3.2. Teoremas de Dini

Transcripción

1 3.2. TEOREMAS DE DINI Teoremas de Dii Defiició Sea X u espacio métrico y {f } ua sucesió e C(X). Decimos que la sucesió {f } es moótoa e si para todo x X se cumple f (x) f +1 (x), 1, o bie para todo x X se cumple f +1 (x) f (x), 1. Teorema 3.12 (Dii). Sea X u espacio métrico compacto y {f } ua sucesió de fucioes moótoa e C(X) que coverge putualmete a ua fució cotiua f C(X). Luego la covergecia es uiforme. Demostració. Si pérdida de geeralidad supodremos que para todo x X, f +1 (x) f (x). Sea ε > 0. Para cada defiimos el abierto A := {x X : f (x) < f(x) + ε}. Notemos que A A +1. Además, la covergecia putual de f a f implica que X = N A. Luego, por la compacidad de X, existe u N tal que Etoces X = A N y X = N A k. k=1 f (x) f(x) < ε, para todo x X, si N. Por otra parte, es obvio que f(x) f (x) para todo x X y. Por lo tato, f f uiformemete. Ejemplo. E este ejemplo presetaremos ua sucesió de fucioes móotoas defiidas e u compacto, que o coverge uiformemete a igua fució cotiua. Cosideremos el espacio métrico compacto X = [0, 1] co la métrica iducida por (R, ) y la sucesió de fucioes cotiuas f (x) = 1 x. Esta es ua sucesió moótoa co f (x) f +1 (x) para todo x [0, 1] y. Además, esta sucesió coverge putualmete e [0, 1] a ua fució discotiua f(x) = { 1 si 0 x < 1 0 si x = 1 Luego, la sucesió {f } o coverge uiformemete a igua fució real cotiua defiida sobre [0, 1]. Teorema 3.13 (Dii). Sea {f } ua sucesió e C[0, 1] co todos sus térmios fucioes moótoas. Supogamos que f coverge putualmete a ua fució f C[0, 1]. Luego la covergecia es uiforme. Demostració. Sea ε > 0, luego existe δ > 0 tal que f(x) f(y) < ε 3 2 si x y < δ

2 64 CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME Sea 0 =: x 1 < x 2 < < x m := 1 ua partició de [0, 1] tal que x i+1 x i < δ/2 para 1 i m 1. Notemos que existe u atural N tal que sup f (x i ) f(x i ) < ε 1 i m 3 2 si N Por otra parte, para cada i = 1, 2,... m 1 teemos f (x i ) f (x i+1 ) f (x i ) f(x i ) + f(x i ) f(x i+1 ) + f(x i+1 ) f (x i+1 ) < ε 3 si N Sea x [0, 1], luego x está e u itervalo de la forma [x i, x i+1 ]. Como las f so moótoas teemos que f (x) f (x i ) < ε/3, cuado N. Luego f (x) f(x) f (x) f (x i ) + f (x i ) f(x i ) + f(x i ) f(x) < ε si N y x [x i, x i+1 ]. Por lo tato, la sucesió {f } coverge a f uiformemete e [0, 1] Teorema de Arzela-Ascoli E esta secció estableceremos codicioes fácilmete verificables e alguos casos, que implica que ua collecció de fucioes cotiuas es u cojuto compacto e la métrica uiforme. Defiició Diremos que u espacio métrico es separable si tiee u subcojuto deso umerable. Ejercicio. Sea (X, ρ) u espacio métrico. Pruebe que X es separable si y sólo si tiee ua base umerable. Lema Todo espacio métrico X compacto es separable. Demostració. Recordemos que como X es compacto, es totalmete acotado. Luego, para cada N existe m putos x 1,..., x m tales que la uió de las bolas abiertas cetradas e ellos de radio 1/ es todo el espacio X. Si defiimos A := {x 1, x 2,..., x m, etoces es deso y umerable e X. D = k=1 Ejercicio. Cosidere ua familia F de fucioes equicotiuas defiidas e u compacto X. Demuestre que F es ua colecció uiformemete equicotiua. Lema Sea (X, ρ) e (Y, σ) espacios métricos co Y completo. Sea {f } ua sucesió e C(X, Y ). Supogamos que {f : N} es equicotiua y además que existe u subcojuto D X deso tal que f (x) coverge si x D. Luego existe ua fució f C(X, Y ) tal que f (x) coverge putualmete e X a f, y la covergecia es uiforme e compactos. A

3 3.3. TEOREMA DE ARZELA-ASCOLI 65 Demostració. Deberemos partir probado la existecia de la fució f, para ello probaremos que dado x X la sucesió f (x) es de Cauchy e Y. Sea ε > 0 y x X, etoces existe δ > 0 tal que sup σ(f (x), f (y)) < ε 3 si ρ(x, y) < δ (3.4) Como D es deso e X, existe y D tal que ρ(x, y) < δ y σ(f (x), f m (x)) 2 sup σ(f (x), f (y)) + σ(f (y), f m (y)) < ε para, m suficietemete grades, ya que f (y) coverge. Luego, para cada x X la sucesió f (x) es de Cauchy y, por la completud del espacio Y, podemos defiir f(x) = lím f (x). Ahora, si queremos probar la cotiuidad de f e x X otemos que para cada y B(x, δ) existe u atural N tal que σ(f(x), f (x)) < ε 3 y σ(f(y), f (y)) < ε, para todo N. 3 Luego, de la ecuació (3.4), teemos que σ(f(x), f(y)) σ(f(x), f (x)) + sup σ(f (x), f (y)) + σ(f (y), f(y)) < ε si ρ(x, y) < δ. De dode se cocluye la cotiuidad de f e X. Fialmete, os falta demostrar que la covergecia es uiforme e compactos. Sea K u compacto e X. Luego para cada δ > 0 existe x 1, x 2,..., x r K tales que K r B(x i, δ/2) i=1 r B(x i, δ/2). Defiamos K i := K B(x i, δ/2). Ahora sea ε > 0. Por el ejercicio aterior sabemos que la colecció F es uiformemete equicotiua e K. Luego podemos elegir δ > 0 de modo que sup σ(f (x), f (x i )) < ε/3 cuado x K i. Además supodremos, ocupado la cotiuidad de f, que σ(f(x), f(x i )) < ε/3 si x K i Por lo tato, de la covergecia f (x i ) f(x i ), vemos que para cada x K i existe u atural N i (que depede sólo de i) tal que σ(f (x), f(x)) sup σ(f (x), f (x i )) + σ(f (x i ), f(x i )) + σ(f(x i ), f(x)) < ε, para cada N i. Como K = r i=1 K i tedremos que para suficietemete grade i=1 sup σ(f (x), f(x)) = máx sup σ(f (x), f(x)) < ε. x K 1 i r x K i de dode se cocluye la covergecia uiforme e compactos. Lema Sea D u cojuto umerable e (Y, σ) u espacio métrico. Sea {f } ua sucesió de fucioes de D e Y, tales que {f (x) : N} es compacto e Y, para todo x D. Luego existe ua subsucesió f k tal que para cada x D, f k coverge.

4 66 CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME Demostració. Sea D = {x k : k N}. Como {f (x) : N} es compacto, para cada x D, luego f (x 1 ) tiee ua subsucesió covergete f 1,k (x 1 ). Para f 1,k (x 2 ) existe ua subsucesió covergete f 2,k (x 2 ). Iductivamete f j 1,k (x j ) tiee ua subsucesió covergete f j,k (x j ). Luego, para cada x D la subsucesió f k,k coverge. Teorema 3.18 (Arzela-Ascoli). Sea (X, ρ) e (Y, σ) espacios métricos, co X separable e Y completo. Sea F C(X, Y ) ua familia equicotiua e X. Además supoemos que para cada x X, la clausura de {f(x) : f F} es compacta e Y. Luego, toda sucesió {f } e F tiee ua subsucesió {f k } que coverge putualmete a ua fució f C(X, Y ) y la covergecia es uiforme e cada compacto de X. Demostració. Sea {f } ua sucesió e F y D X deso y umerable. Por el Lema 3.17 existe ua subsucesió f k que coverge para cada x D. Luego, del Lema 3.16 tedremos que la sucesió f k coverge putualmete e X a ua fució cotiua f, y uiformemete e compactos de X. Corolario Sea (X, ρ) e (Y, σ) espacios métricos, co X compacto e Y completo. Sea F C(X, Y ). Luego F es compacto e C(X, Y ) si y sólo si se cumple las siguietes codicioes: (i) F es equicotiua e X, y (ii) para todo x X, {f(x) : f F} es compacto e Y. Demostració. Comezaremos supoiedo que (i) y (ii) so ciertos. Para ello será ecesario probar que F es equicotiua y que {f(x) : f F} = {f(x) : f F}, pues, de ser así, por el Teorema de Arzela-Ascoli tedremos imediatamete que F es compacto, cosiderado que X es compacto y separable. E pocas palabras, la compacidad de F se debe a que si {f } es ua sucesió e F, luego existe ua subsucesió {f k } que coverge uiformemete e compactos de X a ua fució f C(X, Y ). Como X es compacto, etoces f k f uiformemete e X y tedremos que f F. Sea ε > 0, etoces existe δ > 0 tal que sup σ(f(x), f(y)) < ε cuado ρ(x, y) < δ Sea g F, etoces existe ua sucesió {g } e F que coverge uiformemete a g. Luego, σ(g(x), g(y)) 2 sup x X y haciedo teder al ifiito tedremos que σ(g(x), g (x)) + sup σ(f(x), f(y)) σ(g(x), g(y)) sup σ(f(x), f(y)) < ε cuado ρ(x, y) < δ de dode se cocluye que F es ua familia equicotiua de fucioes, si F lo es. Ahora bie, es claro que {f(x) : f F} {f(x) : f F}. Sea g F y {g } F que coverge uiformemete a g. Luego, para cada x X teemos que {g (x)} {f(x) : f F} = g(x) {f(x) : f F}

5 3.3. TEOREMA DE ARZELA-ASCOLI 67 de dode se obtiee la igualdad etre {f(x) : f F} y {f(x) : f F}. Por lo tato, F es u subcojuto compacto de C(X, Y ). Recíprocamete, para cada x X defiamos T x : F Y dada por T x (f) = f(x) podemos otar que para todo ε > 0 existe u δ > 0 (que e este caso δ = ε) tal que σ(t x (f), T x (g)) < ε cuado sup σ(f(x), g(x)) < δ x X luego, para cada x X la aplicació T x es cotiua. Etoces, T x (F) = {f(x) : f F} es compacto e Y, dada la cotiuidad de T x. E particular tedremos que {f(x) : f F} es compacto e Y, y teemos probado (ii). Fialmete, sea ε > 0, luego existe f 1, f 2,..., f F tales que F B(f i, ε 3 ) i=1 y defiamos los cojutos compactos de C(X, Y ) dados por K i = F B(f i, ε 3 ). Claramete la uió de los K i, 1 i, es todo F. Sea x X, luego para cada f K i, 1 i, se tiee que σ(f(x), f(y)) 2 sup σ(f(x), f i (x)) + σ(f i (x), f i (y)) < ε cuado ρ(x, y) < δ i x X dada la cotiuidad de las f i, 1 i. Etoces, para obteer la equicotiuidad de la familia F otemos que sup σ(f(x), f(y)) sup σ(f(x), f(y)) = máx sup σ(f(x), f(y)) < ε 1 i f K i cuado ρ(x, y) < δ, co δ = mí 1 i δ i. Por lo tato, la familia F es equicotiua y cocluimos la prueba de (i). Ejemplo. El siguiete ejemplo muestra que la compacidad del espacio métrico X o es superflua e el corolario aterior. Sea X = Y = R co la métrica usual, y sea f ua sucesió de fucioes cotiuas dadas por 2(x ) si x [, ] f (x) = 2(x ( + 1)) si x [ + 1 2, + 1] 0 e otro caso Claramete la familia F = {f : N} es ua familia equicotiua tal que para cada x R el cojuto {f (x) : N} tiee clausura compacta. E geeral, para cada x R estos cojutos costa de a lo más dos putos, y por lo tato su clausura es el mismo cojuto.

6 68 CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME Podemos otar que para cada x R la sucesió f (x) 0, cuado, que es ua fució cotiua. Pero la covergecia co es uiforme, ya que sup f (x) = 1 x R E cambio si os restrigiéramos a cojutos compactos de R, por el Teorema de Arzela-Ascoli, la sucesió f covergería uiformemete a 0. Fializamos esta secció co el siguiete resultado existecial para ecuacioes difereciales ordiarias. Teorema ( Peao). Sea t 0, y 0 R y a, b reales positivos. Cosidere ua fució real f(t, y) cotiua y acotada e R := {(t, x) : t 0 t t 0 + a, y y 0 b}. Sea M ua cota para f(t, y) e R y α = mí{a, b/m}. Luego la ecuació, { y = f(t, y) tiee ua solució y = y(t) e [t 0, t 0, α]. y(t 0 ) = y 0 Demostració. Sea δ tal que 0 < δ < b/m. Ahora, cosideremos la fució defiida e [t 0 δ, t 0 ], y 0 (t) := y 0 + (t t 0 )f(t 0, y 0 ). Notemos que ella satisface y 0 (t 0 ) = y 0, y 0 (t) = f(t 0, y 0 ), y 0 (t) M y y 0(t) y 0 b. Recursivamete, defiimos para cada ɛ tal que 0 < ɛ < δ la fució y ɛ (t) defiida e [t 0 δ, t 0 +α] por y ɛ (t) = y 0 (t) e [t 0 δ, t 0 ] y t y ε (t) = y 0 + f(s, y ε (s ε))ds, t 0 para t e [t 0, t 0 + α]. Notemos que y ɛ (t) y 0 b para t [t 0, t 0 + α]. Ademas, para cada h, t tales que [t, t + h] [t 0, t 0 + α] teemos que y ɛ (t + h) y ɛ (t) hm. Por lo tato, la colecció de fucioes {y ɛ (t) : 0 < ɛ < δ} es ua colecció equicotiua defiida e u compacto. Por el teorema de Arzela-Ascoli, la sucesió y := y 1/ tiee ua subsucesió y k que coverge uiformemete a algua fució y e C[t 0, t 0 + α]. Por la uiformidad de la covergecia vemos fácilmete que la fució y solucioa la ecuació.