IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 1999 (Modelo 4) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 999 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A a) ( putos) Ua heladería prepara helados de tres tamaños, gr, 0 gr y 00 gr, cuyos precios so 0 pta, 0 pta y 49 pta, respectivamete. U cliete compra 0 helados, co u peso total de Kg, y paga por ellos 60 pta. Se desea coocer el úmero de helados que ha comprado de cada tipo..- Formule el sistema de ecuacioes asociado al euciado del problema..- Halle el úmero de helados que se lleva de cada tipo. 0 b) ( puto) Dada la matriz A =, halle A a) Ua heladería prepara helados de tres tamaños, gr, 0 gr y 00 gr, cuyos precios so 0 pta, 0 pta y 49 pta, respectivamete. U cliete compra 0 helados, co u peso total de Kg, y paga por ellos 60 pta. Se desea coocer el úmero de helados que ha comprado de cada tipo..- Formule el sistema de ecuacioes asociado al euciado del problema..- Halle el úmero de helados que se lleva de cada tipo. x = Número de helados de gr. y = Número de helados de 0 gr. z = Número de helados de 00 gr. De compra 0 helados x + y + z = 0. De de gr. A 0 pta, de 0 gr. a 0 pta, de 00 gr. a 49 pta, co u peso total de Kg x + 0y + 00z = 00. De de gr. a0 pta, de 0 gr a0 pta, de 00 g a 49 pta, paga por ellos 60 pta 0x + 0y + 49z = 60. x + y + z = 0 x + y + z = 0 El sistema pedido es: x + 0y + 00z = 00 o x + y + 4z = 0 0x + 0y + 49z = 60 0x + 8y + z = 8 Halle el úmero de helados que se lleva de cada tipo. x + y + z = 0 Resolvemos el sistema x + y + 4z = 0 por el método de Gauss, poiedo su matriz asociada. 0x + 8y + z = F - F , por tato uestro sistema F - 0F F - 8F x+y+z=0 asociado es y+z=0, el cual u sistema compatible y determiado, y tiee por solucioes: -z=- De -z = -, teemos z =. De y + () = 0, teemos y = 4. De x + (4) + () = 0, teemos x = 4. Por tato la solució es (x,y,z) = (4,4,), es decir se lleva 4 helados de gr., 4 helados de 0 gr. y helados de 00 gr.. b) 0 Dada la matriz A =, halle A A = ; A 0 = 0 0 = = I, por A 00 = A (00) = ( A ) 00 = (I ) 00 0 = I = EJERCICIO _A Sea la fució f(x) = 0x+ x+ a) ( puto) Estudie la cotiuidad de f y calcule su fució derivada f. b) (0 putos) Razoe si existe o o extremos relativos de la fució f. gjrubio@hotmail.com

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 999 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua c) ( putos) Calcule las asítotas de dicha fució. Sea la fució f(x) = 0x+ x+ a) b) y c) Estudie la cotiuidad de f y calcule su fució derivada f. Razoe si existe o o extremos relativos de la fució f. Calcule las asítotas de dicha fució. Teemos f(x) = 0x+, cuya gráfica es ua hipérbola y sabemos tiee ua asítota vertical (A.V.) y ua x+ asítota horizotal (A.H) ques es la misma e ± por ser cociete de fucioes poliómicas; y que o tiee extremos. Vamos a verlo. Domiio = R - {x + = 0} = R - {-/}. Sabemos que las fucioes racioales (uestro caso) so cotiuas y derivables e todo R {úmeros que aula el deomiador} = R - {-/}. Luego f es cotiua y derivable e R - {-/}. Veamos su fució derivada. f(x) = 0x+ 0(x+) - (0x+), f (x) = = 0 x+ (x+) (x+) Sabemos que los extremos relativos aula la primera derivada, pero de f (x) = 0, teemos 0 = 0, lo cual es absurdo, por tato f o tiee extremos. Veamos su mootoía. De f (-) = 0 = 6 > 0, teemos que f es estrictamete creciete ( ) e (-,-/). ((-)+) De f (0) = 0 = 6 > 0, teemos que f es estrictamete creciete ( ) e (/,+ ). ((0)+) Luego f siempre es estrictamete creciete e su domiio y o tiee extremos i absolutos i relativos. Asítotas: El úmero que aula el deomiador (x+ = 0) es x = -/, y como x / + 0x+ = 0(-/)+ = x+ (-/)+ = (-)/0 - = +, la recta x = -/ es ua asítota vertical de f. Como x + 0x+ = x + (0x/x) = x + (0/) = 60, la recta y = 60 es ua asítota horizotal x+ de f e ± (e las fucioes racioales la asítota horizotal, si existe, es la misma e ± ). De x (f(x) - A.H.) = x 0x x+ = 0 +, teemos que f está por ecima de la A.H. y = 60 e -. De x + (f(x) - A.H.) = x + 0x x+ = 0 -, teemos que f está por debajo de la A.H. y = 60 e +. Auque o lo pide, u esbozo de la gráfica de f es: EJERCICIO _A Parte I ( putos) Dispoemos de uras y de 0 bolas, blacas y egras. Distribuimos las bolas de la gjrubio@hotmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 999 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua siguiete maera: E Ia ª ura poemos bola blaca y bola egra. E la º ura poemos bolas blacas y bolas egras. E la ª ura poemos bola blaca y bolas egras. De ua de las uras, elegida al azar, se extrae ua bola. Halle la probabilidad de que la bola elegida sea egra. Dispoemos de uras y de 0 bolas, blacas y egras. Distribuimos las bolas de la siguiete maera: E Ia ª ura poemos bola blaca y bola egra. E la º ura poemos bolas blacas y bolas egras. E la ª ura poemos bola blaca y bolas egras. De ua de las uras, elegida al azar, se extrae ua bola. Halle la probabilidad de que la bola elegida sea egra. Llamemos A, B, C, Ba y N, a los sucesos siguietes, ura ª, ura ª, ura ª, bola blaca y bola egra, respectivamete. Datos del problema p(a) = p(b) = p(c) = /, p(ba/a) = /, p(n/a) = /, p(ba/b) = /, p(n/b) = /, p(ba/c) = /, p(n/c) = /. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale ). Aplicado el Teorema de la probabilidad Total p(bola egra) = p(n) = p(a) p(n/a) + p(b) p(n/b) + p(c) p(n/c) = = (/) (/) + (/) (/) + (/) (/) = 4/90 0. EJERCICIO _A Parte ( putos) U fabricate de bombillas sabe que Ia desviació típica de la duració de las bombillas es 90 horas. Tomada ua muestra de tamaño 00 se ha ecotrado que la media de la duració de las bombillas ha sido 00 horas. Determie u itervalo, co el 9% de cofiaza, para la duració media de las bombillas. σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z α/,x + z α/ = (a,b) dode z -α/ y z α/ = - z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ ) = - α/ σ Tambié sabemos que la media es x = (a + b)/, el error máximo de la estimació es E = z α /, para gjrubio@hotmail.com

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 999 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua σ el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z α / = E, de dode E = (b a)/, z - α/. σ z - α/. σ por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. U fabricate de bombillas sabe que Ia desviació típica de la duració de las bombillas es 90 horas. Tomada ua muestra de tamaño 00 se ha ecotrado que la media de la duració de las bombillas ha sido 00 horas. Determie u itervalo, co el 9% de cofiaza, para la duració media de las bombillas. Datos del problema: σ = 90; = 00, x = 00, ivel de cofiaza = 9% = 0 9 = - α, de dode α = 0 0, es decir α/ = 0 0/ = 0 0. De p(z z -α/ ) = - α/ = = 0 9. Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad 0 9 viee, y que correspode a z -α/ = 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z α/,x + z α/ = '96,00 + ' = = (8 6, 64). OPCIÓN B EJERCICIO _B U agricultor cosecha garbazos y letejas. Se sabe que, a lo sumo, solo se puede cosechar 00 toeladas métricas (Tm), de las que como máximo 00 Tm so letejas. Los beeficios por Tm de garbazos y letejas so de 0000 pta y 0000 pta respectivamete, y desea plaificar la producció para optimizar el beeficio total. a) ( puto) Formule el sistema de iecuacioes asociado al euciado del problema y Ia fució objetivo del mismo. b) ( puto) Represete gráficamete Ia regió factible y calcule sus vértices. c) ( puto) Cuatas Tm de garbazos y cuatas de letejas debe cosechar para obteer el máximo beeficio? U agricultor cosecha garbazos y letejas. Se sabe que, a lo sumo, solo se puede cosechar 00 toeladas métricas (Tm), de las que como máximo 00 Tm so letejas. Los beeficios por Tm de garbazos y letejas so de 0000 pta y 0000 pta respectivamete, y desea plaificar la producció para optimizar el beeficio total. a) b) y c) Formule el sistema de iecuacioes asociado al euciado del problema y Ia fució objetivo del mismo. Represete gráficamete Ia regió factible y calcule sus vértices. Cuátas Tm de garbazos y cuatas de letejas debe cosechar para obteer el máximo beeficio? x = Número de toeladas métricas (Tm) de garbazos. y = Número de toeladas métricas (Tm) de letejas. Fució Objetivo F(x,y) = 0000x y. (Los beeficios por Tm de garbazos y letejas so de 0000 pta y 0000 pta respectivamete). Restriccioes: Solo se puede cosechar 00 toeladas métricas (Tm) x + y 00 Como máximo 00 Tm so letejas y 00 Se cosecha algua Tm de garbazos y de letejas x 0, y 0. Las desigualdades x + y 00; y 00; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, x + y = 00; y = 00; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 00; y = 00; x = 0; y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo itado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas. gjrubio@hotmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 999 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el puto de corte es A(0,0) De y = 0 e y = -x+00, teemos 0 = -x+00 x = 00, y el puto de corte es B(00,0) De y = -x+00 e y = 00, teemos -x+00 = = x, y el puto de corte es C(00,00) De x = 0 e y = 00, teemos el puto de corte es C(0,00) Vemos que el polígoo tiee por vértices los putos: A(0,0), B(00,0), C(00,00) y D(0, 00). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 0000x y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(00,0), C(00,00) y D(0, 00). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 0000(0) (0) = 0; F(00,0) = 0000(00) (0) = F(00,00) = 0000(00) (00) = ; F(0,00) = 0000(0) (00) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(00,0), es decir el máximo igreso es de pts. y se alcaza cosechado 00 Tm de garbazos y 0 Tm de letejas. EJERCICIO _B a) ( putos) La grafica de la fució f(x) = x + ax + bx + c pasa por el puto (-,0) y tiee u máximo relativo e el puto (0,4). Halle los coeficietes a, b y c. b) ( putos) Obtega los máximos y míimos relativos y los putos de iflexió de la fució g(x) = x - 6x + 0. a) La grafica de la fució f(x) = x + ax + bx + c pasa por el puto (-,0) y tiee u máximo relativo e el puto (0,4). Halle los coeficietes a, b y c. Como pasa por el puto (-,0), teemos que f(-) = 0. Como tiee u máximo relativo (aula la ª derivada) e el puto (0,4), teemos que f(0) = 4 (por puto) y f (0)= 0 (por extremo). f(x) = x + ax + bx + c; f (x) = x + ax + b. De f(-) = 0 (-) + a(-) + b(-) + c = a - b + c = a - b + c =. De f(0) = 4 (0) + a(0) + b(0) + c = c = 4 c = 4. De f (0) = 0 (0) + a(0) + b = 0 b = 0, de dode b = 0. Etrado e la primera teemos: a =, de dode los valores pedidos so a = -, b = 0 y c = 4. b) Obtega los máximos y míimos relativos y los putos de iflexió de la fució g(x) = x - 6x + 0. Estudiamos la mootoía (Estudio de la primera derivada g (x) ) y la curvatura (estudio de la seguda derivad g (x) ). Mootoía. Estudio de la primera derivada g (x). g(x) = x - 6x + 0; g (x) = x - x. gjrubio@hotmail.com

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 999 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua De g (x) = 0, teemos x - x = 0 = x(x ), de dode x = 0 y x = 4, que será los posibles extremos. Como g (-) = (-) (-) = 9 > 0, g(x) es estrictamete creciete ( ) e (-,0). Como g () = () () = - < 0, g(x) es estrictamete decreciete ( ) e (0,4). Como g () = () () = > 0, g(x) es estrictamete creciete ( ) e (4,+ ). Por defiició e x = 0 hay u máximo relativo que vale g(0) = (0) 6(0) + 0 = 0. Por defiició e x = 4 hay u míimo relativo que vale g(4) = (4) 6(4) + 0 = -. Curvatura. Estudio de la seguda derivad g (x). g(x) = x - 6x + 0; g (x) = x - x; g (x) = 6x -. De g (x) = 0, teemos 6x - = 0, de dode x =, que será el posible puto de iflexió. De g (0) = 6(0) = - < 0, teemos que g(x) es cócava ( ) e (-,). De g () = 6() = 6 > 0, teemos que g(x) es covexa ( ) e (,+ ). Por defiició e x = hay u puto de iflexió, que vale g() = () 6() + 0 = 4 EJERCICIO _B Parte Teemos tres cajas de bomboes, A, B y C. La caja A cotiee 0 bomboes, de los cuales 4 está relleos; Ia caja B cotiee 8 bomboes, de los cuales está relleos y la caja C cotiee 6 bomboes, de los que esta relleo. a) (0 putos) Si tomamos al azar u bombó de la caja A, Cuál es la probabilidad de que o esté relleo? b) ( putos) Si elegimos al azar ua de las tres cajas y tomamos u bombó de la caja elegida, cual es la probabilidad de que este relleo? Teemos tres cajas de bomboes, A, B y C. La caja A cotiee 0 bomboes, de los cuales 4 está relleos; Ia caja B cotiee 8 bomboes, de los cuales está relleos y la caja C cotiee 6 bomboes, de los que esta relleo. a) Si tomamos al azar u bombó de la caja A, Cuál es la probabilidad de que o esté relleo? Llamemos A, B, C, R y R C, a los sucesos siguietes, caja A, caja B, caja C, bomboes relleos y bomboes o relleos, respectivamete. Datos del problema p(a) = p(b) = p(c) = /, p(r/a) = 4/0, p(r/b) = /8, p(r/c) = /6,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale ). Aplicado el Teorema de la probabilidad Total p(tomamos al azar u bombó de la caja A, Cuál es la probabilidad de que o esté relleo?) = = p(r C /A) = 6/0 = /. b) Si elegimos al azar ua de las tres cajas y tomamos u bombó de la caja elegida, cuál es la probabilidad de que este relleo? Aplicado el Teorema de la probabilidad Total p(bombó relleo) = p(r) = p(a) p(c/a) + p(b) p(v/b) + p(v) p(al/c) = = (/) (4/0) + (/) (/8) + (/) (/6) = / gjrubio@hotmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 999 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO _B Parte Sea u cojuto de cuatro bolas, marcadas co los úmeros,, y. a) ( puto) Escriba todas las muestras de tamaño que podría formarse co esas bolas si el muestreo se hace si reposició; calcule las medias de los úmeros de cada muestra y halle la media de todas esas medias. b) ( puto) Haga lo mismo que e a) pero supoiedo que el muestreo se hace co reemplazamieto. Sea u cojuto de cuatro bolas, marcadas co los úmeros,, y. a) Escriba todas las muestras de tamaño que podría formarse co esas bolas si el muestreo se hace si reposició; calcule las medias de los úmeros de cada muestra y halle la media de todas esas medias. Costruyamos la distribució muestral de medias si remplazacieto y, para ello, calculamos la media de todas las muestras posibles si reemplazamieto de tamaño que so. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. x i i i x i i (x i ) N= 48 La media de la distribució muestral de medias (media de las medias muestrales) es: k x i i i= x = = 48 N = 4 La variaza de la distribució muestral de medias es (No lo pide):: σ i i X = (x ) - x N = - ( 4 ) = 666. b) Haga lo mismo que e a) pero supoiedo que el muestreo se hace co reemplazamieto. Costruyamos la distribució muestral de medias y, para ello, calculamos la media de todas las muestras posibles co reemplazamieto de tamaño que so 6. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. x i i i x i i (x i ) gjrubio@hotmail.com

8 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 999 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua N= La media de la distribució muestral de medias (media de las medias muestrales) es: k x i i i= x = = 64 N 6 = 4 La variaza de la distribució muestral de medias es (No lo pide):: σ i i X = (x ) - x N = 96 - ( 4 ) = 6 =. gjrubio@hotmail.com 8