firma oma como exógeno al capial humano.) Respuesa: El problema de maximización de la firma es el siguiene: max K,L π = K α (h L ) 1 α w h L R K 3

4 Luego, las condiciones de primer orden resulan: ( ) R = αk α 1 (h L ) 1 α h L 1 α = α = αb 1 α (3) K ( ) w = (1 α)k α (h L ) α h L α = (1 α) = (1 α)b α (4) (d) Cuál es la asa de crecimieno del consumo? Respuesa: Combinando la condición de Euler del consumidor, (2), con la condición (3), enemos la expresión para el crecimieno del consumo per capia de la economía, en equilibrio: K c = [β(1 + αb 1 α δ)] 1/θ (5) 4. Compare las asas de crecimieno del consumo para el planificador social (Pare 2) con aquella que resula de la solución descenralizada (Pare 3). Cómo difieren, y por qué? Respuesa: La asa de crecimieno del consumo para el planificador, recordemos, esá dada por la ecuación (1): c = [β(1 + b 1 α δ)] 1/θ. Luego, comparando con aquella que resula de la solución descenralizada, ecuación (5) arriba, noamos que la asa de crecimieno del consumo para el planificador es superior. Eso se debe a aquello que hablamos en clase cuando vimos ese ipo de modelos. Es decir, aquí las firmas compeiivas no oman en cuena el hecho de que la inverión en capial físico (por pare de las familias, por ciero) conlleva una exernalidad al incremenar el capial humano. El planificador social, sin embargo, oma en cuena esa exernalidad al elegir el nivel de capial físico ópimo. De aquí que el equilibrio descenralizdo implica una menor asa de crecimieno, pues se subinviere en érminos relaivos a un planificador social. 5. Ahora suponga que el gobierno subsidia el coso privado del capial para las firmas. En paricular, asuma que el coso privado del capial para las firmas esá ahora dado por (1 τ)r y que el gobierno financia ese subsidio a ravés de impuesos lump-sum T a los individuos. Resuelva para el equilibrio compeiivo de esa economía. Respuesa: La resricción presupuesaria del consumidor es ahora: c + k +1 + a +1 = wh + (1 + R δ)k + (1 + r )a T. 4

5 Noemos que eso no efaca la condición de Euler de las familias, que resula del mismo modo que en (2): c = [β(1 + R +1 δ)] 1/θ. No obsane, ahora las firmas demandarán capial físico de acuerdo con la siguiene condición: (1 τ)r = αk α 1 (h L ) 1 α = αb 1 α, lo que implica que el precio por el alquiler del capial físico será: R = αb1 α 1 τ. Susiuyendo esa expresión en la ecuación de Euler de las familias, enemos que el crecimieno del consumo esará dado por la siguiene expresión: [ )] 1/θ = β (1 + αb1 α c 1 τ δ. (6) (a) Cuál es el subsidio τ que el gobierno debería fijar para que la asa de crecimieno del consumo de equilibrio compeiivo coincida con la del planificador social? Respuesa: De manera de alcanzar la asa de crecimieno de la economía del planificador social, observamos en (6) que el gobierno debería aplicar un subsidio equivalene a: τ = 1 α. (b) Por qué el gobierno querría subsidiar la inversión en ese modelo? Respuesa: Porque de esa manera se inernaliza la exernalidad que genera el capial físico sobre el capial humano. Noemos que las firmas subvaloran el reorno del capial en ano no incluyan, denro de aquel, el proceso de learning by doing. 5

6 2 El Modelo de Crecimieno Opimo Esocásico Considere el modelo de crecimieno con inceridumbre, al como fue descripo en clase. Es decir, suponga que el agene represenaivo elige la secuencia {c, k +1 } =0 de modo de maximizar E 0 β ln(c ) =0 s.a. k +1 = A k α c ln A = ρ A ln A 1 + ξ ; ξ i.i.d.n(0, σ 2 ) k 0 > 0, A 0 > 0 dados 1. Escriba la Bellman equaion del problema. Cuál es el vecor de esado? Cuál es el vecor de conrol? Respuesa: La siguiene es la ecuación de Bellman, expresando el consumo como función del capial a ravés del uso de la resricción de recursos: V (k, A ) = max k +1 {ln(a k α k +1 ) + βe[v (k +1, A +1 ) A ]} El vecor de esado es (k, A ); el vecor de conrol es (c, i ), con i = k Halle e inerpree la ecuación de Euler del problema. Respuesa: De la condición de primer orden del problema, i.e., derivando respeco a k +1, surge que De la Benvenise-Scheinkman condiion, enemos 1 [ ] V (k+1, A +1 ) + βe = 0. (7) c k +1 V (k, A ) k = 1 c αa k α 1, lo que implica que V (k +1, A +1 ) k +1 = 1 αa +1 k α (8) Susiuyendo (8) en la condición de primer orden (7), enemos finalmene la Euler condiion: [ ] 1 1 = βe αa +1 k+1 α 1. c Esa ecuación nos dice que el agene habrá inverido hasa el puno en que esé indiferene enre una unidad consumida hoy (que le brinda un beneficio de 1/c en érminos 6

7 de uilidad) y una unidad inverida en capial (que le brinda un beneficio esperado, en érminos de uilidad, dado por el produco marginal del capial, desconado a valor presene). 3. Muesre que V (k, A ) = E +F ln k +G ln A es solución del problema, donde E, F, y G son consanes que debe hallar a ravés del méodo de coeficienes indeerminados. Respuesa: Sabemos que las funciones ópimas del problema esocásico no difieren de las funciones halladas en el problema deerminísico, excepo que ahora el ingreso y es función ambién de la variable A (conocida al momeno de omar la decisión en ). Dado eso úlimo, enemos que k +1 = αβa k α, c = (1 αβ)a k α. Por oro lado, sabemos que E (ln A +1 ) = E (ρ A ln A + ξ +1 ) = ρ A ln A. Usamos esos resulados en la Bellman equaion del problema original (para lo cual asumimos como ciero el guess de V ), e igualamos dicha ecuación al guess del enunciado. Es decir, para odos k, A se debe cumplir la condición siguiene: V (k, A ) = ln[(1 αβ)a k α ]+βe+βf ln(αβa k α )+βgρ A ln A = E+F ln k +G ln A De aquí que ln(1 αβ) + βe + βf ln(αβ) = E, α + αβf = F, 1 + βf + βgρ A = G, lo cual implica finalmene que: F = G = E = α 1 αβ 1 (1 αβ)(1 ρ A β) [ 1 ln(1 αβ) + (1 β) βα ] 1 αβ ln(αβ) 7

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