CINEMÁTICA. r(t)= (3t 3 - t -78) i + (18-2t 2 ) j + (t 4-81)k

Transcripción

1 CINEMÁTIC 1.- Se lanza un cuerpo hacia arriba en dirección vertical con una velocidad inicial de 98 /s desde la azotea de un edificio de 100 de altura. Calcula: a) la áxia altura que alcanza sobre el suelo, b) el tiepo necesario para alcanzarla, c) la velocidad del cuerpo al llegar al suelo, y d) el tiepo total transcurrido hasta que el cuerpo llega al suelo. Solución: a) 590 b) 10 s c) /s (hacia abajo) d) s 2.- Se lanza una pelota verticalente hacia arriba y se recibe después de 3.5 segundos. Halla: a) la velocidad inicial de la pelota, y b) la altura áxia que alcanza. Solución: a) /s b) Un coche se ueve sobre una recta con aceleración constante. En los instantes t1 = 1 s, t2 = 2 s, y t3 = 3 s, el coche se encuentra respectivaente a x1 = 70, x2 = 90 y x3 = 100. Calcula: a) la aceleración del coche, b) su velocidad inicial, y c) el instante en el que pasa por el origen. Solución: a) a= -10 /s 2 b) vo = 35 /s c) t = -1 s y t = 8 s 4.- El vector velocidad del oviiento de una partícula viene dado por la ecuación v(t) = (3t - 2) i + (6t 2-5) j + (4t - 1) k en /s, y el vector posición en el instante inicial es: r(t=0)= 3i - 2j + k en. Calcula: a) a expresión del vector posición en cualquier instante b) Ecuación del vector aceleración en cualquier instante. c) celeración tangencial y noral para t = 1 s. d) El radio de curvatura R de la trayectoria para t=1 s. Solución: a) r(t)= [(3/2)t 2-2t +3] i + (2t 3-5t -2) j + (2t 2 - t +1)k en b) a(t)= 3 i + 12t j + 4 k en /s 2 c) a T = 8.14 /s 2 a N = /s 2 d) R = a aceleración de una partícula tiene de coponentes cartesianas (18t, -4, 12t 2 ) siendo t el tiepo. Cuál es la velocidad v(t) y la posición r(t) de la partícula si pasa por el origen con velocidad de coponentes (80, -12, 108), cuando t= 3 s? Solución: v(t)= (9t 2-1) i - 4t j + 4t 3 k r(t)= (3t 3 - t -78) i + (18-2t 2 ) j + (t 4-81)k 6.- a variación de la aceleración de la gravedad con la altura viene dada por la fórula: g(h) = - G M T (R + h) 2 donde MT y R son la asa y el radio de la Tierra, y G la constante de gravitación universal. Cuando h = 0 se obtiene g = /s 2. Teniendo en cuenta esta expresión, calcula la velocidad inicial que debe darse a un cuerpo (sin propulsión autónoa) para que lanzado desde la superficie terrestre ascienda una altura vertical de 4000 k. (R= 6000 k) Solución: v i = /s. 7.- Un jugador de béisbol golpea una pelota de anera que adquiere una velocidad inicial de 15 /s, forando un ángulo de 30 con la horizontal. l ser golpeada, la pelota se hallaba a una altura de 1 sobre el suelo. Un segundo jugador, que está a 30 del anterior y en el iso plano que la trayectoria de la pelota, epieza a correr en el instante en que ésta es golpeada. Calcula la velocidad ínia del segundo jugador para que pueda alcanzar la pelota cuando está a 2 del suelo. Supón que el segundo jugador se ueve con velocidad constante. Solución: v in = 8.7 /s. 8.- Desde un punto O situado al pie de un plano inclinado que fora un ángulo de 60 con la horizontal, se lanza una piedra con velocidad inicial v o. Calcula el ángulo α que debe forar la velocidad inicial con la horizontal para que sea áxio su alcance sobre el plano inclinado. Solución: α = Un bobardero vuela horizontalente a una altura de 1000 y con una velocidad de 200 k/h. Deja caer una boba que debe dar en un barco que viaja en línea recta en la isa dirección y sentido y con una aceleración constante de a= 4/s 2. En el instante en el que el avión deja caer la boba el barco tiene una velocidad de 20 k/h. Si la boba da en el blanco, calcula la distancia horizontal entre el avión y el barco en el instante en que se deja caer la boba. Solución: 306.1

2 10.- Una partícula que parte del origen de coordenadas, se ueve a t=0 s con una velocidad v o de 5 c/s y dirección paralela a uno de los lados de un triángulo equilátero, y está soetida a una aceleración constante de 2 c/s2 paralela a otro de los lados del triángulo coo indica la figura. Calcula: a) a trayectoria que sigue esa partícula. b) Su posición y velocidad al cabo de 5 s. Solución: a) y = 0.58 x x 2 c b) v(5) = 4.33 i j c/s r(5) = i j c 11.- Un autootor parte del reposo, en una vía circular de 400 de radio, y va oviéndose con oviiento uniforeente acelerado, hasta que a los 50 s de iniciada la archa, alcanza la velocidad de 72 k/h, desde cuyo oento conserva tal velocidad. Hallar: a) a aceleración tangencial en la priera etapa del oviiento. b) a aceleración noral, la aceleración total y la longitud de la vía recorrida en ese tiepo, en el oento de cuplirse los 50 s. c) a velocidad angular edia en la priera etapa, y la velocidad angular al cabo de los 50s. d) Tiepo que tardará el autootor en dar 100 vueltas al circuito. Solución: a) a T = 0.4 /s 2 b) a N = 1 /s 2 a= 1.08 /s 2 s= 500 c) ω = 0.025rad/s ω(t=50s)= 0.05rad/s d) t= s 12.- Un volante gira en torno a su eje a razón de 3000 rp. Un freno lo para en 20 s Calcula la aceleración angular supuesta constante, y el núero de vueltas dadas hasta que el volante se detiene. Suponiendo que el volante tiene 2 d de diáetro, calcula las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia en el instante en que copleta 100 vueltas y la aceleración total en ese punto. Solución: a) α= -5πrad/s 2 Da 500 vueltas antes de pararse b) a T = 0.5π /s 2 a N = 800π 2 /s 2 a= a 2 T +an Un óvil describe un oviiento circular uniforeente acelerado en sentido antihorario coo indica la figura. El radio de la circunferencia es de 27 c. En el punto la velocidad del óvil es de 9 c/s. Después de 0.25 segundos, el óvil se halla en otro punto y con una velocidad de 10 c/s. Calcula: a) el ódulo de la aceleración total del óvil en el punto, y b) el ángulo ß que fora esta aceleración con la horizontal. Solución: a) a = 0.05 /s 2 = 5 c/s 2 b) ß = Dos óviles, 1 y 2, parten del iso punto de una circunferencia de radio R y con la isa velocidad inicial, v o, aunque salen en sentidos opuestos. El oviiento de 1 es acelerado y el de 2 es retardado, pero el ódulo de sus respectivas aceleraciones tangenciales, a T, es el iso. a) Calcula el valor de a T sabiendo que el óvil dotado de oviiento retardado, en el instante del encuentro lleva velocidad nula. b) Halla la aceleración total de cada uno de los óviles en el oento del encuentro. Solución: a) a T = (v 2 o )/(π R) b) atot1 = (v 2 o 1+16π 2 )/(π R) a tot2 = (v 2 o )/(π R) 15.- Un tiovivo de radio R inicia su oviiento con una aceleración angular constante α. Después de un cierto intervalo de tiepo, una persona ontada en el tiovivo deja caer una pelota en la periferia del tiovivo y desde una altura h = R/2 con respecto al suelo exterior. a pelota cae en el suelo exterior en un punto. Sabiendo que la distancia entre dicho punto y el eje central del tiovivo es D = R g g 2 + α 2 R 2, calcula el ángulo θ recorrido por el tiovivo desde que inicia su oviiento hasta que la persona suelta la pelota. Da el resultado en función de α, R y g. Solución: θ = (R α)/(2 g) 16.- Un cuerpo coienza a overse con una velocidad inicial v o = 2 /s y avanza con una aceleración constante a. Después de 10 segundos de coenzar a overse el cuerpo, y desde el iso punto de partida, epieza a overse un cuerpo con una velocidad inicial v o ' = 12 /s y con la isa aceleración a. Calcula el valor ínio de la aceleración a con la cual el cuerpo no puede alcanzar al cuerpo. Solución: a in = 1 /s 2

3 17.- Una oto se ueve con una velocidad constante de 90 K/h y adelanta a un coche que se ueve ás despacio por una carretera recta. En el instante en el que la oto adelanta al coche, éste adquiere una aceleración constante de 1.5 /s 2 de anera que rebasa a la oto después de recorrer 500 de la carretera. Calcula la velocidad del coche en el instante en el que adelanta a la oto. Solución: v= 40 /s 18.- De un cañón fueron disparados dos proyectiles consecutivos con una velocidad vo = 250 /s. El priero con un ángulo θ 1 = 60 con la horizontal; el segundo, a un ángulo θ 2 = 45. Despreciando la resistencia del aire, calcula el intervalo de tiepo entre los disparos que asegure que los proyectiles choquen. Solución: t= s 19.- Cuando una oto oviéndose con una velocidad inicial v1 da la vuelta a una esquina, ve a un caión que archa en el iso sentido con velocidad enor constante v2 a una distancia D delante de ella. Si la áxia aceleración constante que sus frenos pueden proporcionar es a, deuestra que la distancia D (v1 - v2) 2 debe ser ayor que 2 a para que el choque no se produzca Una partícula ejecuta un oviiento vibratorio arónico siple con una aplitud de 10 c. En un punto situado a 6 c de distancia de la posición de equilibrio, la velocidad es de 24 c/s. a) Cuál es el periodo? b) Cuál es el desplazaiento cuando la velocidad vale ± 12c/s? Solución: a) T= (2π)/3s b) x= 2 21 c 21.- Un cuerpo está vibrando con oviiento oscilatorio arónico siple de 15 c de aplitud y 4 Hz de frecuencia. Calcula: a) os valores áxios de la aceleración y la velocidad. b) a aceleración y la velocidad cuando el desplazaiento es de 9 c. c) El tiepo necesario para desplazarse desde la posición de equilibrio a un punto situado a 12 c de la isa. Solución: a) v = ±120π c/s a = ±960π 2 c/s 2 b) v = 96π c/s a = - 576π 2 c/s 2 c) t = s Se lanza desde el origen de coordenadas una bola con una velocidad v o =15/s forando un ángulo de 35 con el eje X. Siultáneaente se deja caer otra bola desde el punto de coordenadas x 0 = 10, y 0 = 12. Calcula: a) el instante en que la distancia entre abas bolas es ínia, b) dicha distancia ínia y c) la posición de abas bolas en ese instante. Solución: a) t= 1 s b) D in = 4.1 c) (12.3, 3.7) (10, 7.1) 23.- Dos bobarderos vuelan horizontalente en la isa dirección y sentido. a altura sobre el suelo de uno de ellos es 4 veces ayor que la del otro. Cuando abos aviones están situados en una isa vertical, dejan caer a la vez cada uno su boba, pretendiendo bobardear el iso objetivo. Si la velocidad del avión ás bajo es v, calcula, en función de v, la velocidad v' que debe llevar el avión ás alto para lograr su objetivo. Solución: v' = v/ Deterinar el vector velocidad inicial vo de un balón para que entre perfectaente en la canasta de la figura. Se supone que el balón se ueve en el plano YZ y que la canasta se desplaza perpendicularente a dicho plano con un oviiento vibratorio arónico siple (M.V..S.), Xc = sen(ωt), según se indica en la figura. Suponer y ω conocidos. Tabién se conoce D, distancia inicial entre el balón y la canasta. Solución: voy = (D ω)/(n π) voz = (g n π)/(2 ω) (n=nº entero) Z α Vo X D Xc= sen( t) ω Y 25.- Desde lo alto de una torre de altura H sobre el suelo, se lanza horizontalente una piedra con una velocidad inicial vo = vo i^. a) Calcula la expresión del radio de curvatura de la trayectoria coo función del tiepo, R(t). Da el resultado en función de g y vo. b) Si vo = gh, calcula el radio de curvatura de la trayectoria en el instante en que la piedra llega al suelo. Da el resultado en función de H.

4 Solución: a) R(t) = (v o 2 + g 2 t 2 ) 3/2 vo g b) R = 27 H 26.- Desde un óvil que archa a una velocidad de 90 k/h, se lanza un cuerpo con un ángulo de elevación de 45º en un plano perpendicular al oviiento del óvil. El ódulo de la velocidad inicial del cuerpo relativa al óvil es de 10 /s y se lanza desde una altura de 1.2 por encia del suelo. Deterinar a) la velocidad inicial del cuerpo relativa al suelo, b) dónde aterriza el cuerpo respecto al punto de lanzaiento?, c) para un observador que viaje en el óvil, cúal sería la respuesta al apartado b)? Solución: a) vo = 25 i^ j^ k^ /s b) rf = 39.9 i^ j^ c) r'f = 11.3 j^ 27.- Una partícula se ueve en el plano XY con vector aceleración a constante. En el instante inicial, t = 0, la partícula se halla en la posición inicial ro = 4 i + 3 j, y con un vector velocidad inicial vo. En el instante posterior, t = 2 s, la partícula se ha desplazado a la posición r1 = 10 i - 2 j, y su vector velocidad es v1 = 5 i - 6 j /s. Calcula: a) el vector aceleración a de la partícula; b) el vector velocidad inicial vo; c) el vector velocidad en cualquier instante v(t); y d) el vector posición en cualquier instante r(t). Solución: a) a = 2 i^ j^ /s 2 b) vo = i^ + j^ /s c) v(t) = (1+ 2t) i^ + (1-3.5t) j^ /s d) r(t) = (4+t+t 2 ) i^ + (3+t-1.75t 2 ) j^ 28.- Una partícula se ueve en el plano XY y se encuentra, en cada instante, en un punto (x, y) tal que x(t) = cos(t), y(t) = sen(t), en unidades del S.I. Deterinar: a) la trayectoria seguida por el óvil, b) la velocidad y la aceleración en cada instante, c) de qué oviiento se trata? Solución: a) (x -3) 2 + (y -5) 2 = 4 b) v(t) = -2 sen(t) i + 2 cos(t) j v = 2 /s = cte a(t) = -2 cos(t) i - 2 sen(t) j a = 2 /s 2 = cte c) oviiento circular unifore 29.- Galileo deostró hace uchos años que, con una isa velocidad inicial, el alcance de un proyectil que se lanza con un ángulo 45º+α es el iso que cuando se lanza con un ángulo 45º-α (siendo α<45º). Deostrarlo. Despreciar la resistencia del aire Un pelota P se encuentra pegado a la periferia de una noria de radio R. a noria coienza a girar cuando P está justaente en el P punto ás alto de la isa. a noria gira en sentido horario y con aceleración angular constante α. En el instante en que la noria ha dado una vuelta copleta, el pelota P se despega de la noria. Durante todo el vuelo de P un fuerte viento ha epujado al pelota dándole una R a v g aceleración horizontal constante av =g/2 hacia la derecha coo Q indica la figura. El pelota P alcanza el suelo en el punto Q a una distancia H= 5R del pie de la noria. Calcula la aceleración angular α H de la noria. Da el resultado en función de R y g. Solución: α = g/(π R) 31.- En un circo, un otorista acróbata salta desde una rapa que tiene una inclinación θ y sobrepasa una zanja de anchura D, alcanzando una platafora de altura H respecto del lado inicial justo en la cúspide de su trayectoria. Para un ángulo θ y una distancia D fijos, a) cuál es la altura H de la platafora sobre la rapa? b) cuál el la velocidad de la oto al salir de la rapa? Da los resultados en función de D, θ y g. Considera al otorista coo una asa puntual. Solución: a) H = D tgθ 2 b) v = D g senθ cosθ Motorista H θ D 32.- a aceleración de un oviiento queda deterinada por la ecuación a(x) = -16 π 2 x estando a en c/s 2 y x (distancia al origen) en c. Sabiendo que el desplazaiento áxio son 4 c y que se ha coenzado a contar el tiepo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto áxio, en los desplazaientos positivos, deterinar a) a ecuación del desplazaiento para cualquier instante. b) a

5 velocidad y aceleración áxias. c) a velocidad y la aceleración cuando el desplazaiento es la itad del áxio. Solución: a) x(t) = 4 sen(4πt + π/2) c b) v ax = 16π c/s a ax = 64π 2 c/s 2 c) v = 8 3 π c/s = 13.85π c/s a = - 32π 2 c/s Un cañón apunta forando un ángulo θ con la horizontal. Se dispara una bala con una velocidad inicial de ódulo vo. Calcula el valor del ángulo θ sabiendo que el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en su punto ás alto es el doble de la altura de la bala en dicho punto. Solución: θ = 45º 34.- as posiciones de dos partículas óviles están definidas por los vectores r1 = (t 2-2t + 5) i + (t 2 + 4t) j + (t + 2) k y r2 = (t 2 + t + 3) i + (t 2 + 2t) j + (t - 3) k, estando todo escrito en el sistea internacional. Calcular la velocidad y aceleración de la partícula 2 respecto a la 1. Solución: v21 = 3 i - 2 j /s a21 = 0 /s Una pelota pasa por el borde de una pared de altura H situada a una distancia D del punto de lanzaiento, de donde sale a una altura yo por encia del suelo y forando un ángulo de 45º con la horizontal. Calcular: a) la velocidad inicial vo con que fue lanzada; b) deostrar que si adeás en ese punto la pelota alcanza su altura áxia, la altura H debe ser H=yo+D/2; c) para las condiciones del apartado anterior, deostrar que vo = 2gD, siendo g la aceleración de la gravedad. g D Solución: a) vo = 2 yo+d-h

6 DINÁMIC DE PRTÍCU 1.- En el sistea de la figura las asas de los bloques y son = 20kg y = 30kg, y el coeficiente de rozaiento cinético entre los bloques y las superficies es de 0.2. Calcula: a) la aceleración del sistea, y b) la tensión en la cuerda. Solución: a) a= 1.14/s 2 T= 62N El sistea de la figura se halla en oviiento. as asas de los bloques son = 9kg, = 8kg y C = 3kg. a poleas tienen asa despreciable. El coeficiente de rozaiento cinético entre el bloque y el plano inclinado es µc = 0.2. Deterina el sentido de oviiento del sistea, es decir, sube o baja? Calcula la aceleración del sistea y las tensiones en las cuerdas. Solución: a = 0.3 /s 2 T derch = 85.5 N T izq = 30.3 N Un bloque de asa 1 se encuentra sobre otro bloque de asa C 2 que está sobre una superficie horizontal lisa sin rozaiento, coo indica la figura. os coeficientes de rozaiento estático y cinético son, respectivaente, µ e y µ c. Si se aplica una fuerza horizontal F sobre el bloque inferior, calcula: a) el valor áxio de F para el cual el bloque superior no se desliza sobre el inferior, y b) la aceleración de cada uno de los bloques cuando el valor de F es ayor que el calculado en el apartado anterior. Solución: a) F= µ e g ( ) b) a 1 = µ d g a 2 = (F - µ d 1 g)/ 2 1 F Sobre un plano inclinado se colocan dos cuerpos y de asas 1 y 2, y cuyos coeficientes de rozaiento con la adera son µ 1 y µ 2, respectivaente. Se va inclinando el plano coo indica la figura. Calcula: a) a condición necesaria para que el cuerpo se ponga en oviiento antes que el. b) a condición necesaria para que los dos bloques deslicen a la vez. c) Si se ϕ cuple la condición anterior, qué valor debe tener ϕ para que el sistea - deslice con oviiento unifore? d) Cuál será el valor de la aceleración del oviiento cuando se incline el plano un ángulo ϕ' ayor que el ϕ del apartado anterior? Solución: a) µ 1 < µ 2 b) µ 1 = µ 2 c) ϕ= arc tg µ d) a= g (sen ϕ' - µ cos ϕ') 5.- Un pequeño bloque de 8 kg de asa está unido a una varilla vertical de 8 de longitud por edio de dos cuerdas iguales de 5 de longitud coo indica la figura. Cuando el sistea gira alrededor del eje de la varilla con una velocidad angular de 4 rad/s, las dos cuerdas están tensas. Calcula la tensión que ejercen abas cuerdas sobre el bloque. Solución: T cuerda superior = 369 N T cuerda inferior = 271 N 6.- Dos cuerpos de asas 5 kg y 2 kg están suspendidos a 1 del suelo de los extreos de una cuerda de 3 de longitud que pasa por una polea sin rozaiento y de asa despreciable. bos cuerpos parten del reposo. Calcula la altura áxia que alcanza el cuerpo de 2kg. Solución: ltura áxia = Un cuerpo de 2 kg unido a una cuerda describe una circunferencia vertical de 3 de radio. Hallar: a) a ínia velocidad v in que debe tener el cuerpo en la posición ás alta para que la cuerda peranezca tirante. b) a tensión T de la cuerda cuando el cuerpo está en la posición inferior de la circunferencia oviéndose a la velocidad v in. Solución: a) v in = 5.42/s b) T= 39.2N 8.- Una bola está unida al extreo de un hilo de 24c de longitud cuyo otro extreo es un punto fijo O. a bola describe una circunferencia horizontal de radio R. Halla la velocidad de la bola sabiendo que el

7 hilo fora un ángulo de 30 con la vertical. Solución: v= 0.824/s 9.- a posición de una partícula de 4 kg de asa, respecto a un sistea de referencia inercial, viene dada en cierto instante por el vector r o = (3i + j) en etros, y su velocidad es v o = (5i - k) en /s. Se le aplica entonces una fuerza F tal que su oento respecto al origen de coordenadas es constante e igual a (5i + 20k) en N. Calcula el oento angular de dicha partícula al cabo de 2 segundos. Solución: (t=2s)= 6 i + 12 j + 20 k (kg 2 )/s 10.- En el sistea de la figura, deterina entre qué valores puede estar coprendida la asa M 1 para que el sistea se halle en equilibrio. as poleas no tienen asa ni existe rozaiento entre ellas y las cuerdas. El coeficiente de rozaiento estático entre M 1 y el plano es µ= 0.3 y M 2 = 30kg. Solución: 68.8 kg < M 1 < kg 11.- El sistea de bloques de la figura se suelta desde el reposo. El coeficiente de rozaiento cinético en todas la superficies deslizantes es de µ= 0.1. Halla la aceleración con que se ueve el sistea. Datos: = 30kg y = 65kg. Solución: a = 1.09 /s Una bola de asa se une a un uelle, y éste a su vez a un punto fijo P, coo indica la figura. El uelle no se puede doblar y tiene una asa despreciable. a bola se ueve en un plano horizontal describiendo una círcunferencia de radio R con una velocidad angular ω y la constante elástica del uelle es k. No hay rozaiento entre la bola y el plano. a) Cúal es la fuerza que ejerce el uelle sobre, si = 1 kg, ω= 1 rad/s y R= 1?. b) Si la longitud natural del uelle es 0.9, cuánto vale k? c) Si la bola y el uelle giran ahora con ω= 2 rad/s, cuál es el nuevo radio de la trayectoria de la bola.? d) Qué trabajo se ha realizado sobre la bola al auentar ω desde 1 rad/s hasta 2 rad/s? Solución: a) F = 1 N b) k = 10 N/ c) R = 1.5 d) W = 4 J 13.- Se tienen dos uelles idénticos de constante elástica k. Una asa M se une a ellos, coo se uestran en las figuras. Calcula: a) el periodo de oscilación de la asa en cada uno de las dos situaciones despreciando rozaientos, b) la velocidad con que la asa pasa, en cada caso, por su posición de equilibrio, si previaente se había separado una distancia x. Solución: a) En abos casos T = 2π M/(2k) b) En abos casos v = x 2k/M M k k M ) k P k k R M 2 M 14.- Un director de circo quiere diseñar un nuevo núero cobinando el de la bala huana con el del trapecio. Pretende que la bala huana disparada por el cañón alcance justaente el trapecio de brazo r= 2, y continúe hasta la P platafora P situada a una altura h= 20 sobre el suelo, tal y coo indica la r figura. Para que el núero resulte perfecto, la velocidad vertical de la bala huana tiene que ser nula en el instante de alcanzar el trapecio y tabién al alcanzar la platafora. Con qué velocidad inicial v o y qué ángulo θ ha de h efectuarse el disparo? qué distancia d de la platafora? Solución: v o = 19.8 /s θ = d = 14 θ d 15.- Un cuerpo D de 5.5 kg de asa se encuentra sobre una superficie E' cónica lisa C y está girando alrededor del eje EE con una velocidad angular de 10 rev/in y a una distancia de 4.5 del punto E. Calcular a) a velocidad lineal del cuerpo. b) a reacción de la superficie sobre el cuerpo. c) a tensión en el hilo. d) a velocidad angular necesaria para reducir la reacción del plano a 60 cero. D Solución: a) v= 4.09/s b) N= 34.88N c) T= 47.38N d) ω= 2.08rad/s E C )

8 16.- Dos objetos de distinta asa tienen la isa energía cinética de traslación. Deuestra cuál de ellos tiene ayor oento lineal, el de ayor o el de enor asa? 17.- Una persona de asa 70 kg se encuentra en la cabina de un ascensor. os periodos de partida y llegada son oviientos uniforeente acelerados que duran 2.5 s. Entre abos periodos el oviiento del ascensor es unifore con una velocidad constante de 4.9 /s. Calcula: a) el valor de la aceleración del ascensor durante las fases de partida y parada; b) la duración del trayecto para una diferencia de altura, recorrido entre dos paradas, de 20; y d) la fuerza que ejerce el suelo del ascensor sobre la persona durante las fases de partida y parada del ascensor. Solución: a) a partida = 1.96/s 2 a parada = -1.96/s 2 (toando el oviiento hacia arriba positivo) b) t = 6.58 s c) N partida = 823.2N N parada = 548.9N Solución: a) a partida = 1.96/s 2 a parada = -1.96/s 2 (toando el oviiento hacia arriba positivo) b) t = 6.58 s c) N partida = 823.2N N parada = 548.9N 18.- Sobre un plano horizontal sin rozaiento hay un pequeño cuerpo de asa = 2 kg, unido con un hilo al punto P coo indica la figura. Por edio de otro hilo y a través de una polea de asa despreciable se une este cuerpo con otro cuerpo de igual asa, que cuelga verticalente. deás el cuerpo está unido al punto O por un uelle de asa despreciable, longitud natural o = 50 c y constante elástica k =196 N/. Se corta el hilo P, y el cuerpo coienza a overse. Calcula la velocidad del cuerpo en el instante de su separación del plano por la acción del uelle. Solución: v = 1.7 /s 19.- Calcula el trabajo realizado por la fuerza dada por F = x 2 i - xz j + y 2 k en N, a lo largo de la trayectoria cerrada OCDO indicada en la figura. ongitud de la arista del cubo: 1. Solución: W = 7/6 J 20.- Se tiene un péndulo de asa y longitud. a) Calcula la velocidada ínia vo que debe tener el péndulo en su punto ás bajo para que realice una vuelta copleta. b) Si se sustituye la cuerda por una varilla rígida de asa despreciable, cuánto debe valer ahora esa velocidad ínia vo? Solución: a) voin = 5g b) voin = 2 g 21.- Una asa de 2kg se deja libre sobre un plano inclinado liso hacia abajo a una distancia de 4 de un uelle de constante elástica k = 100N/. El uelle está fijo a lo largo del plano inclinado que fora un ángulo de 30. a) Halla la copresión áxia del uelle. b) Si el plano inclinado no es liso, calcula la copresión áxia del uelle si el coeficiente de rozaiento cinético es de 0.2. c) En este últio caso, hasta qué punto subirá la asa por el plano inclinado después de abandonar el uelle? Solución: a) x= b) x= c) Recorre 1.54 desde el extreo del uelle con su longitud natural En el sistea de la figura la polea no tiene asa ni rozaiento en su eje. a superficie horizontal ofrece rozaiento al deslizaiento de la asa 1. a constante elástica del uelle es k. El sistea se suelta desde el reposo cuando el uelle tiene su longitud natural. a asa 2 baja una distancia h en el instante en el que el uelle alcanza su áxio alargaiento. Halla el coeficiente de rozaiento cinético entre 1 y la superficie horizontal. Da el resultado en función de k, h, 1 y 2. Solución: µ = (2 2 g - kh)/(2 1 g) C D O X Y Z 30 4 h 1 2 k P O o

9 23.- Un péndulo de longitud y asa en su extreo se deja libre desde el reposo con un ángulo de 90. a cuerda choca con un clavo situado a una distancia x por debajo del pivote y se enrolla alrededor del clavo acortándose la longitud del péndulo. a) Hallar la velocidad de la asa en función de g, y x cuando está en el punto. b) Deostrar que la asa no alcanzará el punto con la cuerda todavía tensa a no ser que x 3/5. Solución: a) v = 2 g (2x - ) 24.- Se suelta un péndulo de longitud y asa M desde el reposo con un ángulo θo edido desde su punto ás bajo y se deja oscilar libreente. Calcular: a) la energía cinética áxia Ecax del péndulo; b) la tensión de la cuerda en los puntos donde el péndulo se encuentra instantáneaente en reposo; c) la tensión de la cuerda en el punto ás bajo de la trayectoria; d) deostrar que la tensión de la cuerda en el punto ás bajo de su trayectoria es ayor que la tensión cuando el péndulo está instantáneaente en reposo en una cantidad 3 Ecax/ siendo Ecax la energía cinética áxia del péndulo. Solución: a) Ecax = Mg (1 - cosθo) b) T = Mg cosθo c) T = Mg(3-2cosθo) x 25.- Una asa desliza sin velocidad inicial desde la cúspide de una rapa lisa de altura H, que tiene un trapolín horizontal coo indica la figura. a) Con qué altura h del trapolín la distancia s será la áxia? b) Cuál será esa distancia áxia? Solución: a) h = H/2 b) s = H 26.- a figura representa un bloque de 100 g que descansa sobre otro de 900 g, siendo arrastrado el conjunto, con velocidad constante sobre una superficie horizontal, erced a la acción de un cuerpo de 100 g que cuelga suspendido de un hilo, coo indica la isa figura. a) Si el prier bloque de 100 g lo separaos del de 900 g y lo unios al bloque suspendido (figura ), el sistea adquiere una cierta aceleración. Calcular el valor de esta aceleración. b) Cuál es la tensión de las dos cuerdas en la figura? Solución: a = 0.98 /s 2 Tsup = N Tinf = N H h s 27.- Una bola de asa M = 1 kg gira en torno a un poste vertical al que está unida ediante una cuerda de longitud = 1 y de asa despreciable, describiendo un oviento circular unifore en un plano horizontal. Si la áxia tensión que puede soportar la cuerda sin roperse es T = 9.8 N, cuál es la áxia velocidad angular, ω, a la que puede girar la cuerda? Solución: ωax = 3.13 rad/s 28.- Un bloque de asa 1 está unido a una cuerda de longitud 1 fija por el otro extreo. a asa recorre una circunferencia horizontal apoyándose sobre una esa exenta de rozaiento. Un segundo bloque, de asa 2 que tabién recorre una circunferencia, está unido al priero ediante una cuerda de longitud 2. Si abos bloques describen un oviiento circular unifore de periodo T, hallar la tensión en cada cuerda En el sistea de la figura se verifica que 1 > 2. a polea se considera de asa despreciable y sin rozaiento en su eje. Calcula el valor de la asa para que la varilla horizontal se Solución: T1 = 4 π 2 ( ( ))/T 2 x T2 1 = 4 π 2 2 (x )/T 2?

10 antenga en equilibrio: a) si la polea está bloqueada, y b) si la polea puede girar libreente. Solución: a) = x2(1 + 2)/x1 b) = x2 x1 (2 + 2) 30.- Una asa puntual está ensartada en un alabre circular horizontal de radio R. Se counica a la asa una velocidad inicial vo. Sabeos que el coeficiente de rozaiento cinético es µc. Deterinar la velocidad v(t) de en cualquier instante t posterior. Suponer que la fuerza de la gravedad no actúa. vo R Solución: v(t) = R - µc vo t 31.- Una asa puntual se desliza sin rozaiento a lo largo de un alabre seicircular de radio R = 10 c que gira alrededor de un eje vertical a razón de 2 vueltas por segundo según indica la figura. Deterinar el valor de θ para el cual la asa peranece estacionaria respecto al alabre giratorio. g Solución: cos θ = ω 2 θ = 51º R 32.- Un objeto de asa = 300 g se epuja contra un resorte horizontal de constante elástica K=200 N/ coo indica la figura y se suelta desde el reposo. El radio del rizo CD ide R = 10 c. a distancia horizontal desde hasta el extreo del resorte cuando éste presenta su longitud natural lo es de = 1. En el trao horizontal el suelo es rugoso con un coeficiente de rozaiento cinético µ = 0.2. En cabio, el interior del rizo C R D x es liso y su rozaiento despreciable. Calcula la deforación ínia x del resorte para la cual el objeto viajará por el lo interior del rizo peraneciendo en contacto con el iso todo el tiepo. Solución: x in = 11.8 R θ

11 DINÁMIC DE OS SISTEMS DE PRTÍCUS 1.- ocalizar el centro de asas de tres partículas de asa 1 = 1kg, 2 = 2kg y Y 3 = 3kg que están en los vértices del triángulo equilátero de 1 de lado de la figura. 3 Solución: x CM = y CM = X 2.- Un vaso que estaba inicialente en reposo estalla y se parte en tres pedazos. O 1 2 Dos pedazos de la isa asa salen en direcciones perpendiculares con velocidades iguales a 30 /s en ódulo. El tercer pedazo tiene tres veces la asa de cada uno de los otros dos. Cuál es la dirección y el ódulo de su velocidad después de la explosión? Solución: Eligiendo X ey con las velocidades de los dos pedazos: v 3 = - 10 i - 10 j /s v 3 = 14.14/s 3.- Una niña de 40kg. está parada en uno de los extreos de un bote de 70kg. y 4 de longitud (ver figura). El bote está inicialente parado a 3. del uelle. Hay una tortuga T sobre una roca en el extreo opuesto del bote. a niña coienza a andar hacia ese extreo para coger la tortuga. Despreciando el 3 4 T rozaiento entre el bote y el agua. a) Podrá capturar a la tortuga? (Supón que la niña puede extender sus brazos hasta 1. fuera del bote). b) En dónde estará la niña en relación al uelle cuando llegue al extreo ás alejado del bote? Solución: a) No b) Un patinador, que pesa 70 kg, está parado en el hielo y lanza una piedra de 3 kg con un ángulo de 30 con la horizontal y con una velocidad de 8 /s. Halla hasta qué distancia retrocederá el patinador, sabiendo que el coeficiente de rozaiento cinético entre el hielo y los patines es Suponer que el rozaiento no actúa durante el lanzaiento. Solución: x = Se dispara un proyectil con una velocidad de 200 /s y un ángulo de elevación de π/3 rad. Cuando se encuentra en el punto ás alto de su trayectoria explota dividiéndose en dos fragentos iguales, uno de los cuales cae verticalente. qué distancia del punto de lanzaiento caerá el otro fragento? Solución: Una granada que cae verticalente explota en dos fragentos iguales cuando se halla a una altura de 2000 y tiene una velocidad dirigida hacia abajo de 60 /s. Inediataente después de la explosión uno de los fragentos se ueve hacia abajo a 80 /s. Hallar la posición del centro de asas del sistea 10 s después de la explosión. Solución: h c = Sobre dos asas de 1 = 10 kg y 2 = 6 kg, situadas inicialente en reposo en los puntos (0,3) y (4,0), respectivaente, actúan sendas fuerzas F 1 = 6i N y F 2 = 8j N. Halla: a) las velocidades de cada una de las partículas en función del tiepo; b) el oento angular del sistea respecto al origen en función del tiepo; c) el oento de la fuerza resultante que actúa sobre el sistea con respecto al origen, y coprueba que coincide con d dt ; d) la velocidad del centro de asas del sistea en función del tiepo; e) la velocidad de cada partícula respecto al centro de asas. Solución: a) v 1 = (3 t/5) i /s v 2 = (4 t/3) j /s b) = 14 t k (kg 2 )/s c) M = 14 k N d) v CM = (3 t/8) i + (t/2) j /s e) v' 1 = (9 t/40) i - (t/2) j /s v' 2 = - (3 t/8) i + (5 t/6) j /s 8.- Un hobre de 80kg está sobre un carro de 40kg que rueda horizontalente con una velocidad de 2/s. Salta fuera del carro de odo que su velocidad relativa al suelo es de 1/s en sentido opuesto al oviiento del carro. a) Cuál es la velocidad de centro de asas del sistea hobre-carro antes y después del que salte? b) Cuál es la velocidad del carro después de que salta? c) Calcula el trabajo realizado por el hobre al saltar del carro. d) Cuál es la velocidad del centro de asas después de que el hobre llegue al suelo y se pare? e) Qué fuerza es la responsable de la variación de la velocidad del centro de asas? Solución: a) v CMantes = v CMdespués = 2/s b) v CRROdespués = 8/s c) Energía gastada = E = 1080 J d) v CM = 2.67/s

12 9.- Una astronauta ingrávida dentro de su nave espacial en edio del espacio y abos en reposo respecto a estrellas fijas, quiere ir desde 10 un extreo de su nave hasta el otro. Para ello epuja la pared del fondo de la nave. sí la astronauta sale desplazada a una velocidad de 1 /s respecto a las estrellas fijas. a astronauta tiene 55 kg y la nave 500 kg y 10 de largo de extreo a extreo. a) Cuánto tarda la astronauta en llegar al otro extreo de la nave? b) Calcula la variación de la energía cinética del sistea en este proceso. Solución: a) t = 9.01 s b) E c = 30.5 J 10.- Dos partículas de asas y 4 están fijas en los extreos de un alabre rígido de asa despreciable. El sistea gira con velocidad angular O 4 constante ω, en torno a un eje fijo que pasa por O y es perpendicular al alabre. Calcular el oento angular del sistea respecto de O, TO, y 3 respecto del centro de asas, TCM, y el oento angular del centro de asas respecto del punto O, CM O. Coprobar que TO = T CM + CM O 11.- En un plano horizontal liso se encuentran dos cuerpos de asas 1 y 2, unidas por un resorte de asa despreciable de constante elástica K, coo indica la figura. Se desplaza el cuerpo 2 una distancia x hacia la izquierda y se suelta. Calcula la velocidad del centro de asas del sistea justo antes de 1 2 separarse el cuerpo 1 de la pared vertical. Da el resultado en función de K, x, 1 y 2. Cuál es la fuerza externa responsable de la a CM del sistea? Solución: v CM = (x K 2 )/( ) 12.- Dos bloques, de asas y 3, se colocan sobre una supergficie horizontal sin fricción. Se sujeta un uelle ligero a uno de ellos y se juntan los bloques, con el uelle entre abos, usando una cuerda. a cuerda que los antiene unidos se quea y el bloque de asa 3 sale despedido hacia la derecha con una rapidez de 2 /s. Cuál es la velocidad del otro bloque, si inicialente abos se encontraban en reposo? Dar la respuesta considerando que el observador está: a) en un punto fijo del laboratorio, b) en el centro de asas del sistea, y c) en la asa 3. Solución: Si v 3 = 2 i /s: a) v = - 6 i /s b) v = - 6 i /s c) v' = - 8 i /s 3.- Dos pequeñas bolas de igual asa se encuentran en la isa vertical separadas por una distancia. a bola superior se deja caer sin velocidad inicial en el iso instante en el que la otra bola es lanzada hacia arriba con velocidad inicial v. a) Cuál debe ser el valor de v para que la colisión se produzca en el instante en que la segunda bola invierta el sentido de su oviiento? b) Con qué velocidad pasará la segunda bola, después de la colisión, por su punto de partida? Solución: a) v = g 14.- Una bala de asa se incrusta en un bloque de adera de asa M que está unido a un uelle de constante elástica k, y que se encuentra sobre un plano inclinado que fora un ángulo φ con la horizontal, coo indica la figura. Por el ipacto el uelle se coprie una longitud x. El coeficiente de rozaiento cinético entre el bloque y el plano inclinado es µ. En el oento del choque el uelle se encuentra en su longitud natural. Calcula en función de estos datos la velocidad de la bala justo antes del choque. Solución: v i = M+ k x 2 M+ + 2gx (senφ + µ cosφ) 15.- Un bloque pequeño de asa se desliza sin rozaiento por la superficie curva de la rapa de la figura. a rapa de asa M, está colocada sobre una esa horizontal que no ejerce ninguna fuerza de rozaiento sobre la rapa. a rapa terina tangente a la esa. Si el bloque coienza a deslizarse desde una altura h respecto a la esa, calcula la velocidad del bloque y de la rapa en el instante en el que el bloque sale de la rapa. b) v f = 2 g M φ h M x

13 Solución: vrapa = - 2 g h M(+M) vbloque = 2 M g h + M 16.- Una asa 1 se sujeta inicialente en el punto P de R anera que coprie a un uelle de constante elástica K una distancia x o. Se suelta 1 y choca elásticaente con 2 que K P Q h está en reposo en el punto Q. Calcula la deforación x que sufrirá el uelle cuando 1 rebote después de chocar si: a) < 2, b) 1 = 2, c) si 1 < 2, cuánto debe valer x o para que, tras el choque, 2 llegue al punto R con velocidad nula. Despreciar todo rozaiento. Solución: a) x = x o ( 1-2 )/( ) b) El uelle NO se defora. c) x o = ( ) gh/(2k 1 ) 17.- Dos bloques de asa 1 = 21 g y 2 = 28 g que se apoyan sin rozaiento sobre una esa horizontal, tienen intercalado un resorte de asa despreciable, que está copriido entre abos bloques bajo la acción de dos fuerzas horizontales iguales y opuestas. Suponiendo que la reacción del resorte sea proporcional a la deforación, siendo la constante de proporcionalidad k = 1.2 N/c, y que ha sufrido un acortaiento en su longitud de 7 c respecto a su longitud natural, se pide: la velocidad que adquiere cada bloque cuando el resorte recupera su longitud natural al desaparecer súbitaente las fuerzas que coprien el sistea. Solución: v 1 = 4 /s v 2 = -3 /s (El signo - indica sentido opuesto a v 1 ) 18.- Una bala de asa y velocidad v pasa a través de la esfera de un péndulo de asa M saliendo con una velocidad de v/2. a esfera pendular cuelga del extreo de una cuerda de longitud Cuál es el valor ínio de v de para el cual el péndulo dará una vuelta copleta? Solución: v in = 2 M 5 g 19.- El cuerpo es abandonado en reposo con φ = 90º y desliza sin fricción hasta alcanzar la asa del péndulo de la figura. a longitud del péndulo es = 0.8. Se sabe que el coeficiente de restitución es 0.8. Calcula: a) a velocidad de después del ipacto. b) a tensión áxia de la cuerda que sustenta. c) a altura áxia alcanzada por. Datos: = 1 kg; = 2 kg. Solución: a) v' bola = 2.4 /s b) T = 34.4 N c) h = Dos esferas que consideraos puntuales, penden de sendos hilos según se indica en la figura. a longitud del hilo es de 2. a esfera tiene asa = 2 kg y la esfera tiene asa = 3 kg. En un cierto instante se separa la esfera un ángulo de 60º y se suelta a partir del reposo. Si el choque que se produce es inelástico con coeficiente de restitución e= 0.75, deterinar los ángulos áxios que describirán las esferas a consecuencia del ipacto. Solución: θ = 2.8º θ = 41º 21.- Un cuerpo de 4 kg de asa se ueve sobre el eje X en sentido positivo con una velocidad de 2 /s. Otro cuerpo de 1 kg se ueve hacia el origen Y de coordenadas, en sentido negativo, con la isa velocidad y en una v dirección que fora un ángulo de 30 con el eje X. Calcular la velocidad v 30º con que se ueven después del choque si éste es perfectaente O X inelástico. Solución: v f = 1.25 i j 22.- Un jugador de billar lanza una bola con una velocidad de 5 /s sobre otra bola idéntica inicialente en reposo. Tras el choque elástico, la bola se desvía 30 de su dirección inicial. Calcula: a) los ódulos de las velocidades de y tras el choque y b) el ángulo θ, en relación con la dirección inicial de, con que sale despedida la bola. Solución: a) v f = 4.32 /s v f = 2.5 /s b) θ = 60 v v/2 φ

14 23.- Un pequeño bloque de asa 1 =100 g se desplaza 1 2 hacia el borde sobre una esa rugosa de altura h = 1 sobre el suelo. El coeficiente de rozaiento cinético entre la esa y el bloque es µ = 0.3. Justo en el borde de la esa hay una pequeña h bola de asa 2 = 200 g coo indica la figura. El bloque 1 d P choca elásticaente con la bola 2, a resultas de lo cual, la bola 2 cae al suelo en el punto P a una distancia horizontal d = 2 del borde de la esa. Calcular: a) la velocidad del bloque 1 justo antes del choque; b) la distancia horizontal x que recorre tras el choque el bloque 1 en el tiepo de caída de la bola 2. Solución: a) v 1i = 6.64 /s b) x = Un cañón cargado con una bala se desliza a velocidad constante v sobre una superficie horizontal helada sin rozaiento. a asa de la bala es y la asa del cañón es M=11. El cañón apunta con un ángulo θ = 60 sobre la horizontal coo indica la figura. En cierto instante el cañón se dispara. Se sabe que la energía cinética del sistea (cañón+bala) justo tras el disparo es cuatro veces la energía cinética del sistea antes del disparo. a) Después del disparo, el cañón retrocede, se para o sigue hacia adelante? Halla la velocidad del cañón y de la bala justo tras el disparo. Da los resultados en función de v. b) Calcula la distancia D de separación entre el cañón y la bala cuando ésta llega al suelo. Da el resultado en función de v y la gravedad g. Solución: vbala = 6.4 v vcañón = 0.8 v b) D = 26.6 v 2 /g 25.- Un trapecista de asa M se halla al extreo de un trapecio de longitud. Este trapecista en reposo inicial se deja caer desde una altura h coo indica la figura. Pretende recoger a su copañera de asa = 2M/3 en el punto ás bajo de su trayectoria. Para ello su copañera salta verticalente en su busca de fora que, en la cúspide de su salto alcanza el punto y es recogida por. Suponiendo el encuentro en coo un choque perfectaente inelástico instantáneo, calcula el valor de la altura inicial h para el cual la tensión T en la cuerda del trapecio es la isa justo antes y justo después del encuentro en. Da el resultado en función de. En ese caso concreto, cuál es el valor de esa tensión en? Da el resultado en función de M y g. Solución: h = 5 /6 T = 8 Mg/ Se dispara un proyectil de asa con una velocidad vo sobre un péndulo de asa M. El péndulo consta de una varilla sin asa de longitud que gira libreente por su otro extreo. El proyectil se incrusta en la asa M. a) Hallar la velocidad ínia vo para que el péndulo describa una vuelta copleta. b) Cabia en algo el problea si la varilla del péndulo es sustituida por una cuerda? Solución: a) voin = 2(+M) g θ= 60 v M M h? b) voin = +M l 27.- Un bloque de asa = 2 kg se ueve sobre una v o v superficie horizontal sin rozaiento con una velocidad vi = 10 i i /s. Delante del bloque hay otro bloque de asa = 5 kg oviéndose en la isa dirección y sentido. Unido al bloque hay un uelle de asa despreciable y constante elástica k = 1120 N/. El uelle en su longitud natural lo y el bloque se ueven con una velocidad enor vi = 3 /s. El bloque choca contra el uelle y éste se acorta en una cantidad áxia xax. Calcula: a) la velocidad de los bloques en el instante de la áxia 5g

15 copresión del uelle; b) el valor de xax y; c) las velocidades de los bloques cuando el bloque se separa del uelle. Solución: a) v = v = 5 /s b) xax = 0.25 c) vf = 0 /s vf = 7 /s 28.- Dos esferas de asas 3 y, respectivaente, están pendientes de unos hilos de fora que en la posición de equilibrio quedan las esferas en contacto, los hilos paralelos y la línea que une los respectivos centros horizontal, coo se ve en la figura. partaos las esferas de la posición de equilibrio de anera que sus centros asciendan una altura h y las soltaos a la vez. Si el choque es perfectaente elástico, calcular la altura a la que suben abas esferas después de los dos prieros choques. Solución: h1f = h2f = h 29.- Se dispara una bala de asa con una pistola de asa M1 = 5. a pistola está fireente unida a una platafora de asa M2= 4, que descansa sobre una M 1 v b esa horizontal sin rozaiento coo indica la figura. a velocidad inicial de la bala es vb, edida por un M observador fijo en la esa. Tras el disparo, la bala se 2 incrusta en el extreo opuesto de la platafora situado a una distancia de la boca del ara. Suponiendo que la caída de la bala durante su vuelo es despreciable, calcula: a) a velocidad de la platafora-pistola durante el vuelo de la bala, edida por dicho observador. Da el resultado en función de vb. b) a velocidad de la platafora-pistola justo después de incrustarse la bala. c) a distancia x que recorre la platafora-pistola durante el vuelo de la bala. Da el resultado en función de. Solución: a) vp = - vb/9 b) vp = 0 c) x = / El sistea de la figura se halla sobre una superficie horizontal sin rozaiento. El pequeño bloque de asa está sobre la tabla de asa M = 4. Entre el bloque y la tabla existe rozaiento con un coeficiente de rozaiento cinético µc = 0.2. Sobre la tabla y en su extreo izquierdo hay fijado un uelle de constante elástica k. Sujetando la tabla y epujando el bloque se coprie el uelle acortando su longitud natural lo en una distancia D, coo indica la figura. continuación se deja libre todo el sistea. El bloque no está unido al uelle. a distancia del bloque hasta el extreo derecho de la tabla en el instante en que se suelta el uelle es = 2D. Sabiendo que el valor de la constante elástica del uelle es k = 4 g D, calcula la velocidad de la tabla en el instante en el que el bloque deja la tabla. Da el resultado en función de D y la gravedad g. Solución: v = 2 5 gd k h l o D 31.- Una rapa de altura H está conectada en su parte inferior con una pista en fora de rizo circular de radio R. Tanto la rapa coo la pista son lisas con rozaiento despreciable. Desde lo alto de la rapa se suelta desde el reposo un pequeño bloque de asa M. l llegar al suelo, el bloque choca contra otro pequeño bloque de asa que se encontraba en reposo coo indica la figura. Tras el choque abos bloques quedan unidos y entran en el rizo. Sabiendo que H = 10 R, calcula el valor ínio que debe tener la asa M para que el bloque final (+) coplete el rizo sin despegarse de la pista. Da el resultado en función de. H M Solución: Min = R

16 DINÁMIC DE SÓIDO RÍGIDO 1.- Calcula el oento de inercia de una varilla delgada hoogénea, de asa M y longitud con respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa a través de: a) un extreo, y b) el centro de la varilla. Solución: a) I=(M 2 )/3 b) I=(M 2 )/ Una varilla delgada de 1 de largo tiene una asa despreciable. Se colocan 5 cuerpos a largo de ella, cada uno con una asa de 1kg, y situados a 0 c, 25 c, 50 c, 75 c y 100 c de uno de sus extreos. Calcula el oento de inercia I del sistea con respecto a un eje perpendicular a la varilla, el cual pasa a través de: a) un extreo; b) la segunda asa; y c) el centro de asas del sistea. Coprueba el teorea de Steiner. Solución: a) I= kg. 2 b) I= kg. 2 c) I= kg Calcula el oento de inercia de una placa aciza circular plana de radio R y asa M, respecto a un eje tangente a la perifieria del disco y contenido en el plano del la placa. Solución: I = 5 MR 2 /4 4.- Un disco hoegéneo que puede girar alrededor de un eje vertical, pasa del reposo a girar a 90 r.p.. en 10s. Su asa es de 25kg y el diáetro de 1. Calcula: a) El ódulo de la fuerza constante capaz de producir dicho oviiento aplicada en la periferia durante los 10s. b) a energía cinética del disco cuando gira a 90 r.p.. c) Cuando va girando a dicha velocidad, se acopla a él otro disco coaxial de 50c. de diáetro y 50 kg de asa, calcular la velocidad angular del conjunto forado por abos. Solución: a) F= 5.89 N. b) E c = J. c) ω= 6.28 rad/s. 5.- Cuál es la ínia velocidad que tiene que llevar un proyectil, de asa, para que al chocar e incrustarse en el extreo inferior de una barra hogénea, de longitud y asa M que se encuentra atravesada por el otro extreo por un eje, para que dé una vuelta copleta alrededor de dicho eje, después del ipacto? Solución: vin= 1 2g 3 (M+3)(M+2) 6.- a figura uestra un sistea de pesas y poleas. Se supone que el cable no desliza sobre las poleas y el rozaiento en el eje de cada polea es despreciable. Calcular el ódulo de la aceleración a de los cuerpos colgados y el ódulo de las tensiones T 1, T 2 y T 3 en el cable cuando el sistea se suelta desde el reposo. Datos: M =20kg., M =14kg., I C =0.005kg. 2, I D =0.01kg. 2, R C =9c., R D =13c. Solución: a=1.67/s 2 T 1 =162.6N. T 2 =161.6N T 3 =160.6N. Q 7.- Un cilindro hoogéneo de radio r y asa rueda sin P r deslizar siguiendo una via en fora de rizo circular de radio R, coo uestra la figura. El cilindro parte del reposo en el punto P, a una R altura h por encia de la parte inferior del rizo. Calcula: a) Su energía cinética cuando alcanza el punto Q. b) Su aceleración centrípeta en h dicho punto aditiendo que no se sale de la vía. c) El ínio valor de h para que la partícula llegue a Q sin salirse de la vía. d) Suponiendo que h es es ayor que ese valor ínio, obtener una expresión para la fuerza noral ejercida por la vía sobre el cilindro en el punto Q. 4g(h- 2R + 2r) Solución: a) Ec = g (h - 2R + 2r) b) a N = c) h in = 11(R - r) 4 d) N = g(4h + 11r - 11R) 3 (R - r) 3 (R - r) 8.- Se enrolla una cuerda a un cilindro acizo y hoogéneo de 10kg. de asa y el otro extreo de la cuerda se fija al techo. Soltaos el sistea partiendo del reposo de fora que al caer la cuerda va desenrollándose. Calcular: a) a velocidad del centro de asas del cilindro cuando éste haya descendido 2. 1 C 2 D 3

17 b) a aceleración del centro de asas del cilindro durante la caída. c) a tensión T de la cuerda durante la caída. Solución: a) v c = 5.1 /s b) a c = 6.53 /s 2 c) T = 32.7N. 9.- Un coche de 500 Kp de peso se ueve por la pared vertical de una pista cilíndrica de 10 de radio con una velocidad de 48.7 K/h. Calcula: a) el coeficiente de rozaiento entre las ruedas y la pared vertical, b) la coponente noral de la fuerza que ejerce la pared sobre cada una de las cuatro ruedas del coche. El centro de gravedad del coche está en el punto G. Solución: a) µ= 0.5 b) Nsup = N Ninf = N G Por la periferia de una polea de asa M 1 = 500 g y radio R = 10 c pasa una cuerda de asa despreciable que lleva colgado por un extreo una asa M 2 = 200 g y por el otro extreo está unida a un uelle vertical fijo al suelo de constante elástica K = 40 N/, coo indica la figura. Calcula: a) el alargaiento del uelle cuando M 2 está en equilibrio, b) el periodo T de las oscilaciones si M 2 se separa ligeraente de la posición de equilibrio. Solución: a) x= b) T= 0.67 s M 1 M Si los casquetes de hielo polares se fundieran totalente, cuál sería el efecto sobre la rotación de la Tierra? 12.- En un disco de cobre de 2 c de radio y 5 c de espesor se hacen dos agujeros a 1 c del centro C y de 0.5 c de radio, coo indica la figura. Calcula el oento de inercia del disco resultante con respecto a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro C. Densidad del cobre: ρ = 9 g/c 3. Solución: I = kg. 2 K C 13.- El coeficiente de rozaiento cinético entre el cuerpo y el plano inclinado de la figura es µ c = 0.2. Calcula: a) a aceleración angular con que gira la polea. b) El ódulo de las aceleraciones de los cuerpos y. c) El ódulo de las tensiones en cada cuerda. d) En qué sentido se ueve el sistea? Datos: = 60kg =50kg R = 0.5 R = 1. Moento de inercia de la polea I= 10kg 2. Solución: a) α= 1.08 rad/s 2 b) a = 0.54/s 2 a = 1.08 /s 2 c) T = 620.4N T = 321.3N El sistea de la figura está forado por una polea y dos cuerpos y que cuelgan de ella. a polea está forada por dos discos coaxiales soldados entre si, el disco grande es de asa M y radio R y el pequeño de asa y radio r. Si = M/2 y r= R/2. Calcula, a los 25 s de iniciarse el oviiento desde el reposo, calcula: a) a aceleración y velocidad del CM del sistea. b) a velocidad de cada asa respecto al CM. Solución: a) a c = 0.392/s 2 v c = 9.8/s b) v' M = 29.4 /s v' = /s R r 2M 15.- Considera el sistea que aparece en la figura. Sobre un plano inclinado 30 se encuentra un cilindro de asa M y radio R, alrededor del cual se ha enrollado una cuerda paralela al plano inclinado que para por una polea de asa despreciable y que se une con un cuerpo de asa. a tensión de la cuerda y la fuerza de rozaiento cinético ejercida por el plano inclinado sobre el cilindro son suficientes para que éste peranezca en su sitio a edida que gira, ientras que la cuerda se desenrolla y el cuerpo de asa desciende con aceleración a. El coeficiente de rozaiento cinético µ c = Calcula la aceleración a con que desciende el bloque de asa y la relación M/. Solución: a= 1.31/s 2 M/= 3.06 M R 30

18 16.- Se dispone de una varilla de longitud y asa M colgada de un punto fijo por un extreo. Se la deja caer libreente desde la posición horizontal. Calcula la velocidad angular y la aceleración angular de la varilla en las posiciones a, b y c de la figura. a Solución: a) ω = 0 α = 3 g senθ 2 α = 3 g 2 c) ω = 3 g b) ω = α = 0 3 g cosθ 17.- Dos cuerpos de asas 1 y 2 cuelgan de los extreos de un hilo que pasa por una polea de radio R y asa M. El hilo no desliza sobre la polea y el rozaiento en el eje de la polea es despreciable. Hallar la aceleración angular α del disco y la relación T1/T 2 en el hilo durante el desplazaiento. Coprobar que cuando M tiende a cero, abas tensiones tienden a ser iguales, T1 = T 2. Suponer que 2 >1. Solución: α = g R (M/2) T1 T = 1 (4 2 + M) 2 2 (4 1 + M) 18.- Un disco de 5kg. de asa y 8c. de radio gira alrededor de un eje. Sobre el iso se ebraga un volante, inicialente en reposo, cuyo oento de inercia vale I=0.06kg. 2. Si la pérdida de energía cinética en el ebrague es de 15 J., calcular la velocidad angular inicial del disco y la velocidad angular final del conjunto. Solución: ωi = 48.7 rad/s. ω f =10.3 rad/s Tres cuerpos rígidos hoogéneos (una esfera aciza, un cilindro acizo y un cilindro hueco) se colocan arriba de un plano inclinado de ángulo ß con la horizontal. Si se liberan a partir del reposo, a la isa altura y ruedan sin resbalar, cuál llegará priero abajo, y cuál el últio?, es decir, cuál lleva ayor aceleración y cuál enor en el descenso? Coprobar que el resultado es independiente de las asas y los radios de los cuerpos Un proyectil de asa y diensiones despreciables se ueve horizontalente a velocidad v. Choca noralente a una cara de un cubo de asa 4 y arista =1 etro, quedando incrustado en el centro de asas del cubo. Este se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal y puede girar alrededor de la arista O fija en el suelo, perpendicular a la dirección del proyectil y situada en la cara opuesta a la de entrada de éste, coo indica la figura. Halla el valor áxio que puede tener v sin que se vuelque el sistea. Moento de inercia de un cubo respecto a un eje noral a una cara y que pasa por el centro de asas, I=M 2 /6. Solución: vax = /s 21.- Una varilla de asa M = 3 y longitud = 1 etro puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su punto edio O, anteniéndose durante su oviiento en un plano vertical. a varilla tiene fijadas en sus dos extreos sendas asas puntuales 1= 5 2 O 1 y 2=. Parte del reposo en posición horizontal coo indica la figura. Cuando la varilla alcanza la posición vertical, la asa 2 se separa de la varilla. Calcula el alcance horizontal de 2 a lo largo de la recta horizontal que pasa por O. Solución: x=2 / 7 etros = etros θ c v O b 22.- Una placa circular aciza y hoogénea de radio R y asa M= 4 puede girar alrededor de un eje fijo E vertical tangente a la perifieria de la placa y contenido en el plano de la isa, eje al cual se encuentra unida y que no ofrece rozaiento al giro. Una pequeña bala de asa choca con velocidad v perpendicularente al plano del disco y en el centro del iso, quedando incrustada en él. En función de estos datos calcula el tiepo que tarda el conjunto placa-bala en dar una vuelta copleta alrededor del eje E tras la colisión.moento de inercia de un disco circular acizo v M R E

19 respecto a un eje perpendicular al disco y que pasa por su CM: I = MR 2 /2. Solución: t = 12 π R/v 23.- qué altura h sobre la superficie de la esa hay que golpear a una bola de billar de radio R para que ésta ruede sin deslizar sobre una esa lisa sin rozaiento? Solución: h = 7 R/ Explicar en qué se fundaenta físicaente el hacer girar un huevo sobre un plano horizontal para saber si está crudo o cocido Un cuerpo de oento de inercia I cae por un plano inclinado rodando sin deslizar una vez, y deslizándose sin rodar otra. En qué caso llegará ás pronto al suelo, es decir, en qué caso tendrá ayor aceleración? 26.- Un disco de radio R y asa M, inicialente en reposo, se encuentra apoyado sobre una esa horizontal en la posición indicada en la figura forando un ángulo inicial de 30 con la vertical. Deterinar la velocidad angular del disco en el oento en que la cara alcanza la esa, suponiendo que no desliza. 8 g cos30 Solución: ω = 5 R Una pieza, en fora de disco de radio R = 10 c y asa M = 0.5 kg, desprendida de la estación Mir durante la colisión con el vehículo Progress, peranece en el espacio con energía cinética despreciable. Un eteorito de asa = 50 g y una velocidad v = 1080 k/h choca con el disco perpendicularente a su plano en un punto en la itad del radio, atravesándolo sin pérdida apreciable de asa. El eteorito se aleja con una velocidad v' = 720 k/h Cuál será la energía cinética del disco después del choque? Solución: E c = 50 J O 28.- Un caballero ontado en su caballo avanza con su lanza en ristre de longitud lo hacia un tablón de asa M y longitud que puede girar libreente en torno a su centro de asas. Ver la figura. Sean Vo y Vf las velocidades del caballero antes y después del ipacto con el tablón. Suponer que el caballero, tras golpear con la lanza el extreo del tablón, continúa oviéndose en la isa dirección y sentido. Calcular la relación e = Vf / Vo para que el tablón, tras el ipacto, golpee al caballero en la cabeza. En el choque considerar el conjunto caballero-caballo coo una asa puntual y la lanza de asa despreciable. Datos: = 3 lo ; M = 2. Solución: e = V f Vo = 1 1+π V o l o Vista aérea 29.- Un cilindro acizo de asa M y radio R cae por un plano inclinado de ángulo θ. Cuál es el valor ínio del coeficiente de rozaiento estático µein para el cual el cilindro rodará sin deslizaiento? ICM = 1/2 M R 2. Solución: µein = 1 3 tag θ 30.- Un aro unifore de asa y radio r rueda sin deslizar sobre un seicilindro fijo de radio R tal coo se indica en la figura. Si el aro coienza a rodar partiendo del reposo en el punto ás alto del siicilindro, calcula el ángulo θ para el cual el aro se separa del cilindro. Moento de inercia de un aro respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del aro, I = r 2. Solución: θ = 60º r θ R

20 31.- Se dispone de dos varillas iguales V1 y V2 de asa y longitud cada una de ellas. Mediante un pegaento se unen por un extreo y se colocan según el dibujo, de fora que pueden girar libreente alrededor de O. El sistea se deja caer desde un ángulo θ. Cuando el conjunto pasa por, la varilla V2 se despega, abandonando el sistea. Calcular el valor del ángulo inicial θ para que la varilla V1 gire un ángulo φ = 60 o. Solución: θ = π/2 = 90º 32.- Sea una varilla unifore de longitud y asa M que puede pivotar alrededor de un eje perpendicular situado a una distancia d de su centro de asas. De este odo, la varilla puede oscilar libreente en el plano vertical. Suponiendo que dichas oscilaciones son pequeñas, es decir, describen ángulos θ pequeños respecto a la vertical, calcular el periodo de dichas pequeñas oscilaciones en función de la distancia d. Dato: si θ es pequeño, sen θ θ. Solución: T = 2π d 2 12 d g φ O θ V 1 V Un disco de radio R y asa M puede girar libreente alrededor de un eje horizontal noral al plano del disco y que pasa por el punto O situado a una distancia D de su centro. Si se abandona el disco en la posición indicada en la figura, deterinar el valor de D para que su aceleración angular inicial sea áxia. Solución: D = R 2 R O C D x 34.- Un disco delgado, acizo y hoogéneo de asa M, y radio R está inicialente en reposo dispuesto en un plano vertical. El disco puede girar alrededor de un eje horizontal fijo E que coincide con un diáetro del disco, coo indica la figura. En dirección perpendicular al plano del disco se lanza una pequeña asa de plastilina con velocidad horizontal vo. a asa choca en el punto P de la periferia del disco y se queda pegada a él. a relación entre las asas es M = 36, y el eje E no presenta rozaiento. Calcula la velocidad angular del conjunto (disco+plastilina) en el instante en que copleta edia vuelta. Da el resultado en función de la gravedad g, R y vo. Dato: Moento de inercia de un disco respecto a v o P R M E un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro I = 1 2 MR2. Solución: ω = 1 5R (2g + v o 2 20 R ) 35.- Una barra unifore de longitud y asa M cuelga vertical de un eje sin rozaientos situado en su extreo superior coo indica la figura. a barra, inicialente en reposo, recibe en su punto edio el ipacto de una partícula de asa que se ovía con velocidad vo = 10g. Tras el choque la partícula se queda pegada a la barra. Sabiendo que la relación entre las asas es M=3, calcula la aceleración angular α del conjunto (barra+partícula) en el oento en que éste se detiene un instante antes de cabiar su sentido de giro. Da el resultado en función de g y. Moento de inercia de una barra respecto a un eje que pasa por un extreo, I= 1 3 M2. v o /2 Solución: α = g 36.- Un disco de radio R y asa M puede girar alrededor de un eje horizontal fijo, tangente al iso coo indica la figura. Se deja caer desde la posición horizontal y golpea elásticaente una bola que estaba en reposo, con su borde inferior, justo cuando está en la posición vertical. Cuánto debe valer la asa de la bola para que el disco se quede quieto después del choque? Disco Eje ola