Julio Castiñeira 30 de Marzo de 2009

Transcripción

1 Julio Castiñeira 30 de Marzo de 2009

2 Acto I: El Tetraedro Tetraedro: Sólido terminado por cuatro planos o caras (Real Academia Española) Tetraedro regular: Aquel cuyas caras son triángulos equiláteros (R.A.E.). Tetraedro es sinónimo de Pirámide triangular

3 Tetraedro Isósceles El que tiene iguales las aristas opuestas. También se llama disfenoide o diesfenoide o biesfenoide. Σφηνοειδής = sfenoides significa en forma de cuña Todas las caras son iguales. Es por tanto un Isoedro (Isohedron)

4 Tipos de Disfenoides Tetraedro Regular Las caras son triángulos equiláteros Disfenoide tetragonal Las caras son triángulos isósceles Disfenoide rómbico Las caras son triángulos escalenos

5 Los disfenoides son dados justos Dados comerciales con tetraedros No se fabrica el disfenoide rómbico

6 Construcción del disfenoide Partiendo de un triángulo acutángulo cualquiera

7 Desarrollo del Tetraedro Regular Triángulo equilátero Columna de 4 triángulos equiláteros

8 Desarrollo del Disfenoide Tetragonal Triángulo Isósceles Acutángulo

9 Desarrollo del Disfenoide Rómbico Triángulo escaleno y acutángulo con lados directamente proporcionales a 10, 8 y 7

10 Acto II: Calidociclos

11 Qué es un calidociclo? Anillo tridimensional compuesto de tetraedros idénticos que pueden girar continuamente en torno a su centro. Definición dada por la matemática Doris Schattschneider y el diseñador gráfico Wallace Walker (1977) en su libro M.C. Escher Kaleidocycles. Pero luego sólo hablan de calidociclos formados por disfenoides. El orden del calidociclo es el número de tetraedros que lo forman.

12 Etimología de la palabra Del griego antiguo Kalos = καλός = Bello. Eidos = εἶδος = Forma. Cycle = κύκλος = Rueda, Anillo, Ciclo.

13 Generalización de calidociclos Anillo de tetraedros congruentes que pueden girar sobre sí mismos.

14 Tipos de calidociclos Isósceles -> Disfenoides tetragonales Regulares -> Tetraedros Regulares Oblicuos -> Disfenoides rómbicos Cerrados Abiertos Clasificación de los creadores Doris Schattschneider y Walker

15 Calidociclo de orden 8

16 Calidociclo Cerrado de orden 6

17 Otro calidociclo de orden 8

18 Calidociclo cerrado de orden 8

19 Redes que generan un calidociclo El desarrollo de un calidociclo cerrado de orden 6 se muestra en la figura posterior. Recíprocamente: una red formada por hileras de cuatro triángulos isósceles semejantes es el desarrollo de un calidociclo si imponemos algunas restricciones

20 Restricciones Sea n el orden del calidociclo Sea g el ángulo del vértice desigual

21 Calidociclos cerrados Orden Ángulo g 53º 8' 70º 32' 77º 57' 81º 47' 85º 28' 87º 8' 88º 53' Ángulo en la Base 63º 26' 54º 44' 51º 1' 49º 6' 47º 15' 46º 26' 45º 33'

22 b base del triángulo isósceles h altura n orden del calidociclo cerrado

23 Relación entre la base b y la altura h de las caras de algunos calidociclos cerrados de orden n La razón áurea o proporción divina

24 Construcción de redes de calidociclos cerrados Red del calidociclo cerrado de orden 6

25 Construcción de redes de calidociclos cerrados con programas de ordenador partiendo de la red del calidociclo cerrado de orden 6. Aplicar el factor de expansión vertical indicado en la tabla Red del calidociclo cerrado de orden 6 n orden del calidociclo El factor de expansión expresado en %

26 Construcción de calidociclos con papel cuadriculado Con la plantilla de papel cuadriculado de MS Office (Excel) Free Online Graph Paper / Grid Paper PDFs Print Free Graph Paper

27 Acto III:Decorando calidociclos

28 Formas de Decorar Calidociclos Coloreando las caras Con dibujos y fotografías Con Mosaicos

29 Calidociclo con dibujos de Javier Moratinos

30 Calidociclos de Foldplay.com Foldplay es una aplicación online que permite construir calidociclos cerrados de ordenes 6 y 8 decorados con fotografías digitales.

31 Foldplay La aplicación te ofrece 8 fotografías: Sunrise Temple Washbucket Shark Alaska Fire Flower Sailboat

32 MAKE YOUR VERY OWN PHOTO KALEIDOCYCLE a dynamic new way to show off your photos! Haz tu calidociclo fotográfico personal Una nueva forma dinámica de mostrar tus fotografías 1. upload four digital photos, or choose them from our gallery..

33 1. upload four digital photos, or choose them from our gallery 1-Suba 4 fotos digitales o elíjalas de nuestra galería

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35 2. submit your choices & download the results. 2-Remite tus elegidas y descarga el resultado

36 3. print, score, cut, fold & glue: complete directions included. 3. Imprime, corta, pliega y pega: incluye intrucciones completas

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38 Con Mosaicos Tres elementos: Aire, tierra y agua. M.C. Escher

39 Red de triángulos equiláteros Desarrollo del calidociclo regular de orden 8

40 Desarrollo del calidociclo cerrado de orden 8 Se aplica un factor de expansión en vertical del 122% a la red regular

41 Calidociclo cerrado orden 6 Factor de expansión vertical (%) del mosaico hexagonal de triángulos regulares

42 Calidociclos oblicuos Se obtienen inclinado la red-tetraedros isósceles (15º)

43 Calidociclos de orden impar

44 Acto IV: Cortando los calidociclos Calidociclo cerrado de orden 6 La mitad del anillo cerrado de las seis pirámides

45 La mitad del anillo cerrado de las seis pirámides

46 La mitad del anillo cerrado de las seis pirámides El corte ecuatorial se llama el cubo invertible o cubo de Schatz

47 El cubo invertible

48 Desarrollos La mitad del anillo cerrado de las seis pirámides El cubo invertible

49 Desarrollos cortes Ecuatoriales La doble corona La mitad del octaedro (no regular) Del calidociclo cerrado de orden 8

50 El cubo invertible Inventado por el suizo Paul Schatz en Divide al cubo en tres partes de igual volumen Calidociclo Los cerrojos

51 El milagro de Shinsei El cubo se descompone en 24 tetraedros Cada tetraedro semejante a un eslabón de la doble corona El cubo es un calidociclo de orden 24 El cubo se descompone en dos calidociclos de orden 12. Diseñado por Naoki Yoshimoto.

52 El Rombododecaedro Los dos Calidociclos del milagro de Shinsei forman un rombododecaedro con un hueco interior igual al cubo de partida.

53 Acto V: otros calidociclos El Octaedro Calidociclos Rómbicos

54 El Octaedro Regular Se descompone en un caledociclo de orden 16 Octaedro Desarrollo de 1/8 del calidociclo

55 Calidociclos Rómbicos Se forman uniendo disfenoides tetragonales congruentes por las aristas que no son bases de las caras isósceles.

56 Calidociclo Rómbico

57 Disecciones curiosas El dodecaedro rómbico se descompone en tres calidociclos rómbicos

58 Disecciones curiosas II El poliedro de Escher se descompone en seis calidociclos rómbicos.

59 Simulador de calidociclos Marcus Engel ha diseñado un simulador Anika que puede manejarse online y offline.

60 Anika

61 Acto VI: Poliedros

62 Poly Explora Poliedros y

63 Poly Pro Permite ver e imprimir los desarrollos de los siguientes tipos de poliedros:

64 Great Stella

65 Superficies en 3D

66 Modelos en Papel Cuaderno de recortables de la FESPM

67 Gracias por la atención prestada