1 a 1 a 1. 0 a 1 a a 0. 0 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1. a 1 a 1 a 1 a 1 0 a 1, a 1

Transcripción

1 Pruebas de Apiud para el Acceso a la Universidad. JUNIO Maemáicas II. OPCIÓN A 1. Discuir el sisema a z solución del mismo cuando a = [1 puno] (a 1) y a z 1 (a 1) y (a 1) z según sea el valor del parámero a [1,5 punos]. Hallar, si eise, la Las marices de los coeficienes, A, y ampliada, B, son: 1 a 1 a 1 a 1 a 1 1 a Esudiemos el rango de la mariz de los coeficienes según los valores de a: 1 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1, a 1 Para a 1 y a 1: rg A rg B nº de incógnias el sisema es COMPATIBLE DETERMINADO. Para a 1: las marices de los coeficienes y ampliada son Pueso que el menor rg A. Orlamos ese menor con los érminos independienes: rg B. Por ano: rg A rg B el sisema es INCOMPATIBLE. Para a 1: las marices de los coeficienes y ampliada son Es evidene que rg A 1 y pueso que el menor de la mariz ampliada rg A rg B el sisema es INCOMPATIBLE rg B 1 Para a el sisema es y 1 y z compaible deerminado de soluciones:, y 1, z 1 1

2 si 1. Dada la función f definida por f () a b si 1 se pide: 16 si a) Hallar a y b para que la función sea coninua en odo real [,5 punos] b) Analizar su derivabilidad [1 puno] c) Represenación gráfica [1 puno] a) Pueso que en los res inervalos de definición la función es polinómica, es coninua. Los únicos punos de posible disconinuidad son 1 y. Para que la función sea coninua en 1: lím f () lím f () lím lím a b a b 1 1 (*) Para que la función sea coninua en : lím f () lím f () lím a b lím 16 8a b 6 4a b (*) De las igualdades (*): a b 4a b a a 1, b 1 b) Se iene: si 1 si 1 16 si 11 si f () si 1 f '() 1 si 1 f '() eise para,,, U U. Veamos si la función es derivable en 1 y : 1: f ' 1 f ' 1 f ' 1 f ' 1 la función no es derivable en 1 : f ' 11 f ' 11 f ' f ' la función es derivable en c) La función definida en, 1, f (), iene como gráfica el eje de abscisas. La función definida en 1,, f () : - Cora al eje de abscisas en los punos: - f '() 1 ;,58 (punos críicos) f ''() 6 1 1, 1, 1 f '' En iene un máimo relaivo :,, 58,, 8 9 f '' En iene un mínimo relaivo :,, 58,, 8 - f ''() 6 y como f '''() 6 En, iene un puno de infleión La función definida en,, f () 16 La gráfica de la función es:, 6 y,17., es una reca que pasa por los punos:

3 Pruebas de Apiud para el Acceso a la Universidad. JUNIO Maemáicas II.. Un campo de aleismo de 4 meros de perímero consise en un recángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuesos. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la pare recangular sea lo mayor posible [,5 punos]. Sean e y los lados del recángulo. El área del recángulo debe ser máima: y S y máima (1) Como el perímero de la pisa debe ser de 4 meros: P y 4 4 y 4 S 4 S' Susiuyendo en (1): 1 S'' 4 1 hace máima la superficie del recángulo. Las dimensiones son por ano: y como 1 m, y ; 6,66 m

4 4. Hallar el puno simérico del puno A ( 1,,) respeco al plano de ecuación general y z 5. [,5 punos] Calculemos la ecuación de la reca perpendicular al plano que pasa por el puno A. Esá deerminada por el puno A y 1 r un vecor normal al plano, n 1,1, : y es su ecuación en paraméricas. Calculemos las coordenadas z 9 del puno P de core de la reca y el plano: , y, z P,, El puno P es el puno medio del segmeno de eremos A y su simérico A : 9 y z ; y 6 ; z y por ano: A ', 6, OPCIÓN B 1 1. Deerminar a, b y c para que la mariz A verifique que su raspuesa A coincide con su a b c inversa A -1 [1,5 punos]. Calcular en odos esos casos la mariz A 4 [1 puno]. Calculemos las marices raspuesa e inversa de A: 1 a 1 1 c A b 1 c b c b A a b c c b 1 1 a Adj A 1 A Adj A A 1 a a c 1 A b c A c b c b c b a b c 1 a 1 a b 1 c b c b c b c b 4

5 Pruebas de Apiud para el Acceso a la Universidad. JUNIO Maemáicas II. 1 a a c 1 A A b a, b c c b c b c b 1 a b 1 c c b c b c b 1 Al igualar los érminos a : c c 1 c, b m. Para los valores enconrados de los c parámeros se debe comprobar que los resanes elemenos de ambas marices son ambién iguales. Por ano: a, b, c ó a, b, c Se iene: 1 A ó 1 A En el primer caso: En el segundo caso: A 1 A A 1 A A 1 1. Un jardinero dispone de 1 meros de valla y desea delimiar un erreno recangular y dividirlo en cinco loes con vallas paralelas a uno de los lados del recángulo. Qué dimensiones debe ener el erreno para que el área sea la mayor posible? [,5 punos] Sean e y los lados del recángulo (ver figura). Pueso que dispone de 1 meros de valla: y 6 1 y 6 y 6 y El área del erreno debe ser máima: S y 6 5

6 S' y como S'' 6 1 hace máima el área del erreno. Sus dimensiones serán enonces: 1 m, y m. Dibujar el recino limiado por la curva y = e, el eje OX y la reca paralela al eje OY que pasa por el puno donde la curva iene su mínimo relaivo [1 puno]. Hallar el área de dicho recino [1,5 punos]. - Punos de core de la función con el eje OX: de core con los ejes es el origen de coordenadas. e pues e. Por lo ano el único puno - Punos de máimo y de mínimo: y' e e e 1 1 (puno críico) y" e 1 e e ; y" ( 1) mínimo: 1,,7 Pueso que la función es coninua, en, 1 la función es decreciene y en 1, es creciene. u du d S e d 1 dv e d v e e e d e e e 1 ;,6 u e 4. Nos dan los vecores a = (1,,1 ), b = (,,1 ) y c = (,, ), hallar: i) Valor absoluo del produco mio de a, b y c y dar su significado geomérico. [1 puno] ii) Ángulo que forman b y c. [,5 punos] iii) Razonar si (a,b,c) forman base y, en caso afirmaivo, hallar las coordenadas de (1,,) en dicha base. [1 puno] i) 1 1 a, b, c 1 4. Significado geomérico: el volumen del paralelepípedo cuyas arisas son a, b y c es de 4 u. ii) Sea el ángulo que forman los vecores b y c. Se iene: b c cos 9º b c 5 iii) Pueso que su produco mio es disino de, los vecores son linealmene independienes y por ano forman una base del espacio vecorial ridimensional. Sean 6 1,, las coordenadas del vecor 1,, respeco a la base a, b, c : 1 1 1,,,, 1,, 1,, 1,, 1 1 1,, 1, 1, y, por ano es: