Clase 5: La Convolución.

Transcripción

1 Clse 5: L Convolución. Peter Hummelgens 10 de diciembre de Soporte de un distribución. Se T D (R) y se O R un bierto. Denotremos por D(O) el subespcio linel de ls ϕ D(R) tl que sop(ϕ) O (sí D(O) D(R)). Decimos que T 0 en O def. T, ϕ 0 pr todo ϕ D(O). Luego, pr T, S D (R) decimos que T S en O def. T S 0 en O (equivlentemente S, ϕ T, ϕ pr todo ϕ D(O)). Definimos el soporte sop(t ) de T D (R) como el complemento del bierto más grnde donde T 0. Así sop(t ) es el conjunto cerrdo más pequeño en R fuer del cul T 0. Con sop(f) pr f entendemos sop(t f ), donde T f es l distribución regulr definid por f. L 1 loc (R) Tenemos sop(δ ) {} y que ϕ D(R {}) ϕ() 0 δ, ϕ ϕ() 0. Decimos entonces que δ es un distribución concentrd en x. Similrmente δ, δ, son distribuciones concentrds en x. 2. Distribuciones Cusles. Un T D (R) se llm distribución cusl si, y sólo si, pr lgún R tenemos T 0 en (; ). Entonces sop(t ) [; ) (pero tmbién sop(t ) [b, ) pr todo b < ). Así un f L 1 loc (R) es cusl si, y sólo si, pr lgún R tenemos f(x) 0 c.s. en (; ). Un distribución de soporte compcto siempre es cusl porque es 0 fuer de lgún intervlo cotdo y cerrdo. 1

2 f(x) b x f es cusl con sop(f) [; ) [b; ). g(x) b x g es de soporte compcto con sop(g) [; b) [; ). Ls δ, δ, δ, son de soporte compcto {}, por lo tnto son distribuciones cusles. Denotremos por D +(R) el espcio vectoril de tods ls distribuciones cusles. En prticulr δ, δ, δ, D + (R). Ls funciones f, g L 1 loc (R) en ls figurs nteriores pertenecen D +(R). 3. L convolución de funciones. Se f, g L 1 loc (R) cusles con sop(f) [; ), sop(g) [b; ). Definimos el producto de convolución f g de f y g por (f g)(x) : f(ξ)g(x ξ)dξ; < x <. (1) 2

3 Pr demostrr que l integrl existe pr todo x R vmos probr que (f g)(x) x b f(ξ)g(x ξ)dξ; < x < (2) (de modo que en (1) se trt en relidd de un integrl sobre un intervlo cotdo, l cul desde luego existe). En (1) tenemos f(ξ) 0 c.s. en (; ) de modo que (f g)(x) f(ξ)g(x ξ)dξ; < x <. (3) Pero en (3) tenemos ξ > x b x ξ < b g(x ξ) 0, de modo que el limite de integrción superior puede ser reemplzdo por x b. Esto demuestr (2) y l existenci de (f g)(x) pr todo x R. Se puede verificr que f g L 1 loc (R). Vemos hor que f g es tmbién cusl. Tenemos x < + b x b < ξ < y por lo tnto f(ξ) 0 en l integrl de (2) (f g) 0 pr x < + b, es decir f g es cusl con sop(f g) [ + b; ). (4) Hciendo en (1) el cmbio de vrible ξ t x ξ (x R fijo) tenemos (f g)(x) (1) f(ξ)g(x ξ)dξ g(t)f(x t)dt (g f)(x), f(x t)g(t)dt es decir, f g g f ( es conmuttivo). (5) Además es fácil comprobr que pr f, g, k L 1 loc (R) cusles tenemos (f g) k f (g k) (ley socitiv). (6) y podemos escribir f g k sin poner préntesis, y por (5) f g k f (k g) k f g, etc. 3

4 Además tenemos pr f, g, k L 1 loc (R) cusles, λ C: f (g + k) f g + f k, f (λg) λf g (7) es decir, f : L 1 loc (R) + L 1 loc (R) + (g f g) es un operdor linel. El operdor f se llm un operdor de convolución. Un mner pr producir funciones cusles es l multiplicción con un función de Heviside. Así, si u L 1 loc (R), R, entonces f(x) h (x)u(x) es cusl con sop(f) [; ). Se tmbién v L 1 loc (R), b R y g(x) h b(x)v(x) (podemos tmbién escribir f(x) h(x )u(x), g(x) h(x b)v(x) donde h(t) es l función de heviside centrd en t 0). Entonces es fácil obtener de (2) l fórmul (f g)(x) h(x b) x b u(ξ)v(x ξ)dξ; < x < cundo f(x) h(x )u(x), g(x) h(x b)v(x). (8) El fctor h(x b) frente de l integrl es 0 pr x < + b, de mner que l formul muestr de mner explícit que sop(f g) [ + b; ) (ver (4)) Ejemplo 1. Se φ(x) h(x) h(x) cos(2x); < x <. Se pide hllr φ(x) en form explícit. En (8) Tommos f(x) h(x)1(x) (1(x) : 1 pr todo x R), g(x) h(x) cos(2x). Entonces (8) d x φ(x) h(x) 0 x 1(ξ) cos[2(x ξ)]dξ h(x) 0 cos[2(x ξ)]dξ 1 h(x) sen(2x) luego de un computo elementl. 2 Verifique que h(x) cos(2x) h(x) d lo mismo. Hemos tomdo un ejemplo bstnte sencillo porque l evlución de un producto de convolución medinte integrción puede ser muy tedioso. Pero sobre todo porque vmos conocer más delnte métodos más eficientes que frecuentemente permiten evitr el computo de integrles, usndo derivds generlizds y ls regls opercionles de l convolución, y tmbién l trnsformd de Lplce. Ejemplos donde se plic l integrción se consigue en l guí de ejercicios resueltos del Profesor Hummelgens. 4

5 El producto de convolución (1) tmbién existe en csos donde f, g no son cusles. Por ejemplo f, g L 1 (R) existe f g L 1 (R). Así tenemos (ver l guí) e x e x e x (1 + x ); < x <. e x e x e x x Otros csos donde existe el producto de convolución mencionremos más delnte. 4. L convolución de distribuciones. Consideremos nuevmente el producto f g con f, g L 1 loc (R) cusles. Vimos que f g L 1 loc (R), de modo que f g define un distribución regulr. Tenemos pr ϕ D(R), f g, ϕ F ubini (f g)(x)ϕ(x)dx (1) f(ξ)g(x ξ)dξ ϕ(x)dx f(ξ)g(x ξ)ϕ(x)dxdξ f(u)g(v)ϕ(u + v)dudv, R 2 R 2 luego del cmbio de vribles u ξ, v x ξ (con x fijo). L formul obtenid, f g, ϕ f(u)g(v)ϕ(u + v)dudv, ϕ D(R) R 2 hce ver como f g ctú como distribución. L integrl doble puede escribirse (medinte Fubini) como corchetes compuestos (ó iterds): f g, ϕ f(u), g(v), ϕ(u + v) g(v), f(u), ϕ(u + v), ϕ D(R). Podemos hor definir S T pr S, T D (R) en nlogí con (9) por S T, ϕ : S(u), T (v), ϕ(u + v) T (v), S(u), ϕ(u + v), ϕ D(R), (9) (10) 5

6 si es que los corchetes compuestos existen (lo que no siempre es el cso). En este cso tenemos S T T S S (T + U) S T + S U (si existe S T, S U). Mencionmos lgunos csos donde l convolución existe: () f, g L 1 loc (R) cusles existe f g L1 loc (R) y es cusl. (b) f, g L 1 (R) existe f g L 1 loc (R) (c) f, g L 1 loc (R), un de ells en L1 (R) y l otr cotd existe f g C(R) y es cotd. (d) S, T D +(R) existe S T D +(R). (e) S, T D (R) y un de ells es de soporte compcto existe S T D (R) y es de soporte compcto cundo S, T mbs son de soporte compcto. (11) 5. Regls opercionles. Según (e) existe δ T pr todo R, T D (R). Tenemos δ T, ϕ (10) T (v), δ(u), ϕ(u + v) T (v), ϕ(0 + v) T (v), ϕ(v) T, ϕ, pr todo ϕ D(R), δ T T, T D (R), (12) en otrs plbrs: δ es el elemento neutro del producto de convolución. Pr describir el efecto de l convolución con δ ( 0), introducimos el operdor de trslción τ : D (R) D (R) (T τ T ) cuy definición explicmos continución. Primero, pr f L 1 loc (R) definimos τ f por trslción de l gráfic de f, es decir, (τ f)(x) : f(x ), < x <. (13) Tenemos pr ϕ D(R), τ f, ϕ (13) f(x ), ϕ(x) f(x )ϕ(x)dx f(t)ϕ(t + )dt f(x), ϕ(x + ), 6

7 luego es nturl definir τ T, ϕ : T (x), ϕ(x + ) ; ϕ D(R), T D (R), R. (14) Tmbién, en vist de (13) es nturl escribir T (x ) en lugr de (τ T )(x), y en prticulr δ(x ) : (τ δ)(x) τ δ δ, R, (15) y sí surge l notción δ(x ) en lugr de δ (x) (l cul utilizremos con frecuenci). Tenemos hor δ T, ϕ (10) T (v), δ (u), ϕ(u + v) T (v), ϕ(v + ) (14) τ T, ϕ, de modo que δ T T δ τ T, R, (16) es decir, δ τ es un operdor de trslción y l trslción es un operdor de convolución. Pr 0 (16) d (12) de nuevo. Pr f L 1 loc (R) tenemos de (13), (16) que δ (x) f(x) f(x ), R. 7