TRABAJO PRÁCTICO 5. 4) Un edificio de 100 m de altura proyecta una sombra de 120 m de longitud. Encontrar el ángulo de elevación del sol.

Transcripción

1 TRABAJO PRÁCTICO 5 Matemática Preuniversitaria 01 Módulo. Trigonometría. Triángulos rectángulos. Relaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. Algunas identidades trigonométricas. Teorema del seno y del coseno. Funciones trigonométricas: definiciones, signos de las funciones trigonométricas, reducción al primer cuadrante, relaciones entre las funciones trigonométricas. Sistemas de medición de ángulos (radianes). Representación gráfica. 1) Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a,5 m de su pie (el del poste) y ve al poste bajo un ángulo de 5º0 15. Cuál es la altura del poste? ) La longitud de la diagonal de un rectángulo es igual a 5 cm y el ángulo que forma con uno de los lados es de 6º. Calcular el área del rectángulo. ) Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 m de altura cuando el sol se ha elevado 0º sobre el horizonte? ) Un edificio de 100 m de altura proyecta una sombra de 10 m de longitud. Encontrar el ángulo de elevación del sol. 5) Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 0º, si avanzamos 0 metros, el ángulo pasa a ser de 5º. Calcular la altura del edificio. 6) Cuál es la pendiente de un alambre carril de 5 m que une dos puntos cuyas altitudes sobre el nivel del mar son, respectivamente, de 86 m y 905 m? 7) Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio, de modo que del pie de la escalera al edificio hay doce unidades. A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera, y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 70º con el suelo? 8) Encontrar la altura de un árbol si el ángulo de elevación de su extremo superior crece desde 0º hasta 0º cuando un observador avanza 75 m hacia el pie del árbol. 9) Un alambre carril recto de 0m une dos puntos A y B y tiene una pendiente de 0,5. Calcular la diferencia de alturas entre A y B. 10) Calcular la longitud de un trozo recto de vía, que tiene una pendiente igual a tg 10º8 en una distancia de km. CRUB- 01 1

2 Matemática Preuniversitaria 01 11) En las orillas opuestas de un río se sitúan dos puntos a y b. En la orilla donde está situado el punto a se determina un segmento de recta ac = 75 m y se miden los ángulos c ab ˆ = 15º0' y a cb ˆ = 8º50'. Encontrar la longitud de ab. 1) Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 15 m de altura. Desde el extremo superior de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta es de 8 o 0 y desde la base de la torre, el ángulo de depresión del mismo punto es de 18 o 0. Encontrar el ancho del río y la altura del peñasco. 1) Sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas de 17,5kg y,5kg. Si las direcciones de las fuerzas forman un ángulo de 50º10, encontrar la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma con la fuerza mayor. 1) Una torre de 150 pies de altura está situada en lo alto de una colina. En un punto, en la falda de la colina, situado a 650 pies de la cima se observa que el ángulo formado por la ladera de la colina y la visual dirigida al extremo superior de la torre es de 1º0. Encontrar la inclinación de la ladera de la colina respecto a un plano horizontal. 15) Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm y uno de sus lados 8 cm. El ángulo que forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos es de º. Calcula lo que mide el otro lado y el área del trapecio. 16) Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 Km. Desde cada estación se miden los ángulos A y C que miden 6º y 5º. A qué distancia de cada estación se encuentra el barco? 17) Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. Cuánto dista el globo del punto A? Cuánto del punto B? A qué altura está el globo? 18) Una escalera de m de longitud, está apoyada en una pared formando un ángulo de 60 o con el suelo. A qué altura llega en la pared? Si acercamos la escalera a la pared de forma que la distancia a ésta sea 0 cm. Qué ángulo formará con el suelo y qué altura alcanzará? 19) Hallar el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia de 0 cm de radio. Cuánto mide el ángulo que forman dos lados consecutivos? Calcular la longitud de una diagonal de ese pentágono. CRUB- 01

3 Matemática Preuniversitaria 01 0) Si los brazos de un compás forman un ángulo de 75º y miden 1 cm. Cuál será la distancia entre sus puntas? 1) En una circunferencia de 7 cm de radio, trazamos una cuerda de 10 cm de longitud. Cuánto mide el ángulo central que abarca esa cuerda? ) Para hallar la altura de una montaña, medimos el ángulo que forma la horizontal con una visual a su cima, obteniendo 65º. Nos alejamos 100 m, medimos de nuevo y obtenemos 58º. Cuál es la altura de esa montaña? ) En el cuadrado ABCD se une el vértice A con M, punto medio del lado BC, y con N, punto medio de CD. Calcula los lados y los ángulos de AMN, sabiendo que el lado del cuadrado mide cm. ) Demostrar las siguientes relaciones: a ) sen θ + cos θ = 1 1+ tg θ = sec θ c) 1+ cot g θ = cosec θ 5) Verificar las siguientes identidades: senθ 1+ cosθ cosecθ = + 1+ cosθ senθ tgθ senθ secθ = sen θ 1+ cosθ 6) Completar las siguientes tablas: grados radianes grados radianes π 5 π π 5 5 π π π π/ π/ π/ π/8 7) Las razones trigonométricas de 5º son: sen 5º=0, cos 5º=0,906 tg 5º =0,66 Calcula las razones trigonométricas de 65º, 115º, 155º y 05º. 8) Qué ángulos del primer cuadrante son adecuados para calcular las razones de º, 516º, 718º, 7º y 1º? 9) Usando la identidad trigonométrica sen α + cos α = 1, calcular los valores de las funciones trigonométricas restantes (sólo senα, cosα ó tgα ). cosα = 0, y α II cuadrante senα = 0,5 c) tgα = y d) senα = 1 y α IV cuadrante α III cuadrante y α I cuadrante CRUB- 01

4 Matemática Preuniversitaria 01 0) Encontrar el sen ω, si el cos ω = y la tg ω es positiva. 5 1) Utilizar la calculadora para hallar el ángulo α en los siguientes casos: sen α = 0,87; 90º < α < 180º cos α = -0,7; sen α >0 c) cos α = 0,15; sen α < 0 d) sen α = - 0,6; 70º< α < 60º e) sen α = -0,8; cos α < 0 f) tg α = ; 180º < α < 70º g) tg α = -,5; sen α>0 h) cos α = -0,9; tg α >0 ) Sabemos que sen x = -/. Calcular, sin hallar x, el valor de: sen(π - x) cos(π + x) c) sen(π/ + x) d) cos(π/ x) e) sen(-x) f) cos(x + ) ) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas con 0 x < 60 :. sen ( x) 1 = 0 cos ( x ) cos( x) = 0 c) senx + 1 = cos x d) tg x = cos x ) Sabiendo que sen ψ =, calcular cos ( ψ + 8π ). Determinar a qué cuadrantes puede pertenecer ψ. 5) Representar las siguientes funciones en el intervalo [-π, π] y analizar: Dominio Imagen c) Continuidad d) Crecimiento e) Máximos y mínimos f) Raíces g) Periodicidad i) y = sen x ii) y = cos( π + x) iii) y = 1 sen x iv) y 1 v) y = cos( x) vi) y = 1+ sen x vii) y = tg x 6) Determinar qué gráfica corresponde a cada función: y = sen x π 1 y = sen x c) y = sen x π e) y = sen x f ) y = sen x + π g) y = sen x = cos x ( ) ( ) d) y = sen( x + π ) ( ) h) y = sen( x + π ) CRUB- 01

5 Matemática Preuniversitaria 01 CRUB- 01 5