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Transcripción

1 PRUE DE CCESO L UNIVERSIDD JUNIO 7 OPCION ) Deermina dos números reales posiivos sabiendo que su suma es y que el produco de sus cuadrados es máximo. Sean x e y los números reales que suman y P x y odos los producos de dichos números. 3 4 Como x y y x P( x) x ( x) P( x) x x x Traamos de enconrar los valores de x que hace P máxima, para ello buscamos la abcisa de los punos de la gráfica de P con angene horional, es decir los que Verifican: P ( x ). P x x x x x x x x 3 ( ) ( 5 5) x x 5x 5 x 5 Para decidir donde se encuenra el máximo, podemos proceder, esudiando los signos de P : x (,5) (5,) P + - P Crece Decrece Luego en x = 5 hay un máximo relaivo, que ambién será absoluo en el inervalo donde iene senido el problema, en el,, pues P() = y P() =. Es decir los dos números buscados son x = 5 e y =-5=5.. Sean f y g dos funciones de R en R, definidas por 3 f ( x) x 3 x y g( x) x 3 a) Esboa las gráficas de f y g, calculando sus punos de core b) Calcula el área de cada uno de los recinos limiados enre las gráficas de f y g. a)punos de core de f y g: 3 3 f ( x) g( x) x 3x x 3 x 3x x 3 x 3, x, x Para esboar f puedes hallar los exremos relaivos, usando f 3x 6x x, x x (-,-) (-,) (, ) P P Crece Decrece Crece En x = - hay max. relaivo y en x = mínimo relaivo, además f cora al eje de 3 abcisa en x = -3 y x =, que se obienen al resolver x 3x. Con odo ello y

2 haciendo la imagen de odos esos valores de x, podemos esboar la siguiene gráfica de f, rivialmene represenamos gráficamene g y obenemos el recino pedido: El área de dicho recino se obendría como suma de las área de los dos recinos comprendidos enre f y g. Como enemos las abcisas de los punos de core de f y g: x =-3, x = - y x = 4 3 x 3 x f ( x) g( x) dx ( x 3x x 3) dx x 3x x 3 x g( x) f ( x) dx ( x 3x x 3) dx x 3x u Noa: para resolver las aneriores inegrales definidas he usado la regla de arrow. ) Considera la mari a)deermina la mari = - b)deermina los valores de para los que la mari iene inversa. c) Calcula - para = a) a b) dj para 3 y, luego para que exisa la inversa de se ha de verificar que 3 3, 3. Luego exise la inversa de

3 d) para =, y usando dj 4 3) Considera los planos de ecuaciones: x y, x y a) Deermina la reca que pasa por el puno (,,3) y no cora a ninguno de los planos dados. b) Deermina los punos que equidisan de (,,3) y (,,) y perenecen a la reca inersección de los planos dados. a) La reca que nos piden pasa por, luego solo nos queda averiguar su vecor direcor, pero al no corar a los planos dados, quiere decir que es paralela a cada uno de ellos y por ano los vecores normales de ambos planos son perpendiculares al vecor direcor de dicha reca, eso significa que el vecor direcor es el produco vecorial de dichos vecores normales, o sea el produco vecorial de (,-,) y (,,-). i j k V reca i j k V reca,, x y 3 x y 3 reca : ó También se puede dar en ecuaciones implícias. Noa: Hay oros méodos de resolución, como por ejemplo expresando dicha reca como la inersección (ecuaciones implícias) de dos planos paralelos a la reca que pasen por el puno. x b) Expresamos la reca en ec. Paraméricas:, un puno genérico de y dicha reca es P(, +, ) y se ha de verificar, según el enunciado que d(p,) = d(p,), enonces: P P ( ) ( 3) ( ) Luego P ( ) ( 3) ( ) 8 8 9,, 8 8 8

4 OPCIÓN 3 ) Sea f de R en R definida por f ( x) x x ax b, deermina a y b sabiendo que la reca angene a la gráfica de f en su puno de inflexión es y = x+3. Sea g(x) = x+3 f ( x) 6x 4 x a f ( x) x 4 x 4 x El puno de inflexión iene de abcisa x = - - Como g es la reca angene en x = -, su pendiene, m =, ha de ser f (-) f ( ) 6 4( ) a a 4 48 a 6 - Por ora pare en x = - hay un puno de conaco de f y g, lo que quiere decir que f ( ) g( ) b b 9 ) Dada la función de R en R, definida por f ( x) Ln( x ), halla una primiiva de f que pase por el origen de coordenadas. Solución x u Ln( x ) du Usaremos el méodo de inegración por pares : x dv dx v x I udv uv vdu x x x I x ln x x dx I x dx dx x x x para resolver esa úlima, que es racional, divido x enre x, obengo como cociene: c = y como reso: r = -, además, si D es el dividendo: D r x c I dx dx d d x x x x arg g( x) I F( x) xln( x ) x arg g( x) k F Ln g k k () ( ) arg () F x xln x x g x ( ) ( ) arg ( )

5 3) a)calcula la mari inversa de b)escribe en forma maricial el siguiene sisema y resuélvelo usando la mari - del aparado anerior. y dj x x y 3 dj( ) ) x y X 3 3 X x y es la solución del sisema. 3,, 3

6 4) Considera los punos (,3,-) y (,,5). a) Calcula los valores de x sabiendo que el riángulo de vérices (,3,-), (,,5) y C(x,4,3) iene un ángulo reco en C. b) Halla la ecuación del plano que pasa por los punos (,,5) y (3,4,3) y es x y paralelo a la reca definida por las ecuaciones: x y 3 a) El riángulo C es recángulo en C significa que:c C (perpendiculares) C C ( x,, 4) ( x, 3,) x 3 8 x 5 x 5 b) Sea P(3,4,3) y (,,5). El plano que piden esá deerminado por uno de los punos, por ejemplo, el vecor P 3,3, y el vecor direcor de la reca, ya que esa es paralela a dicho plano. El vecor de la reca lo podemos hallar, expresándola en paraméricas o usando el produco vecorial de los vecores normales de los planos que forman la ecuación de la reca: i j k vreca i j 3 k vreca (,,3) La ecuación del plano en forma paramérica será: x 3 y y en forma implícia lo podemos expresar eliminando y, no olvidemos que para que sea compaible el sisema anerior, considerando como incógnias y, el rango de la mari de coeficienes (que es ) ha de ser igual al rango de la mari ampliada (T. de Rouche). Y para que el rango de la x- 3 ampliada sea, es necesario que y 3 3x 7y 9 38, 5 3 que es la ecuación buscada, en forma implícia. Noa: como no dicen de que forma quieren que expresemos el plano, basaría llegar a la ecuación paramérica o vecorial del mismo.