Nova Scientia E-ISSN: Universidad De La Salle Bajío México

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1 Nova Scientia E-ISSN: Univesidad De La Salle Bajío México Paa-Michel, Joge Ramón; Matínez Gacía, Amalia Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Nova Scientia, vol. 5, núm. 9, 2012, pp Univesidad De La Salle Bajío León, Guanajuato, México Disponible en: Cómo cita el atículo Númeo completo Más infomación del atículo Página de la evista en edalyc.og Sistema de Infomación Científica Red de Revistas Científicas de Améica Latina, el Caibe, España y Potugal Poyecto académico sin fines de luco, desaollado bajo la iniciativa de acceso abieto

2 Paa-Michel, J. y A. Matínez Revista Electónica Nova Scientia Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Standad uncetainty calculation by Monte Calo technique fo topogaphy and hole-filed displacement measuement means ESPI Joge Ramón Paa-Michel 1 y Amalia Matínez Gacía 2 1 Univesidad de La Salle Bajío, León, México 2 Cento de Investigaciones en Óptica A.C.,León, México México Joge Ramón Paa-Michel. jpm103347@udelasalle.edu.mx Univesidad De La Salle Bajío (México)

3 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Resumen La ventaja del uso de las técnicas intefeométicas basados en el patón de moteado ESPI (electonic speckle patten intefeomety) es única ya que se pueden hace mediciones muy pecisas de los campos de desplazamientos que ocuen en la supeficie de algún elemento mecánico cuando se defoma. Sin embago, cuando se utiliza la iluminación divegente, se obseva que la medición de los campos de desplazamientos está en función de la topogafía del objeto. Po tal motivo, antes de evalua las defomaciones mecánicas po la técnica ESPI con iluminación divegente es necesaio conoce la topogafía del objeto. La estimación de la incetidumbe estánda de las mediciones de los campos de desplazamiento debe de contempla la incetidumbe de las mediciones de la topogafía que se popaga debido a la ley genealizada de la popagación de la incetidumbe. En este tabajo se muesta el uso de la técnica de Monte Calo paa el cálculo de la incetidumbe estánda paa la las mediciones de los campos de desplazamiento y la topogafía de supeficie de objetos mediante la técnica de intefeometía electónica del patón de moteado con iluminación dual y divegente. Palabas clave: Intefeometía del patón de moteado, ESPI, incetidumbe estánda; Monte Calo Recepción: Aceptación: Abstact Is unique the advantage of intefeometic techniques based in speckle phenomena. A Hole field measuement in mechanical elements can be obtained with height pecision when they ae unde defomation. Howeve, when divegent illumination is used, we can see that topogaphy measuement is a function of the shape of the object. Theefoe, befoe evaluating the mechanical defomations by ESPI with divegent illumination is necessay to know the topogaphy of the Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

4 Paa-Michel, J. y A. Matínez object. The estimated standad uncetainty of the measuements of displacement fields must conside uncetainty measuement of the topogaphy that speads due to genealized law of popagation of uncetainty. This wok we show the use of Monte Calo technique to calculate the standad uncetainty fo the measuement of displacement fields and suface topogaphy using the technique of intefeomety electonic speckle patten with dual illumination and divegent. Keywods: speckle intefeomety, ESPI, standad uncetainty, Monte Calo technique Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

5 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI 1. Intoducción La incetidumbe es un concepto metológico fundamental. La incetidumbe y la pecisión están muy elacionadas ente sí cuando se obtienen esultado analítico basado en mediciones. El témino pecisión está asociado a la poximidad de concodancia ente valoes obtenidos po medio de múltiples mediciones de un mismo objeto, o de objetos similaes, bajo condiciones especificadas [i]. Mientas que la incetidumbe considea todas las fuentes posibles de eo que intevienen en el esultado final de la medición [ii]. Peo la difeencia más impotante se encuenta en el hecho que el concepto de incetidumbe está íntimamente ligado con el concepto de tazabilidad, y no así al de pecisión, Ya que la tazabilidad de un esultado analítico no se podía establece sin considea la incetidumbe asociada a dicho esultado. La guía ISO [ISO 1993], define incetidumbe como una estimación asociada al esultado de un ensayo que caacteiza el intevalo de valoes dento de los cuales se afima que está el valo vedadeo. Esta definición tiene poca aplicación páctica ya que el valo vedadeo no puede conocese. Esto ha hecho que el Vocabulaio de Metología Intenacional, VIM [BIPM, 1993], evite el témino valo vedadeo en su nueva definición y defina la incetidumbe como un paámeto, asociado al esultado de una medida, que caacteiza el intevalo de valoes que puede se azonablemente atibuidos al mensuando [iii]. En esta definición el mensuando indica: la popiedad sujeta a medida. El concepto de incetidumbe efleja una duda aceca de la veacidad del esultado obtenido una vez que se han evaluado todas las posibles fuentes de eo y que se han aplicado las coecciones opotunas. Po lo tanto, la incetidumbe nos da una idea de la calidad del esultado ya que nos muesta un intevalo alededo del valo estimado dento del cual se encuenta el valo consideado como vedadeo [iv]. En cualquie medición se debe detemina claamente el mensuando. Muchas veces la infomación del mensuando es adquiido a tavés de las lectuas de un instumento de medición única. En este caso nos efeiemos a una cantidad de medición diecta. Sin embago, la infomación del mesuando puede obtenese indiectamente a tavés de otas cantidades mensuadas cuyos valoes pueden o no medise diectamente. En geneal, paa estima el valo del mensuando se debe establece un modelo de medición adecuado que epesente la cantidad de salida que se debe medi en función de las magnitudes, vaiables, mensuandos o cantidades de entada. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

6 Paa-Michel, J. y A. Matínez 2 Ley de popagación de incetidumbes [4] Si el modelo de medición es una función lineal o ligeamente no lineal es posible expesa la incetidumbe estánda de las cantidades de salida en téminos de la incetidumbe estánda de las cantidades de entada a tavés de la ley genealizada de la popagación de la incetidumbe GLPU (Geneal Law of Popagation of Uncetainty). Si consideamos un vecto de cantidades de entadas p ( p1, p2, p3,... p n ) asociado al vecto de salida desconocido q ( q1, q2, q3,... q n ) mediante un modelo matemático de la medición M 0 p,q. La matiz de incetidumbes de las cantidades de entada con dimensiones n n es:, 2 U p1 U p1 pn 2 U p, [1] U pn p1 U p 2, n donde los téminos de la diagonal de la matiz son los cuadados de la incetidumbe estánda y las demás téminos son las incetidumbes mutuas. Estos últimos téminos son ceo si los elementos del vecto p no están coelacionados. La incetidumbe de las cantidades de salida dependen tanto de las cantidades de entaa y el modelo matemático de la medición. La ley GLPU nos pemite obtene la matiz de incetidumbes 2 U q mediante la ecuación: 1 La matiz S se define como U 2 q S U 2 p S T. [2] S S q S p donde: M1 M1 p1 p m Sp, Mm Mm p1 p m [3a] M1 M1 q1 q m S q. Mm Mm q1 q m [3b] Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

7 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Se puede nota que paa el caso de una sola cantidad de salida q, la ley GLPU se educe a la ley de popagación de incetidumbes LPU (Law of Popagation of Uncetainty) y la fomulación maticial es innecesaia. Paa evalua la incetidumbe estánda de las mediciones de entada se necesita considea la manea en cómo la medición está hecha. Si las mediciones de entada se epiten vaias veces bajo las mismas condiciones, entonces la evaluación de la incetidumbe seá de tipo A; po oto lado si las mediciones de entada se ealizan una sola vez a tavés de otos modelos matemáticos o son impotados de otas fuentes la evaluación seá de tipo B [v]. En muchos casos las evaluaciones de la incetidumbe de tipo B puede ealizase mediante la técnica de simulación de Monte Calo con la función de densidad de pobabilidad apopiada. En este tabajo se utilizó esta técnica paa obtene las incetidumbes de las mediciones coespondientes a la topogafía y al campo de desplazamiento en la diección x donde todas las mediciones de entada son del tipo B. 3 Utilización del método de Monte Calo paa el análisis de la incetidumbe [vi] El método de Monte Calo es uno de los muchos métodos paa el análisis de popagación de la incetidumbe, donde el objetivo es detemina cómo una vaiación aleatoia en la cantidad de entada o eo afecta a la sensibilidad, el endimiento o la confiabilidad del sistema que se está modelando. El método de Monte Calo es clasificado como un método de muesteo, poque las cantidades de entadas se genean aleatoiamente a pati de una función de densidad de pobabilidad (Pobability Density Function: PDF) paa simula el poceso de toma de muestas de una población eal. Po lo tanto, tatamos de elegi una distibución de pobabilidad paa las entadas que más se aceque a los datos conocidos o que mejo epesenta las lectuas del instumento de medición bajo las siguientes condiciones: El modelo de medición debe se una función continua con especto a las cantidades de entada q y paa las cantidades de salida p. Las PDF debe se también continuas y monomodales de tal manea que el mejo estimado paa p n pueda asociase fácilmente a la PDF. Una vez establecido las PDF paa cada cantidad de entada, se ealiza una simulación en base al modelo de medición: pimeo: se genea un valo aleatoio epesentativo paa cada cantidad de Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

8 Paa-Michel, J. y A. Matínez entada p n de acuedo a la PDF asignada. Po ejemplo, si el mejo valo estimado paa una cantidad de entada es 3.5 y se le asigna una PDF ectangula en el intevalo 2, un númeo aleatoio compendido en el intevalo 3.3, 3.7 seá utilizado paa epesenta p n. De acuedo al modelo de medición se obtiene un vecto con cantidades de salida q. Tas epeti suficientemente este pocedimiento, ceca de N=10000 veces, se puede obtene q N vectoes de salida y se podá obseva el compotamiento de cómo las cantidades de entada afectan a las cantidades de salida. Duante mayo sea el númeo de simulaciones N, se obsevaá un intevalo bien deteminado en el cual se encuenta la cantidad de salida del mensuando. Los datos geneados a pati de la simulación de Monte Calo se pueden epesenta como distibuciones de pobabilidad asociados al modelo de medición del mensuando. 4 Análisis teóico coespondiente a la evaluación de la incetidumbe Tanto el vecto de sensibilidad como la difeencia de fase (mediciones de salida) son obtenidos indiectamente a tavés de mediciones de otas cantidades (mediciones de entada) utilizando los modelos de medición apopiados. Es posible expesa la incetidumbe estánda de las mediciones de salida en téminos de la incetidumbe estánda de las mediciones de entada a tavés de la ley genealizada de la popagación de incetidumbes, GLPU. La figua 1 muesta un esquema óptico paa la medición de la topogafía y de los campos de defomación en la diección de x paa una pobeta con foma iegula. y z x S 2 Caga aplicada P(x,y,z) d P CCD S 1 Figua 1. Esquema óptico paa la medición de la topogafía y de los campos de defomación en la diección de x paa una pobeta con foma iegula. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

9 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI [vii], [viii] 4.1 Cálculo de la incetidumbe estánda paa la difeencia de fase La fase envuelta puede se obtenida mediante el algoitmo de Caé de cuato pasos mediante la ecuación: 2 3 tan I2 I3 I1 I4 I I I I [4] La incetidumbe asociada a la medición de fase es el esultado combinado de los eoes de calibación del dispositivo piezoeléctico, petubaciones ambientales e que desplazan la posición de las fanjas de un intefeogama y el uido óptico n. La influencia de estos eoes afectan los valoes de la intensidad de un intefeogama I n en la foma: (, ) cos n In x y A B 2 e n 4, [5] donde n=1,2,3,4 y A, B son las intensidades de los intefeogamas. La dispesión de las mediciones de salida está asociada a una función de distibución de pobabilidad PDF paa cada medición de entadas expesadas mediante el vecto,, e, n T P a tavés del modelo de medición M( P ). Un pogama de cómputo genea númeos aleatoios de acuedo a la e distibución PDF asignada paa los valoes, e, n de tal modo que se obtiene un valo de salida 1paa la fase envuelta. Inmediatamente después se emplea un algoitmo de desenvolvimiento de fase y se guada la fase desenvuelta. Este poceso se epite 4 N 1 10 veces hasta consegui un vecto 1, 2, 3,... N cuyos elementos coesponden a los mapas de fase desenvuelta. La fecuencia de distibución del vecto nos pemite identifica el PDF de la fase. La desviación estánda de la fase de los elementos del vecto 1, 2, 3,... N está asociado a la e incetidumbe estánda u (donde q ) po las elaciones: q e N 1 q, [6] N i 1 i u N 1. [7] q q q 2 e i e N 1 i1 Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

10 Paa-Michel, J. y A. Matínez Recodemos que los valoes de la fase están en un intevalo continuo. Los eoes, e, n asociados a la intensidad de los intefeogamas I n de la ecuación 5 son de natualeza tal que nos pemiten asigna una PDF de foma ectangula a cada una. El eo máximo estimado paa el dispositivo piezoeléctico es 10 ad en el intevalo 10, 10 ad. Las petubaciones ambientales y vibaciones e que povocan que intensidad del intefeogama oscile levemente al obsevase la fase en el ango 20, 20 ad. Po último, la intensidad de cada pixel puede vaia en el intevalo de [-10, 10] en la escala de gises de 8 bits. 4.2 Cálculo de la incetidumbe estánda paa las componentes del vecto de sensibilidad [ix] El modelo de medición se basa en la ecuación paa el vecto de sensibilidad con iluminación divegente [x] consideando que solamente se está usando la componente e x del vecto de sensibilidad paa medi el campo de desplazamiento como e MQ xe, en la foma: e x x e s1 xs1 xe x xs 1 exs 1 y ys 1 eys 1 Z zs 1 2 x x e y y e Z z u x. El modelo de medición se expesa x xs2 exs s2 xs2 s2 ys2 s2, [8] donde la cantidad de entada Q ésta expesada mediante el vecto Q T s1 s1 s1 s2 s2 s2 x, y, z, x, y, z, x, y, Z. La medición de las coodenadas de las fuentes de iluminación se ealizó mediante un flexómeto que tiene una esolución de 1 mm, po tal motivo se consideó que el máximo eo en las mediciones de las coodenadas de las fuentes de iluminación es de e 1mm. Las cantidades de entada x, y están asociados con el punto P sobe la supeficie del espécimen, las cantidades Z y se obtienen a pati del algoitmo popuesto en el capítulo 6. Se escogieon valoes al aza de acuedo a una función de distibución de pobabilidad ectangula paa el ango de e. Consideando que el eo máximo azonable asociado a la longitud de onda debeá se utilizado es de apoximadamente 0.1 nm [8], se ha decidido Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

11 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI despecia la contibución de la incetidumbe asociado a en la evaluación de la incetidumbe del vecto de sensibilidad. Posteiomente, usando el método de Monte Calo se estimó el pomedio de la componente del vecto de sensibilidad e xe asociado a la incetidumbe estánda e u e mediante las ecuaciones 6 y 7 donde ahoa e q. xe 4.3 Cálculo de la incetidumbe estánda paa la topogafía del espécimen La foma de la supeficie del espécimen está epesentada mediante las coodenadas x, y, Z donde la incetidumbe estánda de la coodenada entada: la fase paa la foma xy, Z está en función de tes cantidades de, la componente del vecto de sensibilidad e x y la otación de la supeficie del espécimen alededo del eje y. De acuedo a las ecuaciones 5 y 8, las cantidades de entada Q coesponden a los datos de la componente e xe del vecto de sensibilidad y de la fase asociada a la foma del objeto P. El eo de ángulo de otación fue estimado en base a la epetitividad de la medición. El eo estimado paa la otación es e 50x10 6 ad también con la función de distibución de pobabilidad ectangula. El vecto de cantidades de entada paa expesa la incetidumbe estánda debido a la otación de la supeficie del espécimen es T R Q, P, a tavés del modelo de medición Z M e e R definido como: Z e e e xe 2 e. [9] Usando nuevamente la técnica de Monte Calo, la desviación estánda de la coodenada Z de la supeficie del espécimen está asociada a la incetidumbe estánda uz e po las ecuaciones 6 y 7 con Ze q. 4.4 Cálculo de la incetidumbe estánda paa el campo desplazamiento u(x, y) La componente del incetidumbe estánda paa el campo de desplazamientos u( x, y ) se obtiene a tavés del vecto, T S P Q donde las cantidades de entada P y Q se obtienen peviamente de Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

12 Paa-Michel, J. y A. Matínez acuedo a lo descito en las secciones 4.1 y 4.2. Utilizando el modelo de medición incetidumbe estánda asociado al desplazamiento se define como: Las ecuaciones 6 y 7 se utilizaán nuevamente con le asociado al desplazamiento uu. u ule M S, la xe le. [10] exe u q paa calcula la incetidumbe estánda le 5 Pate expeimental El objeto de pueba consiste en una pobeta de aceo de foma iegula como la mostada en la figua 2. Una vez obtenida la topogafía se pocede a aplica una caga mecánica paa defoma la muesta. El aeglo óptico utilizado coesponde a un sistema con sensibilidad en plano en ambos casos. Se pesentan los esultados paa la incetidumbe en las mediciones ealizadas. 5.1 Evaluación de la topogafía Se utiliza el método mostado en el apéndice A paa la evaluación de la topogafía [xi]. El diagama del aeglo óptico usado coesponde a la mostada en la figua 1. La posición de las fuentes de iluminación fueon S 1 270,0,569 y 2 269,0,570 S donde las unidades de medición están en milímetos. Una fuente de iluminación láse con una longitud de onda de 532 nm se utilizó paa ilumina la supeficie del espécimen mostada en la figua 2. El espécimen fue montado en una base de otación al que incopoa un micómeto angula. Un instumento vitual ceado en el softwae LabView fue utilizado paa el pocesamiento digital de las imágenes y paa el contol del dispositivo piezoeléctico utilizado paa la técnica de coimiento de fase. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

13 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Espécimen Figua 2 Pobeta de aceo con foma iegula. Se obseva un patón de fanjas asociado a la foma de la supeficie, el cual se obtiene mediante la difeencia de las imágenes (de 640x480 Px) tomadas antes y después de la otación del objeto. Una otación de -6 =349.97x10 ad fue suficiente paa obtene el patón de intefeencia. Utilizando la técnica de coimiento de fase, se obtiene la fase del patón de fanjas. En este caso se utilizó el algoitmo de Caé con cuato pasos. La figua 3 muesta el patón de intefeencia asociado a la topogafía del espécimen con su coespondiente fase envuelta en el intevalo,. La figua 4 muesta la fase desenvuelta donde se muesta una línea que se usa de efeencia paa popósitos de análisis. La foma del objeto y la componente e x del vecto de sensibilidad paa el sistema óptico utilizado son obtenidas mediante el algoitmo popuesto en el capítulo 6. Se utilizó una toleancia aceptable paa Z de mm. a) b) Figua 3 a) Intefeogama asociado a la topogafía de la supeficie. b) Fase envuelta coespondiente al intefeogama a). Figua 4 Fase desenvuelta de la figua 3b. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

14 Paa-Michel, J. y A. Matínez Los datos de entada del algoitmo paa la obtención de la topogafía del objeto son: la fase desenvuelta asociado a la foma del objeto, las coodenadas de las fuentes de iluminación S 1 y S 2, la otación de la supeficie del espécimen utilizado y un valo de toleancia aceptable., la longitud de onda de la iluminación láse La figua 5a muesta la evolución de la componente e x del vecto de sensibilidad y la figua 5b muesta el efecto del vecto de sensibilidad sobe la foma del objeto Z obtenido a lo lago de la línea de efeencia de la figua 4 cuando se aplica el algoitmo popuesto paa las tes pimeas y onceava iteaciones. Se puede obseva que el algoitmo es autoconsistente y que el esultado convege ápidamente en unas cuantas iteaciones. 1a iteación 2da iteación 3a iteación 11va iteación a) Longitud [Px] Figua 5 Resultados del algoitmo popuesto paa a) la componente del vecto de sensibilidad ex y b) el efecto en la foma del objeto Z a lo lago de la línea de efeencia. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

15 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Z [mm] 1a iteación 2da iteación 3a iteación 11va iteación b) Longitud [Px] Figua 5 (Continuación) 5.2 Obtención del campo de desplazamiento u(x, y) La medición de la defomación en la diección x se ealiza mediante el mismo sistema óptico utilizado en la evaluación de la topogafía. Las cagas mecánicas fueon aplicadas mediante tonillos de pesión sobe el espécimen paa poduci la defomación. El intefeogama se obtiene entonces substayendo las imágenes captuadas po la cámaa donde la pimea imagen se usa como efeencia (espécimen libe de caga) y de esta se van estando las imágenes subsecuentes coespondientes a imágenes del objeto donde se le ha aplicado la caga mecánica. Nuevamente el algoitmo de Caé y la técnica de coimiento de fase son empleados del mismo modo. El intefeogama, la fase envuelta y la fase desenvuelta asociada a la defomación del espécimen se pueden obseva las figuas 6 y 7 espectivamente. También se utiliza una línea en la misma posición paa popósitos de análisis. Paa educi el uido causado po el efecto del moteado, en todos los casos se utilizó un filto pasa-bajos basado en un filto de convolución con un kenel Gaussiano antes de utiliza el algoitmo de Caé. a) b) Figua 6 a) Intefeogama asociado a la defomación de la supeficie del espécimen y b) su coespondiente fase envuelta. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

16 Paa-Michel, J. y A. Matínez Figua 7 Fase desenvuelta asociada a la imagen mostada en la figua 4 b). La figua 8 muesta la medición del desplazamiento en la diección x a lo lago de la línea de análisis sobe la supeficie del espécimen cuando se utiliza el algoitmo popuesto. La línea de la pimea iteación supone una topogafía del objeto de en el cálculo del vecto de sensibilidad. Se puede obseva una gan difeencia en las mediciones del desplazamiento cuando la componente e x del vecto de sensibilidad se coige mediante el algoitmo popuesto ente la pimea y la onceava iteación. En la misma figua y consideando las condiciones de caga del espécimen, la gáfica se puede dividi en tes egiones: una defomación negativa en el intevalo ente 0 y 200 pixeles apoximadamente que puede se intepetado como un desplazamiento hacia la izquieda. Una defomación positiva ente el intevalo 350 y 626 pixeles apoximadamente intepetado como un desplazamiento hacia la deecha, y po último un intevalo cental donde casi no se obseva desplazamientos. En la figua 9 se muesta el eo ente la pimea y la última iteación (onceava) paa la topogafía Z, el campo de desplazamiento u y la componente e x del vecto de sensibilidad. Los eoes máximos obtenidos coesponden a: 22.6% paa la componente e x del vecto de sensibilidad, 18.2% paa la foma del objeto Z y 10% paa el campo de desplazamiento u. Estos eoes se deben al valo evaluado en la iteación coespondiente de la topogafía. Confome el valo de ésta se apoxima a la que consideamos vedadea, el eo en el cálculo del vecto de sensibilidad disminuiá. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

17 u, [mm] Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI 1a iteación 2da iteación 3a iteación 11va iteación Longitud [Px] Figua 8 Medición del desplazamiento en la diección x de la supeficie del espécimen cuando se utiliza el algoitmo popuesto. Eo paa e x Eo paa Z Eo paa u Longitud [Px] Figua 9 Eo ente la pimea y última iteación paa la foma del objeto componente e x del vecto de sensibilidad. Z, el desplazamiento u y la 5.3 Evaluación de la incetidumbe coespondiente a la medición de la foma y de la defomación Se pocede ahoa a la evaluación de la incetidumbe de las mediciones de la topogafía y del campo de defomación mediante la técnica de Monte Calo. Esta técnica genea un vecto de salida de mensuandos a pati de cantidades de entada geneadas aleatoiamente en base a los modelos de medición. Este poceso equiee que se epita suficiente veces, en este caso se utilizó 4 N 1 10 veces. La subutina del algoitmo de Monte Calo se ealizó en el softwae MatLab. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

18 Paa-Michel, J. y A. Matínez La figua 7.10 muesta la incetidumbe estánda paa la fase U e asociada a la foma del objeto como se indica en la sección 4.1. Incetidumbe estánda U( f e ), [ad] Longitud [Px] Figua 10 Incetidumbe estánda paa la fase asociado a la foma U e. De la misma manea, las incetidumbes estánda de las mediciones de la componente del vecto de sensibilidad Ue ex y de la foma del objeto e espectivamente. La incetidumbe estánda calculada paa U Z se muestan en las figuas 11 y 12 e x son del mismo oden a los esultados obtenidos po Amalia Matínez et. al. [8], mientas que la incetidumbe estánda la foma del objeto Z está estechamente asociada a e. Incetidumbe estánda U(e xe ), [ad/mm] Longitud [Px] Figua 11 Incetidumbe estánda Ue xe paa la componente del vecto de sensibilidad e x. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

19 Incetidumbe estánda U(Z), [mm] Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Longitud [Px] Figua 12 Incetidumbe estánda UZ e paa la foma Z. La figua 13 muesta la incetidumbe estánda de la fase asociada a los desplazamientos U e debido a la caga mecánica aplicada. Podemos obseva que la incetidumbe de la fase asociada a la topogafía es apoximadamente cinco veces mayo que la fase asociada al campo de desplazamiento. Po último, la figua 14 muesta la incetidumbe estánda paa el campo de desplazamiento Uu le. Longitud [Px] Figua 13 Incetidumbe estánda paa la fase asociada al campo de desplazamiento u, U e. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

20 Paa-Michel, J. y A. Matínez Longitud [Px] Figua 14 Incetidumbe estánda paa el campo de desplazamiento Uu le. Como un ejemplo paa la intepetación de los esultados, de las figuas 5 y 12 podemos obseva que en la posición coespondiente a 300 Px de la imagen, tenemos una medición paa Z mm mientas que en la posición coespondiente a 150 Px, tenemos una medición paa Z mm. De las figuas 8 y 14 podemos medi un desplazamiento en la diección x de u mm en la posición de 300 Px, mientas que paa la posición de 150 Px el desplazamiento es de u mm. 6 Conclusiones En este tabajo se mostó un algoitmo iteativo que nos pemite evalua pogesivamente la topogafía del objeto la cual es consideada en la evaluación de la componente del vecto de sensibilidad paa el caso de iluminación divegente. Se obseva que el algoitmo popuesto basado en la técnica de Gauss-Seidel en la solución de sistemas de ecuaciones lineales es autoconsistente, es deci, que se pueda obtene una solución estable en unas cuantas iteaciones. La anteio ofece la ventaja de ocupa pocos ecusos computacionales. La obtención de la foma supeficial y de los campos de defomación se ealiza mediante el empleo del mismo sistema óptico con sensibilidad en plano sin ninguna modificación adicional. Debido a las petubaciones físicas que puedan afecta al sistema óptico, el esultado de las mediciones puede vese afectado. La incetidumbe en las mediciones ópticas se debe pincipalmente a las vibaciones del sistema óptico, al uido en la señal de video, a las lectuas de los instumentos de medición y eoes atibuibles a la manipulación de los componentes del Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

21 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI sistema. En este tabajo se muesta como la técnica de Monte Calo es utilizado paa el análisis de la incetidumbe estánda en mediciones ealizadas po la técnica de intefeometía electónica del moteado. Po ejemplo, en este tabajo se encontó que la incetidumbe estánda máxima paa la medición de la topogafía de un objeto con foma iegula coesponde a 0.04 mm paa un punto cuya altua es de 12.5 mm. Mientas que la incetidumbe estánda máxima paa las mediciones de defomación fue de 4x10-5 mm paa una medición de desplazamiento u de mm. Agadecimientos Los autoes agadecen a la univesidad De La Salle Bajío y al Cento de Investigaciones en Óptica A.C. po los apoyos ecibidos. Refeencias Apéndice A. Modelo teóico popuesto paa contoneo de supeficies mediante ESPI con iluminación dual y divegente. La figua A.1 muesta un esquema del sistema óptico utilizado paa la obtención de la topogafía po la técnica ESPI con sensibilidad en plano. Un haz láse es dividido mediante un diviso de haz (BS) y guiado po medio de fibas ópticas a las fuentes de iluminación S 1 y S 2 cuyas coodenadas están en ( xs 1, ys 1, z s1) y ( xs 2, ys2, z s2) espectivamente. Sean ( x, y, z ) las coodenadas de un punto P sobe la supeficie como se muesta en la figua A.2. En el caso de la obtención de la topogafía, se captua una pimea imagen mediante la cámaa CCD. Posteiomente, la supeficie del espécimen es ligeamente otada a lo lago del eje y y una segunda imagen es captuada y guadada. Hasta ahoa, el punto P se ha desplazado hasta el punto P debido a la otación. Un patón intefeencia se puede obtene mediante la difeencia ente la pimea y la segunda imagen [xii]. Un espejo montado sobe un piezoeléctico (M/Pz) pemite aplica el método de coimiento de fase [xiii], mientas que el algoitmo de Caé con cuato pasos [xiv] es utilizado paa enconta la fase del patón de fanjas. La difeencia de fase obsevada sobe el punto P de la supeficie se define mediante la ecuación [xv] : Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

22 Paa-Michel, J. y A. Matínez ( P) e( P) d( P). [A.1] Recodando que e( P) e ( P) iˆ e ( P) ˆj e ( P) kˆ es el vecto de sensibilidad y d( P) uiˆ vj ˆ wkˆ x y z es el vecto desplazamiento. El vecto de desplazamiento puede obtenese mediante la difeencia vectoial ente p pxiˆ pyj ˆ pzkˆ y p ' p' xiˆ p' yj ˆ p' zkˆ como se muesta en la figua A.2. Paa el caso de iluminación divegente, el vecto de sensibilidad se define como [xvi] : 2 S P S P S1P S2P 1 2 e P, [A.2] donde las componentes otogonales del vecto de sensibilidad son: 2 x xs 1 x xs2 ex S1P S2P, [A.3a] 2 y ys 1 y ys2 ey S1P S2P, [A.3b] 2 z zs 1 z zs2 ez S1P S2P, [A.3c] donde S P x x 2 y y 2 z z 2, S P x x y y z z 1 s1 s1 s1 es la longitud de onda de las fuentes de iluminación y 2 s2 s2 s2 Supeficie Computadoa Rotación Figua A.1 Esquema del aeglo óptico paa la obtención de la topogafía mediante la técnica ESPI con sensibilidad en plano. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

23 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Supeficie otada Figua A.2 Geometía paa el análisis de contoneo, el ángulo Supeficie en su posición oiginal apaece muy exageado paa fines explicativos. El desplazamiento del punto P ocuiá en el plano xz, siendo la otación con especto al eje y. Po lo tanto, paa el vecto desplazamiento d uiˆ vj ˆ wkˆ, la componente v puede despeciase. Paa detemina la cantidad de desplazamiento de P tendemos que tene en cuenta la apoximación numéica paa el ángulo de otación de tal manea que: sin( ) y cos( ) 1. La cantidad de desplazamiento d del punto P se puede enconta con la elación: d p sin( ) p. [A.4] Obsevando la figua A.2, podemos elaciona las cantidades de desplazamiento u y w con las elaciones: u d sin d, [A.5a] 2 2 w d cos( ) d. [A.5b] Una simple cámaa solo puede detecta desplazamientos en plano; en otas palabas, una cámaa no puede detecta la pofundidad o el desplazamiento en la diección de z. Sin embago, debido a Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

24 Paa-Michel, J. y A. Matínez la otación del objeto, se puede elaciona los desplazamientos obsevados con el desplazamiento en la diección de z po medio de las ecuaciones A.5a y A.5 obteniendo: u w. [A.6] 2 Debido a que la configuación del sistema óptico utilizado es simético, la componente ez del vecto de sensibilidad puede se despeciado ya que su contibución al vecto de sensibilidad es meno al 0.1%. De las ecuaciones A.3a y A.6 se puede obtene una expesión que elacione la difeencia de fase con la componente de desplazamiento w del punto P(x,y) obsevado: ( x, y) exw. [A.7] 2 La altua Z del elieve de la supeficie obsevada puede obtenese usando las componentes vectoiales en la diección de ˆk de la difeencia vectoial ente p y A.2. p ' mostado en la figua De tal modo que la componente w del desplazamiento también está elacionado con la altua del elieve supeficial obtenido po la difeencia p' z pz obteniendo la ecuación paa el cálculo de la topogafía:. La ecuación A.7 puede eescibise ( xy, ) 2 Z ( p z pz). [A.8] e x, y, z La ecuación A.8 considea iluminación divegente paa el contoneo de supeficies peo sigue habiendo una dependencia de la topogafía en la vaiable z del vecto de sensibilidad. Paa esolve la ecuación A.8 se popone el uso de un algoitmo basado en la técnica de Gauss-Seidel mostado en la figua A.3. El algoitmo inicia calculando el vecto de sensibilidad suponiendo que la foma de la supeficie es plana, es deci, (ecuación A.3a). La pimea iteación x popociona una altua apoximada paa el valo Z. Si la cantidad z Z es mayo a una toleancia peestablecida, entonces z es emplazada po el valo calculado Z. Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

25 Cálculo de la incetidumbe estánda mediante la técnica de Monte Calo paa la medición de la topogafía y del campo de desplazamiento mediante ESPI Datos de inicio: ( xy, ),, S 1 (x s1, y s1, z s1 ) y S 2 (x s2, y s2, z s2 ) Suponga z=0 Calcula e x (P) (Ec. A.3a) Calcula el nuevo valo paa Z ( xy, ) 2 Z e ( x, y, z) x (Ec. A.8) z Z si zz no Fin Z, e P Figua A.3 Algoitmo paa la evaluación de la topogafía. x Refeencias [i] ISO/IEC 17025:2005, Geneal equiements fo the competence of testing and calibation laboatoies. ISO standads, (2005) [ ii ] Alicia Maoto, Ricad Boqué, Jodi Riu, F. Xavie Rius, Incetidumbe y pecisión, Depatamento de Química Analítica y Química Ogánica, Instituto de Estudios Avanzados, Univesitat Rovia i Vigili. [iii] Intenational Oganization fo Standadization, Evaluation of measuement data, Guide to the expession of uncetainty in measuement, Intenational Oganization fo Standadization, Geneva, (1993) Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp:

26 Paa-Michel, J. y A. Matínez [iv] Ignacio Lia, Evaluating the measuement uncetainty: fundamentals and pactical guidance, Meas. Sci. Technol. 13 (2002) [v] JCGM 100:2008, "Evaluation of measuement data-guide to the expession of uncetainty in measuement", GUM 1995 with mino coections, (2008) [vi] JCGM 101:2008, Evaluation of measuement data Supplement 1 to the Guide to the expession of uncetainty in measuement -Popagation of distibutions using a Monte Calo method, GUM 1995 with mino coections, (2008) [vii] Raúl R. Codeo, Jeome Molimad, Amalia Matínez, Fenando Labbe, Uncetainty analysis of tempoal phase-stepping algoithms fo intefeomety, Opt. Comm. 275 (2007) [viii] Pedo Améico Almeida, Magalhaes J., Pein Smith Neto, Clovis Speb de Bacellos, Genealizacion of the caé algoithm, Latin Ameican Jounal of Solids and Stuctues. 6 (2009) [ix] Amalia Matínez, Raúl Codeo, Juan Antonio Rayas, Hécto José Puga, Ramón Rodíguez- Vea, "Uncetainty analysis of displacements measued by in-plane electonic speckle-patten intefeomety with spheical wave fonts", Appl. Opt. 44 (2005) [x] Thomas Keis, Handbook of Hologaphic Intefeomety, Optical and Digital Methods, WILEY-VCH GmbH & Co. KGaA, Weinheim, (2005) [xi] Joge Paa-Michel, Amalia Matínez, Macelino Anguiano-Moales, J. A. Rayas, Measuing object shape by using in-plane electonic speckle patten intefeomety with divegent illumination, Meas. Sci. Technol. 21 (2010) [xii] Kjell J. Gasvik, Optical metology. John Wiley & Sons, London (2002) [xiii] Yeou-Yen Cheng, James Wyant, "Phase shifte calibation in phase- shifting intefeomety", Appl. Opt. 24 (1985) [xiv] Daniel Malacaa, Manuel Sevín, Zacaias Malacaa, intefeogam analysis fo optical testing, 2nd ed., CRC Pess, New Yok (2005) [xv] Thomas Keis, Hologaphic intefeomety, pinciples and methods, Akademimie Velang, Belin (1996) [xvi] Ramón Rodíguez-Vea, D. Ke, F. Mendoza-Santoyo, Electonic speckle contouning, J. Opt. Soc. Am. 9 (1992). Revista Electónica Nova Scientia, Nº 9 Vol. 5 (1), ISSN pp: