Método de Runge-Kutta para Ecuaciones Diferenciales

Transcripción

1 Análss Numérco Carlos Armando De Casro Paares Méodo de Runge-Kua para Ecuacones Derencales Uno de los méodos más ulzados para resolver numércamene problemas de ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales es el méodo de Runge- Kua de cuaro orden el cual proporcona un pequeño margen de error con respeco a la solucón real del problema es áclmene programable en un soware para realzar las eracones necesaras. El méodo de Runge-Kua se ulza para resolver ecuacones derencales de la orma d d Y es sumamene úl para casos en los que la solucón no puede allarse por los méodos convenconales como separacón de varables. Ha varacones en el méodo de Runge- Kua de cuaro orden pero el más ulzado es el méodo en el cual se elge un amaño de paso un número máxmo de eracones n al que Y se realza la eracón 6 Para n-. La solucón se da a lo largo del nervalo o o n.

2 Análss Numérco Carlos Armando De Casro Paares El algormo para el méodo de Runge-Kua de cuaro orden en seudo códgo es el sguene: INICIO INPUT: Número de eracones n o amaño de paso puno ncal del nervalo a puno nal del nervalo b condcón ncal. / OUTPUT a b n PARA n OUTPUT FIN PARA FIN

3 Análss Numérco Carlos Armando De Casro Paares Un soware apropado mu úl además de ácl de programar es Malab con el cual resolveremos el sguene ejemplo: Resolver numércamene con eracones en el nervalo [ ] la ecuacón derencal con condcones ncales dada a connuacón: d d sn Solucón: Es claro que la ecuacón derencal dada no ene una solucón analíca exaca a que al realzar separacón de varables nos enconramos con una uncón que no posee andervada. Enonces enemos que sn Un algormo en Malab para realzar la eracón es el sguene: uncon [A]RungeKua n a b b-a/n X X or :n *sn*/ *sn*/// *sn*/// *sn*/ **/6 a* X X splnex A:X: A:X:

4 Análss Numérco Carlos Armando De Casro Paares La gráca del resulado que enrega el programa es la sguene: Inerpolacón por "splnes" de orden Resolver la ecuacón derencal. 7 5 con con el méodo de Runge-Kua de orden con.5 en el nervalo [ ] comparar con la solucón exaca. e e Solucón: Para allar la solucón numérca por el méodo de Runge-Kua de cuaro orden se elaboró un algormo en Malab que graca la solucón numérca en rojo marcando los punos con aserscos unéndolos por medo de recas en la msma panalla graca la solucón exaca en azul. El programa ambén enrega una abla que ene el valor de en la prmera columna el valor * de la aproxmacón allada numércamene en la segunda columna el valor de exaco en la ercera columna el error absoluo -*. Todo lo aneror en el nervalo [ ].

5 Análss Numérco Carlos Armando De Casro Paares El algormo en lenguaje Malab es el sguene: uncon [A]RungeKua_ a b.5 nb-a/ X X or :n *.*7-*5- *.*7-/*5-/ *.*7-/*5-/ *.*7-*5- **/6 a* X X nlengx: or :n- mx-x/x-x bx xx:.:x m*x-xb old on plox'r' or :n old on plo XX'*''MarerEdgeColor''r''LneWd' le'inerpolacón de los punos por "splnes" de orden.' %Solucón exaca: x:.5: 5*-exp-.*x.*7-5*exp-.*x.^- old on plox'b' A:X: A:X: 5

6 Análss Numérco Carlos Armando De Casro Paares A: A:absA:-A: Al correr el programa se ene enonces: * -*

7 Análss Numérco Carlos Armando De Casro Paares Puede observarse en la gráca que la aproxmacón realzada por el méodo de Runge- Kua es mu cercana al valor exaco de la solucón lo cual puede conrmarse con la vsa de los errores absoluos so el maor error del orden de - e gual a cero luego de.5 es decr la aproxmacón numérca es gual a la solucón real en esos casos. Bblograía: BURDEN Rcard. Análss Numérco. a edcón. Grupo Edoral Iberoamérca. 7