INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER

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1 INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER Manual del Alumno ASIGNATURA: Matemática I PROGRAMA: S3C Lima-Perú

2 SESION 1 SISTEMAS DE NUMERACION DEFINICION : Es un conjunto de reglas y principios que nos van a servir para una buena lectura y escritura de los números. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN: Es el número de unidades de un orden cualquiera, necesarios para formar una unidad del orden inmediato superior. La base de un sistema de numeración es un número entero positivo y mayor que uno. SISTEMA DECIMAL: Su principio fundamental es: diez unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del orden inmediato superior. OBSERVACIONES: 1. En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero (0). 2. En base n se utilizan n cifras 3. La mayor cifras disponible es la base menos uno. 4. En los sistemas de numeración mayores que el de base diez, se utilizan los siguientes convencionalismos: = 10 ; = 11 ; = 12 PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN EJERCICIOS 1 Base (10) : 24, 568, 8347, etc. Base (2) : 10 (2) ; 110 (2) ; 1010 (2) Base (5) : 13 (5) ; 214 (5) ; 423 (5) Base (9) : 234 (9) ; 357 (9) ; 876 (9) BASE SISTEMA CIFRAS DISPONIBLES 2 Binario 0,1 3 Ternario 0,1,2 4 Cuaternario 0,1,2,3 5 Quinario 0,1,2,3,4 6 Senario 0,1,2,3,4,5 7 Heptal 0,1,2,3,4,5,6 8 Octal 0,1,2,3,4,5,6,7 9 Nonario 0,1,2,3,...,7,8 10 Decimal 0,1,2...,7,8,9 11 Undecimal 0,1,2,...,8,9, 12 Duodecimal 0,1,2,...,, SESION 2 OPERACIONES ARITMETICAS CONVERSIÓN DE SISTEMAS Primer caso.- De un sistema de base n al sistema decimal. Ejemplo: Convertir 425 (6) al sistema decimal. 425 (6) = 4 x x (6) = 161 Segundo caso.- Del sistema decimal a un sistema de base n. Ejemplo: Convertir 418 al sistema quinario. Luego: 418 = 3133 (5) Tercer caso.- De un sistema de base n a otro de base m donde n y m 10 y m Ejemplo: Convertir 251 (7) al sistema de base 4 A base 10: 251 (7) = 2x x (7) = 134 A base 4: Luego: 251 (7) = 2012 (4) Convertir: (2) al sistema de base (12) al sistema decimal 3. 5 (12) al sistema decimal (5) al sistema nonario (8) al sistema binario al sistema undecimal EJERCICIOS 2 n

3 SESION 3 ENUNCIADO: Se denomina así a toda frase u oración. Ejemplo: 1. Qué estudias en la Universidad? 2. Alcánzame la toalla 3. 2x+3=11 4. Madrid es la capital de España. LOGICA PROPOSICIONAL PROPOSICIÓN: Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera (v) o falsa (f), pero nunca verdadera y falsa simultáneamente. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas tales como: p, q, r, s, t,... a las que se les denomina variables proposicionales. Ejemplos: 1. César Vallejo nació en París (f) < 10-3 (v) 3. El número 1331 es divisible por 11 (v) 4. Todos los hombres no son mortales (f) LAS PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS 1. Proposiciones Simples: Llamadas también proposiciones atómicas o elementales, son aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado. 2. Proposiciones Compuestas: Llamadas también proposiciones moleculares o coligativas, son aquellas que están constituidas por dos o mas proposiciones simples. SESION 4 FUNCIONES VERITATIVAS LEYES DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 1. CONJUNCIÓN ( ).- Representa al conectivo y, es verdadera cuando las dos proposiciones p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. 2. DISYUNCIÓN INCLUSIVA (v).- Representa al conectivo o, es verdadera si al menos una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando falsa solo cuando las dos son falsas. 3. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Representa al conectivo o en su sentido excluyente, es verdadera cuando solamente una de las proposiciones es verdadera y no las dos, resultando falsa en otros casos. 4. NEGACIÓN (~).- El valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto al valor de verdad del enunciado. 5. LA CONDICIONAL ( ).- Representa al conectivo si...entonces, es falsa solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadera en todos los demás casos. 6. LA BICONDICIONAL ( ).- Representa al conectivo si y solo si, es verdadera cuando las proposiciones componentes tienen el mimo valor de verdad, en otros casos es falsa. SESION 5 DEFINICIÓN: COMPUERTAS LOGICAS Un circuito conmutador es un circuito eléctrico que contiene interruptores para el paso o la interrupción de la corriente. Si designamos por p y q dos interruptores eléctricos que dejan pasar corriente y por p y q dos interruptores eléctricos que no dejan pasar corriente, estos se pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo. ESTADO LOGICO INTERRUPTOR LAMPARA V Cerrado Encendida F Abierto Apagada RELACION ENTRE LA LOGICA Y LA INFORMATICA: Existe una íntima relación entre la lógica y la informática, puesto que la lógica constituye el fundamento teórico de la informática, en cuanto comprende mejor las computadoras y su respectiva construcción de lenguajes de programación.

4 Entre sus múltiples aplicaciones, la lógica se aplica a la tecnología. En este campo, la lógica se aplica a la construcción de circuitos lógicos, y entre ellos los circuitos eléctricos, compuertas lógicas, los diagramas de flujo, etc. SESION 6 CIRCUITOS EN SERIE: CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO Los circuitos en serie constan de dos o mas interruptores, donde un interruptor esta después de otro y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en serie es la representación de una fórmula proposicional conjuntiva, cuya expresión más simple es p y q. p q DOMINIO DE UNA RELACION.- Se llama dominio a todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota Dom(R) y se simboliza : Dom (R)= x A / y B, ( X,Y ) R RANGO DE UNA RELACION.- Se llama rango de una relación R de A en B al conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota Ran (R) y es simboliza : Ran (R)= y B / x A, ( X,Y ) R EJEMPLO: Hallar el dominio y el rango de las relaciones en A siendo A = 1,2,3,4,5 y, R 1 = (x,y) AxA / x+y = 7 Solución.- p q R 1 = ( 2,5);(3,4);(5,2);(4,3) CIRCUITOS EN PARALELO: Los circuitos en paralelo constan en dos o mas interruptores, donde cada interruptor esta en la otra línea y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en paralelo es la representación de una fórmula proposicional disyuntiva,cuya expresión más simple es p o q. SESION 7 RELACIONES p q p v q TEORIA DE CONJUNTOS Definición.- Se llama relación entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B a todo subconjunto R del producto cartesiano AxB ; esto es, una relación R consiste en lo siguiente : 1.- Un conjunto A ( conjunto de partida ) 2.- Un conjunto B ( conjunto de llegada ) Simbólicamente se denota por: R : A B R A x B Siendo : Dom (R 1) = 2,3,4,5 Ran (R 1) = 2,3,4,5 FUNCIONES Definición.- Es un conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente es decir : 1.- f AxB 2.- (x,y) f (x,z) f (y=z) EJEMPLO : Sea A = 1,2,3,4 y B = a,b,c,d,e si f es la función: f = (1,a);(2,b);(3,c);(4,c) Solución.- Dom f = 1,2,3,4 Ran f = a,b,c En la función y = f(x) = 3 x 0,4 hallar el dominio y el rango. Solución.- Dom f = 0,4 Ran f = 3

5 Hallar el dominio y rango de la función f(x) = (x-1) (x-9) Solución.- (x-1) (x-9) > 0 ( X-1 0 X-9 0 ) ( X-1 0 X-9 0 ) ( X 1 X 9) ( X 1 X 9 ) (X 9 ) ( X 1) <-,1 9, > = Dom f y = f(x) ( x-1) (x-9) 0 0, > y = f(x) 0, > entonces el rango es : Ran f = 0, > SESION 8 APLICACIONES CON CONJUNTOS Hallar el dominio y rango de las relaciones en A siendo A = 1,2,3,4,5 a.- R = (x,y) AxA / x+y < 4 b.- R = (x,y) AxA / y < 4 c.- R = (x,y) AxA / x 2-2 y d.- R = (x,y) AxA / x-3y = 12 Hallar el rango de la función f(x) = (x+1) x 0,8 Hallar el dominio y rango de la función f(x) = x 2-6x+8 Hallar el dominio y rango de la función f(x) = x 2 +6x+8 SESION 9 RAZONES: RAZONES Y PROPORCIONES Se llama así al resultado de la comparación de dos cantidades.esta comparación se puede hacer de dos modos: 1. Cuando una cantidad excede a la otra, llamada también razón aritmética o por diferencia. Ejemplo: a-b = c a: antecedente b: consecuente c: valor de la razón (diferencia) 2. Cuando una cantidad contiene a otra, llamada también razón geométrica o por división. Ejemplo: a = c b a: antecedente b: consecuente c: valor de la razón (cociente) PROPORCIONES: Dadas cuatro cantidades, si el valor de la razón de las dos primeras es igual al valor de la razón de las otras dos, entonces dichas cuatro cantidades forman una proporción. Las proporciones también pueden aritméticas o geométricas. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: Si: EJERCICIOS 9 a = c ; una proporción entonces: se cumple que: b d 1º a + b = c + d b d 2º a - b = c - d b d 3º a = c b+a d+c 3º a = c b-a d-c 5º a + c = a = c b+d b d 5º a - c = a = c b-d b d 1. La diferencia de dos números es 244, y estan en relación de 7 a 3, cúal es el mayor de los números? 2. Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman 60 soles, lo que gasta y lo que cobra esta en relación de 2 a 3, en cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5? 3. La relación entre dos números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entonces ambos resultados serían iguales. Hallar dichos números 4. En una serie de razones equivalentes, los antecedentes son: 2,3,7 y 11. El producto de los consecuentes es Hallar la suma de los consecuentes.

6 5. Los antecedentes de varias razones equivalentes son: 3, 4, 5 6. Si la suma de los dos primeros conecuentes es 28. Hallar los dos últimos. SESION 12 MATRICES DEFINICION : Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas o columnas Ejemplo. Sen, Cos, Tg Las matrices se denotan con letras mayúsculas A,B,C... etc. El conjunto de los elementos se denotan con letras minúsculas subindicadas aij, bij, cij...etc. A = aij En general : el elemento aij ocupa la intersección de la i-esima fila y la j-ésima columna. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz esta dado por el producto del número de filas con el número de columnas. Ejemplo. A= es una matriz de orden 2x3 C- MATRIZ COLUMNA.- Es la matriz que tiene varias filas y una sola columna. -3 G = 1 4 (3X1) D- MATRIZ CERO.- Es la matriz que todos sus elementos son cero K = (3X3) E- MATRIZ CUADRADA.- Es aquella matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas A = EJERCICIOS 12 Indicar que tipo de matrices y que orden tienen las siguientes matrices. A = TIPOS DE MATRICES A- MATRIZ RECTANGULAR.- Es la matriz donde el número de filas es diferente al número de columnas A = (2X3) B- MATRIZ FILA.- Es la matriz donde es una sola fila y varias columnas. P = (1X4) B = C = 2-2 k -3 F = 1 7 b G =