Tema 4 Funciones(IV). Aplicaciones de la Derivada.

Transcripción

1 Tema 4 Funciones(IV). Aplicaciones de la Derivada. 1. Monotonía. Crecimiento y decrecimiento de una función. Etremos relativos 3. Optimización 4. Curvatura 5. Punto de Infleión 6. Propiedades funciones derivables 6.1. Teorema de L Hopital 6.. Teorema de Rolle Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1

2 1. Monotonía. Crecimiento y decrecimiento de una función En el tema anterior, relacionamos las derivadas con la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica descrita por la función, es decir f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica f( en. Vamos a relacionar el signo de mf ( ) con el crecimiento o decrecimiento de la función, para esto nos valemos de la siguiente función: yf( f (3-13 (-) (+) (-,-) - (-,) (, ) Signo f ( Crecimiento Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)

3 Claramente vemos como si f ( )> la recta tangente es creciente, pues su pendiente es positiva, y por lo tanto f( creciente en. De igual forma si f ( )< la recta tangente es decreciente, pues su pendiente es negativa, y por lo tanto f( decreciente en Conclusión: a) Si f ( )> la función f( es estrictamente creciente en b) Si f ( )< la función f( es estrictamente decreciente en. Etremos relativos Antes de relacionar los etremos relativos con la derivada definámoslos. Definición: etremo relativo de una función f( es todo punto tal que para todo entorno del punto E(,r) se cumple que la función en este intervalo crece y decrece. Según crezca antes o después de, distinguimos dos tipos de etremos relativos: a) Máimo relativo en : la función crece hasta y decrece a partir de. b) Mínimo relativo en : la función decrece hasta y crece a partir de. Está claro que si es un etremo relativo de f( en este punto la gráfica ni crece ni decrece, luego una condición necesaria es que f ( ). Pero está no es la única condición. Veamos que además otra condición es necesaria, a la par que distinguimos el máimo del mínimo relativo: Sea un punto de una función en el que se cumple a) f ( ) b) f ( )< entonces (,f( )) es máimo relativo Sea un punto de una función en el que se cumple c) f ( ) d) f ( )> entonces (,f( )) es mínimo relativo En el caso de que f ( ) pero también f ( ), no podemos asegurar que este punto sea etremo relativo y hay que estudiar las derivas de orden superior hasta que esta derivada no sea nula en. Para ver si la función tiene etremo relativo o no vemos el siguiente esquema: ( f n ( ) con n impar Punto de Infleión ( n 1 f '( ) f ''( ) f ( ) ( f n ( ) > mínimo ( f n ( ) n par ( f n ( ) < máimo Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 3

4 Ejemplo: estudiar si en las siguientes funciones hay máimo, mínimo o punto de infleión en a) yf( 3 f (3 en f () f (6 en f () f (6 en f ()6 Como la primera derivada no nula es la tercera (impar) tenemos un Punto de Infleión en P. I (,f())(,) a) yf( 4 f (4 3 en f () f (1 en f () f (4 en f () f IV IV ( 4 en f ( ) 4 Como la primera derivada no nula es la cuarta (par) tenemos un Punto relativo, IV como f ( ) 4 > será mínimo m(,f())(,) 4 3 Ejemplos: 1) Estudiar la monotonía, y los etremos relativos de las siguientes funciones: 1) ejercicio c) pag 3 yf( f ( f ( -5+6(-) (-3) f (1-3 (-,) (,3) 3 (3, ) Signo f ( Crecimiento (,f())(,16) (3,f(3))(3,15) f ()< Máimo f (3)> Mínimo Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 4

5 M m ) ejercicio d) pag 3 y/ln( Primero estudiemos el dominio, veamos los puntos que no pertenecen al dominio a) > (por el logaritmo neperiano) b) ln( e 1, asíntota vertical Dom(f()(, )-{1} 1 ln( f ( ln ( ln( 1 ln ( f ( ln ( ln( 1 ln( 4 ln ( ln( ln ( 4 ln ( Signo de la primera derivada ln (> Signo de ln(-1 ln(-1 e 1 (,1) 1 (1,e) e (e, ) Signo f ( Crecimiento Dom( f ( ) (e,f(e))(e,e) f (e)1/e> Mínimo Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 5

6 m 3) y f ( 8 + 1, f ( , f ( 4 ( 4) ( 4) 8 + No solución no etremos relativos (f (> ) (-,4) 4 (4, ) Signo f ( + Do min io + Crecimiento Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 6

7 3. Optimización En muchas situaciones se plantean problemas de optimización, es decir hacer que una variable sea máima o mínima para una premisas impuestas. Los casos de optimización que trabajaremos es cuando la función depende de una sola variable. Pasos a seguir para optimizar: 1. Epresar la función que deseamos optimizar en función todas variables.. Si la función tiene más de una variable relacionar las variables con los datos del problema y obtener una función de una sola variable. 3. Derivar la función, igualarla a cero y así obtener los puntos relativos 4. Comprobar mediante la segunda derivada si estos puntos máimos o mínimos. Ejemplo: Se quiere construir botes de enlatar de forma cilíndrica de 1 litros de capacidad. Calcular las dimensiones para que el gasto sea mínimo y V1π y y1/(π ) El gasto es proporcional a la superficie: Gasto(,y)K Superf( π +π y) G(K [π +π (1/π )]K[π +/] G (K[4π-/ ] 4π-/ 4π r π dm 1 hy dm π 3 5 π G (4π+4/ 3 G ( 3 5 π )> Mínimo Actividades resueltas pag 86 (1 y ) Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 7

8 Ejercicio 13 pag 31 f(5 ( f (-48+ 4/11 f ( f (4/11)> Mínimo Ejercicio 1 pag 31 y y18 y18/ Area(,y)(+) (y+4) A((+) (18/+4) / / A (4-36/ 3cm y6cm A (7/ 3 A (3)> mínimo Dimensiones: 5cm 1cm Ejercicios PAU Septiembre 4. Prueba B. PR a) Dada la función f(1/+ln( definida en [1,e], recta tangente con mayor pendiente. Escribir ecuación de dicha recta a) La pendiente de las rectas tangentes viene dada por la derivada de f( f (-1/ +1/. Esta es la función g(f( que tenemos que minimizar, para encontrar así la pendiente máima: g (/ 3-1/ - [1,e] Veamos si es máima o mínima: g (/ 3-6/ 4 g ()1/4-3/8< máimo La pendiente máima es m ma f ()-1/4+1/1/4, esta es la pendiente de la recta tangente en el punto (,f())(,1/+ln()) La recta tangente es por tanto y-(1/+ln())1/4(-) y.5 +ln() Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 8

9 Junio 6. Prueba A. PR Rectas perpendiculares al eje OX son del tipo. Corte con las gráficas a) f(e A(,e o ) b) g(-e - B(,-e -o ) Longitud segmento AB d(a,b) AB (, e + e ) ( e + e ) e + e d( ) e + e Como tiene que ser distancia mínima calculemos la derivada de d( ) e igualar a cero d ( ) e e e e -. Veamos si es mínima o máima d ( e + e d ()> Mínimo Luego la recta es. Corta con f( en (,e )(,1) y con g( en (,-e - )(,-1) Recta que pasa por dos puntos m y y recta paralela aleje OY e A(,1) B(,-1) -e - 4. Curvatura Veamos las definiciones de los dos tipos de curvaturas posibles en una función: Definición 1: una función es cóncava hacia las y positivas o cóncava hacia arriba en un punto P(,y ) si la recta tangente en este punto está por debajo de los puntos próimos a P. Gráficamente tiene forma de Definición : una función es cóncava hacia las y negativas o cóncava hacia abajo en un punto P(,y ) si la recta tangente en este punto está por encima de los puntos próimos a P. Gráficamente tiene forma de. Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 9

10 Podemos saber si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo a partir de la segunda derivada: Si f ( )>, entonces f( es cóncava hacia arriba en el punto (,f( )). (Recordar la curvatura de yf( y como f (>) Si f ( )<, entonces f( es cóncava hacia abajo en el punto (,f( )). (Recordar la curvatura de yf(- y como f (-<) Ejemplo: yf( 3 f (6, si > cóncava hacia arriba y si < hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba 5. Puntos de Infleión Definición: se dice que f( tiene punto de infleión en (,f( )) si en ese punto cambia la curvatura de la función, es decir pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o al revés. En este punto la recta tangente a la función corta a la función. Vamos a ver la relación entre los puntos de infleión y las derivadas de la función, en el siguiente teorema: Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1

11 Si f( cumple en que la segunda derivada es nula (f ( )) y además la tercera derivada es distinta de cero (f ( ) ) entonces la función f( tiene un punto de infleión en (,f( )). En el caso de que f ( ) pero también f ( ) tendremos que recurrir a las derivadas de orden superior, y ver el orden de la primera no nula en. Como vimos en el apartado. ( f n ( ) con n impar Punto de Infleión ( n 1 f '( ) f ''( ) f ( ) ( f n ( ) > mínimo ( f n ( ) n par ( f n ( ) < máimo Ejemplo: Estudia el crecimiento, puntos relativos, la curvatura y los puntos de 1 infleión de la función f( + 1 Primero vemos el dominio Dom(f)R-{-1} + 1 ( 1) f ( ( + 1) ( + 1) Vemos que siempre es positiva para todo valor de (-,-1) -1 (-1, ) Signo f ( + No eiste -1 Dom(f) + Crecimiento No Punto relativo ( + 1) f ( 4 ( + 1) Como (+1) 4 es positivo sólo tenemos que estudiar el signo de (+1), por eso no simplificamos la fracción. El signo de la segunda derivada es: (-,-1) -1 (-1, ) Signo f ( + No eiste -1 Dom(f) - Cocavidad No P.I. Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 11

12 Ejemplo : f( + 1 Primero vemos el dominio de f(, como -+1(-1) entonces Dom(f)R-{1} f '( ( + 1) ( ) ( + 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) No simplificamos la fracción para que el signo del denominador sea siempre positivo (elevado a potencia par). El numerador se anula en y 1 Dom(f) (-,) (,1) 1 (1, ) Signo f ( - + No eiste - Crecimiento m(,f())(,) 1 Dom(f) f ''( ( f ()< Mínimo [ 4] ( + 1) ( + 1) ( ) [ )] + 1) 3 [( 4( + 1) ] ( ( + 1) ( + 1) 4 ( + 1/ ) 4 ( + 1) ( + 1) ( + 1) 4 + 1) 4 ( 3 + 1)( ( + 1) ) Se anula en -1/ Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1

13 (-,-1/) -1/ (-1/,1) 1 (1, ) Signo f ( - + No eiste + Concavidad PI(-1/,f(-1/)) (-.5,1/9) 1 Dom(f) f (-1/) Ejercicio 3: Sean f( 3, g( 4 y h( 5 determinar si en hay un P.I. o un punto relativo. a) f (3 f () f (6 f () f (6 f ()6 n3 P.I.(,) b) g (4 3 g () g (1 g () g (4 g () g (4) 4 g (4) 4> n4 Punto relativo Mínimo m(,) Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 13

14 c) h (5 4 h () h ( 3 h () h (6 h () h (4) (1 h (4) () h (5) (1 h (5) ()1 n5 P.I. (,) y 3 y 4 y 5 6. Propiedades funciones derivables 6.1 Teorema de L Hopital Teorema: Sean f( y g( continuas y derivables en que verifican: lim f ( lim g( o lim f ( lim g( ± entonces se cumple: ) f ( f '( lim lim g( g'( Esta regla es válida para R, + o -. Esta regla se puede aplicar sucesivas veces si el límite sigue siendo / o / Ejemplos: PAU Septiembre 6 (Prueba A) C-3. ln(cos( ) 1+ cos( cos( lim lim L' H (1 + tg ( ) cos( lim 1 L' H tg( lim Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 14

15 PAU Junio 6 (Prueba A) C-3. ln(cos() lim cos( lim ' H L tg( lim (1 + tg lim ' H 1 L () PAU Junio 6 (Prueba B) C-4. a + b + 1 cos( a + b + b lim lim ( b para limite ) ) L' H cos( ) a + a + cos( a + 1 lim lim 1 a 1/ cos( ) L' H cos( ) 4 ) PAU Septiembre 4 (Prueba A) C-3 (no se puede hacer por infinitésimos) lim tg( (1 + tg () (1 + tg () lim lim π (6 ) ' 6 (1 (6 )) 3 (1 tg L H π + tg π + tg (6) 1 3 PAU Junio 4 (Prueba B) C cos( 1 lim lim lim ( ) ( ) ' sen sen L H + cos( lim L' H cos( + cos( PAU Septiembre 5 (Prueba A) C-4 ) lim 1 cos( λ 1 ) lim cos ( λ 1 cos( ) lim L' H λ λ cos( λ λ 1 λ±1. cos( ) 4 ) lim ' H λ 4 λ cos ( λ L λ 1 PAU Septiembre 5 (Prueba B) C-3 (no se puede hacer por infinitésimos) 1 ln( sen ( lim ln( lim lim lim 1 L' H cos( cos( sen ( cos( lim L' H cos( 1 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 15

16 PAU Junio 5 (Prueba A) C-3 (no se puede hacer por infinitésimos) ln( lim + e ln( + 1 1/ lim lim + L' H + e e L' H 6. Teorema de Rolle Teorema de Rolle: sea f( que cumple las siguientes condiciones: continua en [a,b] derivable en (a,b) f(a)f(b) entonces eiste al menos un punto c (a,b) tal que f (c) (es decir tiene un máimo o mínimo relativo) Interpretación gráfica: a c b a c b Hacer actividades resueltas pag 91 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 16