Geometría diferencial de curvas y superficies - Taller 1

Transcripción

1 Geometrí diferencil de curvs y superficies - Tller 1 G Pdill Ofic Deprtmento de Mtemátics Fcultd de Ciencis Universidd Ncionl de Colombi gipdilll@unleduco Ls pregunts de los prciles se bsn tnto en los ejercicios de los tlleres como en l bibliogrfí recomendd pr el curso [Operciones entre vectores] (1 Muestr que el producto punto en R n ddo por u v = i u i v i stisfce ( Definido positivo: u u = u 2 0 (b Simétrico: u v = v u (c Bilinel: (u + λu v = u v + λ(u v y u (v + λv = u v + λ(u v (d Incidenci: u v = u v cos(θ donde θ es el ángulo que sepr u, v (e Distnci: d(u, v = (u v (u v (f Ortogonlidd: u v si y sólo si u v = 0 (2 Complet un bse ortonorml en R 4 que conteng l vector v = ( 1, 3, 2, (3 Se V R 4 el subespcio fín ddo por ls soluciones de ls ecuciones: w 3x + y + z = 0; x y = 1 Hll el subespcio fín W que es ortogonl V y ps por p = (0, 0, 0, 1 (4 A qué corresponde en R n el conjunto de soluciones de un ecución linel de l form 1 x n x n = c con 1,, n constntes no tods nuls, y c 0? (5 Ddos u, v R n l proyección ortogonl de u en v es el vector w = P r(u, v en l dirección de v tl que u w es mínim Muestr que ( P r(u, v = ( u v v v v; (b (u P r(u, v v } (6 Cmbios de métric: Dd culquier bse {u 1,, u n en R n muestr que existe lgún producto interno µ en R n tl que µ (u i, u j = δ ij pr todo i, j (7 Grssmnins: Sen n > 0 y 0 m n dos enteros; y G(m, n el conjunto de todos los subespcios lineles { en R n de dimensión m } Muestr que G(m, n = O(n donde O(n = A GL O(m O(n m n (R : A T = A 1 es el grupo ortogonl de orden n Ayud: Muestr que O(n ctú en G(m, n del modo obvio, clcul un órbit y un estbilizdor usndo el método de Grm-Schmidt (8 En R n el volumen orientdo de n vectores u 1,, u n es V ( u 1,, u n = 1 u 1 1 u 1 n u n 1 u n n

2 2 Mte3 P1 Si dichos vectores formn un bse, l orientción es el signo del determinnte Por otr prte, el producto cruz de n 1 vectores u 1,, u n 1 R n es e 1 e n u 1 u n 1 u 1 u 1 1 n = u n 1 u n 1 1 n donde {e 1,, e n } es l bse cnónic Muestr que: ( (λu 1 u n 1 = λ (u 1 u n 1 (b (u 1 + v 1 u n 1 = (u 1 u n 1 + (v 1 u 2 u n 1 (c (u 2 u 1 u n 1 = (u 1 u 2 u n 1 (d V (u 1,, u n = (u 1 u n 1 u n (e u 1 u n 1 es perpendiculr u j pr j = 1,, n 1 (9 En R 3 demuestr que (u v w = (u wv (v wu Not que el producto cruz no es, en generl, socitivo (10 En R 3 demuestr que V 2 ( u 1, u 2, u 3 = u 1 u 1 u 1 u 2 u 1 u 3 u 2 u 1 u 2 u 2 u 2 u 3 u 3 u 1 u 3 u 2 u 3 u 3 α [Curvs diferencibles] Un curv diferencible I R n es regulr cundo su vector derivd α no se nul nunc Si α (t 0 decimos que t es un vlor regulr y α(t es un punto regulr de l curv α; en cso contrrio t, α(t son respectivmente un vlor y un punto singulres L tngente locl de α en un instnte t I es l rect de vector director α (t y punto de poyo α(t; l denotmos T α(t (1 Dd un curv γ(t = (x 1 (t,, x n (t en R n verificr que dγ = ( x (t,, dt x (t 1 n (2 Pr culesquier curvs γ, δ en R n y culquier función derivble rel f; verificr ( (γ + δ = γ + δ (b (fγ = fγ + f γ (c (γ δ = γ δ + γ δ (d Pr n = 3; (γ δ = γ δ + γ δ (3 Dd un curv regulr α(t escribe l tngente locl T α(t en sus forms vectoril y prmétric (4 Clcul el vector derivd de cd un de ls siguientes curvs y los puntos singulres Decide cuáles de ells son regulres Hz un dibujo en cd cso ( α(t = (cos(t, sen(t, t con t R (b α(t = (t 3, t 2 ; pr t R (c α(t = (t 3 4t, t 2 4 pr t R (d α(t = (t, t pr t R ( 2t (e Cisoide: Ddo > 0 consider α(t = 2, 2t3 con t R Cundo t 1+t 2 1+t 2 l curv α se proxim sintóticmente l rect x = 2

3 Mte3 P1 3 (f Tráctriz: α(t = (sen(t, cos(t + ln(tn ( t 2 L longitud del segmento de est rect ( entre cd punto de tngenci y el eje verticl es exctmente 1 (g α(t = Pr t tnto l curv como su derivd tienden 3t 1+t 3, 3t2 1+t 3 (0, 0 Pr t = 0 l curv es tngente l eje horizontl (h Folio de Descrtes: Si δ(t = α( t es l curv con orientción opuest Cundo t 1 tnto δ como δ se proximn l rect x + y + = 0 L imgen de δ es simétric respecto l eje digonl x = y (i Espirl logrítmic: Ddos > 0, b < 0; tommos ϕ(t = (e bt cos(t, e bt sen(t Cundo t l curv y su derivd se cercn l origen Pr culquier t l longitud de rco de ϕ es finit en [t, (5 Pr ls curvs de l pregunt nterior, hll T α(t en cd vlor regulr (6 Hll un curv α(t cuyo gráfico se el círculo unitrio x 2 + y 2 = 1, recorrido en sentido horrio, y tl que α(0 = (0, 1 (7 Si α(t es un curv en R 2 que no ps por el origen, α(t 0 es el punto en el gráfico de α que está más cerc del origen y α (t 0 0; mostrr que α(t 0 y α (t 0 son vectores ortogonles Ayud: Deriv g(t = α(t α(t en t 0 (8 Clculr α(t si se sbe que α (t = 0 es el vector nulo (9 Si v R 3 es un vector fijo no nulo y α(t es un curv culquier en R 3 tl que α (t v pr todo t y α(0 v; muestr que α(t v pr todo t Ayud: Muestr que l función f(t = α(t v v 2 es derivble (10 Si α(t es un curv en R 3 tl que α (t 0 pr todo t; muestr que α(t = r > 0 es un constnte positiv si y sólo si α(t α (t pr todo t Ayud: Mismo truco del problem (7 (11 Si α, β son dos curvs diferencibles en R 3 que stisfcen, pr cierts constntes, b, c, d R; α = α + bβ muestr que α β es un vector constnte [Repso de cálculo en vris vribles] β = cα + dβ (1 En R 3 ; ddos un cmpo esclr f(x, y, z y un cmpo vectoril V (x, y, z = (v 1 (x, y, z, v 2 (x, y, z, v 3 (x, y, z; considermos los siguientes operdores diferenciles ( f Grdiente: (f =, f, f x y z Derivd direccionl: Siempre que V = 1 se define D(f, V = (f V = f x v 1 + f y v 2 + f z v 3 Divergenci: div(v = v 1 e 1 e 2 e 3 Rotcionl: rot(v = V = x y z v 1 v 2 v 3 Verificr que ( (f + g = (f + (g + v 2 + v 3 x y z

4 4 Mte3 P1 (b (f g = (fg + f (g (c (V + W = V + W (d (fv = (f V + f( V pr tod constnte λ (e ( (f = 0 si f es de clse C 2 (2 Dd un función R 2 f R derivble en un punto p = (x 0, y 0 ; muestr que el grdiente f(p = ( f f (p, (p determin l dirección de máximo crecimiento x y de f (3 Dd γ(t = cos(t pr t [0, 2π; dibuj l superficie S dd por l iguldd z = γ(x 2 + y 2 Hllr los puntos críticos de S y decide si son máximos, mínimos o puntos de sill (4 Demuestr el recíproco de l prte (e de l pregunt nterior; vle decir: Si V = (v 1, v 2, v 3 es culquier cmpo irrotcionl en R 3 (es decir, tl que V = 0 entonces V = (f pr un cmpo esclr f(x, y, z de clse C 2 Ayud: Fij un punto (r 0, s 0 R 3 Define f(r, s, t como l integrl de líne de V lo lrgo de l poligonl que une los puntos (r 0, s 0, (r, s 0, (r, s y (r, s, t Es decir: f(r, s, t = r r 0 v 1 (x, s 0 dx + s s 0 v 2 (r, y dy + t t 0 v 3 (r, s, zdz (5 Teorem de Green en R 2 : Se γ(t un curv cerrd simple con dominio t [, b], y R l región biert que qued encerrd por γ Se V = (P, Q un cmpo vectoril en R 2 Mostrr que [ Q V dγ = x P ] dxdy y γ R Ayud: Sen, b R los extremos de l proyección de γ en el eje horizontl Subdivide l imgen de γ en dos funciones explícits g 1 (x < g 2 (x pr x [, b] muestr que P dxdy = dx y γ R (6 Demuestr que ls siguientes firmciones son equivlentes en R 2 : V es un cmpo conservtivo: L integrl de líne q V dγ no depende de p l tryectori γ que une p, q V dγ = 0 pr culquier curv cerrd γ γ V = (f es un cmpo grdiente (ver pregunt 15 V = 0 (7 Muestr que el áre de un región simple R R 2 encerrd por un curv cerrd conex γ = R stisfce Are(R = 1 xdy ydx ( 2 R (8 Ddo F (x, y = 3x 3 2xy 2 + e (3x+2y ; 2 3 e(3x+2y 2x 2 y clcul l integrl de líne ( q F dγ pr p = ( 3, 0; q = 3 2, 2 y γ el rco más corto de l curv p 2 x y2 4 = 1 Ayud: Depende de γ?

5 Mte3 P1 5 [Curvs diferencibles II] (1 Clcul l longitud de rco de l curv R g R 3 dd por x(t = t, y(t = 2t3, 3 z(t = t 2 entre los puntos p = ( 1, 2, 1 y q = (2, 16, (2 Obteng un prmetrizción de l curv cicloide y clcul l longitud de rco que corresponde un rotción complet del disco (3 Muestr que ls rects tngentes de l curv α(t = (3t, 3t 2, 2t 3 formn un ángulo constnte con l rect y = 0, x = z (4 Dd un curv diferencible α(t en R 3 se [, b] un cerrdo contenido en el dominio de α; p = α( y q = α(b ( Pr cd vector unitrio v muestr que (q p v = b α (t vdt b α (t dt (b Muestr que q p b α (t dt Ayud: Tom v = q p q p (5 Dd un curv α(t en R 3 se s(t = t α (t dt l función que mide l longitud t 0 de rco de α desde lgún t 0 fijo Muestr que α (t 1 si y sólo si s(t difiere de t en un constnte (6 Muestr que tod curv regulr puede ser reprmetrizd por longitud de rco α Ayud: Se (, b 3 R un curv regulr Se s(t = t α (t dt l función de longitud de rco ( Muestr que l = s(t es un función derivble en < t < b, estrictmente creciente, y posee un invers t = r(l derivble y estrictmente creciente en 0 < l < L = s(b Hz un dibujo β (b Verific que (0, L R 3 dd por β(l = α(r(l recorre l mism tryectori de α y es prmetrizd por longitud de rco Ayud: Deriv l iguldd r(s(t = t y us l regl de l cden α [Mrco móvil de un curv regulr] Fijmos un curv regulr (, b R 3 prmetrizd por longitud de rco (ver último ejercicio de l sección nterior Pr cd s (, b el vector derivd α (s tiene norm α (s = 1, por lo cul es llmdo el tngente unitrio, lo denotmos en delnte por t(s = α (s L curvtur de α en s es el vlor k(s = α (s ; llmmos k l función de curvtur Si k(s 0 entonces el vector norml en s es el vector unitrio n(s = α (s El plno determindo k(s por {t(s, n(s} se llm plno osculdor de l curv; y está bien definido siempre que k(s 0; en tl cso el vector b(s = t(s n(s es unitrio y norml l plno osculdor; lo llmmos vector binorml L tern {t(s, n(s, b(s} se llm mrco móvil de Frénet Muestr que (1 k(s 0 si y sólo si α es (un segmento de un rect (2 L función de curvtur es invrinte por cmbio de orientción (3 Si k(s 0 entonces α (s α (s (ejer 11, 1r prte de curvs (4 t (s = k(sn(s (5 b (s = τ(sn(s; el vlor τ(s es l torsión en s y l función τ se llm función de torsión Ayud: Not que b (s b(s (ejer 11, 1r prte de curvs y

6 6 Mte3 P1 b (s t(s Pr ello deriv b = (t n = t n + t n y demuestr que el primer sumndo se nul (6 Si k(s 0; entonces τ(s 0 si y sólo si α es un curv pln (7 Si se cmbi l orientción de l curv, el vector binorml cmbi de signo (8 L torsión es invrinte por cmbio de orientción (9 Siempre que k(s 0 l bse {t(s, n(s, b(s} es ortonorml en R 3 (10 n(s = b(s t(s y t(s = n(s b(s; hz un dibujo y plic l regl de l mno derech (11 n (s = τ(sb(s k(st(s Ayud: Deriv n(s = b(s t(s; us (4 y (5 (12 Un movimiento rígido en R 3 es l composición de un trslción u (u + p (el punto p es el poyo de l trslción y un trnsformción ortogonl u A(u donde A 1 = A T Demuestr que l curvtur y l torsión son invrintes bjo movimientos rígidos Ayud: Verific que el producto interno, el ángulo y l norm son invrintes por movimientos rígidos (13 Dd α(s = ( cos(s/c, sen(s/c, bs/c donde 2 + b 2 = c 2 y s R; ( Muestr que s es el prámetro de longitud de rco (b Clcul l curvtur y l torsión (c Determin el mrco móvil (d Muestr que ls tngentes locles formn un ángulo constnte con el eje z