UNIDAD I: LÓGICA PROPOSICIONAL

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1 UNIDAD I: LÓGICA PROPOSICIONAL ASIGNATURA: INTRODUCCIÓN A LA COMPUTACIÓN CARRERAS: LICENCIATURA Y PROFESORADO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICA Y NATURALES UNSL 1

2 El uso de la Lógica es esencial en cualquier disciplina que sea una ciencia formal. En las Ciencias de la Computación, por ejemplo, la Lógica es directamente aplicable al diseño y especificación de algoritmos, al diseño de circuitos lógicos, en el enfoque para resolver cierto tipo de problemas conocido como programación lógica y en inteligencia artificial, entre otras áreas de aplicación. En este curso se brindan los conceptos básicos, en primer lugar de la Lógica Proposicional y posteriormente de la Lógica de Predicados. El lenguaje de las proposiciones El lenguaje que habitualmente usamos está conformado por frases, expresiones o enunciados. Si se desea deducir información a partir de una frase es necesario poder evaluarla para decidir si es cierta o no. No obstante, no toda frase puede ser evaluada. Por ejemplo: Frases evaluables La casa está pintada de blanco Julia se compró un auto nuevo Liliana es una adolescente Qué calor! Frases no evaluables Cuánto tardará? Entrégame el examen Generalizando, se dice que toda frase que tiene una función de tipo informativa es una frase que se puede evaluar, quedando entonces fuera todas aquellas frases que cumplen una función de transmitir una orden y las que se utilizan con una función expresiva. Desde el punto de vista gramatical, una proposición es lo que se denomina una oración declarativa (en contraste con las oraciones interrogativas, exclamativas o imperativas). En la Lógica para poder construir enunciados acerca del mundo se debe disponer de un lenguaje. Este lenguaje será un lenguaje formal, acotado y más limitado que el lenguaje natural, mediante el cual se podrán escribir enunciados llamados proposiciones (simples y compuestas) con los que se denotarán hechos acerca del mundo. La Lógica Proposicional es la que trata las proposiciones, es decir, entidades gramaticales con estructura de oraciones declarativas (compuesta de sujeto y predicado) que se unen a otras para construir oraciones complejas. El alfabeto de las proposiciones El lenguaje de la Lógica Proposicional, también llamada Cálculo Proposicional o Cálculo de Predicados de Orden 0 (Orden cero), consta de un alfabeto para construir enunciados acerca del mundo. Este alfabeto está compuesto por: 1. El conjunto infinito numerable 1 de cadenas de caracteres que comienzan con letra mayúscula, llamadas variables de enunciado o variables proposicionales, que permiten representar cualquier enunciado. Por ejemplo: Objeto_sujeto, Juan_es_joven, etc. Usualmente para simplificar su representación se recurre a las letras del alfabeto castellano en mayúsculas: A, B,, Z. 2. Los símbolos de conectivas (o), (y), (implicación), (doble implicación) y (no), llamadas disyunción, conjunción, implicación, doble implicación y negación, respectivamente. También conocidas como operaciones lógicas. 3. Los paréntesis. 1 Se dice que un conjunto es infinito numerable si existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto y los elementos de. 2

3 La sintaxis de las proposiciones Definido el alfabeto del lenguaje, es necesario contar con reglas gramaticales que nos permitan construir proposiciones o fórmulas bien formadas (fbfs). - Todo átomo es una fbf denominada fbf atómica. Ejemplos: S, T, Esteban_es_socio_de_Antonio, Juan_es_amigo_de, etc. α β α β α β α β α - Si α y β son fbfs, también lo son las fórmulas compuestas: Ejemplos: Ascensor_sube Ascensor_baja Es_verano Hace_calor Hay_humedad Alfredo_es_hombre Alfredo_es_ave Puerta_abierta Puerta_cerrada Coche_amarillo Las fbfs compuestas del ejemplo anterior pueden expresarse en forma simplificada usando variables proposicionales como: P Q (P representa Ascensor_sube y Q a Ascensor baja). R S T (R representa Es_verano, S a Hace_calor y T a Hay_humedad). U V (U representa Alfredo_es_hombre y V a Alfredo_es_ave). W X (W representa Puerta_abierta y X a Puerta_cerrada). Z (Z representa Coche_amarillo). No siempre las operaciones lógicas se aplican a fórmulas atómicas (en el caso de la negación) o a pares de fórmulas atómicas (en los casos de la disyunción, conjunción, implicación y doble implicación), por lo que es necesario agrupar las fbfs compuestas entre paréntesis para tratar al grupo como una unidad respecto al operador lógico (conectiva). Ejemplo: La frase Si estoy aburrida iré a caminar o al cine se puede representar por la fbf: Estoy_aburrida (Ire_a_caminar Ire_al_cine) que en forma simplificada podrá expresarse como P (Q R), asociando con P, Q y R las proposiciones correspondientes. Entonces se define la siguiente regla sintáctica para establecer la relación entre operaciones lógicas y proposiciones cuando hay más de un operador lógico o conectiva: 3

4 Una conectiva afecta directamente a la fbf atómica inmediatamente siguiente después de ésta, o al conjunto de fbfs agrupadas entre paréntesis inmediatamente después de ésta. Ejemplo: A B C La conectiva se aplica sólo a la fbf atómica representada por B, puesto que B es la que sigue inmediatamente a dicha conectiva. En cambio si se deseara que afecte al resultado de evaluar B C debería reescribirse como A (B C) Para no incurrir en un uso abusivo de paréntesis se define una regla sintáctica adicional que permite definir una jerarquía entre las operaciones lógicas, ordenándolas por orden de prioridad y de esta forma puede evitarse el uso redundante de paréntesis. PRIORIDAD 2 3, 4 (menor), CONECTIVA Las operaciones con mayor prioridad deben resolverse primero. Los paréntesis tienen mayor prioridad (1) que cualquiera de las conectivas, por lo tanto las fbfs encerradas entre paréntesis deberán evaluarse primero. Ejemplo: La fbf (P (Q R)) S se puede transformar en P (Q R) S puesto que la fbf encerrada entre paréntesis se evalúa primero. A este resultado se le aplica la conectiva que tiene la mayor prioridad (2). A continuación se aplica la conectiva que es de mayor prioridad (3) que (4). Finalmente se aplica la implicación. A los efectos de visualizar más rápidamente lo antedicho, si se usaran paréntesis el orden de evaluación quedaría indicado como: Ejemplo: ((P ( (Q R))) S) La fbf P Q R Cómo se debe evaluar? Debido a que los operadores poseen el mismo nivel de prioridad se debe insertar un paréntesis para indicar el orden de evaluación de las sub-fbfs que la componen ya que la forma de interpretar (P Q) R es distinta a interpretar P (Q R). Construcción de enunciados en el Cálculo Proposicional La traducción del lenguaje natural al lenguaje formal no es un proceso mecánico. No hay reglas que indiquen de forma automática y única cómo debe realizarse dicha transformación, sólo se puede utilizar una serie de reglas generales, en combinación con la intuición. En la siguiente tabla se muestran las equivalencias más utilizadas entre las conectivas lógicas y las lingüísticas. 4

5 Conectivas Lógicas Conectivas Lingüísticas P No es el caso de P No P No es cierto que P P Q P y Q P pero Q P aunque Q P sin embargo Q P Q P o Q Ya P ya Q ya ambos P Q Si P entonces Q P sólo si Q Sólo P si Q Es suficiente P para que Q Siempre que P entonces Q Es necesario Q para que P No P a menos que Q A no ser que Q no P P Q P si y sólo si Q P cuando y sólo cuando Q P es condición suficiente y necesaria para que Q Ejemplo: En este ejemplo se busca formalizar la siguiente proposición expresada en lenguaje natural Si ahorro podré comprar un coche o no, pero si no ahorro seguro que no podré comprarlo en una fbf de la Lógica Proposicional mediante un proceso de 3 pasos: Paso 1: Identificar las entidades con estructura de oración declarativa Ahorro, P en su forma abreviada (con sujeto implícito yo). Compraré_un_coche, Q en su forma abreviada. Paso 2: Analizar la frase y descomponerla por niveles según la prioridad de las conectivas que la forman y las sub-fbfs que la componen. En el primer nivel se identifica la palabra pero que se asocia con la conectiva quedando expresada como: (Si ahorro podré comprar un coche o no) (si no ahorro seguro que no podré comprarlo) En el segundo nivel se analiza cada operando de la conectiva. En el primero se ve que si ahorro entonces se tiene la consecuencia de que se podrá o no comprar un coche, lo cual se traduce como (ahorro podré o no comprar un coche) y de manera semejante el segundo se traduce como (No ahorro no compraré un coche), con lo cual quedaría: 5

6 (ahorro podré comprar un coche o no) (No ahorro no compraré un coche). Un tercer nivel de análisis conduce a la siguiente traducción del primer operando considerando la palabra o (ahorro podré comprar un coche no) (No ahorro no compraré un coche) Un nivel final de análisis conduce a traducir las negaciones (ahorro compraré un coche compraré un coche) ( ahorro compraré un coche) Paso 3: Obtener una fórmula abreviada (P Q Q) ( P Q) Conjunto de significados En la Lógica Proposicional el conjunto de significados se define por el conjunto V, de cardinalidad dos (2), que es el conjunto de valores semánticos o valores de verdad, atribuibles a las fórmulas atómicas del lenguaje. Al utilizar una lógica bivalente, es decir, con sólo dos valores posibles, las fórmulas atómicas sólo pueden tomar valores que pertenezcan a V = {V, F} donde V se interpreta como Verdadero y F como Falso. Sea P una fórmula atómica, P sólo podrá tener el valor de verdad V o F pero NO ambos simultáneamente. Definición: Una asignación es una función que da a cada una de las fórmulas atómicas del lenguaje de la Lógica Proposicional un valor del conjunto de valores de verdad. El significado de cada conectiva se define a través de una tabla de valores de verdad para tal conectiva. Negación P V F P F V Conjunción P Q P Q V V V V F F F V F F F F 6

7 Al haber sólo dos fórmulas atómicas las combinaciones posibles de valores de verdad para ellas es 2 2 = 4. Notar que el valor de verdad de la conjunción sólo es verdadero cuando el valor de verdad de las fórmulas que la conforman es Verdadero. Disyunción P Q P Q V V V V F V F V V F F F El valor de verdad de la disyunción es Verdadero cuando al menos una de las dos fórmulas que la componen es Verdadero. Implicación P Q P Q V V V V F F F V V F F V La implicación de dos fórmulas es verdadera cuando el antecedente (P) es Falso o el consecuente (Q) es Verdadero. Notar que en el único caso que la implicación devuelve el valor Falso es cuando el antecedente (P) es Verdadero y el consecuente (Q) es Falso. Doble Implicación P Q P Q V V V V F F F V F F F V La doble implicación de dos fórmulas es verdadera cuando las dos fórmulas que la componen tienen el mismo valor de verdad. 7

8 Como se mencionó anteriormente, también se puede trabajar con fórmulas compuestas. La pregunta es Cómo se define el significado de una fórmula compuesta? El significado (valor de verdad) de una fórmula compuesta se asigna a través del uso de las tablas de valores de verdad. Al trabajar con una lógica bivalente, el número de combinaciones posibles de valores de verdad atribuibles a una fbf compuesta de n fórmulas atómicas es 2 n. Ejemplo: Sea la fórmula (P Q) P Q, el número de combinaciones posibles es 2 2 y su evaluación consiste en ir evaluando cada conectiva teniendo en cuenta su prioridad. Por lo tanto, primero se debe evaluar la fórmula entre (). P Q (P Q) P Q V V V V F V F V V F F F Luego se evalúa la negación P Q (P Q) P Q V V F V F F V F F V F V F V F V V F F F V F V V A continuación se evalúa la conjunción P Q (P Q) P Q V V F V F F F V F F V F F V F V F V V F F F F V F V V V Se concluye con la evaluación de la doble implicación cuyo resultado es el significado o valor de verdad de la fórmula completa. P Q (P Q) P Q V V F V V F F F V F F V V F F V F V F V V V F F F F V F V V V V 8

9 En la Lógica Proposicional una tautología es una fórmula tal que toda asignación de valores de verdad hace verdadera su interpretación. En consecuencia la fórmula analizada en el ejemplo anterior es una tautología. Un concepto importante en la Lógica Proposicional es el concepto de equivalencia lógica (simbólicamente denotada como ). Dos fórmulas son lógicamente equivalentes cuando tienen los mismos valores de verdad para todas las asignaciones posibles de valores de verdad de sus fórmulas componentes. Cuando dos fórmulas son lógicamente equivalentes se puede sustituir una por otra ya que siempre se obtendrá el mismo resultado (valor semántico o de verdad) al ser evaluadas. Ejemplo: Verificar que P Q Q P Para poder determinar si son o no lógicamente equivalentes se construyen las correspondientes tablas de verdad. P Q P Q P Q Q P V V V V V V V F F V F F F V F F V F F F F F F F Como puede observarse ambas obtienen los mismos valores de verdad para cualquier asignación de valores de verdad de las fórmulas atómicas, por lo que se puede afirmar que son lógicamente equivalentes. 9

10 Algunas equivalencias lógicas importantes Equivalencia P Q (P Q) (Q P) P Q P Q P P P P P P Nombre Definición de la Doble Implicación en función de la Implicación Definición de la Implicación en función de la Disyunción Leyes de Idempotencia ( P) P Ley de Doble Negación P Q Q P P Q Q P (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) Leyes Conmutativas Leyes Asociativas (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) P Q (P Q) P Q Leyes Distributivas Leyes de De Morgan El presente apunte se ha realizado consultando como material de referencia el apunte Lógica: Tutorial del Área de Servicios del Departamento de Informática y el libro Lógica Computacional, E.P. Arís, J. L. Sánchez González y F. M. Rubio, Thomson Editores, España,