No hay que romperse los cuernos, hay una columna de ceros, por lo tanto.. NO tiene rango 3.

Transcripción

1 Problema 1. (4 puntos) Sea f: R R la aplicación lineal de R en R definida por: f(1,1,0) = (,, 0) f(1,0,1) = ( 3,0, 3) f(,,1) = (0,0,0) a) Demostrar que (1,1,0), (1,0,1), (,,1) son una base de R. b) Calcular la dimensión de la imagen de f. Pertenece (1,-1,1) a la imagen de f? c) Calcular la dimensión del núcleo de f. Es f inyectiva? d) Diagonaliza f? a) Para saber si son base de R 3, al ser 3 vectores, sólo hemos de comprobar si son linealmente independientes. Para eso, los ponemos en forma de matriz y calculamos su determinante: = = 1 (0 ) 1 (1 ) = ( 1) = 1 0 Por lo tanto son L.I. y forman una base de R 3. b) Para calcular la dimensión de Im f hemos de calcular el rango de los vectores que nos generan Im f, es decir, las tres imágenes de los vectores de la base. Y fijaos que he dicho que nos generan Im f. Porque las imágenes de los vectores de la base son generadores de la Im f, pero NO SABEMOS si son L.I. o no. Por lo tanto, no sabemos la dimensión de Im f. Vamos a ver qué dimensión tiene. Empezamos con el determinante de orden 3: = No hay que romperse los cuernos, hay una columna de ceros, por lo tanto.. NO tiene rango 3. Busquemos un menor de orden, por ejemplo, el de arriba a la izquierda: 3 = 0 ( 3) = 6 0 0

2 Por lo tanto, Im f tiene dimensión (y NO es exhaustiva). Y los vectores que la generan son (,,0) y (-3,0,-3). Para saber si (1,-1,1) pertenece a Im f lo ponemos como combinación lineal de los vectores de la base: Que nos genera el sistema: De la segunda y tercera sacamos que: = α + β = α 3β 1 = α 1 = 3β α = 1 β = 1 3 Por lo que si sustituimos en la primera tenemos que: 1 = = = 0 Por lo que llegamos a una incongruencia (1=0 no es cierto nunca) y por lo tanto, el vector NO pertenece a Im f. c) Para calcular la dimensión del núcleo aplicamos el teorema de la dimensión que dice que: dim Espacio salida = dim Im f + dim Ker f Como el espacio de salida es R 3 (y tiene dimensión 3) y la Im f ya sabemos que pertenece a R 3, pero sólo tiene dimensión tenemos que: 3 = + dim Ker f Por lo tanto, el núcleo tiene dimensión 1 y NO es inyectiva. d) Esta pregunta tiene fácil solución si te das cuenta de que, cuando nos la han definido, han utilizado vectores propios. Cómo lo sé? Pues porque los tres vectores que han utilizado tienen una imagen que es un número multiplicado por ellos mismos. Fijaos!!! f(1,1,0) = (,, 0) = (1,1,0)

3 f(1,0,1) = ( 3,0, 3) = 3 (1,0,1) f(,,1) = (0,0,0) = 0 (,,1) Por lo tanto tenemos tres valores propios,, -3 y 0 y tres vectores propios (los de la base) por lo que la matriz diagonaliza. Problema. (4 puntos) Sea f: R R la aplicación lineal de R en R definida por: f(x, y, z) = (6x + 3y + z, 7x 14y 5z, 65x + 36y + 13z) a) Encontrar la matriz A de f en las bases canónicas. b) Calcular el polinomio característico de f y sus valores propios. (Se puede usar Wiris.) c) Estudiar si f diagonaliza. d) Encontrar una base de R con el número máximo de vectores propios de f. a) Para encontrar la matriz en las bases canónicas, hallamos las imágenes de los vectores de la base canónica: f(1,0,0) = ( , , ) = (6, 7,65) f(0,1,0) = ( , , ) = (3, 14,36) f(0,0,1) = ( , , ) = (1, 5,13) Por lo que la matriz será: A = b) Para calcular el polinomio característico hacemos el determinante correspondiente:

4 6 λ 3 1 P (λ) = det(a λ I) = 7 14 λ λ = (6 λ) 14 λ λ λ λ = (6 λ) [( 14 λ) (13 λ) 36 ( 5)] λ 65 ( 5) ( 14) 65 ( λ) = (6 λ) ( λ 13λ + λ + 180) 3 (7λ 6) + (65λ 6) = 1 + 6λ + 6λ + λ λ λ 81λ λ 6 = λ + 5λ 8λ + 4 Para hallar los valores propios, empezamos aplicando Ruffini: Y aplicando Cardano-Vietta tenemos que: λ = 4 ± 4 4 ( 1) ( 4) ( 1) = 4 = Por lo que tenemos dos valores propios: El 1 (simple) y el (doble). c) Para saber si diagonaliza hemos de encontrar los vectores propios. Para hallar los vectores propios, resolvemos los sistemas homogéneos asociados: Caso λ = x x y = y = z z 0 Para resolver mediante Gauss, como es un sistema homogéneo, podemos prescindir de la matriz ampliada (siempre tendremos ceros) y metemos ceros

5 bajo el primer 1 (es decir, la distribución triangular la hacemos al revés, pero no tiene mayor importancia). Aplicamos que: F =F+5 F1 y F3 =F3-1 F1 y tenemos: De la segunda y tercera obtengo x=0. Al sustituir en la primera tengo: y + z = 0 z = 3y Por lo tanto el vector propio asociado a λ = 1 que buscamos es: (0, 1, -3). Caso λ = x x y = y = z z 0 Igual que antes, aplicamos Gauss y hacemos: F =F+5 F1 y F3 =F3-11 F Y si ahora hacemos: F3 =F3 +3 F nos queda: Por lo que de la segunda tenemos que: 7x y = 0 y = 7x Y al sustituir en la primera tenemos que: 4x + 3 ( 7x) + z = 0 z = 17x Y obtenemos un único vector propio que sería (1,-7,17) por lo que la matriz NO diagonaliza. d) Como nos pides una base de R 3 con el máximo número de vectores propios, ya tenemos dos vectores de la base, que son los vectores propios que hemos encontrado. Nos hace falta un tercer vector, que ha de ser linealmente independiente de los dos vectores propios. Escojo (a voluntad y por facilidad) el

6 primer vector de la base canónica. Voy a comprobar que son L.I. (desarrollo por la tercera fila): = = (17 1) = Por lo tanto, como son 3 vectores L.I., son base de R 3. Problema 3. ( puntos) Dado a>1, consideremos el triángulo A=(1,1), B=(3,1), C=(,a). a) Sea g el giro de 60º en sentido antihorario desde el origen de coordenadas. Calcular: g(a), g(b), g(c) b) Sea f el escalaje de razón desde el punto (0,1). Calcular a>1 de manera que el triángulo: f(a), f(b), f(c) tenga área 1. Con este a>1, hacer un dibujo con Wiris de los tres triángulos: A, B, C g(a), g(b), g(c) f(a), f(b), f(c) a) Usaremos la notación matricial eficiente, por lo que la matriz de los puntos del triángulo será: Y la matriz del giro será: 1 3 P = 1 1 a cos 60 sin G = sin 60 cos 60 0 = Y para hacer el giro multiplicamos haciendo:

7 a a = a Por lo que tenemos que: g(a) = 1 3, g(b) = 3 3, g(c) = a a, b) Para hacer el escalaje, primero hemos de hacer la traslación de vector (0,-1), luego el escalaje y finalmente la traslación de vector (0,1). Así que tenemos: T = E = T = Y la matriz del escalaje global queda como: = Y la imagen del triángulo tras el escalaje sería: Por lo que tenemos que: a = 1 1 a f(a) = (,1) f(b) = (6,1) f(c) = (4,a 1)

8 Ahora hemos de utilizar una propiedad (que no sé si en los apuntes os la han explicado o no), pero que dice que, si te dan tres puntos del plano (en forma de notación matricial eficiente), al calcular el determinante tienes el doble del área del triángulo que forman..es decir: A = a = (a 1) 1 ( ) + 1 (6 (a 1) 1 4) = 1 [4 4a + 1a 10] = 1 [8a 8] = 4a 4 Como esto debe valer 1 tenemos que: 1 = 4a 4 16 = 4a a = 16 4 = 4 Por lo tanto, ya se puede ir a hacer el dibujo que piden, con los triángulos: (1,1) (3,1) (,4) 1 3, , (,1) (6,1) (4,7) 4 3, 3 + 4