Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A

Transcripción

1 Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu en un punto y que no se derivble en él..- ) Si el término independiente de un polinomio p () es 5 y el vlor que tom p () pr = 3 es 7, se puede segurr que p () tom el vlor en lgún punto del intervlo [0, 3]? cos ( ) b) Clculr d + sen ( ) 3.- ) Se B un mtriz cudrd de tmño 3 3 que verific que B = 6 I, siendo I l mtriz unidd. Clculr el determinnte de B b) Hllr tods ls mtrices X que stisfcen l ecución X = y+ z = Se consider l rect r, con, y el plno π + y + z = 0. y z = 4 ) Hllr los vlores de pr los que r es prlel π. b) Pr =, hllr l distnci de r π. c) Pr =, hllr l distnci de r π. Dpto. Mtemátics / IES Rmón Olleros

2 Junio 00 (Prueb Generl) OPCIÓN B.- Se dese construir un cj cerrd de bse cudrd con un cpcidd de 70 cm 3. Pr l tp y l superficie lterl se un un mteril que cuest 5 /cm y pr l bse un mteril un 50 % más cro. Hllr ls dimensiones de l cj pr que el coste se mínimo..- Hllr el vlor de pr que se verifique que Lim = Lim + 0 sen ( ) 3.- Consideremos el sistem de ecuciones lineles: y+ z = + y+ z = + y+ 3z = ) Discutir el sistem pr los distintos vlores del prámetro. b) Resolver el sistem pr =. y Ddos el punto P = (,, ), l rect r = = z 3 y el plno π 6 + 6z = 0, se 4 pide: ) Hllr el punto simétrico de P respecto l plno π. b) Hllr los puntos Q de r que distn uniddes de longitud de π. Dpto. Mtemátics / IES Rmón Olleros

3 Junio 00 (Prueb Generl) SOLUCIONES OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu en un punto y que no se derivble en él. ) En el intervlo de integrción [, ], ls funciones f () = ln () y g () = no tienen ningún punto de corte, pues en dicho intervlo f () tiene signo positivo y g () tiene signo negtivo, y por tnto el áre pedid viene dd por: Áre = [ln( ) ( )] d = ln( ) d d + d Clculemos l integrl indefinid ln( ) d por prtes: Entonces: ln( ) d = ln () u = ln () du = d dv = d v = d = ln () d = ln () + C = [ln () ] + C Así: = [ [ln( ) ] ] [ ] Áre = ln( ) d d + d = [ ln () + ] u + = Not: Ls gráfics de ls funciones f () = ln () y g () =, representds conjuntmente, y el áre pedid son: b) Pr dr un ejemplo de función continu en un punto y que no se derivble en él, pensemos en un función definid trozos que presente un punto nguloso: + si f () = 3 si > Dpto. Mtemátics 3 / 3 IES Rmón Olleros

4 Junio 00 (Prueb Generl) Comprobemos que pr est función se cumple que es continu en = y que no es derivble en él. Continuidd: f () = + = Lim f ( ) = Lim + = + = ; Lim f ( ) = Lim3 =3 = Por tnto f () es continu en =. + + Derivbilidd: l derivd de f () es, slvo pr = : si < f () = 3 si > Se tiene que: f ( ) = = ; f ( + ) = 3 Como f ( ) 3 = f ( + ), l función no es derivble en =..- ) Si el término independiente de un polinomio p () es 5 y el vlor que tom p () pr = 3 es 7, se puede segurr que p () tom el vlor en lgún punto del intervlo [0, 3]? cos ( ) b) Clculr d + sen ( ) ) Estmos hblndo de un polinomio p (), y por tnto podemos considerrlo como un función polinómic, que será continu en todo, en prticulr en el intervlo [0, 3]. En los etremos de dicho intervlo dicho polinomio tom los vlores: p (0) = 5 y p (3) = 7 Un vez llegdos quí, recordemos el teorem de Drbou: Si un función f es continu en el intervlo cerrdo [, b], l función f lcnz, l menos un vez en este intervlo, todos los vlores comprendidos entre f () y f (b). Por tnto, el polinomio p () tomrá, l menos un vez, en el intervlo [0, 3], todos los vlores comprendidos entre p (0) = 5 y p (3) = 7, en concreto, eistirá un punto c tl que p (c) =. cos ( ) b) Clculemos d medinte un cmbio de vrible pr ver clrmente que se trt de + sen ( ) un integrl inmedit: sen () = t cos () d = dt Así: cos ( ) d = + sen ( ) dt = rctg (t) + C + t Deshciendo el cmbio de vrible obtenemos que: cos ( ) d = rctg [sen ()] + C + sen ( ) Dpto. Mtemátics 4 / 4 IES Rmón Olleros

5 Junio 00 (Prueb Generl) 3.- ) Se B un mtriz cudrd de tmño 3 3 que verific que B = 6 I, siendo I l mtriz unidd. Clculr el determinnte de B. 0 b) Hllr tods ls mtrices X que stisfcen l ecución X = ) Utilicemos ls propieddes de los determinntes que dicen: El determinnte de un producto de mtrices es igul l producto de sus determinntes. A B = A B Si se multiplicn todos los elementos de un fil (o de un column) por un número, el determinnte qued multiplicdo por ese número. Entonces, tenemos que, por un prte: B = B B = B Por otr prte: 6 I = 6 3 I = 6 3 = 6 3 = Por tnto: B = B = = 6 = 64 b) Teniendo en cuent que l mtriz 0 no tiene invers, pues su determinnte es nulo, 0 clculemos l mtriz X prtir de l definición del producto de mtrices. X h de ser un mtriz de b c dimensiones 3. Se X =. d e f 0 0 b c = 0 0 d e f = 0 0 d e f 0 0 d e f 0 0 Entonces, igulndo los elementos que ocupn el mismo lugr se tiene que: d = 0 ; e = 0 ; f = ; d = 0 ; e = 0 ; f = De lo cul se deduce que: d = 0 ; e = 0 ; f = Los demás elementos de l mtriz X, de los cules no hemos obtenido informción lgun pueden ser números reles culesquier. Así: b c X = con, b y c 0 0 Dpto. Mtemátics 5 / 5 IES Rmón Olleros

6 Junio 00 (Prueb Generl) 4.- Se consider l rect r y+ z = 0, con, y el plno π + y + z = 0. y z = 4 ) Hllr los vlores de pr los que r es prlel π. b) Pr =, hllr l distnci de r π. c) Pr =, hllr l distnci de r π. ) Este prtdo lo podemos bordr de dos forms diferentes: ª Form Se trt de discutir, en función de los vlores de, el sistem de tres ecuciones con tres incógnits formdo por ls dos ecuciones de los plnos que determinn l rect r y por l ecución del plno π. L mtriz de los coeficientes, M, y l mtriz mplid, M, son: 0 M = 0 y M = 0 4 Pr que l rect r y el plno π sen prlelos este sistem h de ser incomptible y por tnto se h de cumplir que: rngo (M) = 3 = rngo ( M ) (Not: Recuerd que el rngo (M) h de ser l menos dos, pues los plno que determinn l rect r no pueden ser prlelos.) Se tiene que: M = 0 = + + = + + Pr que rngo (M) se dos, este determinnte h de ser nulo: + + = 0 = y = Se comprueb fácilmente que pr estos vlores de, M 0 y por tnto rngo ( M ) = 3. Así, pr que l rect r y el plno π sen prlelos se h de cumplir que = ó =. ª Form Cundo l rect r y el plno π sen prlelos, h de cumplirse que el vector director de l rect r, v r, y el vector crcterístico del plno π (que es perpendiculr este), p, hn de ser perpendiculres. Por tnto su producto esclr será nulo, esto es: v p = 0 r Dpto. Mtemátics 6 / 6 IES Rmón Olleros

7 Clculemos v r y r p : i j k v = 0 = ( ) i + j + k v r = (,, ) Junio 00 (Prueb Generl) p = (,, ) Entonces: v r p = 0 (,, ) (,, ) = = 0 = 0 = y = Por tnto l rect r y el plno π serán prlelos si = ó =. y+ z = 0 b) Pr = l rect r tiene por ecución r y z = 4. Como pr =, l rect r y el plno π son prlelos, su distnci se clcul como l distnci de un punto culquier, R, de l rect r, l plno π. d (r, π) = d (R, π) Pr clculr un punto R de l rect r, escribmos dich rect en form prmétric tomndo como prámetro y = λ. = 8 3λ r y = λ z = 4 + λ Por tnto un punto R, de r es R = (8, 0, 4). Entonces: d (r, π) = d (R, π) = = u y+ z = 0 c) Pr = l rect r tiene por ecución r. y z = 4 En este cso l rect r y el plno π no son prlelos, y por tnto se cortrán en un punto. Entonces su distnci es cero. d (r, π) = 0 Dpto. Mtemátics 7 / 7 IES Rmón Olleros

8 Junio 00 (Prueb Generl) OPCIÓN B.- Se dese construir un cj cerrd de bse cudrd con un cpcidd de 70 cm 3. Pr l tp y l superficie lterl se un un mteril que cuest 5 /cm y pr l bse un mteril un 50 % más cro. Hllr ls dimensiones de l cj pr que el coste se mínimo. Consideremos un cj con ls siguientes dimensiones: Cpcidd = Volumen = y = 70 cm 3 Superficie lterl + Tp = 4y + Superficie bse = Coste superficie lterl y tp = 5 /cm Se tiene que l función que d el coste totl de l cj es: Coste totl = C (, y) = ( + 4y) = L relción entre ls vribles viene dd por el volumen de l cj: 70 y = 70 y = 50 5 Coste superficie bse = = /cm y Sustituyendo en el coste totl: C () = = Le plicmos l técnic de máimos y mínimos: 5400 C () = C () = 0 5 = = = 6 = 6 Vemos que se trt de un mínimo con l ª derivd: 0800 C () = 5 + C (6) = = = 75 > Mínimo 70 Por tnto, ls dimensiones de l cj pr un coste mínimo son = 6 cm e y = 6 = 5 cm. Dpto. Mtemátics 8 / 8 IES Rmón Olleros

9 Junio 00 (Prueb Generl).- Hllr el vlor de pr que se verifique que Lim = Lim + 0 sen ( ) Clculemos mbos límites por seprdo: El primer límite se trt de un indeterminción del tipo : + Lim + Est indeterminción,, se resuelve plicndo l propiedd que figur continución: g( ) Lim g ( ) [ f ( ) ] 0 Si Lim f ( ) = y Lim g( ) Lim f ( ) = e = = ± [ ] 0 Por tnto: + Lim = e ( + 5) ( + ) + Lim Lim ( + 5) = e = e Por otr prte, el segundo límite se trt de un indeterminción del tipo 0, que podemos resolver 0 plicndo l regl de L Hopitl ( veces): Lim = Lim = Lim sen ( ) sen ( )cos ( ) cos ( ) sen ( ) = = Como mbos límites son igules, se h de cumplir que: e + = + = 0 = 3.- Consideremos el sistem de ecuciones lineles: y+ z = + y+ z = + y+ 3z = ) Discutir el sistem pr los distintos vlores del prámetro. b) Resolver el sistem pr =. ) Consideremos ls mtrices de los coeficientes, A, y l mtriz mplid, A, del sistem: A = + A = 3 3 Vemos cul es el rngo de A: Dpto. Mtemátics 9 / 9 IES Rmón Olleros

10 Junio 00 (Prueb Generl) A = 3 = = 5 Dicho determinnte se nul pr los vlores: 5 = 0 = 0 y = 5 Por tnto, tenemos que: Si 0 y 5 rngo (A) = 3 = rngo ( A ) = nº incógnits Sistem comptible determindo (Solución únic). Si = 0 rngo (A) = pues podemos encontrr un menor de orden dos no nulo: 3 = 3 = 0 Por otr prte, si orlmos este menor con los elementos de l primer fil y l column de términos independientes en l mtriz mplid, A, obtenemos que: = 4 0 Por tnto, rngo ( A ) = 3 = rngo (A) Sistem incomptible (No tiene solución). Si = 5 rngo (A) = pues podemos encontrr un menor de orden dos no nulo: 3 = 3 = 0 Por otr prte, si orlmos este menor con los elementos de l primer fil y l column de términos independientes en l mtriz mplid, A, obtenemos que: = 4 0 Por tnto, rngo ( A ) = 3 = rngo (A) Sistem incomptible (No tiene solución). b) Pr = el sistem es comptible determindo (tiene un únic solución). El sistem que qued es: y+ z = y+ z = + y + 3z = Resolvámoslo plicndo l regl de Crmer: = 3 4 = = 0 4 = 0 ; z = 3 = 0 4 = 0 Por tnto, pr = l solución del sistem es =, y = 0, z = 0. Dpto. Mtemátics 0 / 0 IES Rmón Olleros

11 Junio 00 (Prueb Generl) y Ddos el punto P = (,, ), l rect r = = z 3 y el plno π 6 + 6z = 0, se 4 pide: ) Hllr el punto simétrico de P respecto l plno π. b) Hllr los puntos Q de r que distn uniddes de longitud de π. ) Observemos l figur de l derech. El punto simétrico de P respecto del plno π es el punto Q. Pero precismente, el punto medio de P y Q, M, es el punto de intersección del plno π y de l rect que siendo perpendiculr π ps por P. Procederemos pues de l siguiente mner: Clculmos l rect que siendo perpendiculr π ps por P (su vector director es el vector crcterístico del plno π, p ). Clculmos l intersección de l rect nterior y el plno π. Result el punto M. Clculmos Q, y que M es el punto medio de P y Q. π P M Q Clculemos l rect que siendo perpendiculr π ps po r P: π 6 + 6z = 0 p = (6, 0, 6) L rect cuyo vector director es p y ps por el punto P tiene por ecuciones prmétrics: = + 6λ r y = z = + 6λ Hllemos el punto M, intersección de l rect r y el plno π, sustituyendo ls coordends genérics de un punto de l rect r en l ecución del plno π: 6 + 6z = 0 6 ( + 6λ) + 6 ( + 6λ) = 0 7λ = 0 λ = = 7 6 Entonces, el punto M tiene por coordends: M = + 6,, + 6 = (,, 0) 6 6 Clculmos finlmente Q = (q, q, q 3 ), y que M es el punto medio de P y Q: + q = q = 3 + q = q = Q = (3,, ) +q3 0 = q 3 = Dpto. Mtemátics / IES Rmón Olleros

12 b) Pr clculr los puntos de r que distn Junio 00 (Prueb Generl) uniddes de longitud de π, procederemos del siguiente modo: Clculmos ls ecuciones prmétrics de l rect s, pr sí sber ls coordends genérics de un punto culquier, S, de l mism. Clculremos l distnci del punto genérico S de l rect s clculdo, l plno π. Impondremos que dich distnci se igul uniddes de longitud. Clculremos ls coordends del punto S. Procedmos. Pr clculr ls ecuciones prmétrics de l rect s, tomemos z = λ: = 3 + λ s y = 8 + 4λ z = λ Ls coordends genérics de un punto culquier, S, son: S = ( 3 + λ, 8 + 4λ, λ). Clculmos l distnci del punto S l plno π: 6 ( 3 +λ ) + 6 λ λ 30 6 λ 5 λ 5 d (S, π) = = = = Imponemos que dich distnci se igul λ 5 = : λ 5 = De quí obtenemos dos posibles soluciones: λ 5 = λ = 3 S = (0, 6, 3) λ 5 = λ = S = (, 0, ) Dpto. Mtemátics / IES Rmón Olleros