Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I

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1 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- - En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y, en caso afirmativo, hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x, y) (x, -y) b) f(x, y) (x, y) Estudiar si f es aplicación lineal a) f(x,y) (x,-y) f(x+x,y+y ) ((x+x ),-(y+y )) (x+x,- y-y ) (x,-y)+ (x,- y ) f(x, y) + f(x, y ) f(λ(x,y)) f(λx, λy) (λx, -λy) λ(x,-y) λf(x, y) x' x Luego f es una aplicación lineal y f(x,y), donde las columnas son y' y las imágenes por f de los vectores de la base canónica B C {(,),(,)} x N(f) es la solución de y x N(f){(,} y Im(f) <(,),(,-) > R b) f(x,y) (x,y) f(x+x,y+y ) ((x+x ),y+y ) (x +xx +(x ), y+y ) (x, y)+ (x ), y ) f(x,y) + f(x,y ) Luego f no es una aplicación lineal Otra forma de demostrarlo es considerar la matriz cuyas columnas son las imágenes de los vectores de la base canónica B C {(,),(,)} f(,) (,), si la aplicación fuera lineal, la imagen de un vector cualquiera (x,y) f(,) (,) x x x sería y y f(x,y), luego no es lineal y - Sea la aplicación f:p(x) P(x), tal que: f(a+ bx+ cx ) (a + bx + cx ) + (c + bx + ax ) a) Demostrar que f es una lineal b) Hallar la matriz de la transformación lineal respecto de la base B {, x, x } c) Calcular N(f) (P (x) es el espacio vectorial de polinomios de grado ) a) f( α (a+ bx+ cx ) + β (a + bx+ cx )) ( α a+α c ) + α bx + ( α a+αc )x + + ( β a +β c ) + β b x + ( β a +β c )x α f(a + b x+ c x ) +β f(a + b x+ c x ) UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

2 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- b) f() + x f (x) x f(x ) + x es la matriz de la aplicación N(f) a+ bx+ cx ( a+ bx+ cx ) + ( c+ bx+ ax ) b, a+ c c) { } - Se considera la aplicación f: R 4 R 4 definida por: f(x, y, z, t) (x + y + a z, -x + y + t, a x +y t, a z + t) a) Escribir la ecuación matricial de f y probar que f es lineal para todo a real b) Hallar los valores de a para los que f es biyectiva c) Para a, hallar los subespacios Núcleo e Imagen de f y dar una base de cada uno de ellos d) Estudiar si f es una aplicación inyectiva para a e) (,,,) N(f)? (,-,,) Im(f)? f) Dado el subespacio S {(x, y, z, t) R 4 tales que x + y z y + z t }, hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implícitas de f(s) para a f(x,y,z,t) (x+y+az,-x+y+t, ax+y-t,az+t) x' a x y' y a) f( x ) X AX z' a z t' a t f( x + x )A(X +X ) AX +AX f( x )+f( x ) f(λ x ) AλX λax λ f( x ) Luego f es lineal a R b) f es biyectiva si A A 4a a a,, luego f es biyectiva a, c) Para a x' y' z' t' x y z t N(f) es la solución de AXO N(f) {(,, λ, )} y dim N(f) Im(f) <{(,-,,), (,,,), (,, -, )}> y dimim(f) d) f no es inyectiva para a pues N(f) { } e) (,,, ) N(f ), ya que no es de la forma (,, λ, ) (,-,,)x(,-,,)+y (,,,)+t (,, -, )} se cumple para xy y t, luego UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

3 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- (,-,,) Im(f) f) Resolviendo el sistema de ecuaciones que define S, se obtiene que S{(λ, μ, λ + μ, λ + μ), λ, μ R} y una base es B s {(,,,), (,,,)} Un sistema generador de f(s) es el formado por las imágenes de los vectores de B s x f(s) <(,-,-,), (,,-,) > y dimf(s) rg y z t 8x + 4x luego f(s) x y + 4t 4- a) Hallar, respecto de la base canónica, la ecuación de la transformación lineal f de R que verifica que: f(,, ) (7,, ), f(-,, ) (, 7, ), f(,, 7) (,, ) b) Es f biyectiva? c) Hallar N(f) e Im(f) d) Qué condición debe satisfacer la matriz A asociada a un endomorfismo para que las imágenes de vectores linealmente independientes sean linealmente independientes? Sea A la matriz A tal que f( x ) X AX, entonces 7 7 a) A ; A 7 ; A A como det 9 A b) f es biyectiva si A pero A (tiene una fila nula) luego f no es biyectiva c) N(f) es la solución de AXO y UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

4 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- Luego N(f) < (,,) > dimn(f), en consecuencia dimim(f) Im(f) <(,-,), (,,) > d) Es necesario que f sea biyectiva, es decir que A e,e,e u,u,u dos bases de R y f un endomorfismo que - Sean B { } y B { } respecto de la base B tiene por ecuación f(x, y, z) (x +y, y + z, x + z) Se pide hallar la ecuación de f respecto de la base B siendo u e + e + e, u e + e, u e En forma matricial la ecuación de f respecto de la base B es f( x ) X AX donde A Como nos dan las coordenadas de los vectores de la base B respecto de los vectores de la base B tenemos la matriz P de cambio de la base B a la base B, P Si designamos f( x ) X A X la ecuación de f respecto de la base B las matrices A y A son semejantes y se verifica que A P - A P, luego: 6- Sea f la transformación lineal de R tal que: N(f) (,, ), (,, ) y f(,,)(,-,) Se pide: a) La matriz A asociada a f respecto de la base canónica b) Sin hacer cálculos, razona porqué es un valor propio de A y cuál es su orden de multiplicidad c) Hallar todos los valores propios de A y los subespacios de vectores propios asociados d) Razonar si A es diagonalizable En caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A y la matriz de paso correspondiente e) Hallar A n a) Nos dan las coordenadas de las imágenes de vectores que constituyen base pues: UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 4

5 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía Si designamos por A a la matriz asociada a f respecto de la base canónica, se verifica que: A ; A y A A En consecuencia, y al ser, podemos obtener A A 6 b) Para cualquier vector u del núcleo f( u ) Au u, luego es un valor propio de A, y u es un vector propio asociado al valor propio Como en este caso la dimensión de N(f) es, éste es el orden de multiplicidad del valor propio c) El polinomio característico de A es Luego A tiene dos valores propios que son λ doble y λ simple El sv de vectores propios asociados son: Es decir, V N(f) y V,, ( d) A es diagonalizable porque dim V orden de multiplicidad de λ y dim V orden de multiplicidad de λ

6 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- Una matriz diagonal semejante a A es D y la matriz que permite esta diagonalización es P, que es la matriz del cambio de una base formada por vectores propios y se verifica que D (P B Bc ) - A P B Bc, e) Despejando en la expresión anterior A P B Bc D P B Bc A n P B Bc D n P B Bc 7- Sea f(x, y, z) (x -y + z, -x + z, -x y + z) una transformación lineal de B { u (,,), u (,,), u (,,)} un sistema de vectores de R Sea R Se pide: a) Demostrar que B es base de R, pero, que f (B) no lo es b) Hallar la matriz A asociada a f respecto de la base canónica y la matriz A asociada a f respecto de la base B c) Escribir la expresión matricial que relaciona A y A d) Es f diagonalizable? En caso afirmativo, dar una base de R formada por vectores propios de f e) Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f f) Hallar la ecuación y una base de los subespacios Im (f) y N(f) a) B es libre con tres vectores, luego B es base de R, por ser dim R f(b) {f( u ) (,, ), f( u ) (,, 4), f( u ) (,, )}, que no es un sistema libre, pues contiene al vector (,, ), y, por tanto, f(b) no es base de R b) Matriz asociada a f respecto de la base canónica: f( e ) (, -, -), f( e ) (-,, -), f( e ) (,, ), luego, A Matriz asociada a f respecto de la base B: f( u ) (,, ) u f( u ) tiene de coordenadas en la base B: (,, ) UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 6

7 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- f( u ) (,, 4) u f( u ) tiene de coordenadas en la base B: (,, ) f( u ) (,, ) u f( u ) tiene de coordenadas en la base B: (,, ) Luego, A O bien, con el método general: A P - A P, siendo P la matriz de cambio de base de B a la canónica: A c) La relación matricial entre ambas matrices es: A P - A P, con la misma notación que en el apartado anterior d) Es diagonalizable, pues A es una matriz diagonal asociada a f Una base formada por vectores propios es la propia base B, por ejemplo e) El único vector invariante es el, pues λ no es valor propio de A f) Como la matriz asociada a f respecto de la base canónica es A, que tiene rango, el subespacio Im f es el engendrado por vectores columna linealmente independientes de A:,,,,, Im f ( ) ( ) Luego, una base de Im f es {(,, ), (,, ) } x λ μ Unas ecuaciones paramétricas de Im f son: y λ z λ μ N(f) V u Una base de N(f) es, por tanto, u ( ),, x λ Unas ecuaciones paramétricas de N(f) son: y λ z λ UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 7

8 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9-8- Sea f la transformación lineal de R cuya matriz en la base canónica es: A a b a) Estudiar para qué valores de a y b es A diagonalizable b) Cuál es el subespacio de vectores invariantes por f para a? a) Cálculo de los valores propios: aλ b λ a Aλ I λ (a λ)( λ)( λ ) λ λ λ Podemos considerar tres casos: º caso: Si a,a, A tiene tres valores propios reales y distintos entre sí, por tanto es diagonalizable λ doble º caso: Si a-, Estudiemos la dimensión del subespacio propio asociado λ simple al valor propio λ : ( ) b x b x by ( A ( )I) v ( ) y y z ( ) z z b dim Vλ A es diagonalizable si Puesto que la dimensión de cada b dim Vλ A no es diagonalizable subespacio propio debe coincidir con el orden de multiplicidad del correspondiente valor propio λ doble º caso: Si a, Estudiemos la dimensión del subespacio propio asociado λ simple al valor propio λ : b x b x ( Aλ I) v y y y z z dim Vλ A es diagonalizable Puesto que la dimensión de cada subespacio propio es igual al orden de multiplicidad del correspondiente valor propio EN RESUMEN: A es diagonalizable si b o bien a distinto de - Con DERIVE a) Si b, entonces A es diagonal directamente y si b, entonces UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 8

9 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- Luego los valores propios de A son λ -, λ, λ a Tenemos que considerar tres subcasos: i) Si a, -, A tiene valores propios reales y distintos, luego A es diagonalizable ii) Si a -, entonces A tiene como valores propios λ - doble, λ simple y Luego V - < (-,, ) > y dim V - < orden de multiplicidad de λ -, luego A no es diagonalizable iii) Si a, entonces A tiene como valores propios λ - simple, λ doble y Luego V < (-,, ), (,,-) > y dim V orden de multiplicidad de λ, luego A si es diagonalizable Resumiendo A es diagonal si b y si b es diagonalizable a - b) El subespacio de vectores invariantes por f es V < (-,, ), (,,-) > 9- Demostrar que si Q es una matriz ortogonal que permite la diagonalización A entonces A es simétrica Si la matriz de paso Q es ortogonal Q - Q t entonces A Q D Q - Q D Q t, y en consecuencia: A t (Q D Q t ) t Q D t Q t Q D Q t A - En caso de existir, encontrar la diagonalización ortogonal de la siguiente matriz: A Cálculo de los valores propios: λ λ Aλ I λ ( λ+ )( λ+ ) λ λ λ λ Cálculo de los valores propios: El subespacio propio asociado al valor propio λ : UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

10 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- x x z ( A I) v y Luego V < (,, ) >, un vector y z propio unitario se obtiene dividiendo por su módulo v,, El subespacio propio asociado al valor propio λ : ( ) x x x ( A ( )I) v ( ) y y z ( ) z z v,, Luego V - < (,, ) > ( ) El subespacio propio asociado al valor propio λ : ( ) x x x+ z ( A ( )I) v ( ) y y y ( ) z z Luego V - < (,, -) > un vector propio ortogonal se obtiene dividiendo por su módulo v,, Si consideramos los vectores unitarios correspondientes, obtenemos una base ortonormal B también de vectores propios y la matriz P diagonal semejante a A es: D es ortogonal y la matriz - Encontrar una matriz A real y simétrica que cumpla siguientes condiciones: { } - Los vectores (,, ),(,, ),(,,) 4 - A es semejante a la matriz B son vectores propios de A Buscamos una matriz A semejante a una matriz diagonal D (por ser A simétrica) y a su vez, semejante a la matriz B dada Por ser semejantes, A y B tienen los mismos valores propios y los de B son λ, λ y λ simples Los subespacios propios asociados pueden ser: V < (,, ) >, V < (,, -)> y V < (-,,) > UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

11 Soluciones de la hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 9- UD de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía A es semejante a D P AP A PDP, donde: D y P es la matriz de paso de B (base de vectores propios) a la base canónica A