III OLIMPIADA DE FÍSICA CHECOSLOVAQUIA, 1969

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1 OLIMPID INTERNCIONL DE FÍSIC Probleas resueltos y coentados por: José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo III OLIMPID DE FÍSIC CHECOSLOVQUI, El sistea ecánico de la figura inferior consta de tres coches de asas 0,3 kg, B 0, kg y C 1,5 kg, respectivaente B F C La cuerda que une los coches y B es inextensible y sin asa. Se adite que los oentos de inercia de la polea y de las ruedas de los coches son despreciables así coo los rozaientos. a) Si la fuerza F que está actuando sobre el coche C en sentido horizontal es tal que los coches y B peranecen en reposo respecto de C, calcular el ódulo de F y la tensión de la cuerda b) Si el coche C se encuentra en reposo, calcular la tensión de la cuerda y las aceleraciones de los coches y B. Se consideran despreciables las asas de la cuerda y de la polea. Se adite que no hay rozaiento. Considereos un sistea de referencia ligado al coche C. Coo está acelerado dicho sistea es no inercial. El diagraa de fuerzas sobre los coches B y es el siguiente: F i(b) B N (B) T T F C B g F i() N () José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 10

2 Fi significan fuerza de inercia debido a que el sistea de referencia elegido no es inercial. Para los coches B y las ecuaciones del oviiento son: T Fi(B) Ba g T La aceleración a es la de los coches respecto al sistea de referencia ligado a C, la cual según el enunciado del problea es cero. Por otra parte F ib B *a S, siendo a S la aceleración del coche C respecto del suelo. a T T B a S 0 a S B B g (1) Si consideraos un sistea inercial ligado al suelo, todos los carros vistos en conjunto son acelerados por la fuerza F, y de acuerdo con la segunda ley de Newton F 0,3 0, ( + + ) a ( + + ) g * 9,8 9,4 N B C S B C B T g 0,3* 9,8,94 N b) Si el coche C se encuentra en reposo, el diagraa de fuerzas de los coches y B es el iso que antes salvo que no hay fuerzas de inercia. Por tanto: T B a S g T a s a g S + B T 0,*5,9 1,18 N 5,9 s.-un caloríetro de cobre de asa 1 contiene una asa de agua. La teperatura coún es t 1. Dentro del caloríetro se introduce un bloque de hielo de asa 3 a la teperatura t 3 por debajo de cero grados centígrados. a) Calcular la teperatura final en todos los casos posibles. b) Calcular la teperatura final y las asas finales de agua e hielo cuando 1 1,00 kg, 1,00 kg, 3,00 kg, t 1 10ºC y t 3-0ºC Datos de los calores específicos expresados en kj/kgºc cobre 0,4 agua 4,18 hielo,1 Calor latente de fusión del hielo 334 kj/kg José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 11

3 Los casos posibles son tres : a) Que toda el agua se congele y quede un bloque de hielo b) Que todo el hielo se funda y quede una asa de agua líquida c) Que quede agua y hielo en equilibrio a la teperatura de cero grados Se adite en todos los casos que no hay pérdidas de calor con el exterior. a) El hielo añadido se calentará hasta una teperatura t e. El cobre del caloríetro se enfriará hasta la isa teperatura. El agua líquida se enfriará a cero grados, luego pasará al estado sólido y finalente se enfriará hasta la teperatura de equilibrio te. Calor ganado por el hielo: 3 *,1* (te-t 3 ) Calor cedido por el cobre: 1 *0,4*(t 1 -te) Calor cedido por el agua al pasar de su teperatura a cero grados: *4,18*t 1 Calor cedido por la congelación del agua: *334 Calor cedido por el hielo procedente del agua al enfriarse hasta te, *,1* (0-te) 3 *,1* ( te t ) *0,4*(t te) + * 4,18* t + *334 *,1* te b) El hielo que está a t 3 grados se calienta hasta cero grados, luego se funde y el agua resultante se calienta desde cero grados hasta la teperatura de equilibrio te. El cobre del caloríetro se enfría desde t 1 hasta la teperatura de equilibrio y lo iso le ocurre a la asa de agua. Calor ganado por el hielo en pasar de t 3 a cero grados, en fundirse y el agua resultante en calentarse hasta la teperatura de equilibrio 3 *,1*(0-t 3 ) + 3 * *4,18*(te-0) Calor cedido por el cobre: 1 *0,4*(t 1 -te) Calor cedido por el agua: *4,18*(te-t 1 ) 3 *,1*(0-t 3 ) + 3 * *4,18*(te-0) 1 *0,4*(t 1 -te)+ *4,18*(te-t 1 ) c) quí pueden presentarse dos situaciones 1) que se funda parte del hielo 1) que congele parte del agua En abos casos la teperatura de equilibrio es 0ºC 1) Calor ganado por el hielo al pasar a cero grados 3 *,1*(0-t 3 ) +M *334 M es una fracción de 3 que corresponde al hielo que se funde 1 Calor cedido por el agua: *4,18*t 1 Calor cedido por el cobre: 1 *0,4*t 1 3 *,1*(0-t 3 ) +M *334 *4,18*t *0,4*t 1 José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 1

4 ) Calor ganado por el hielo al calentarse desde t 3 a cero grados 3 *,1*(0-t 3 ) Calor cedido por el cobre 1 *0,4* t 1.Calor cedido por el agua al enfriarse a cero grados, * 4,18*t 1. Calor cedido por parte del agua al pasar de agua líquida a cero grados a hielo a cero grados, N*334 3 *,1*(0-t 3 ) 1 *0,4* t 1 + * 4,18*t 1 + N*334 Si coparaos las dos últias ecuaciones observaos que con una de ellas es suficiente. Por ejeplo, si usaos la priera y M sale positivo entonces ocurre que se funde algo de hielo y en el caloríetro habrá ás agua líquida al final que al principio y enos hielo, si sale negativo es que se congela algo del agua líquida y al final habrá ás hielo que al principio y enos agua líquida y si fuese cero es que queda la isa cantidad de hielo al principio que al final. a) 3 *,1* ( te t ) *0,4*(t te) + * 4,18* t + *334 *,1* te *,1*(te+0) 1*0,4*(10-te)+1*4,18*10+*334-1*,1*te 4,te+84 4,-0,4te + 41, ,1te te93,7ºc, solución iposible b) 3 *,1*(0-t 3 ) + 3 * *4,18*(te-0) 1 *0,4*(t 1 -te)+ *4,18*(te-t 1 ) *,1*(0+0)+*334+*4,18*te1*0,4*(10-te)+1*4,18*(te-10) ,-41,8-8,36te-0,4te+4,18te, te-153ºc, solución iposible c1) 3 *,1*(0-t 3 ) +M *334 *4,18*t *0,4*t 1 *,1*(0+0)+M*334 1*4,18*10+1*0,4*10 M* ,8+4,, M -0,11 kg Coo M es negativo habrá ás hielo que al principio asa total de hielo en el equilibrio +0,11,11 kg. Masa de agua 1,00-0,11 0,89 kg a la teperatura de cero grados. Si hubiéseos utilizado la ecuación c ) 3 *,1*(0-t 3 ) 1 *0,4* t 1 + * 4,18*t 1 + N*334 *,1*(0+0)1*0,4*10+1*4,18*10+N*334 N 0,11 kg José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 13

5 Solución ás rápida Se puede hacer el balance térico siguiente: El agua líquida junto con el caloríetro se pueden enfriar hasta 0º C cediendo la cantidad de calor Q c 1.0, , , + 41,8 kj 46 kj. Por otra parte, el hielo puede recibir hasta fundirse totalente la cantidad de calor Q a., kj Coo se aprecia, con el calor que pueden ceder agua líquida y caloríetro hasta llegar a la teperatura de congelación, no será suficiente para que todo el hielo alcance la teperatura de 0º C, para lo cual aún necesitará recibir otros kj ás. Con esto queda claro que el equilibrio térico no se alcanzará en a), (toda la ezcla líquida). Para q el equilibrio se alcanzara en c) (toda la ezcla sólida), el hielo habría de recibir al enos 38 kj del agua del calóríetro a causa de su congelación. Pero la cantidad de calor que cedería el agua líquida al congelarse totalente sería Q cong kj. Cantidad que excede en kj a la que necesita el hielo para alcanzar la teperatura de fusión. Por consiguiente tapoco se alcanzará el equilibrio en c), (toda la ezcla sólida). La ezcla en equilibrio tendrá coo parte sólida, 3 + c kg, y parte líquida, 1 c, donde c es la asa de agua líquida que se congela, y cuyo calor de congelación c kj necesita recibir el hielo para que su teperatura alcance los 0ºC. De donde c 38 0,11kg 334 l final quedarán 3 + c +0,11,11 kg, asa total de hielo en equilibrio con 1 c 1,00-0,11 0,89 kg, asa total de agua líquida, a la teperatura de cero grados. 3.- Un anillo etálico de radio R 5 c está situado en un plano vertical. Una esferita de asa 1 g está atada a un hilo sujeto al punto ás alto del anillo. Si el anillo y la esferita reciben cada uno una carga de Q C, la esferita se antiene en equilibrio en el eje perpendicular al anillo y que pasa por su centro, tal coo indica la figura inferior. Calcular la longitud de la cuerda. Dato Cuerda 1 k 4π ε o N C Eje esferita José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 14

6 Si la esferita está en equilibrio se debe a la acción siultánea de las tres fuerzas indicadas en la figura 1: T, tensión de la cuerda, F E fuerza eléctrica de repulsión entre la carga del anillo y la carga de la esferita, P peso de la esferita T Y P F E Fig 1 X La fuerza eléctrica F E tiene la dirección indicada, esto es, la dirección del eje debido a la sietría del aro. Supongaos un trozo pequeño de aro en la parte superior el cual tiene una fracción de la carga Q, existe en la parte inferior otro eleento de aro siétrico que tiene tabién una carga Q. Q Y α X l Fig. La fuerza que cada trozo ejerce sobre la esferita está representado en la figura. Si se suan las coponentes de esas dos fuerzas sobre el eje Y se anulan y sobre el eje X se suan. Es posible dividir el aro en arcos sencillos, en posiciones opuestas, cuyos valores del capo son los representados en la figura. El valor de la fuerza que el aro ejerce sobre la esferita es: 1 Q Q F cosα k cosα 4π ε o l l Suando las coponentes de las tres fuerzas (T, F E y P ) ( fig 1) sobre los ejes cartesianos X e Y resulta: Q Tsenα P g Tcosα FE k cosα l Dividiendo iebro a iebro abas ecuaciones: g R kq R senα l 3 3 Q l g k l ( 9.10 ) *5.10 0,07 * *9,8 José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 15

7 4.- Una placa de vidrio está situada paralela y por encia de un cubo de vidrio de c de arista, quedando entre abos una pequeña láina de aire de espesor unifore d, tal coo indica la figura inferior. Un haz de ondas electroagnéticas, cuyas longitudes de onda están coprendidas entre 400 y 1150, inciden perpendicularente a la láina y son reflejadas por abas superficies, la de la láina y la del cubo produciendo interferencias. Solaente para dos longitudes del haz existe interferencia constructiva y una de ellas es para la longitud 400 µ. Cuál es la segunda longitud de onda? Calcular el increento de teperatura del cubo para que éste tocase a la placa. El coeficiente lineal de expansión es α 8, ºC y el índice de refracción del aire n1. La distancia entre el cubo y la placa no cabia durante el calentaiento. d h La reflexión en la cara interna de la placa se produce desde un edio de ayor índice, que era donde se propagaba la onda, a uno de enor, con lo cual la reflexión se produce sin inversión del capo eléctrico pero sí del agnético. En la reflexión en el cubo de vidrio, la onda viaja en un edio de enor índice a una superficie que liita con uno de ayor índice, por tanto, el capo eléctrico se invierte y el agnético se conserva. parte de esto la onda que llega al cubo ha recorrido una distancia d. Supongaos que la distancia d es un cuarto de la longitud de onda d λ/4. La figura 1 indica el capo eléctrico de la onda incidente y la fig el reflejado en la láina (sin inversión de fase) La figura 3 representa la onda de llegada al cubo, la fig 4 la reflejada (con inversión de fase) y la figura 5 la que interfiere con la de la láina. Se observa que se produce una interferencia constructiva. L José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 16

8 Si ahora analizaos el capo agnético.la figura 6 indica la onda incidente, después de viajar d λ/4 llega al cubo y se refleja sin inversión de fase ( fig 7), después avanza una distancia d λ/4 ( fig 9). En la láina, la onda reflejada sufre inversión de fase (fig8). l interferir lo hacen de anera que el capo agnético se refuerza, lo iso que ocurría con el eléctrico. José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 17

9 Para que haya interferencia constructiva el espesor de la capa de aire tiene que ser un últiplo ipar de la cuarta parte de la longitud de onda. Esto expresado en fora ateática es: λ ( n 1) 4 d + (1) Teniendo en cuenta que hay interferencia constructiva para λ 400, los posibles valores de d, son : para n0 λ100 para n1 λ300 para n λ500, para n3 λ Para la otra longitud de onda es válida la ecuación (1) si la aplicaos con d 100 resulta: 4d 4 λ n 0 λ 400 n 1 λ ,3 n La segunda solución da un valor de la longitud de onda fuera del intervalo del enunciado del problea. Para d 300 resulta: 4d λ n 0 λ 100 n 1 λ 400 n λ 40 n + 1 Tapoco existen dos soluciones coo dice el enunciado. Para d 500 : 4d λ n 0 λ 000 n + 1 n 1 λ 667 n λ 400 n 3 λ 86 hora existen dos soluciones coo indica el enunciado del problea. Esta es la solución correcta. Si aplicaos la ecuación para d 700 resultan tres soluciones posibles para λ. 4d λ n + 1 n 0 λ 800 n 1 λ 933 n λ 560 n 3 λ 400 Lo cual no coincide con el enunciado El resultado coherente con el enunciado es d 500 µ y las longitudes de onda son 400 y 667 b) Para que al expansionarse el cubo alcance a la placa debe auentar su longitud en d h( t) h(t) ( 1+ α t) h( t) h(t) d h( t) t h 9 d * α.10 *8.10 () t 6 3,1 º C α t José Luis Hernández Pérez y gustín Lozano Pradillo. 18

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