SOBRE LA ECUACIÓN DE ONDAS

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1 Enqu Cana ío Sob a uaón onas SOBE LA ECUACIÓN DE ONDAS Enqu Cana ío -Inouón pmna. -La souón a uaón onas n una mnsón. 3-Inpaón físa a souón a uaón onas. 4-Onas Esaonaas. 5-E oma Fou a naa a uaón ona. 6-La uaón ona n s mnsons. 7-Onas uas n pano. 8-aón n a uaón Lapa a uaón onas. 9-E pnpo Hugns a faón. -Onas saonaas n s mnsons. -Onas guaas. -Onas n a ua una guaa. 3-Connuafón faón. 4-Onas aa spa.

2 Enqu Cana ío Sob a uaón onas -Inouón pmna. aa sa pna o nsa un pan a on oho sob qu pua buja aa hnhas. Vaas banas ásas guas n bujo n gs aos psos u oos objos on a msma masa onoa n bujo a ps gs. Es onnn qu as banas san masa spab spo os psos apaos. Tom una bana ása énaa sn foaa sob j s ogn oonaas maano on un boígafo n ha bana n popo j aos punos fna. Dspués ooamos a bana sob j soménoa a nsón on un pso onoo a omo apa n bujo. Maamos os punos a bana n j. S unmos os punos osponns omo s fuan os aos una funón n oonaas asanas mos qu mnas s mannga ompoamno áso a funón ospon a una ína a qu pasa po ogn. omos psa sa funón así: an a an a on ξ psna spaamno pmnao po puno a bana no soma a nsón. En émnos fnas mnamos a nsa un ogn oonaas mnao: A an a E sgun paso s mna a pnna ao A onsan paa una pna mnaa. omos po así: S omamos omo pso ob aso ano nmos qu spaamno ξ sá mao po ano n ao A aumnaá ugo A pn amn a fua apaa a a bana. o oa pa s pso ob o apamos a un onjuno os banas guas os spaamnos ξ sán guas qu n aso un pso una una úna bana. aa qu so sa o as sons anssas aa bana bn sopoa a msma fua a fua po una supf o psón b s homogéna n oa a són anssa. o ano nmos qu Y on a onsan Y onoa omo móuo Young s una onsan qu ajusa as unas a uaón qu pn maa qu sé hha a bana a mpaua. La Hoo osponn a mu a sn masa s pu obn a pa a psón ano F S

3 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 3 YS F YS bana YS bana on ao qu n onons qubo sáo a aa s onsan npnn hmos auao a aa po mo a ongu a bana n ausna nsón Δ spaamno osponn mo a bana Δξ. S ampamos panamno a una suaón no sáa spaamno ongaón asoao a aa puno a bana pná ambén mpo ξ. Tommos n un nsan ao os sgmnos bana onguos an pquños omo quamos naos n os punos sáos +. E anáss qubo ano onsaba qu a masa a bana s snamn spab po o qu bmos nou una masa punua m qu ona nusos sgmnos mnas qu onsamos ambén són mna S. En una suaón no sáa bmos apa qu a fua F no s gua n uaqu puno a bana moo qu n os mos os sgmnos mnas a fua o qu ona un mno on oo no sá ompnsaa b pous a aaón a masa punua osponn. Con moo námo so pomos ua suao sáo ano paa nusos os sgmnos fnas onguos: F Y S F F F Y S S sano onsano qu n un nsan mnao a fua no ompnsaa F b aa a masa mna suaa n os sgmnos qu a aaón s pu psa on a funón ξ Y F S m S Y m S omano m omo a masa onna n sgmno a bana nons ρ psna a nsa n oumn a bana ása no soma a nsón. E suao ospon a una uaón onas ongunas asoaa a spaamno aa puno spo a su posón qubo a bana on una oa ona ao Y Ha qu qu a uaón onas ua po ano a oa ona sá asoaa a un obsao na paa ua a bana uano no sá soma a nsón sá ompamn n poso. D hho sa bana n qubo sáo poso s onfun on ssma oonaas obsao.

4 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 4 -La souón a uaón onas n una mnsón. La uaón ano pu faoas sa foma Lo ua sug souons a foma F++G-. Es posb mosa qu a psón ano s a souón gna paa sa uaón. S hamos sgun ambo aabs Las aas paas s ansfoman así a sguna aa s susuno n a uaón onas ua souón gna s a omo namos ans G F G f f

5 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 5 3-Inpaón físa a souón a uaón onas. omos obsa una as omponns F o G n nsan = n pano ξ omo una funón abaa po jmpo aa uaqu oo nsan uaqu oa posón pomos ha a aón on oonaas n nsan = paa as funons F G así F G F G F G F G Lo qu pm suaa a pma omponn F omo spaamno objo F sob j a oa : = - +. Anáogamn a sguna omponn G ospon a spaamno objo G sob j a oa : = +. D sa foma mos qu as os omponns son onas ajas qu psnan momno una pubaón apa mann una foma onob. Tommos aso qu pamos on una bana ása a qu uga un pso.ano una suaón poso pomos sa mn haa abajo pso. S samos a fua pso pmnaá un momno osaoo gua a aso áso momno mu. Sgún nusos suaos uan s momno s apab a a bana o mu a uaón onas. o s pobamos omo souón una as funons posbs bn sa F+ o G- mos qu no pun psna po s soas a físa pobma. S nos fjamos n puno onao a bana on ho samno ξ s smp nuo paa uaqu nsan mpo. Eso no s o qu s spa una ona aja qu pas po s puno : pu anuas n agunos nsans o n agunos naos mpo po no smp. Sgún a óga s una as funons F G no pu anos una souón nons bmos u a a souón ompa F++G-. S puno onao on ho sñaao ospon on a oonaa = as funons F G bn fa a sgun aón funona Fu+G-u=. Lo qu na qu n nusa són goméa as funons F G sán gaas 8 gaos n pano ξ spo ogn oonaas s mun a a msma oa n snos onaos. La psnaón ano

6 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 6 musa qu s posb una souón n a qu samno s a suma F+G sa nua pmannmn n =. Enmn a a qua j a ha una pa o n gna un objo ígo masa mu aa no s a ona n sa pa spao. Sn mbago fo sa pa o objo mu maso n o qu spa a a ua s absob a ona nn ansfomaa n una ona fjaa sob a msma ua E aá maso ígo a pa ha qu a ona nn no pua pooa spaamnos nnos n ha pa a ngía qu anspoa a ona ba s fjaa n foma ona boaa haa a msma ua. E o pu ompoba s ompoamno s spon una ua gusa. S aamos a ua a un mo fjo saumos oo mo pomos a ona o puso gnao moénos po nma a ína a ua. A ga a ona a mo fjo a ona boa n foma un puso qu s mu po bajo a ína a ua. En s aso nmos una ona anssa n onguna omo n aso a bana ása po a uaón onas s guamn apab. Sguno on aso a bana ása momno osaoo ssma s pu mann nfnamn s fuésmos apas mna as péas ngía po oamno o anamno nno. Sgún a mána ása momno a masa suja a mo a bana pu sbs así F m m ma os ma os / m Es a posón a masa s a suma a posón na a masa m sn nsón n a bana a ongaón a bana ása n s puno sno ξ ma a ongaón máma n. Esa souón s áa omo mos no a hpóss masa a bana spab fn a a masa a boa m paa mo qu oupa ha boa. Sn mbago no o qu pomos anaa momno un puno a bana qu no sa puno mo uano s msmo suao s suponmos qu s mann onsan a masa a bana spab. D sa foma pomos apuna a una souón gna paa a ongaón a bana on sa foma ma os Don paa aso puno a bana n onao pmann on a pa a ongaón ho puno b s smp nua po ano ξ ma = a qu ho apén E mu sn masa

7 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 7 puno no pu mos mann onao on a pa. upano anáss onuaoo po bn s ompabs as sguns uaons F G ma os ma F u G u S gmos paa F G una funón sno o osno a msma ampu A G=F=sno ó G=osno F=-osno pomos ápamn uano as fómuas sno/osno una suma/fna o sgun Asn K Asn K Asn Kos K ma Asn K E ao K maúsua s nou paa qu agumno sno sa amnsona aans n po ano unas nsa a ongu. K sá fno ompamn a pa a funa osaón a oa popagaón as onas : w=k. Es n qu s paámo ospon on o onas una ona snoa : K=π/λ on λ s a ongu ona. o a souón ano s una souón aa a uaón onas n pnpo pu ospon a un aso a. Sn mbago n a uaón náma Nwon hmos uao una apomaón uassáa paa qu ao paámo áso s pua onsa onsan. Mamáamn a pma apomaón s ao onsan a sgun aa bana ma ma bana S apamos sa onón a a souón obna nmos ma AK os K Supusos A K onsans paa apoma a aa a una onsan s nsao qu sa K paa oo puno a bana sn nsón moo qu osno sa apomaamn s K bana bana La ongu ona b s muho mao qu a ongu a bana n poso. Esa apomaón s anáoga a aso os uos on ana as onas omagnéas S uamos a fnón K nmos K YS bana bana bana bana m Y mbana Y S m bana m m bana Y po ano a apomaón onsaa s quan a m bana << m s a masa a bana b s mu nfo a a masa a boa.

8 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 8 Hano a paa spo a mpo n a souón nonaa mos qu s un nsan n qu a oa oos os punos a bana s anua ma T sn n n n T Don T s poo osaón s mpo qu aa a boa n upa una posón oa aas. o ano aa sm-poo s pou una suaón oa nua paa oos os punos a bana ása nua a masa a boa. omos ambén qu n sos nsans a ongaón a bana ξ s máma. Ds puno sa ngéo n sos nsans a ngía néa ssma s nua po ano a ngía ssma b sa aumuaa oamn n foma ngía pona ása o ua na qu n sos nsans a ongu a bana s máma o mínma. o ano no nusa apomaón apano a fómua a ngía pona ása nmos E E ma bana ma bana Asn Kbana AKbana Don E s una onsan osponn a a ngía mána ssma. Dao qu pomos ono os aos EK bana pomos aua ao a ampu ona A a psón ano oos suaos obnos E A m m bana A me m bana m m bana ma bana En ª apomaón : mofaón a funa osaón bo a a masa mu o bana ása A pa ampo ongaons ξ nonao pomos aua a fua sob a masa onaa a mo oano saoo hho n a nouón. Tomano móuos nmos F mo YS mo m bana an K bana YSK m Emnano K on ω = K apano =Y/ρ ambas aons asoaas a fnómno onuaoo nmos bana an bana m m Y paa pquños aos agumno a angn quan a K bana bana bana bana 3 bana mbana bana bana m 3

9 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 9 Lo qu onu a una apomaón más fnaa a funa osaón qu nu a masa a bana o mu =YS/ bana s a onsan ása osponn m 3 m bana 4-Onas Esaonaas. Hasa ahoa hmos suao una souón a uaón onas po snga a un aso paua on a apomaón λ>> bana. S anaamos a souón nonaa n un ángo mao gamos a ompoamno so n as sguns mágns. S suponmos qu a ona oja a au son onas snoas on a msma ampu s spaan n snos onaos a suma as os ospon a a psón : Asn Kos Vmos nmaamn qu os punos qu fan K=nπ n=34 s mannn nmós n su posón a qu paa os ξ=. A sos punos aaísos s s nomna noos. D gua foma omo hmos so ambén sn nsans mpo n os qu a oa oos os punos afaos po poso onuaoo s anua. Esas aaísas nos nfoman qu poso onuaoo qu s sá ano ospon a una ona saonaa. Esas onas saonaas s poun nomamn n onons onfnamno spaa poso onuaoo. En nuso aso s n qu as onas ásas s poun n una ona aoaa spao a qu mo áso no s nfno no pun aagas o ompms abaamn a sgo p sus popas ásas o omps. En saoo qu hmos hho pamos una souón gna F++G- qu n pnpo no sá aoaa. Egno una funón snoa F G hmos so qu pomos pou ompoamno un noo s un puno fjo. Sn mbago mos qu apan ambén múps punos fjos n a bana moo qu poíamos ona a bana a una pa íga n aguno sos punos a souón aún sía áa.

10 Enqu Cana ío Sob a uaón onas D sa foma as onas boan n as os pas a as qu sá onaa a bana ása o mu. Dao qu a uaón ona no spfa una funón mnaa omo souón sno más bn una foma funona hmos sao uano funons snoas on a naja ono oas sus popas. Sn mbago as funons ona n mu o bana ása pun s fns. Imagnmos un mu anao n as os pas sñaaas ans. Ds sao poso ogmos puno mo mu o spaamos gamn a a ha. E ampo spaamnos gnao ξ ná a foma bujo ajuno. A a qua puno n qu apamos a fua ha un samno a a ha ha una ompsón mu o bana ása. S bamos mu sá a foma funona bujaa a qu s spa haa a qua bo n a pa onnú haa a ha bo hasa a pa opusa así póamn s no ha péas ngía.

11 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 5-E oma Fou a naa a uaón ona. -L L L 3L Consmos una funón ξ una aab póa poo L po o más abaa omo s n bujo ajuno. aa sa funón s áo Toma Fou sgún ua s pu apoma ha funón ano omo quamos po mo una s nfna sumas snos osnos sa foma n a n n os b L n n sn L a n L L n os L b n L L n sn L omos apa so a aso a pubaón n ampo spaamnos qu hmos ao n mu sno L a sana fja n as os pas n qu sán anaos os mos mu. E oma Fou nos a una apomaón a a foma a funón n nao [L] n émnos una suma onas snoas qu a onomos. Dpnno a foma a ona sán nsaos más o mnos émnos a s Fou paa onsgu una apomaón on un o uaáo mo mno qu un ao ao. En paua s a funón n un é omo n aso qu hmos so ans nons son nsaos muhos más émnos a s paa onsgu una apomaón aa. En a úma pa a són ano mos aso spaa gamn no mu. No o qu puno on apamos a fua psna un é n ampo spaamnos n qu a aa ξ/ s sonnua po s fn a pnn a un ao oo s puno a aa sguna ξ/ no sá bn fna n msmo puno on o ua a uaón onas no sía ompamn apab. Sn mbago a s Fou pm apoma ξ ano omo quamos n émnos ajus uas po mínmos uaaos po mo una s nfna snos osnos s po apomaons susas funons onnuas abs n uaqu on. Cuanos más émnos a s ngamos a apomaón sá más psa s un ao n paa qu a onbuón so émnos nfnos émnos poá onsas spab. Eso s anáogo a onpo anho bana n a ansmsón sñas omunaons. D sa foma a s Fou pm apoma funons

12 Enqu Cana ío Sob a uaón onas abaas n un nao aoao a aab npnn qu psnn agún po sonnua no sna qu no om aos nfnos n ao a funón o sus aas. Esas apomaons s aan po mo funons anaías onnúas abs on aas onnuas n uaqu on. Es panamno as ss Fou s mu sno a a s Tao. La funón ξ ospon a una pubaón na qu pomos pooa n ampo spaamnos mu sn mbago sa pubaón pu s abaa. En ono s gmos a pubaón Asn K K L omos ompoba qu ospon a émno n= a s Fou moo qu ofn b no s anua so ofns s nuo. D hho sa foma funona s a qu hmos uao n anáss a són ano on habamos as onas saonaas. D s moo s amos namn mu on ampo spaamnos ano sa foma s spaa n mu moo qu os bos a ona pooaan a apaón os noos popos a ona saonaa. aa una foma ona más ompja apaán mas omponns sno/osnoas po oas on un ao su paámo K n on n : K=nπ/L. La naa a uaón ona pm p anáss saonao hho paa a pma ona n= paa uaqu oa omponn n>. Las snas omponns no nfn n sí no ha ansfna ngía n unas omponns onuaoas oas. E suao no s smpmn a suma os suaos nonaos paa aa omponn. D s moo suao ompo paa aso una ona saonaa sía n a n b n n n sn os L L Don s a oa a ona qu paa un ssma na s onsan npnn ao K. E hho qu KL > supon qu a Hoo no s áa n sa pna. 6-La uaón ona n s mnsons. La magn psna una bana ása o mu n a ón. La bana s psna omo un onjuno fbas ásas. La ua psna un ampo Z spaamno áso omún oas as fbas. Tambén s psna un ssma oonaas asano n sus js XYZ. Y X La uaón onas unmnsona qu hmos so ospon n s ono a

13 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 3 Es a aab spaa an ospon a mas hhas sob a ón ampo spaamno s msmo paa oas as fbas. Es panamno no sá n onfo on panamno pmna a no s abajo. Es n qu ao un puno s nfa una soa fba un ao no ha fba. Sn péa gnaa pomos supon qu ogn a fba na a bana on on ogn oonaas. En s aso s sgna ahoa un o unao amnsona n a ón as fbas s fa Es ao un ao no a bana ao paa a fba osponn sá ao po a psón ano. Dao qu ampo spaamnos s msmo paa oas as fbas s a o msmo paa uasqua os fbas n os punos on msmo ao pomos nou ampo ξ. ano s ampo pomos psa a uaón onas n 3 mnsons uano a ga a ana aas: Dao qu s onsan una sguna aón sua n pno so paa as oonaas sumano nmos Ya qu s un o unao. En oa a uaón onas n s mnsons sua s E poso onuaoo qu hmos supuso n oumn a bana ása paa u sa uaón s nomna ona pana a qu n un nsan mnao oos os punos a bana n un pano ppnua a a bana n s aso nn msmo ao ξ. Las onas panas s pun apa pmnamn n oas pnas omo a uba onas. Sn mbago a uaón fna a suponmos áa paa un ampo ξ abao no soo paa una ona pana. No o qu a uaón fna obna s áa n uaqu ssma oonaas.

14 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 4 omos gnaa a souón aso unmnsona a aso mnsona po soo paa onas panas F G 7-Onas uas n pano. La magn ospon a a aía una goa agua n a supf un sanqu on agua n poso. Las mofaons psón pouas s ansmn n foma ona ua s no. En a supf agua apan sas as qu sgun un paón sma a a gáfa a ha omao sob una ína aa qu psna n na agua moo qu a ma qu a sana a no aumna as sas as an sno mnos ponunaos spo n na agua. Con mpo a ngía s a sbuno n áas más más gans moo qu spaamno pooao po a ona a ua s popaga foma homogéna n oas as ons sob a supf agua s no mpao a sno aa más pquño hasa has spab. En s aso no apan onons onono n onas saonaas. No s un ím físo n qu agua sé obgaa a pman n poso fn a a ona mpaan. Eso s fá s gnamos a ona n un pn aso : agua n os bos ambén osa no ha una foma sna ha qu pmana n poso. Sgún o ano paón onuaoo sía una funón a foma ξ on ξ psna a aua agua sob n na a sana a no mpao. Toas as ons spo no s ompoan foma sméa. E aso so s un fnómno onuaoo n os mnsons qu nos a a pm ha un s a uaón ona n s mnsons a són ano. Daa a pnna funona pomos psa opao Lapaano a uaón ona n oonaas poas on no puno mpao apa a uaón onas sa foma

15 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 5 S mupamos oa a psón po sgún as popas as aas paas nmos Con o qu obnmos a uaón onas unmnsona paa ampo ξ po ano a souón gna a uaón s F G F G Con o qu mos ápamn qu paa una ona qu s aja no mpao G+= pomos oma una funón snoa paa F- pou apomaamn paón a ona aaao po una ampu n a ma qu aumna a sana a no mpao. Enmn a souón g paa = sía nsao onsa as onons onono auaas. E aso un mpao os objos n no agua ospon a onas sféas mnsonas qu s popagan s un no. Sgún pnpo Hugns oo puno un ssma afao po un poso onuaoo s mso onas sunaas sféas. 8-aón n a uaón Lapa a uaón onas. La uaón fna Lapa paa una magnu ξ n os mnsons u sa foma muhos fnómnos físos on smía pana sgun sa uaón así po jmpo : ons pona n un fuo o pona osáo una aga a una paa onuoa. Esa uaón Lapa n os mnsons s fomamn mamáamn mu sma a a uaón onas. Mamáamn pomos ha qu paámo osponn a a oa a ona sa a una magnaa. Dspués oo s aa un númo qu am as msmas opaons qu uaqu númo a on a popa =- so ansfoma a uaón onas n psón qu fomamn s gua a a uaón Lapa aunqu a oonaa mpoa b ahoa npas físamn omo una oonaa spaa. Sguno fomasmo mamáo a souón gna a uaón Lapa n os mnsons s a msma qu a a uaón onas po onsano a oa magnaa:

16 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 6 F G s uaqu funón ua aab sa un númo ompjo sua s una souón a uaón Lapa n os mnsons. o supuso as souons on sno físo bn s as o ua pu onsgus apano as popas onjugao un númo ompjo sa foma [ F ] F F F F F F Im[ F ] F F F F F F sguno fomasmo as aons anos son smas a aso as onas nn boaa qu gnaban onas saonaas po ano pomos busa souons a foma ξ= ξ ξ paa a uaón Lapa n os mnsons. Anáogamn a uaón Lapa n s mnsons qua fomamn a una uaón onas mpo as souons n foma anáoga a una ona pana moénos n a ón o unao u sán po ano a foma F u G u u u u o oo ao sa anaogía nu a pnsa ambén n a búsqua qu souons n foma pouos ξ= ξ ξ ξ a uaón Lapa n 3 mnsons ago qu uamos a onnuaón. Es posb qu ξ psn ambén una ona físamn a s numos mpo omo aab : ξ aunqu apaano no op sob a aab mpo. En s aso a souón ano oma a sgun foma F u G u u u u on s a oa a ona. Una souón a nua n s gupo s ha uao n a són sob onas supfas n agua abajo sob mána fuos on Fa =G-a = a. Enmn sn souons a uaón Lapa snas s gupo omo s aso pona gaaoo n gons spao aías. Hmos so paa aso una ona sféa una souón a foma ξ = f-/. omos a a ím sa psón gno f- = onsan o ua n aa anua ompoamno onuaoo. Tomano omo onsan a una sn péa gnaa a uaón onas oma a foma a uaón Lapa n 3 mnsons sa foma

17 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 7 on hmos uao as popas opao gan a omo s noujo n abajo sob mána fuos. Uano gan n oonaas asanas pomos ompoba suao ano o ua jusfa n pnpo a uaón Lapa paa aos no nuos. aa = suao b onsas nmnao. Sn mbago Lapaano / nos sa una sopsa. S apamos oma nga a gna sob una sfa naa n ogn ao no nuo abao nmos 4 3 S S on a nga supf ospon a a fnón ánguo sóo o qu jusfa ao no nuo a nga. Tnmos po ano un objo mamáo qu sua s nuo paa oos os punos spao sao paa uno uaqu nga oumn qu onnga ho puno bmos asgna una ao no nuo. S sngu sa nua sp mamáa onpo funón nomnánoa sbuón n ono s un sbuón po a Da δ. Inouno una onsan q/ε pomos sb suao omo 4 spao oo q q a sbuón δ s fn omo nua paa sno o a nga oumn δ s gua a s oumn nu puno =. Las unas δ son as a nsa un oumn o pu aamn a smu a uaón ano a uaón osson paa pona un ampo osáo o gaaoo on a nsa ospon a una aga o masa punua oaaa n =. Enmn a aga punua no n po qué sa n = s pu oaa n un puno abao n s aso a uaón ano qua así ' 4 ' q q on opao gan s apa sob as oonaas puno obsaón ampo no sob puno oaaón a aga. A pa s suao oma Gn s pu sab una souón gna paa a uaón osson. E oma Gn s una onsuna oma nga a gna són mamáa abajo nouón a a

18 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 8 mána fuos. S omamos funons abs ϕ g abaas fnno a funón una oa A pano as nmos A g g A A g g g g g g A S g g S omagn Egmos as funons φ g a sgun foma apao a oma Gn nmos. osson g ' ' g g g S g g os suaos pns mos qu pomos g g 4 ' po ano 4 ' 4 ' ' ' s onsamos un puno fjo ampo un puno qu aía n oo spao sob qu s aa a ngaón suao s un ao ngao paa a funón pona a uaón osson S ' 4 ' 4 ' S ' La nga supf ospon a onons onono sob ao a funón pona su gan n os punos una supf aa. E saoo sguo aquí paa so a uaón osson s pu gnaa n méoo a funón Gn. Dao un opao fna na D omo pu s opao Lapa a uaón onas a uaón fusón a uaón popagaón ao a uaón Shöng. S aa nona a funón Gn g qu sa souón una uaón fna a foma D g. A pa aquí s pu nona una souón paa a uaón fna Df = u sno u una funón abaa. E méoo a spaaón aabs ambén s apab paa nona souons a Lapaano. En apén s sb aso oonaas sféas on smía aa.

19 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 9 9-E pnpo Hugns a faón. En 678 Chsaan Hugns popuso sgun pnpo huíso paa pa mansmo popagaón una ona: Too puno afao po una ona pu onsas omo una fun onas sféas sunaas qu s nn n oas as ons on a msma oa funa ongu ona qu fn ona qu pon. obabmn o ua moos qu uan s pnpo huíso paa suaa os posos fón faón una ona. Sn mbago nunao pnpo psna pobmas npaón físa. Nomamn una ona n asoao un sno popagaón :a un puno A a un puno B. o sgún pnpo as onas sféas sunaas s popagan a msma foma n oas as ons no ha una ón pgaa. Tommos aso a ona ua gnaa po una pa qu a n a supf un ago n poso. Un puno san no mpao ga a s afao po a ona sgún pnpo s on n mso sunao onas sféas. La suma oas as onbuons sunaos gna n pnpo ano una pubaón qu aana omo una qu o spo momno na a ona. Sn mbago pnpo huíso s bas paa un panamno mamáo mas pso. Sgún pnpo pomos sab qu a foma funona una ona sá s po sn w A ' ' ' on hmos omao una ona snusoa paa a funón f- a ona sféa. E puno ospon a puno onsao omo mso sunao s puno obsaón a ona. Los faos A ajusan a ampu a ona sunaa onsamos qu paa una suaón saonaa soo pnn o onas puno mso sunao onsao puno obsaón ampo. aa aso una ona monoomáa aaaa po una úna ongu ona pnpo na qu as onas sunaas nn sa msma ongu ona. omos ua a aón Eu =os+*sn psa a aón ano así ' A ' w ' A ' w on a ampu ona ospon a a pa a a psón ompja ϕ. Vmos qu a psón am una faoaón n pa spaa pa mpoa. S apamos a uaón onas a a foma qu hmos obno nmos w

20 Enqu Cana ío Sob a uaón onas a uaón fna ano onoa omo uaón Hmho psna a onjuno oas as souons ompabs on pnpo Hugns paa aso onas monoomáas. omos nona as ngas a uaón Hmho man a éna a funón Gn sñaaa anomn. aa o nsamos nona a funón Gn osponn a a uaón Hmho ' g g sgun anao sua s áo paa a funón Gn osponn a a uaón Hmho pu mosas qu s úno anao ' g on fao a a ha δ s mna a qu uano n a o s ao n a. S apamos ahoa oma Gn aano n oo oumn ngaón mannno n un puno fjo ' 4 ' ' 4 4 ' 4 4 S S g S g g g g suano qu ao ampo n un puno ϕ pn una nga sob una supf qu na a ho puno. Dfaón omos apa suao ano a aso n qu una ona pasa po una pquña abua paaa n una paa. En aso onas umnosas a ópa goméa nos qu a pasa a u po a abua s pou una ona somba n a qu no ha u. o a pna na qu ha somba goméa s pou s

21 Enqu Cana ío Sob a uaón onas amaño a abua s mao qu a ongu ona po paa mnsons ompaabs s posb a u n as onas somba goméa. Foo S S S Obsao S3 E bujo psna un foo mso onas monoomáas sféas una paa maa fja gans mnsons on una pquña abua. E íuo punao ospon a una supf sféa ao mu gan qu uamos paa aua a nga suao mamáo ano sob un puno obsaón. Dsomponmos a supf ngaón n 4 pas: a S3 : s a pa a supf sféa qu no oa a a paa n a a abua. as S : son as pas a supf sféa qu oan on a paa. a S : ospon a a pa a supf sféa n qu sá a abua. S ϕ s a funón ona a a qua a paa suponmos qu ha paa no fja as onas mas s foo suponmos qu a funón ona ospon a una ona sféa La nga qu bmos aua s pu sompon n s pas sgún as supfs qu hmos so ' 3 4 S Don S s un o apunano a o a supf sféa ngaón. Consamos as sguns apomaons -La nga sob S3 onsu snamn una ona sunaa oso po o qu ao sa onbuón b anuas a qu no s nngún objo fan. -Las ngas sob S osponn a una ona somba goméa aunqu n go no sa o bo a fnómno a faón amos a supon qu ϕ oma un ao spab n sa ona moo qu as ngas son spabs. 3-En S ao a funón ona ϕ s msmo qu s no ss paa. E suao s A

22 Enqu Cana ío Sob a uaón onas A ' 4 A 4 S A 4 S S 4- Una apomaón mas :suponmos a ongu ona muho mno qu as sanas : >> >> po ano A ' 4 A 4 S A 4 os S os S S S S pun aña apomaons aonas a s suao paa pa os asos faón Fsn obsao /o foo ano a a paa Faunhoff obsao foo ajao a paa. En aso Faunhoff suponmos foo n nfno po ano o qu ga a a paa s una ona pana ampu onsan. aa smpfa moo suponmos qu os aos gan paaos a un pano ppnua a a paa qu pasa po no goméo a nja a qu amamos suo n bujo ano pu s msmo pano pap. Dbo a ánguo S n a ona pana pano a nja sá un sfas goméo δ n ao a ona pana n os punos a nja. Los aos sunaos a a ha bujo paaos a suo mos s oos os punos a paa s uan n nfno sgún a fnón goméa paasmo. omos obn una magn s u uano una n auaa qu oma os aos sunaos os nfoa n una panaa obsaón obsao n bujo ppnua a suo. Enmn os aos sunaos paaos n sí po no paaos a pano suo sapan a as mnsons una panaa obsaón amaño fno po o qu nuso obsao no nsa nos n una. Esos aos paaos sunaos ambén nn asoao un sfas goméo bo a ánguo S on a paa a n no nou nngún sfas aona. Con sas os apomaons a fomua ano qua así A ' 4 os os S S S h Don os aos on ín son aos onsans. aa aso sno una nja angua áuo os sfass δ s pu aa δ θ uano a magn una pua aba. E huo a pua s a δ nja pano a pua ospon a fn ona a ona pana. Con aua bujo ajuno pomos aua fámn sfas θ A ' 4 sn sn sn sn os os h D

23 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 3 Don hmos omao omo fna ánguos a ón a nja onsano su sgno θ > θ < n bujo. E suao musa a aón n a faón a ansfomaa Fou. Fnamn ambén hmos nonao una psa sob a anuaón as onas sunaas n oso sá n fao osθ +osθ. aa a ona sunaa n oso o fao sá osθ +osθ +π= o qu musa a anuaón as onas sunaías n oso. E panamno qu hmos sguo sob a faón s f a una pquña abua n una paa po a faón ambén s a n aso n qu a u n n bo a paa apano u n as onas osponns a a somba goméa. En a páa s an fnómnos faón uano onas ao a ongu ona auaa numpn su noma popagaón po ans gogáfos omo monañas. E saoo aao s basa n qu foo gna una ona monoomáa. En go so no s posb a qu una ona monoomáa s nfna na. Una ona monoomáa s po jmpo sn-w moo qu n uaqu nsan mpo pomos aaa a ona po mo su ongu ona. En a aa so no s así os foos mn os amaos pusos o ns ona s onas on un no un fn n mpo n spao. La magn psna jmpos sos ns ona. La aa monoomáa os foos msos s m po paámo nomnao ongu ohna qu psna apomaamn a ongu n n qu a ona s apomaamn snusoa monoomáa. aa sfass qu an a ongu ohna os suaos a apomaón Fanunhoff no sán áos n gna mas aá s ím a ongu ohna no s obsa fnómno a faón. Los as son as funs u on mas aa ongu ohna. E oma Fou pm psa os pusos o ns ona omo suma onas omponns monoomáas puas.

24 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 4

25 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 5 -Onas saonaas n s mnsons. Hmos so aso onas saonaas n una mnsón paa aso una bana ása o mu obgao a osa n una ona aoaa po os pas. Las onas ásas n s mnsons son más ompjas a qu a pa as onas ongunas ambén son posbs onas anssas sos os pos onas s popagan n gna a sna oa. Sn mbago s posb supon una suaón n qu a oa os moos ongunas anssas s a msma. En s aso ampo spaamnos ásos sá un o suma oa os spaamnos ásos aa ona posb. aa aso a omponn Vmos po ano qu ampo spaamnos fa a uaón ona paa aa una sus omponns oas. Como hmos so as souons saonaas mpan a sna punos n os qu poso onuaoo s anua pmannmn. En aso unmnsona so nos ó a una funón ona qu faoaba sus aabs sa foma: T. En aso s mnsons a anaogía nos a a ξ =T. D sa foma os punos n os qu sa = ampo spaamnos n a ón n s aso sá smp nuo osponn a un noo ξ. omos apa a sa souón a uaón onas T T T T La uaón fna qu s obn no po T no énamn nua spaa as aabs a os os aos sgno gua. A a ha s un ao n a a qua un ao n. Dao qu sas aabs son npnns a úna posba s qu ao ambos aos a uaón sa una onsan : T T paa qu a uaón T sa amóna no om aos nns a o o a nfno mpopos una suaón saonaa s nsao qu sa un ao ngao po ano sua mjo sb suao sa foma T T A pa aquí a busa as onas saonaas amaas ambén moos nomas osaón pn foma mnan as onons onas aso sn mbago mos qu s pu asum una faoaón a funón n una suaón sna.

26 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 6 Tommos aso un maa áso n as onons a sñaaas qu nga foma paapípo gua moo qu n oas as aas ampo spaamno s anu. o ano pano = s un pano noa s ump smp = paa uaqu ombnaón. Enmn pomos pou s ompoamno hano = =. Inouno sa faoaón uano as popas opao gan qu pun s n abajo sob mána fuos No o qu os pouos saas gans s anuan a qu un émno anua a omponn oo anua as omponns. o ano nmos o as msmas aons qu n aso a faoaón a aab mpo os sumano bn ospon a aos onsans émno osponn a a aa sguna n b s una onsan ngaa. Enmn pomos p a faoaón on obnmos n oa as sguns uaons T T o ano a souón gna paa T s

27 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 7 os sn os sn os sn os sn B A T B A B A B A En nuso aso ao qu os panos = = = son panos noas b s B =B =B =. Amás os panos opusos = = = ambén bn s noas po o qu as funons sno b anuas n sos panos noas n n n n n n La souón gnéa on sas onons onono sá os sn sn sn sn n n n n n n n n n B A n n n A A A E so onsans s pu mna on as onons onono osponns a a aa paa ξ / n = on onno ngía osponn a os snos moos osaón. S pu sgu méoo aquí psnao paa asos n os qu os noos s sbuan n supfs sféas o ínas. S a smía s a auaa s pun ua a spaaón aabs psano os opaos fnas n sos ssmas oonaas. S a souón qu nonamos fa as onons onono a uaón onas s un oma qu asgua qu soo pu hab una souón on sas onons.

28 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 8 -Guía Onas. Tommos aso ano onas saonaas n s mnsons n paapípo mofqumos a suaón mnano os panos ím = =. D s moo nmos una bana ása són ongu óamn nfna. En s aso no pun pous as omponns saonaas n a ón a qu no s pou bo a ona osponn. Tomamos una omponn a souón ano sa foma A n n n A n A n A n n n A sn sn sn n n AB sn sn sn B os sn paa a qu suponmos A = sn péa gnaa. Esa psón nu a busa souons ona pogsa a foma sn No o qu no s aa una ona pana a qu a ampu ᴪ n a ón ppnua a a popagaón a ona no n po qu s onsan. S noumos sa foma funona n a uaón ona nmos g Esa uaón a ha so sua ans n funón as onons onono s moo ao sá mnao po onons onono ω s a funa osaón a ona a oa a ona. Toos sos paámos os pomos obn pmnamn moo qu os suaos anos mnan ao g as snas omponns onuaoas n a guía onas nn sa foma n n AnAnAB sn sn sn g Es una ona guaa qu s popaga n a ón. omos magna g ssma fomao po un osao qu mu ásamn mo a guía onas a un funa w. Las onons onono ξ ξ/ sob mo a guía on s aopa osao onun a qu a funa as onas guaas a funa osao bn s guas. o as omponns onuaoas a aés a guía b ump + g =w /. Dao qu pn as mnsons goméas anssas a guía a funa w osao no mos qu ambos paámos son npnns pomos gos moo qu ao g su s un númo ompjo. En s aso no s pou fnómno a ona guaa ssma pusa a ngía qu osao no

29 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 9 nna nou n ssma. La funa w osponn a g = s nomna funa o w fa = w.soo s pun popaga n a guía funas supos a a o moo qu pua s a g >. S osao mo no osa on una funa pua sno una ombnaón o spo funas sgún osponn anáss Fou mpoa sñas nons soo s asmán po a guía as funas osponns supos a a o. D s moo a guía onas funona omo un fo qu mna as funas po bajo a funa o. -Onas n a ua una guaa. Consmos a pusaón a ua una guaa. Cuano a ua sá n poso sabmos qu n fna una nsón mána onsan asoaa a ono su afnaón. Cuaqu puno n a ua a sa n os pas. La fua on qu ambas pas s aan osponn a a nsón a ua s fá sgún as s Nwon qu b s gua n uaqu puno a ua n poso a qu no s nnguna pa a ua soma a aaón. Tnsamos a ua on un o soo mu gamn ano o a una aua h. Eso ha qu a ongu a ua s mofqu n magn a Hoo so supon qu a ua amana a ana ngía pona ása. A soa a u h ua sa ngía pona s ansfoma n L u L néa po ano a ongu a ua mpa a smnu. Dbo a so os punos a ua s mun n pnpo n as os ons pano : <> a qu s mun haa abajo <> bo a qu a ua s sá aoano a smnu a ngía pona ása. omos aoa spaamno os punos a ua n a ón <> a qu s spaamno no pu s supo a a mofaón máma n a ongu a ua h h h h h L h L h L L L L L L L L L L h Enmn on pomos onsgu fámn una mao aua h n a pusaón a ua s nono a puno mo moo qu s s fa qu a aua s muho mno qu a ongu a ua : h<<l nons pomos onsa qu os punos a ua s mun usamn n a ón a. En sa apomaón samos onsano spab a mofaón ongu a ua qu pusamos onsunmn on so bmos onsa qu móuo a nsón a ua T popoona a a ngía ása no s apnas mofaa spo a nsón a ua n poso. Sn mbago n a baón a ua amba foma on o qu a nsón a ua qu s angn a a msma amba ambén ón sa s a pnpa aaón o T. S psnamos ampo nsons n a ua po a funón oa T*u on u s un o unao angn a a ua s a

30 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 3 posón un puno sob a ua ma sob a msma ua mpo nmos paa a aaón nsón n un amo n un nsan fjo T u T Tu T T La aaón nsón n os mos pooa a aaón mno masa osponn qu sgún as s Nwon nusa apomaón son T u T u m La aa n <> n un nsan fjo ospon on a pnn ína angn a a ua n puno onsao. En nusa apomaón sa ína angn sá mu póma a a ína a ua n poso po ano a pnn a ína angn s apomaamn gua a ánguo on a ua n poso a sno s ánguo. D s moo pomos pon ao qu u s un o onsan u u T m u u ao qu paa oo s un aonao nmos omo suao a uaón onas on una oa popagaón qu pn a Tnsón a nsa na masa a ua ambas mas n sao poso a ua u u T m No o qu a oa as onas mánas s aua a pa aos popos qubo ssma onsao. En s aso os paámos son a nsón a ua a nsa na masa ambos n sao qubo sáo. En aso as onas aúsas n a os paámos son a psón a nsa una amósfa n qubo Ia oa as onas aúsas n a ambén nu on n aos spífos a oumn a psón onsan paámos popos qubo monámo. Eso nos qu as onas mánas sán asoaas a mofaons aamn pquñas spo a as onons qubo un ssma sab s un ssma qu n a upa su sao na qubo n spusa a pubaons. T

31 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 3 3-Connua fón faón. La onsana a funa Imagnmos os mus snas onsans ásas onaos a omo apa n bujo. La onón n mus s ha man una pquña masa. Sob sa aúan as fuas os mus a gaa. S ξ amos aso hasa ím n qu s anua sa masa ξ nmos n móuo a sgun aón fuas ξ = ξ on oa ξ ha fna a as ongaons os os mus spo ξ sus spos saos sn nsón ha fna a as onsans ásas spas. Es posb pana a ombnaón mus omo un mu quan asgnáno una onsan una ongaón qu b s a suma as ongaons anos. La fua qu j s mu quan sob a masa abajo b s a msma fua qu j mu : ξ +ξ = ξ.susuno a uaón ano nmos = / + paa a onsan ása mu quan qu sua s mno qu uaqua as onsans nuas. o ano pomos pana a náma a msma foma qu on un soo mu m ma os / m S bn sa uaón sb momno mo mu osano on una funa ω a pna nos qu os os mus sán osano on a msma funa ω. En ono masas os mus muho mnos qu a masa mó mo smp pomos g mus sno maa masas mu snas n sí. En uaqu aso sos os mus sua osa on a msma funa ω qu mu quan. Ds puno sa onuaoo qu aboamos a onnuaón bmos onsa una ona qu pasa mu a mu a és sgún o so pa qu bmos mann a msma funa paa as onas n mu mu. La aua Aonso-Fnn o apa so omo un hho pmna apab a oos os fnómnos onuaoos asoaos a a fón faón onas. anamno onuaoo Imagnmos una bana ása fomaa po a unón oas os una ás a oa gua són po sno maa moo qu mouo asa Y sa fn. Anáogamn aso pu s una ua fomaa po a unón oas os una ás a oa po on fn nsa na. La suaón s sma a a sa n bujo on os banas ásas o uas onaas. S un fnómno onuaoo s sá popagano qua a ha pa n qu pu pasa a a oa pa ssma sgu popagános n a msma ón. Infqumos as funons n as os pas omo ξ - a a qua ξ - a a ha. E ao sas funons ospon a a ongaón aa puno a bana ompa n nsan. S amamos a puno fona n as os pas ssma pa n qu a

32 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 3 ongaón s puno s úna po ano as os funons anos bn on n s puno: Sn mbago apa un pobma físo n s puno. Sabmos qu a ngía ása s popoona a a onsan ása a uaao a ongaón sabmos ambén qu sa ngía ása s popaga juno on a ona qua a ha. S juso a ha qua a supf fona nmos maas sna onsan ása s po jmpo < nons a onón gua ongaón n a supf fona supon un pobma físo n aón a pnpo onsaón a ngía. En fo n un pquño nono a ha qua a ongaón sá po onnua snsbmn sma a a ongaón n po a ngía ása n ao quo sá mno qu n ao ho bo a a fna onsans ásas. Eso supon un aumno ngía uano a ona pasa a supf fona no s a pona sa ngía aona. La souón gna a uaón ona nuso sno a ausaa soo nos ja a anaa supon qu n a pa qua no pu s una soa ona nn sno qu a supf fona b s a ausa una ona boaa o fjaa moénos n a ón onaa a a ona nn: ξ +. D s moo a onón paa a ongaón n a supf fona s on subín na ona nn ona fjaa ona ansma o faaa. S nos fjamos n aso a bana ása n puno o mjo ho n a supf fona a nsón a bana b s a msma a un ao a oo. Eso s nsao poqu no pomos asgna masa n s aso a a supf fona n as pas ha qua. o ano n puno s b fa T Y S Y Y S T Y Y S Sgún oma Fou pomos sompon n s snos osnos uaqu pubaón onuaoa n un mo na. o ano sá an ompoamno físo una soa omponn snoa n s aso. La ón as onas fjaa ansma b s a qu haa onnua on os asos ím sguns -S ssma a ha s un objo no áso maso a ona b fjas oamn no s omponn ansma. Es aso a o hmos so ans.

33 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 33 -S maa a ha s mu pao o gua a a qua nons a ona s oamn ansma no s a omponn fjaa. Sgún sas onons pomos oma a sgun ón sn K sn K sn K on mannmos a msma funa sgún o suo n a són ano. D sa foma on os aos osponns paa as ampus o onas asoaos a a funón sno pomos pou os asos ím ans sñaaos. Apano as onons onnua a sas uaons omano po onnna = nmos Y K Y K o qu nos pm a pa a ampu a ona nn ξ obn a ampu a ona fjaa ξ ansma ξ. o oo ao a pa a funa a oa as onas ásas n as os pas s pun aua os númos onas K maúsua a ha qua. 4-Onas aa spa. Caso una mnsón Imagnmos os ssmas oonaas nas js paaos moénos aamn a oa sob a ón j <- > omún. Sob j <> ssma ha una ua n poso qu s pusa gnano un poso onuaoo. En as posbs souons a uaón onas son una ombnaón na funons a foma -u* on u s un ao poso o ngao osponn a a oa a ona n. Toas sas funons umpn a uaón onas n ssma u La uaón sá psaa n émnos os opaos fnas nano sa foma qu amos a opa usamn on funons qu fqun a uaón onas ano. En ssma oonaas a ona s sb n s aso uano a aón n ssmas nas moo qu poamos pon -

34 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 34 u* omo psnaón fnómno onuaoo n as oonaas ssma na. Nuso objo s ompoba qu sa funón fa ambén a uaón onas n as oonaas ssma. Como mos n abajo Espaompomaa aío sgún a aa spa a aón n oonaas os os ssmas s A pa aquí pomos aua a ga ansfomaón as aas paas osponn on a ansfomaón oonaas uano a ga a ana sob una funón mamáa abaa f f f f f f f f f f f uso qu sas psons s fan paa uaqu funón f sa o no una souón a uaón onas pomos pon suao n foma opaos Esa aón s a ansfomaón Lon paa as aas paas n os os ssmas oonaas. Esa foma nos faa una apaón aa opao paa aua as aas sgunas osponns Dsaoano as psons anos apano a opaón nonaa a a funón =-u* ao qu n a funón uaa fa a uaón onas u Lgamos a

35 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 35 u u 4 No ahoa o qu uaqu funón a foma f-u qu fqu a uaón onas n ambén fa nsaamn sa oa uaón n émnos opaonas u Susuno so n as uaons anos pomos mna / gamos a sgun opao u u Lo qu nos qu a ona ogna n ssma ansfomaa a ssma n ambén ump a uaón onas n s úmo ssma oonaas po on una oa popagaón osponn a a suma asa oas qu paa oas muho mnos a a oa a u u<< ospon a a suma ása oas. Caso os mnsons Supongamos qu n pano - s una ona pana bmnsona qu fa una uaón po =f*-ω on = s o ona ω a funa angua. La psón funona ano s pu pon sn péa gnaa omo =fw*- smpmn no agumno a funón po ω hano W=/ ω. En ssma fnómno s sb po ==fw* -. Anáogamn a aso ano a ansfomaón opaos asoaa a a ansfomaón Lon nos a a 4 aa una funón uaqua a foma =fw*- s fa o sgun

36 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 36 W W W Qu susuo n as uaons pas pou W W W W W 4 Sumano as os pmas uaons no po a a 4 W W W W W W W W po ano a ona ansfomaa sgún as oonaas ssma ambén fa a uaón onas sa foma W W W W W W W W E o pu ompoba qu paámo W ospon on a ooa mnonaa n abajo Espaompomaa aío. aa aso una ona omagnéa n aío os móuos W W son guas a / a nsa a oa a u n aío. Consano W =Wosφ W =Wosφ s fá a as psons anos a fómua fnómno onoo n asonomía omo abaón asa un ao u: En un aso unmnsona paa qu as uaons ona onan b s W=/u moo qu ambén s ump a aón os os os u u W W

37 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 37 Apén Mamáo Spaaón aabs a uaón Lapa n oonaas sféas smía aa. Imagnmos una aga punua oaaa n n nuso ssma oonaas. Tommos fθ = omo a funón Gn Lapaano. Enmn s una souón a uaón Lapa s pu apa n bujo qu ha funón s sméa spo ánguo φ s supuso fjo s una funón fθ. omos píamn a pnna a funón así sa funón b ump a uaón Lapa n oonaas sféas qu omo mos n abajo sob mána fuos s sn sn f f on a smía qu manjamos nos pm mna émno osponn a a aab φ. oano a mpoana as ss nfnas n a souón s po uaons fnas pomos psa a funón fθ sa foma bajo as onons. S s sufnmn mao qu moo qu s umpa os Enons fθ s pu psa aamn omo una s nfna Tao a foma os / f bo a aá ponómo s n qu pomos psa a s nfna ano sa foma f on s fn omo fao asoao a a pona / s un ponomo n osθ. Es gupo s ono n mamáas omo ponomos Lgn. S apamos opao Lapa a s nfna ano nmos paa a pa aa / / os os f

38 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 38 paa a pa angua sn sn sn sn sumano ambas pas sn sn sn sn ao qu sa psón b anuas paa uasqua aos no omno aos ans sñaaos s n qu b umps paa uaqu ao ín sn sn La uaón fna ano b fas paa os ponomos Lgn sa uaón fna sua s fomamn gua a a pa angua a osponn spaaón aabs n oonaas sféas g sn sn on a onsan ospon a ao + moo qu a pa aa b ump guaos po a foma a s nfna Tao qu omamos namn fθ busamos souons a uaón ano n foma ponomos n. Daa a naa a uaón pomos qu as souons ponómas son B A moo qu a spaaón aabs una a a naa opao Lapa pm psa una souón a pobma n foma s nfna B A n qu mos una souón ompab on a funón fθ paa aso A =

39 Enqu Cana ío Sob a uaón onas 39 E mu sn masa. En os usos mnas físa s nsña qu a ngía ása un mu s a foma /-. Imagnmos un mu on os masas n sus mos. E onjuno osa n una ína a qu pomos oma omo j nuso ssma mas. Una apaón n a onsaón a ngía nos onn qu a ngía ssma b s bujo E m m on s a posón n j as masas s a ongu mu uano no sá somo a nsón son as oas as masas. o sa psón a ngía nuamn n psupon qu samos spano a masa mu. La suma fuas qu as masas os mos jn sob mu bn qua a pouo a masa mu po a aaón no masas mu. S anuamos a masa mu nmos qu as fuas n os mos mu suman o bn s guas sgno opuso. o aónaón o msmo ou on as fuas qu mu ha sob as masas : F =-F. En s ono masa mu nua a ngía néa ssma sá F F m a m a m m on a a son as aaons osponns C s una onsan ngaón. Sgún as onusons pas pomos aua a nga ano apano a fuas mu a sn masa o Hoo omo F F F C C' on s una onsan po o qu pomos nua no fna C s oa onsan ngaón. Iguaano as os fómuas anos gamos a pnpo onsaón a ngía qu s ha apao nuamn. F F

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