MATEMÁTICAS II. 2º BACHILLERATO EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

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1 MATEMÁTICAS II. º BACHILLERATO EJERCICIOS DE GEOMETRÍA REAL COLEGIO NTRA. SRA. DE LORETO FUNCACIÓN SPÍNOLA.- Halla la ecuación del plano, a. que pasa por A(,, 0) es perpendicular a w, 0 b. que pasa por A(, 0, 4) es paralelo a los vectores u 6, 0, v, 0, c. que pasa por A(,, ), B(, -, 0) C(,, ) d. que pasa por A(,, ) es paralelo al plano : x + z + = 0 e. que pasa por el punto A(,, ) B(,, 0) es perpendicular al plano : x + + z = 0 f. que pasa por el punto A(,, ) es paralelo a los ejes X Z g. que pasa por A(,, ) B(0,, ) es paralelo al eje X h. que pasa por A(,, ) es paralelo al eje X perpendicular al plano XY.- Escribe la ecuación general de los planos: x : z x : z 4 x.- Decide si los puntos A(4, 6, ) B(7,, ) pertenecen al plano: : z 4.- En los siguientes casos, decide si los puntos A, B, C D pertenecen a un mismo plano: a) A( 4, 0, ), B(0, 4, ), C(0,, 0), D(4,, ) b) A((, 0, ), B(5,, 9), C(6,, 7), D(8,, 4) 5.- Indica qué condición ha de cumplir x para que los puntos formen un tetraedro A(,, ), B(,, 6), C(,, ) D(x, 0, ). 6.- Halla una ecuación de las rectas: a) que pasa por A(, 0, ) B(, 4, ) b) que es paralela al segmento AB pasa por C. Donde: A(,, ), B(6, 0, ), C(0, 0, ) c) que es perpendicular al plano : x z + 6 = 0 pasa por A(,, 4) d) que está contenida en los planos: : x + z = 0 : x + z = 0 e) que pasa por los puntos de corte del plano : x z + = 0 con los ejes de coordenadas. 7.- Averigua si la recta r: x z corta alguno de los ejes de coordenadas. 8.- Determina si los tres puntos A(, 0, ), B(, 4, ), C( 4,, ) están alineados 9.- Halla la ecuación del plano que : a) Contiene la recta x4 z el punto P(,, ) 0 x x b) Contiene las rectas paralelas: r : r : z z 4 4

2 0.- Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas, en su caso, halla la intersección. a) x z x z 4 0 x b) r : 5 x z c) x4 z z r x z 4 :.- Determina la posición relativa de los siguientes pares recta- plano, en su caso, halla la intersección: x5z a) : x + z = 0 x z b) : x + z + = 0 x z 0 c) : x + + z + = 0 la recta que pasa por los puntos A(,, ) B(6,, 4).- Determina la posición relativa de los planos :OX OA u v :OX OA u v,,,, 0 donde:,, A (,, ), u,, 0, v,, u v.- Estudia, en función del parámetro a, la posición relativa de r en los casos: x x a) 5 a : x z 6 = 0 b) r: : x + z = 0 z 9 7 z a c) x z a x : z a 4.- Sea el plano : x + z + = 0. Consideramos la recta que pasa por los puntos P (m,, ) P (n, 5, ). Calcula m n de modo que la recta, si es posible, a) esté contenida en el plano b) sea paralela al plano c) corte al plano en un solo punto d) sea perpendicular al plano 5.- Calcula el valor del parámetro a para que las rectas r s sean coplanarias x z x z0 r : za0 6.- Sean r r las rectas de ecuación: x z5 x z 0 a) Halla el haz de planos que contiene a la recta r. b) Determina el plano del haz que pasa por el punto P(4, 0, ) c) Determina el plano del haz paralelo a r. x 7.- Sean las rectas: x z r : z Calcula los planos que contienen a cada una de las rectas es paralelo a la otra 8.-a) Calcula las coordenadas de P, proección ortogonal de P(0,, 5) sobre el plano : x + z = 0 b) Calcula P, simétrico de P con respecto a.

3 Real Colegio Nuestra Señora de Loreto Matemáticas II Ejercicios problemas de geometría 9.- a) Calcula las coordenadas de P, proección ortogonal de P(,, ) sobre la recta: x z 5 b) Calcula P, simétrico de P respecto de r. 0.- Sean : x + + z = 0 Halla unas ecuaciones de r. x z. Al proectar ortogonalmente r sobre, se obtiene la recta r..- Halla unas ecuaciones del plano que pasa por el punto A(,, -) es simultáneamente paralelo a las rectas: x z x z 0.- Halla unas ecuaciones del plano que pasa por el punto A(,, ), es perpendicular a : x + z = 0 paralelo: x z.- Dadas las rectas de ecuación: x z5 x z 0 a. Halla la ecuación de la recta perpendicular común a ambas b. Halla la ecuación de la recta que corta a ambas pasa por el origen de coordenadas. x 4. Halla la distancia entre las rectas: r: x 5 = = z s: 4 z4 x 5. Halla el punto de la recta r: cua distancia al punto P(, 0, ) sea 5 z 6. Dados los vectores: u = (4,, ) v = (,, ) a. Halla él área del paralelogramo definido por los vectores b. Halla un vector unitario ortogonal a ambos 7. Halla el triángulo de vértices A (,, ), B (4,, 4) C (5, 9, 9) 8. Halla el valor de m para que los vectores u = (, m-, ), v = (, 5, 0) w = (, m ) determinen un paralelogramo de volumen 6 9. Calcula el lugar geométrico de los puntos del espacio que están a la misma distancia de los puntos A (,, ) B (4,, ). (La solución debe ser la ecuación de un plano, que se llama plano mediador) 0. Calcula el lugar geométrico de los puntos del espacio que están a la misma distancia de los planos : x + z = : x + z = (La solución deben ser dos planos, que serán perpendiculares entres si, son los planos que dividen al ángulo entre los planos en dos partes iguales, por tanto se llamarán planos bisectores) MCM

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5 Real Colegio Nuestra Señora de Loreto Matemáticas II Ejercicios problemas de geometría Soluciones.- Halla la ecuación del plano a. que pasa por A(,, 0) es perpendicular a w = (,, 0) El vector w será el vector normal al plano: n = w = (,, 0) Ax + B + Cz + D = 0 x + D = 0 El plano debe contener al punto A ( ) + D = 0 D = 4 π: x + 4 = 0 b. que pasa por A(, 0, 4) es paralelo a los vectores u = ( 6, 0, ) v = (, 0, ) El plano contiene al los vectores u v al punto A x z = 0 + = 0 0 π: = 0 c. que pasa por A(,, ), B(, -, 0) C(,, ) El plano contiene a los vectores AB = (,, ) AC = (, 0, ) al punto A x z + = 0 6(x ) 6( ) + 6(z +4) + ( ) = 0 0 π: x + z 8 = 0 d. que pasa por A(,, ) es paralelo al plano : x + z + = 0 El plano tendrá el mismo vector normal que el del enunciado: n = (,, ) x + z + D = 0 Y debe contener al punto A + ( ) + D = 0 D = 6 α: x + z 6 = 0 e. que pasa por el punto A(,, ) B(,, 0) es perpendicular al plano : x + + z = 0 El plano contendrá al vector normal a n = (,, ), al vector AB = (,, ) al punto A (o a B) x z = 0 4(x ) 4(z ) = 0 α: x z + = 0 f. que pasa por el punto A(,, ) es paralelo a los ejes X Z El plano debe contener a los vectores del eje X, (, 0, 0) del eje Z, (0, 0, ) al punto A x z 0 0 = 0 = α: = 0 g. que pasa por A(,, ) B(0,, ) es paralelo al eje X El plano contiene al vector AB = (,, ), al vector del eje X (, 0, 0) al punto A (o al B) x z 0 0 = 0 (z ) + ( ) = 0 α: z + = 0 MCM

6 h. que pasa por A(,, ) es paralelo al eje X perpendicular al plano XY El plano debe contener al vector del eje X (, 0, 0), al vector perpendicular al plano XY (0,0,) al punto A x z 0 0 = 0 ( ) = α: = 0.- Escribe la ecuación general de los planos: a. x : z P(0,, ) u = (,, ) v = (,, ) x z = 0 π : x + z + = 0 b. x : z 4 P(,, ) u = (0, 4, 0) v = (0, 0, ) x z = π : x = 0 x.- Decide si los puntos A(4, 6, ) B(7,, ) pertenecen al plano: : z Lo más fácil es pasar el plano a forma general luego sustituir los puntos en dicha ecuación, si se verifica la ecuación entonces afirmaremos que el punto pertenece al plano, en caso contrario no pertenecerá: π: P(,, ) u = (,, ) v = (,, 0) x + z = 0 x + + z 4 = 0 0 A (4, 6, ) = - 0 No pertenece al plano B (7, -, ) = 0 No pertenece al plano 4.- En los siguientes casos, decide si los puntos A, B, C D pertenecen a un mismo plano: Los cuatro puntos pertenecen al mismo plano si los vectores AB, AC AD son una combinación lineal. Es decir si la matriz formada por ellos tiene rango, es decir si el determinante de dicha matriz es cero. a. A( 4, 0, ), B(0, 4, ), C(0,, 0), D(4,, ) AB = (4, 4, 0) AC = (4,, ) AD = (8,, ) 4 = 0 Son coplanarios 8 b. A((, 0, ), B(5,, 9), C(6,, 7), D(8,, 4) AB = (,, 7) AC = (,, 5) 7 AD = (5,, ) 5 = 0 Son coplanarios 5

7 Real Colegio Nuestra Señora de Loreto Matemáticas II Ejercicios problemas de geometría 5.- Indica qué condición ha de cumplir x para que los puntos A(,, ), B(,, 6), C(,, ) D(x, 0, ).formen un tetraedro Para que cuatro formen un tetraedro no pueden ser coplanarios, por tanto los vectores AB, AC AD no tienen que ser combinación lineal. Es decir si la matriz formada por ellos tiene rango, es decir si el determinante de dicha matriz es debe ser distinto de cero. AB =(,, ) AC = (0,, ) AD = (x,, 4) 0 = 4x x 4 4x 0 x 6.- Halla una ecuación de las rectas: a. que pasa por A(, 0, ) B(, 4, ) La recta tendrá como vector el AB = (, 4, -) debe pasar por A (o B) r: { x = + μ = 4μ z = μ b. que es paralela al segmento AB pasa por C. Donde: A(,, ), B(6, 0, ), C(0, 0, ) x = 4μ La recta tendrá como vector el AB = (4, -, 0) debe pasar por C r: { = μ z = c. que es perpendicular al plano : x z + 6 = 0 pasa por A(,, 4) x = + μ La recta tendrá como vector el vector perpendicular a : n = (, -, -) pasa por A r: { = μ z = 4 μ d. que está contenida en los planos: : x + z = 0 : x + z = 0 x + z = 0 x + z = 0 Parametrizamos: z = λ x = λ x + = λ x = { = + λ z = λ e. que pasa por los puntos de corte del plano : x z + = 0 con los ejes de coordenadas. El plano es paralelo al eje Y, por tanto no lo va a cortar. Calculamos los puntos de corte del plano con el eje X con el eje Z. x z + = 0 MCM { x = λ eje X: { = 0 z = 0 x z + = 0 x = 0 { eje Z: { = 0 z = λ λ 0 + = 0 λ = - 0 λ + = 0 λ = A (-, 0, 0) AB = (, 0, ) B (0, 0, ) x = + μ r: { = 0 z = μ

8 7.- Averigua si la recta r: x z corta alguno de los ejes de coordenadas. x = + t r: { = + t z = t x = λ eje X: { = 0 z = 0 x = 0 eje Y: { = λ z = 0 x = 0 eje Z: { = 0 z = λ + t = λ + t = 0 t = 0 no corta + t = 0 + t = λ no corta t = 0 + t = 0 + t = 0 corta en (0, 0, ) t = λ 8.- Determina si los tres puntos A(, 0, ), B(, 4, ), C( 4,, ) están alineados Para que tres puntos estén alineados, los vectores AB, AC deben ser proporcionales. AB =(, 4, -) AC =(-,, -) No son proporcionales, A, B C no están alineados 9.- Halla la ecuación del plano que : a. Contiene la recta x4 z el punto P(,, ) 0 El plano debe contener al vector de la recta, u = (,, 0), al punto P al vector que formamos con el punto P un punto de la recta A (-4,, -), v = ( 7, 0, ) x z 0 = 0 x + 7z = b. Contiene las rectas paralelas: r x : z r x : z 4 4 Para definir un plano necesitamos dos vectores contenidos en él un punto. Como las rectas son paralelas sólo tenemos un vector: u = (,, ) debemos encontrar otro vector para eso tomamos un punto de r otro de v = ( 7, 4, ). Para el punto tomamos el de r, por ejemplo: x + z + = 0 x + z + = Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas a. x z x z 4 0 Para determinar la posición relativa de dos rectas estudiamos el rango de la matriz formada por los vectores de r r el de la matriz ampliada con el vector formado con un punto de cada recta: u = (,, 4) v = (, 0, ) AB = (,, 4) rg ( ) = rg ( 0 ) = se cortan 4 Calculamos el punto de intersección: x = + λ = + μ = λ = 0 z = + 4λ = + μ λ μ = λ = 4λ μ = 4 λ = μ = 0 P(, 0, )

9 Real Colegio Nuestra Señora de Loreto Matemáticas II Ejercicios problemas de geometría b. c. r x : z : r 5 : r x z u = (,, ) v = (,, ) AB = (4, 5, 0) rg ( ) = rg ( x4 z r x 4 : u = (,, 4) v = (,, ) z AB = (4,, ) ) = se cruzan rg ( 4 4 ) = rg ( ) = se cruzan 4.- Determina la posición relativa de los siguientes pares recta- plano, en su caso, halla la intersección: x5z a. : x + z = 0 x z Para determinar la posición relativa de una recta un plano, sustituimos en el plano las ecuaciones paramétricas de la recta, ver si la expresión final tiene solución: La recta escrita en forma paramétrica queda: 4+λ λ + +7λ x = 4+λ = λ z = +7λ = 0 λ = 0 Por tanto son secantes. El punto de corte: P ( 4, 0, ) b. : x + z + = 0 x z 0 La recta escrita en forma paramétrica queda: x = + λ = + λ z = 0 ( + λ) (+ λ) + = 0 0λ = No tiene solución, son paralelos c. : x + + z + = 0 la recta que pasa por los puntos A(,, ) B(6,, 4) La recta escrita en forma paramétrica queda: x = + 5λ = 4λ z = + 5λ (+5) + ( 4) + ( +5) + = 0 6λ = λ = El punto de corte: P (, 7, 8 ) son secantes. MCM

10 .- Determina la posición relativa de los planos :OX OA u v :OX OA u v donde: u = (,, ), v = (,, 0) A (,, ) u = (,, 0), v = (,, ) A (-,, ), i j k n = = (,, ), x z + D = 0 6 +D = 0 D = 7 x z + 7 = 0 0 i j k n = 0 = (,, 0) x + D = 0 + D = 0 D = x + = 0 A A = B B C C Secantes.- Estudia, en función del parámetro a, la posición relativa de r en los casos: x a. 5 a z 9 7 : x z 6 = 0 ( + ) (5 + a) (9 + 7) 6 = 0 (5 a) 7 = 0 a = 5, paralelos { a 5, secantes b. x z a : x + z = 0 ( - ) ( + ) + ( + a) = 0 (a 4 ) = 0 a = 4, recta contenida { a 4, secantes c. x z a x a x + z : 0 = 0 x + a + z 6 + a = 0 z a 0 x = λ { = + λ z = + aλ ( - ) + a( + ) + ( + a) 6 + a = 0 (a 4)t = a m = a 4, n = - a Si m 0, secantes a 4/, secantes Si m = 0, a = 4/, paralelas, (n 0) 4.- Sea el plano : x + z + = 0. Consideramos la recta que pasa por los puntos P (m,, ) P (n, 5, ). Calcula m n de modo que la recta, si es posible, a. esté contenida en el plano b. sea paralela al plano c. corte al plano en un solo punto x = m + (n m)λ recta: u = (n m, 8, 4) { = + 8 λ z = 4λ [m+(n m)] ( +8) + ( - 4) + = 0 [(n m) 0] = (m+) Si n m 0 0 n 0+m secantes

11 Real Colegio Nuestra Señora de Loreto Matemáticas II Si n m 0 = 0 n = 0+m m + 0, m paralelos { m + = 0, m = contenida Ejercicios problemas de geometría d. sea perpendicular al plano u = (n m, 8, 4), n = (,, ) Para que recta plano sean perpendiculares, sus vectores deben ser proporcionales: n m = 8 = 4 n = + m 5.- Calcula el valor del parámetro a para que las rectas r s sean coplanarias x z x z0 r : za0 Si dos rectas son coplanarias puede que se corten, que sean paralelas o que sean coincidentes. Así el rango de la matriz formada por sus vectores el vector que formamos con un punto de cada recta deben ser distinto de tres. r : u = (,, ) A (,, 0) x = λ r : { = a λ 4 z = +a λ 4 v = (,, ) B(0, a 4, +a 4 ) AB = (, 6 a 4, +a 4 ) = 0 a = a +a Sean r r las rectas de ecuación: x z 5 a. Halla el haz de planos que contiene a la recta r. : r x z 0 x + = 0 r : { x z + 4 = 0 El haz de planos será una combinación lineal de estos dos planos: t(x + ) + s(x z + 4) = 0 b. Determina el plano del haz que pasa por el punto P(4, 0, ) Sustituimos en el haz el punto: t(4 + 0 ) + s ( ) = 0 t + 9s = 0 t = - 9s Y sustituimos esto en el haz: - 9s (x + ) + s (x z + 4) = 0 8x z = 0 c. Determina el plano del haz paralelo a r. La ecuación del haz de plano la ordenamos como ecuación de plano: (t +s)x +t sz t 4s = 0 Su vector normal sería: n = (t + s, t, s) tiene que ser perpendicular al de la recta- Es decir su producto escalar debe ser cero: n v = (t + s, t, s) (,, 0) = - (t + s) +t = 0 t = s por tanto: MCM

12 s (x + ) + s(x z + 4) = 0 x + +z 7 = 0 x 7.- Sean las rectas: x z r : z Calcula los planos que contienen a cada una de las rectas es paralelo a la otra u = (,, ) P(, -, -) v = (,, ) Q(, 0, -) x + z + α: plano que contiene a det (P, u, v ) = 0 = 0 7x + + 5z + 4 = 0 x z β: plano que contiene a det (Q, u, v ) = 0 = 0 7x + + 5z = 0 8. a. Calcula las coordenadas de P, proección ortogonal de P(0,, 5) sobre el plano : x + z = 0 x = λ La recta perpendicular al plano que pasa por el punto P : { = + λ z = 5 λ El punto de intersección de la recta el plano: + ( + ) (5 ) = 0 = P ( 7, 7, 7 ) 7 b. Calcula P, simétrico de P con respecto a. El punto P es el punto medio del segmento P P P = P+P P = P P P x = 0 = 7 7 P ý = ( ) = 7 7 P ź = 5 = 7 7 P( 7, 7, 7 ) 9. a. Calcula las coordenadas de P, proección ortogonal de P(,, ) sobre la recta: x z 5 El plan perpendicular a la recta que contiene al punto P será: x + + 5z + D = 0, D = - 8 x + + 5z 8 = 0 El punto de intersección del plano la recta: ( + ) + (- + ) + 5 ( + 5) 8 = 0 = 0 b. Calcula P, simétrico de P respecto de r. El punto P es el punto medio del segmento P P P (, -, ) P = P+P P = P P P x = = 5 P ý = ( ) ( ) = P ź = = P(5,, -)