Teoremas de Taylor. Capítulo 7

Transcripción

1 Capítulo 7 Teoremas de Taylor Una vez más nos disponemos a extender a las funciones de varias variables resultados ya conocidos para funciones de una variable, los teoremas de aproximación de Taylor. Por buena lógica deberíamos empezar con la extensión a las varias variables del concepto de función r-veces diferenciable en un punto. Sin embargo, para evitar complicaciones formales (y de paso ganar tiempo) no haremos esta extensión. Sólo nos referiremos al polinomio de Taylor de orden r de una función f en un punto a, cuando f satisfaga la condición (T r ) f admite derivadas parciales de orden r en algún entorno de a y éstas son continuas en a. Esto es pedirle a f algo más que ser r-veces diferenciable en el punto a. Ya lo sabíamos para r =, esa condición implica que f es diferenciable en a y lipschitziana en algún entorno de a. En consecuencia, para r >, la condición implica:. f es de clase r (y por tanto diferenciable) en algún entorno de a. 2. Las derivadas parciales de orden r son diferenciables en a. 3. En el cálculo de las derivadas parciales de orden r de f en a y de las derivadas parciales de orden r de f en cada x de algún entorno de a, se pueden permutar las derivaciones. Ejercicio 7. Probar por inducción:. Si f, g : A R n R satisfacen la condición (T r ) en un punto a o A, entonces la función f.g satisface la condición (T r ) en a. 69

2 70 Teoremas de Taylor Si f : A R n R p y g : B R p R son funciones que satisfacen la condición (T r ) en los puntos a A o y f(a) B, o entonces g f satisface la condición (T r ) en a. Definición 7.2 Sea f : A R n F una función que admite derivadas parciales de orden r en algún entorno de un punto a A o continuas en a. Llamaremos desarrollo de Taylor de orden r de la función f en a al polinomio de grado menor o igual que r expresado en potencias de (x i a i ) cuyo término independiente es f(a) y los términos de grado k r son los siguientes: i +i i n=k i!i 2!... i n! Se tiene pues que P r f(a)(x a) = f(a) + ( + 2 k f(a) x i x i x in n (x a ) i (x 2 a 2 ) i 2... (x n a n ) in ( f (a)(x a ) f ) (a)(x n a n ) x x n 2 f x 2 (a)(x a ) f x x 2 (a)(x a )(x 2 a 2 ) + 2 f x x 3 (a)(x a )(x 3 a 3 ) En concreto, si r 5, el término cuya parte literal es (x a ) 2 (x 7 a 7 ) 3 será 5 f(a) 2!3! x 2 (x a ) 2 (x 7 a 7 ) 3. x3 7 Teorema local de Taylor En el siguiente teorema veremos que, como en el caso de una variable, el polinomio de Taylor de orden r de una función que satisface la condición (T r ) en un punto, aproxima hasta el orden r a esta función en un entorno del punto. Lema 7.3 Si f es una función que satisface la condición (T r ) entonces ( ) ( ) f P r f(a)(x a) (x) = P r (a)(x a) )

3 7.4 Teoremas de Taylor 7 Demostración. Sea ϕ k Taylor, es decir la parte homogénea de grado k del polinomio de ϕ k (x) = i +i i n=k Entonces ϕ k (x) = ( = = = i +i i n=k i j i +i i n=k i j i +...+(i j ) +...+i n=k i j i +i i n=k i!i 2!... i n! i!i 2!... i n! i j i!i 2!... i n! k f(a) x i x i x in n i!... (i j )!... i n! k f(a) x i x i x in n k f(a) x i x i x in n (x a ) i (x 2 a 2 ) i 2... (x n a n ) in. k f(a) x i x i x in n (x a ) i (x 2 a 2 ) i 2... (x n a n ) in ) (x a ) i... (x j a j ) i j... (x n a n ) in (x a ) i..(x j a j ) i j..(x n a n ) in k ( f/ )(a) i!i 2!... i n! x i x i (x 2 a ) i... (x j a j ) i j... (x n a n ) in x in n (observar que la validez de la última de las igualdades anteriores se basa en que se pueden permutar las derivaciones). Es evidente que de lo anterior se sigue ya lo que queríamos, es decir que ( ) ( ) f P r f(a)(x a) (x) = P r (a)(x a). Teorema 7.4 (Local de Taylor) Si la aplicación f : A R n R p satisface la condición (T r ) en un punto a A, o entonces su desarrollo de Taylor de orden r en a aproxima hasta el orden r a f en un entorno del punto a. Es decir f(x) P r f(a)(x a) x a x a r = 0.

4 72 Teoremas de Taylor 7.4 Demostración. Obviamente se puede suponer que f es una función escalar, es decir p =. Razonaremos por inducción sobre r. Para r = la condición (T ) implica que f es diferenciable en a, luego f(x) (f(a) + Df(a)(x a) = 0. x a x a Como P f(a)(x a) = f(a) + Df(a)(x a), de lo anterior se deduce que el teorema es cierto para r =. Supongamos pues, que el teorema cierto para r, que f satisface la condición (T r ) y consideremos la función g(x) = f(x) P r f(a)(x a). Es claro que la función g es de clase r (luego diferenciable) en algún entorno de a y del lema anterior se sigue que g (x) = f (x) P r ( f/ )(a)(x a). Como las funciones f/ satisfacen la condición (T r ) en a, de la hipótesis de inducción se deduce que x a f (x) P r ( f/ )(a)(x a) x a r = 0. Se sigue pues que para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si x a < δ entonces g (x) = f (x) P r ( f/ )(a)(x a) ε x a r. Fijado x con x a < δ se puede aplicar el teorema del valor medio (Teorema 3.4(ii)) a la función g en el segmento [a, x]. En efecto si z [a, x] entonces g (z) ε z a r ε x a r. Es decir g tiene sus derivadas parciales acotadas en [a, x] y además se puede suponer diferenciable en B(a, δ). Se tiene por tanto que: f(x) P r f(a)(x a) = g(x) g(a) ε x a r x a ε x a r, es decir f(x) P r f(a)(x a) x a x a r = 0.

5 7.5 Teoremas de Taylor 73 Lema 7.5 (Unicidad) Sea f : A R n F continua en un punto a o A, entonces para cada número natural r existe a lo sumo un polinomio Q de grado r tal que f(x) Q(x a) x a x a r = 0. Demostración. Para simplificar, vamos a hacer la demostración en el punto a = 0. Supongamos que existen dos polinomios de grado r tales f(x) Q (x) x 0 x r = 0 x 0 f(x) Q 2 (x) x r = 0 y probemos que ambos polinomios coinciden. Si llamamos S(x) = Q (x) Q 2 (x), nuestra hipótesis implica que ( ) S(x) x 0 x r = 0. Se trata de ver, por tanto, que el único polinomio de grado r que tiene la propiedad anterior es el idénticamente nulo, o sea que S(x) = 0 para todo x R n. Escribamos S = S 0 + S + + S r, donde S k es la parte homogénea del polinomio S formada por los términos de grado k, es decir S k (x,..., x n ) = i +i i n=k c i i 2..i n x i x i x in n. Fijemos x = (x,..., x n ) (0,..., 0) y veamos que S(x) = 0. De la expresión dada anteriormente para S k, se deduce que si t R entonces S k (tx) = S k (tx,..., tx n ) = t k S k (x,..., x n ) = t k S k (x). De la condición ( ) se sigue entonces que S(tx) 0 = t 0 + t r x r = S 0 + ts (x) + + t r S r (x) t 0 + t r x r = S 0 0 S 0 = 0.

6 74 Teoremas de Taylor 7.5 En consecuencia ts (x) + + t r S r (x) S (x) + + t r S r (x) 0 = t 0 + t r x r = t 0 + t r x r = S (x) 0 S (x) = 0. De este modo se deduce pues S 0 = 0; S (x) = 0;... S r (x) = 0 y que ts r (x) 0 = t 0 + t x r = S r(x) x r que obviamente implica que también S r (x) = 0. Consecuencia directa del teorema local de Taylor y el lema de unicidad es el siguiente corolario: Corolario 7.6 Sea f : A R n R p una función que satisface la condición (T r ) en un punto a A o y supongamos que Q es un polinomio de grado r tal que f(x) Q(x a) x a x a r = 0. Entonces Q(x a) = P r f(a)(x a). Ejemplo 7.7 (Una función que se aproxima hasta el orden r por un polinomio y no tiene la propiedad T r ) Sea la función f(x) = x 3 sen ; f(0) = 0. x El polinomio 0 aproxima hasta el orden 2 a la función f en un entorno de 0, pues f(x) x 0 x 2 = x sen x 0 x = 0. En cambio, f no satisface la condición (T 2 ) ya que ni siquiera es 2-veces derivable en 0. Por contra para r = se tiene: Ejercicio 7.8 Probar que una función f continua en un punto a es diferenciable en a si y sólo si existe un polinomio de grado tal que. f(x) Q(x a) = 0. x a x a

7 7.0 Teoremas de Taylor 75 El álgebra de los desarrollos de Taylor Sea f : A R n F una función continua en a o A y Q un polinomio. Emplearemos la notación f r Q en a para expresar que f(x) Q(x a) x a x a r = Sean f, g : A R n F continuas en a o A, tales que f r Q y g r P en a, entonces:. λf + µg r λq + µp en a, λ, µ R. 2. (Para F = R), fg r QP en a. Demostración.. La demostración se deduce trivialmente de la definición. 2. Escribiendo f(x)g(x) Q(x a)p (x a) = (f(x) Q(x a))g(x) + (g(x) P (x a))q(x a), de la hipótesis se deduce que f(x)g(x) Q(x a)p (x a) x a x a r = 0 g(a) + 0 f(a) = 0, 7.0 Sean f : A R n R p y g : B R p R funciones continuas en a A o y f(a) B, o respectivamente. Si Q y P son polinomios tales que f r Q en a y g r P en f(a), entonces g f r P (Q f(a)) en a. Demostración. Sea ε > 0. Como f es diferenciable en a, existe δ > 0 y α > 0 tal que f(x) f(a) α x a. Por hipótesis existe η > 0 tal que si y f(a) < η entonces g(y) P (y f(a)) ε α r y f(a) r. Entonces tomando x a δ 2 = mín(δ, η α ) (lo que implica f(x) f(a) α x a η), se tiene que g(f(x)) P (f(x) f(a)) ε α r f(x) f(a) r ε α r αr x a r = ε x a r. Se deduce pues que cuando x a < δ 2, g(f(x)) P (Q(x a) f(a)) g(f(x)) P (f(x)) f(a)) + P (f(x) f(a)) P (Q(x a) f(a)) ε x a r + P (f(x) f(a)) P (Q(x a) f(a)).

8 76 Teoremas de Taylor 7.0 Por último, sea β > 0 mayor que f(x) f(a) y Q(x a) f(a) cuando x a δ 2 (observemos que cuando x a δ 2, entonces f(x) f(a) αδ 2 y Q(x a) f(a) está acotado, pues Q es continua en el compacto B[0, δ 2 ]). Puesto que P es de clase C, sus derivadas parciales están acotadas en B[0, β], luego P es lipschitziana en B(0, β), y por tanto existe M > 0 tal si x a δ 2 entonces P (f(x) f(a)) P (Q(x a) f(a)) M f(x) Q(x a). Como f r Q podemos encontrar δ 3 > 0 tal que si x a < δ 3 entonces f(x) Q(x a) ε/m x a r, y en consecuencia P (f(x) f(a)) P (Q(x a) f(a)) ε x a r. 7. Sea f : A R n F una función continua en a o A y Q un polinomio tal que f r Q en a. Si denotamos por [Q] r al polinomio formado por los términos de Q de grado r, entonces f r [Q] r en a i.e., f(x) [Q] r (x a) x a x a r = 0. Demostración. Si P = Q [Q] r, entonces es obvio que todos los términos de P son de grado > r. Puesto que podemos elegir la norma que queramos, podemos suponer que para cada x = (x,..., x n ) R n se tiene que x i x. Entonces si denotamos por M al máximo de las normas de los coeficientes de P y por s al número de términos de P, es claro que en algún entorno de 0, P (x) sm x r+. Luego P (x) x r sm x 0 cuando x 0. Se deduce pues que f(x) [Q] r (x) (f(x) Q(x)) + P (x) x 0 x r = x 0 x r = 0. Teorema 7.2 (i) Sean f, g : A R n R p satisfaciendo la condición (T r ) en un punto a A. o Entonces. λf + µg satisface (T r ) en a y P r (λf + µg)(a)(x a) = λp r f(a)(x a) + µp r g(a)(x a) 2. (Para p=), la función f.g satisface la condición (T r ) en a y P r (fg)(a)(x a) = [P r f(a)(x a) P r g(a)(x a)] r

9 7.4 Teoremas de Taylor 77 (ii) Si f : A R n R p y g : B R p R son funciones que satisfacen la condición (T r ) en los puntos a A o y f(a) B, o entonces g f satisface la condición (T r ) en a y se tiene que P r (g f)(a)(x a) = [P r g(f(a))(p r f(a)(x a) f(a))] r Demostración. Que la suma, producto y composición de funciones con la condición (T r ) satisface también (T r ) era el objetivo del ejercicio 7.. Por otra parte ya sabemos que si una función ϕ satisface la condición (T r ) en un punto c, entonces P r ϕ(c)(x a) es el único polinomio de grado r con la propiedad ϕ r P r ϕ en c (ver Corolario 7.6). En (i) el polinomio de grado r λp r f(a)(x a)+µp r g(a)(x a) tiene esta propiedad, luego según lo anterior este polinomio debe ser el desarrollo de Taylor de orden r de λf + µg. En cuanto a fg también sabemos que fg r P r f P r g en a lo que implica, según 7., que fg r [P r f P r g] r. De nuevo por el corolario 7.6 se tiene que el polinomio de grado r, [P r f P r g] r debe ser precisamente P r (fg)(a)(x a). La demostración para la composición (apartado (ii)) es idéntica a la del producto (ejercicio). Ejercicio 7.3 (a) Sea g(t) = ( t). Probar que P r g(0)t = +t+ +t r. (b) Sea h(x, y) = cos x sen y. Utilizar el teorema 7.2(ii) y el apartado anterior para calcular el desarrollo de Taylor de orden 4 de h en el punto (0, π). Sugerencia: Si se escribe h(x, y) = ( (cos x sen y)) y llamamos f(x, y) = (cos x sen y) entonces h = g f. Teorema 7.4 Sea f : A R n R, donde A es un conjunto abierto. Si f es de clase C r+ en el segmento [a, b] A, entonces existe un punto ξ (a, b) tal que f(b) P r f(a)(b a) = i!i 2!... i n! i +i i n=r+ r+ f(ξ) x i x i x in n (b a ) i (b 2 a 2 ) i 2... (b n a n ) in.

10 78 Teoremas de Taylor 7.4 Demostración. Puesto que la composición de aplicaciones de clase C r+ es de clase C r+, la función de una variable F (t) = f(a + t(b a)) es de clase C r+ en [0, ]. Por otra parte es fácil ver que F (k) (t) = i +...+i n=k k f(a + t(b a)) i!... i n! x i (b a ) i... (b n a n ) in.... x in n Aplicando entonces el teorema de Taylor con resto de Lagrange a la función F en [0,] se tiene que existe un punto θ (0, ) tal que: lo que se traduce en que F () P r F (0)( 0) = (r + )! F (r+) (θ), F (b) P r f(a)(b a) = r+ f(a + θ(b a)) i!... i n! x i (b a ) i... (b n a n ) in... x in n i +...+i n=r+ Nota. El teorema global de Taylor anterior (sólo válido en esta forma para funciones escalares), es para el caso r = el teorema del valor medio para funciones escalares: Si f : A R n R es una función continua en el segmento [a, b] A y derivable en (a, b), entonces existe un punto ξ (a, b) tal que f(b) f(a) = Df(ξ)(b a) = f (ξ)(b j a j ). Ejercicios 7A Obtener el coeficiente del término en x 4 yz 2 del desarrollo de Taylor en el origen de una función de las variables x, y, z. 7B Si en el desarrollo de Taylor en el origen de una función de las variables x, y, z el único término de grado 7 es 3x 4 yz 2, cuáles son las derivadas parciales de orden 7 de esta función en (0, 0, 0)? 7C Supuesta conocida la función f y sus derivadas, obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de la función g(x, y, z) = f(xy, xz) en un entorno del punto (0, 0, 0).

11 7I Teoremas de Taylor 79 7D Obtener el polinomio de Taylor de orden 3 de la funciones f(x, y) = cos x cos y ; g(x, y) = cos xy en un entorno de (0,0) 7E Sea f(x, y) = 3x 2 y 2 + x 4 + y 4 + sen 3 xy. Demostrar que el polinomio de Taylor de orden 5 para la función f en (0,0) es igual a 3x 2 y 2 + x 4 + y 4. 7F Supongamos que f es una función de clase C 6, tal que f(x, y, z) (2x yz 2 + x 2 yz + z 3 x 2 ) (x,y,z) (0,0,0) (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = 0. (a) Obtener P 6 f(0, 0, 0)(x, y, z), P 5 f(0, 0, 0)(x, y, z) y P 3 f(0, 0, 0)(x, y, z) (b) Calcular las derivadas parciales de f en (0, 0, 0) hasta el orden 6. 7G Demostrar, sin tener que hacer el cálculo, que todas las derivadas parciales de orden 8 de la función f(x, y) = sen(x 9 + y 9 ) son nulas en (0,0). Probar asimismo que igual sucede con las de orden 5 para la función g(x, y, z) = cos xyz. 7H Estudiar la existencia de los ites siguientes haciendo el desarrollo de Taylor que convenga y aplicando después el teorema de Taylor que proceda. xy sen x sen y xy sen x sen y. (x,y) (0,0) x 2 + y 2 2. (x,y) (0,0) (x 2 + y 2 ) 3/2 xy sen x sen y sen x + cos y cos x x + y (x,y) (0,0) x6 + y 6 (x,y) (0,0) x 2 + y 2 2xy + cos 2(x + y) sen 2 x + sen 2 y 5. (x,y) (0,0) x 2 + y 2 6. (x,y) (0,0) x 2 + y 2 xe y ye x x + y xe y ye x x + y + x 3 7. (x,y) (0,0) x 2 + y 2 8. (x,y) (0,0) x 2 + y 2 xe y ye x xe y ye x x + y 9. (x,y) (0,0) x 2 + y 2 0. (x,y) (0,0) x 2 + y 2

12 80 Teoremas de Taylor 7I 7I En cada uno de los ejemplos estudiar la existencia del ite en (0,0).. h(x, y) = (x y)3 (x y) 2 + x h(x, y) = x5 + y 3 x x 2 y 2 + y 4 x x 4 + y 4 x 2 y 2 + y 6 3. h(x, y) = x5 + y 3 x 2 x 3 y 2 + y 4 x x 4 + y 4 x 2 y 2 + y 6 4. h(x, y) = x5 + y 3 x 2 x 3 y 2 + y 4 x x 4 + x 2 y 2 + y 6 5. h(x, y) = x4 + y 2 x 2 + y 4 x + y 6 x 4 + x 2 y 2 + y 6 6. h(x, y) = x5 + y 4 x + y 7 x 4 + x 2 y 2 + y 6 7. h(x, y) = x4 + y 2 x 2 + (x + y) 6 x 4 + x 2 y 2 + y 6 x sen y y sen x 9. h(x, y) = (sen 2 x + sen 2 y) 2 x sen y y sen x 8. h(x, y) = sen 2 x + sen 2 y xy sen x sen y 0. h(x, y) = x 4 + y 4 7J Sea P un polinomio homogéneo de n variables y grado k y f : R R una función derivable hasta el orden que necesitemos. Consideremos la función g = f P. (a) Probar que para cada 0 j < k se verifica que P kr+j g(0)x = P r f(0)(p (x)) (b) Aplicar (a) para calcular el polinomio de Taylor de orden 7 en (0,0) de la función f(x, y) = cos(x 2 xy). 7K (a) Sea f : R R una función n-veces diferenciable en 0. Probar que si k < n, la función g(t) = f(t) P nf(0)t t n k ; g(0) = 0 es k-veces diferenciable en 0. Indicación: Razonar por inducción sobre k. (b) Deducir de (a) que si f es n-veces diferenciable en 0 (n 2), entonces la función f(t) f(0) h(t) = ; h(0) = f (0) t es (n )-veces diferenciable en 0, siendo P n g(0)t = f (0) + /2!f (0)t /n!f (n) (0)t n (c) Utilizar lo anterior para demostrar que las funciones sen x sen y si x y g (x, y) = x y cos x si x = y + xy si xy 0 g 2 (x, y) = xy 0 si xy = 0

13 7K Teoremas de Taylor 8 son de clase C (g 2 en algún entorno de (0,0)). Obtener el polinomio de Taylor de orden 4 en (0,0) de ambas funciones.

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