PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Transcripción

1 FACULTAD DE INGENIERÍA U N A M PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Irene Patrca Valdez y Alfaro renev@unam.m Versón revsada: uno 08

2 T E M A S DEL CURSO. Análss Estadístco de datos muestrales.. Fundamentos de la Teoría de la probabldad. 3. Varables aleatoras. 4. Modelos probablístcos comunes. 5. Varables aleatoras conuntas. 6. Dstrbucones muestrales. Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

3 CONTENIDO TEMA 3 3. Varables aleatoras. Obetvo: El alumno conocerá el concepto de varable aleatora y podrá analzar el comportamento probablsta de la varable, a través de su dstrbucón y sus característcas numércas. 3. Concepto de varable aleatora como abstraccón de un evento aleatoro. 3. Varable aleatora dscreta: funcón de probabldad sus propedades y su representacón gráfca. Funcón de dstrbucón acumulatva, sus propedades y su representacón gráfca. 3.3 Varable aleatora contnua: funcón de densdad de probabldad sus propedades y su representacón gráfca. Funcón de dstrbucón acumulatva, sus propedades y su representacón gráfca. 3.4 Valor esperado o meda de la varable aleatora dscreta y de la contnua. Valor esperado como operador matemátco y sus propedades. Momentos con respecto al orgen y a la meda. 3.4 Parámetros de las dstrbucones de las varables aleatoras. Meddas de tendenca central, de dspersón y de asmetría. Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

4 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD VARIABLES ALEATORIAS Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

5 VARIABLE * VARIABLE: Ad. que vara o puede varar. f. Mat. Magntud que puede tener un valor cualquera de los comprenddos en un conunto. Número que resulta de una medda u operacón. VARIABLE CONTINUA: La que consta de undades o partes que no están separadas unas de otras, como la longtud de una línea, el área de una superfce, el volumen de un sóldo, la cabda de un vaso, etc. VARIABLE DISCRETA: La que consta de undades o partes separadas unas de otras, como los árboles de un monte, los soldados de un eércto, los granos de una espga, etc. * Fuente: Real Academa de la Lengua Española Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

6 VARIABLE DETERMINÍSTICA Varable: f. Mat. Magntud que puede tener un valor de los comprenddos en un conunto, pero predecble con eacttud. Varable Determnístca: Contnua Dscreta Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

7 VARIABLE ALEATORIA Varable Aleatora: f. Mat. Magntud cuyos valores están determnados por las leyes de probabldad, como los puntos resultantes de la trada de un dado. Varable Aleatora: Contnua Dscreta Algunos valores de una varable aleatora pueden ser mas probables que otros, lo que da orgen al concepto de dstrbucón de probabldad de una VA. Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

8 VARIABLE ALEATORIA Una VA es una funcón sobre el espaco de los posbles resultados eventos de un epermento aleatoro, Por eemplo: a Al arroar una moneda y observar el lado que queda haca arrba: { águla, 0 sol } b Almentar de la msma manera a 0 anmales y obervar su peso después de 30 días c arroar dos dados y anotar la suma de los puntos que caen haca arrba. d el voltae de salda de 50 elmnadores de baterías. Algunos valores de una varable aleatora pueden ser mas probables que otros, lo que da orgen al concepto de dstrbucón de probabldad de una VA. Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

9 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Eemplo: Caso de una VA dscreta: Epermento: Arroar dos dados y observar la VA : la suma de los puntos de las caras que quedan haca arrba. Las formas en que puede ocurrr cada uno de los valores que toma la VA se muestran en la tabla. Observemos que hay posbldad en 36 de que, mentras que hay posbldades en 36 de que 3 Y Y Y +Y Y Y Y +Y Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

10 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Las probabldades para cada valor de la VA se muestran en la tabla. En este eemplo la tabla representa la funcón de dstrbucón de probabldad fdp de la VA. P /36 3 /36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 0 3/36 /36 Representacón gráfca de la funcón de dstrbucón de probabldad de la VA P P /36 Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

11 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Dstrbucón de probabldad de una VA : f P En nuestro eemplo de la suma de dos dados: f3 P 3 ; f3 /36 Propedades de la dstrbucón de probabldad de una varable aleatora dscreta tambén conocda como funcón masa de probabldad, fmp : a f 0 Para toda que pertenece a b f Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

12 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Las probabldades acumuladas para cada valor de la VA se muestran en la sguente tabla que representa la funcón de dstrbucón acumulatva FDA de la VA. P P< /36 3 3/36 4 6/36 5 0/36 6 5/36 7 /36 8 6/ / / F P 35/36 36/36 Esta es una funcón escalón, hay un salto en cada valor de y es plana entre ellos. En nuestro eemplo: F3 P <3 ; F3 /36 + /36 3/36 Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

13 Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA P F La FDA es una funcón no decrecente de con las sguentes propedades. - P F F F F > Además, s pertenece al conunto de los números enteros: F F P F F 5. P 4. consultar: Canavos, Prob. y Estad., Aplcacones y Métodos., Mc Graw Hll., pag. 56

14 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Caso de una VA contnua Epermento: observar la VA : el tempo que dura una lámpara hasta que se funde. La probabldad de que una lámpara dure de 0 a,000 horas es más alta que la probabldad de que dure de,000 a,000 horas; es decr, que a medda que transcurre el tempo, la probabldad de que contnúe en operacón dsmnuye; este comportamento se puede representar medante una curva eponencal de la forma: λ f 0 fdp f λe 0 λ 0 cualquer otro caso Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

15 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Caso de una VA contnua Propedades de la dstrbucón de probabldad de una varable aleatora contnua tambén conocda como funcón de densdad de probabldad, fdp :.. 3. f 0, fd Pa b b a fd Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

16 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Caso de una VA contnua Epermento: observar la VA : el tempo que dura una lámpara hasta que se funde. F La probabldad de que una lámpara dure al menos horas se obtene medante la funcón de dstrbucón acumulatva FDA. fdp FDA f λe 0 λ 0 cualquer otro caso 0 FDA F P f t dt F e 0 λ 0 cualquer otro caso Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

17 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Caso de una VA contnua F P f t dt La FDA es una funcón no decrecente de con las sguentes característcas.. F 0. F + 3. Pa < < b Fb Fa df 4. f d además: 0 P f t dt y: P P < f t dt F Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

18 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA O ESPERANZA MATEMÁTICA Valor esperado de una varable aleatora : E [ ] f P d ; ; s s es dscreta es contnua Valor esperado de una funcón g de una varable aleatora : E [ g ] g P g f d ; ; s s es dscreta es contnua Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

19 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO COMO OPERADOR MATEMÁTICO S es una varable aleatora con dstrbucón de probabldad f; a, b y c son constantes y g y h son funcones de, entonces:. E [ c] c. E [ a + b] ae[ ] + b 3. E [ g + h ] E[ g ] + E[ h ] Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

20 Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA es contnua. s ; es dscreta. s ; ] [ k k k k d f P E es contnua. s ; es dscreta. s ; ] [ k k K k d f P E El momento de orden k respecto al orgen de una varable aleatora se defne como: El momento de orden k respecto a la meda de una varable aleatora se defne como:

21 Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VA es contnua. s ; es dscreta. s ; ] [ d f P E es contnua. ; s es dscreta. ; s ] [ d f P E σ σ σ Valor esperado o meda de una varable aleatora Varanza de una varable aleatora Desvacón estándar

22 Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA 0,,,... ; 0 k k k k k Los momentos de orden k respecto a la meda pueden epresarse en funcón de los momentos respecto al orgen medante la relacón: Eemplo: ] [ ] [ ] [ E E E σ Para k segundo momento respecto a la meda varanza y Notar que : 0

23 MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA Con un procedmento análogo al anteror encontramos que: Para k Para k Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

24 PROPIEDADES DE LA VARIANZA COMO OPERADOR MATEMÁTICO S es una varable aleatora con dstrbucón de probabldad f ; a, b y c son constantes, entonces:. V[ c] 0. V [ a + b] a V[ ] Además, s Y es una varable aleatora con dstrbucón de probabldad f Y y, y se cumple que y Y son INDEPENDIENTES entonces: 3. V [ + Y ] V[ ] + V[ Y ] Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro

25 DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV Teorema: S es una varable aleatora con dstrbucón de probabldad f con meda varanza σ ; y k es una constante postva, entonces: P k kσ Formas alternatvas, a veces útles, de la desgualdad de Chebyshev son: P k < kσ k y P kσ < < + kσ La desgualdad proporcona una probabldad límte de que la varable aleatora esté a lo más a k desvacones estándar de la meda sn que sea necesaro conocer la dstrbucón de probabldad de, aunque se consdera un resultado débl, ya que s se conoce con precsón f se pueden obtener meores resultados. Preparado por Irene Patrca Valdez y Alfaro