Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia
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- Eugenio Alvarado Maidana
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1 Scenta Et Technca ISSN: Unversdad Tecnológca de Perera Colomba OSPINA GUTIÉRREZ, LUZ MARÍA; ZAPATA RAMÍREZ, GEISON ALEXIS; RODAS RENDON, PAULA ANDREA PRUEBA DE NO LINEALIDAD PARA SERIES TEMPORALES FINANCIERAS Scenta Et Technca, vol. XVII, núm. 47, abrl, 2011, pp Unversdad Tecnológca de Perera Perera, Colomba Dsponble en: Cómo ctar el artículo Número completo Más nformacón del artículo Págna de la revsta en redalyc.org Sstema de Informacón Centífca Red de Revstas Centífcas de Amérca Latna, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco sn fnes de lucro, desarrollado bajo la ncatva de acceso aberto
2 Scenta et Technca Año XVII, No 47, Abrl de Unversdad Tecnológca de Perera. ISSN PRUEBA DE NO LINEALIDAD PARA SERIES TEMPORALES FINANCIERAS Testng for nonlnearty n fnancal tme seres RESUMEN Este artículo propone el análss del preco del oro como una señal fnancera de alta relevanca. La metodología desarrollada propone ) un pre-procesamento de la señal de no estaconara a estaconara. ) aplcacón del método de los datos susttutos como mecansmo para la deteccón de no lnealdad, a partr de la formulacón de una escala de hpótess nulas. ) seleccón de una batería de estadístcos de prueba no lneales que permten comparar el comportamento de la señal orgnal con el conjunto de datos susttutos generados. v) aplcacón de un crtero de rechazó o aceptacón de las hpótess. PALABRAS CLAVES: Dnámca no lneal, Datos susttutos, Estadístca no lneal, Hpótess nulas. ABSTRACT Ths artcle proposes an analyss of the prce of gold as a fnancal sgnal of hgh relevance. The methodology developed ) a pre-processng of the sgnal not statonary to statonary. ) Applyng the method of surrogate data as a mechansm for detectng the nonlnearty from formulatng a range of null hypothess. ) Selectng a set of nonlnear test statstc that contrast the behavor of the orgnal sgnal wht the surrogate data set generated. v) Applyng a crteron for rejecton or acceptance of hypothess. LUZ MARÍA OSPINA GUTIÉRREZ Ingenera Industral, M. Sc. Profesor Asstente Unversdad Tecnológca de Perera lmaus@utp.edu.co GEISON ALEXIS ZAPATA RAMÍREZ Ingenero Industral, M. Sc. Profesor Ttular Unversdad Tecnológca de Perera aaog@utp.edu.co PAULA ANDREA RODAS RENDON Ingenera Industral, M. Sc. Profesor Asstente Unversdad Tecnológca de Perera parodas@utp.edu.co KEYWORDS: Nonlnear dynamcs, Surrogate data, nonlnear statstcs, null hypothess. 1. INTRODUCCIÓN El mercado fnancero ha sdo y es objeto de estudo por numerosos nvestgadores y profesonales de las fnanzas. Un amplo número de ellos, con la ntencón de comprender su funconamento, nvestga las posbles relacones de causa-efecto de cada mercado, de suerte que le revelen certas pautas de regulardad que, fundamentalmente le permtan corroborar sus hpótess, e ncluso llegar a predecr. Esto ha llevado a la creacón de una enorme cantdad de modelos que en certa medda mten el comportamento del mercado [1]. Los mercados fnanceros ajustan precos de un modo tal que toda la nformacón públca, tanto de carácter fundamental como hstórca, está recogda en el preco de equlbro. Esto genera que los precos varíen a medda que se recbe nformacón nueva, lo que sgnfca que los cambos en los precos del día estén causados por las notcas no esperadas de hoy, nunca como consecuenca de las de días anterores; por tanto, los benefcos de hoy son ndependentes de los de ayer [1]. Debdo a la naturaleza de las seres de tempo fnanceras se han realzado dferentes estudos con métodos que trabajan lnealdad y modelos estocástcos, sn embargo los modelos lneales evdencan la necesdad de desarrollar otros métodos que puedan mostrar una mayor realdad, por lo tanto estos son nsufcentes para descrbr el comportamento de las seres [1], por el contraro los modelos estocástcos son dfícles de comprobar e nterpretar a causa del rudo ntrínseco del sstema, la transtoredad de los patrones o una combnacón de ambos [2]. Lo anteror ha sdo un enfoque tradconal para el estudo de las seres fnanceras, sn embargo en los años recentes se ha ncrementado sustancalmente los test de no lnealdad, lo que ha permtdo mejorar la comprensón del comportamento de los precos y el mercado [3]. En la actualdad, cerca del 90% de la produccón mundal de oro se destna a los fondos de reservas ofcales de los dferentes países, mentras que el 10% restante es empleado en la ndustra, la joyería y la químca, por lo tanto por la relevanca de este metal y por efectos académcos se desea efectuar el estudo de esta sere [4]. A contnuacón se realza una ntroduccón al método de los datos susttutos propuesto por Theler [5], el cual se emplea para clarfcar declaracones sobre la presenca de no lnealdad en seres temporales. Fecha de Recepcón: 25 de Enero de 2011 Fecha de Aceptacón: 15 de Abrl de 2011
3 72 Scenta et Technca Año XVII, No 47, Abrl de Unversdad Tecnológca de Perera. 2. MÉTODO DE LOS DATOS SUSTITUTOS El método de los datos susttutos establece un régmen para poner a prueba hpótess específcas sobre la dnámca del sstema, el método procede a comparar el valor de las estadístcas (no lneales) de los datos y la dstrbucón aproxmada de las dversas clases de sstemas lneales; de este modo prueba s los datos tenen algunas característcas que son dstntas de sstemas estocástcos lneales. En prmer lugar, se suponen las sguentes hpótess: 0) rudo ndependente e déntcamente dstrbudo (..d); 1) rudo lnealmente fltrado; y 2) transformacón estátca no lneal monótona del rudo lnealmente fltrado. El prncpo de los datos susttutos es el sguente, un prmer supuesto es que los datos provenen de alguna clase de proceso dnámco especfco que podría corresponder a un modelo paramétrco de los datos. Entonces se generan datos susttutos de ese proceso hpotétco y se calculan varas estadístcas a los susttutos y a los datos orgnales. Los datos susttutos darán la dstrbucón esperada de los valores estadístcos y uno puede comprobar que los datos orgnales tenen un valor típco. S los datos orgnales tenen estadístcas atípcas, se rechaza la hpótess de que el proceso que genera los datos orgnales es de la clase asumda. Sempre se progresa desde suposcones smples y especfcas a un modelo mayor y más sofstcado. En cualquer caso, para comprobar s hay alguna evdenca de que los datos son nconsstentes con la hpótess, se compara los datos con los susttutos. Al elegr un estadístco de prueba apropado, se puede comparar el valor del estadístco de prueba para los datos y el conjunto de valores obtendos para los susttutos. S son dferentes, se puede conclur que los susttutos, y por lo tanto la hpótess subyacente, no son representacón de los datos Fundamentacón Sea una hpótess específca y F el conjunto de todos los procesos (o sstemas) consstentes con la hpótess. N Sea Z R la sere de tempo (que consste en N N meddas escalares) a consderar, y sea T : R una estadístca cualquera usada para probar la hpótess de modo que Z es generada por algún proceso F F. El conjunto de datos susttutos S, 1,2,..., n son generados desde Z (y son de la msma longtud de Z y consstentes con la hpótess puesta a prueba). Generalmente R y se puede dscrmnar entre el dato Z y el susttuto S consstente con la hpótess, dada la densdad de probabldad aproxmada P ( t) P( T( S )) es decr, la densdad de T, F probabldad de T dado F. En una segunda parte de su trabajo, Theler sugere que hay dos tpos dferentes de estadístcos de prueba: fundamentales y no fundamentales. Un estadístco de prueba T es fundamental s la densdad de probabldad P T, F es la msma para todos los procesos F consstentes con la hpótess, de lo contraro no es fundamental. Una eleccón prudente de un estadístco de prueba (es decr, un estadístco de prueba fundamental) puede alvar algo de la tensón de garantzar que el algortmo de generacón de susttutos ha creado susttutos derechos. Claramente la densdad de probabldad P, depende de T F la eleccón de T y F. Sn embargo se desea P T, F ( t) P( T( Z t z es consstente con. Para más consderacones precsas de esta stuacón, Theler tambén dferencó dos dferentes tpos de hpótess: Hpótess smples e hpótess compuestas. Una hpótess es smple s el conjunto de todos los procesos consstentes con la hpótess F es untaro. S una hpótess no es smple es compuesta. Para una hpótess smple el método de datos susttutos es trval, solo se necesta comparar varas realzacones del sstema partcular con los datos observados y decdr s es típca o no. Cuando se ha formulado una hpótess de un problema, no solo se ha generado susttutos consstentes con F (de un proceso partcular) tambén se estma F. Theler argumenta que es convenente utlzar F estadístcos de prueba fundamentales s la hpótess es compuesta. En el caso de que la hpótess sea compuesta se debe especfcar a F, a menos de que el estadístco de prueba T sea fundamental, en este caso P, es el msmo para todo T F F F. En los casos en que los estadístco de prueba no fundamentales no son aplcables a hpótess compuestas, Theler sugere que un esquema de realzacón más lmtado sea empleado. Sea F F el proceso estmado de los datos Z y sea S el conjunto de datos susttutos generados por F F. Sea F ˆ F el proceso estmado de S, un susttuto S es una realzacón lmtada de Fˆ Fˆ. S Fˆ Fˆ, el susttuto S es no lmtado. Es decr, así como la generacón de susttutos son realzacones típcas de un modelo de los datos, hay que asegurarse de que los
4 Scenta et Technca Año XVII, No 47, Abrl de Unversdad Tecnológca de Perera. 73 susttutos son realzacones de un proceso que da estmacones de los parámetros déntcos (de ese proceso) a las estmacones de los parámetros de los datos. Por ejemplo, sea f la hpótess de que Z es generado por rudo lnealmente fltrado (ndependente e déntcamente dstrbudo). Los susttutos para Z pueden ser generados por estmacón del mejor modelo lneal (a partr de Z ) y generando realzacones de este modelo asumdo. Estos susttutos serán realzacones no lmtadas. Lmtadas realzacones susttutas pueden ser generadas al aleatorzar las fases de la transformada de Fourer de los datos (esto produce un conjunto de datos aleatoros con los msmos espectros de potenca, y por lo tanto con la msma autocorrelacón que los datos orgnales). M. Small et al. Probaron que un nvarante de la dnámca es una estadístca artculada para una gran varedad de realzacones no lmtadas de hpótess compuesta, generando de esta manera la posbldad de verfcar s los datos provenen de certos modelos no lneales.[6] Deteccón de no lnealdad en seres de tempo A través del método de los datos susttutos es posble realzar una verfcacón ndrecta de la no lnealdad de una sere temporal, la dea es ntentar rechazar una sere de hpótess (Fgura 1), la cuales proponen que la sere provene de un sstema dnámco sencllo [6], orgnalmente se propuseron las tres hpótess ya menconadas y con el tempo se han propuesto otro conjunto de hpótess. Una hpótess nula se refere a una hpótess que no puede ser rechazada o aceptada, es decr, cuando por medo de una estadístca se encuentra que el valor de esta para los datos es atípco a la dstrbucón que se generó de los susttutos lo únco que se puede asegurar es que dcha hpótess en partcular fue capaz de dstngur entre los datos y los susttutos, cuando ocurre lo contraro, es decr, cuando el valor de la estadístca para los datos es típco a la dstrbucón que se generó de los susttutos solo se puede afrmar que la estadístca fue ncapaz de dstngur entre los datos y los susttutos [6], por este motvo Theler et al.[5] sugeren utlzar una batería de estadístcas Hpótess Nulas Hpótess Nula 0 (HN0): Rudo ndependente e déntcamente dstrbudo (..d) Esta plantea que la sere se puede descrbr como una varable gaussana aleatora ndependente e déntcamente dstrbuda (..d), los susttutos deben poseer la msma meda y desvacón estándar que los datos Hpótess Nula 1 (HN1): Rudo lnealmente fltrado Los datos de prueba son producdos por un proceso lneal estocástco en la forma de un modelo ARMA con parámetros desconocdos, lo cual es un fltro lneal del rudo..d Hpótess Nula 2 (HN2): Transformacón estátca no lneal monótona del rudo lnealmente fltrado Los datos de prueba se obtenen al aplcar un fltro no lneal estátco y monotónco a la sere orgnal generada por un proceso ARMA. 3. MÉTODO El método empleado para el análss es el sguente: Conversón de una sere temporal no estaconara en una señal estaconara aplcando el algortmo de Box-Jenkns de la prmera dferenca. Cálculo de la dmensón de embebmento (m) y el tempo de retardo ( ) a través del algortmo de falsos vecnos y auto correlacón respectvamente, varables necesaras para el funconamento del estadístco de dmensón de correlacón, dado que este opera sobre el atractor del sstema que genera la sere, lo que no es necesaro para estmar los estadístcos: nformacón mutua promedo (AMI) y Complejdad de Lempel Zv. Generacón de susttutos de acuerdo a los algortmos propuestos por Theler [5], quenes conservan certas característcas de la sere orgnal y a la vez se comportan consstentes con las hpótess a evaluar [35]. Fgura 1. Representacón gráfca de la escala de hpótess nulas Algortmo 0: Se aleatorzan los datos, este proceso destrurá cualquer correlacón temporal. Los susttutos tendrán la msma dstrbucón de probabldades que los datos. 1. Las notas de pe de págna deberán estar en la págna donde se ctan. Letra Tmes New Roman de 8 puntos
5 74 Scenta et Technca Año XVII, No 47, Abrl de Unversdad Tecnológca de Perera. Algortmo 1: Para generar estos susttutos se toma la transformada dscreta de Fourer de los datos y se aleatorza la fase para obtener una transformada nversa real. El susttuto es la nversa de esta nueva transformada de Fourer. Al aleatorzar las fases para mantener la ampltud, los susttutos tendrán el msmo espectro de potenca (y por lo tanto autocorrelacón) que los datos, pero el determnsmo no lneal desaparece. Algortmo 2: El procedmento se nca con el conjunto de datos Z, se genera un conjunto de datos gaussanos Y y se reordena Y para que tenga la msma dstrbucón de rangos que la sere orgnal Z. A contnuacón se aplca el algortmo de generacón de susttutos 1 a Yˆ (ya sea por ntercambo o preferblemente aleatorzaron las fases de la transformada de Fourer para Yˆ ). Fnalmente reordene el dato orgnal Z para crear un susttuto S que tene el msmo rango de dstrbucón que Y. Presentacón de los resultados, para esto se calculan los estadístcos de prueba: nformacón mutua promedo (AMI) y Complejdad de Lempel Zv, posterormente se construye la dstrbucón con los resultados que arrojan los estadístcos aplcados sobre los susttutos, tambén se calcula el valor del estadístco sobre la sere orgnal y se comparan resultados aceptando o rechazando la hpótess. selecconan 60 datos a la derecha y 60 datos a la zquerda. Antes de ncar el análss es necesaro defnr el número total de susttutos que deben ser generados, esto se determna a través de la metodología propuesta por Theler y Prchard [38], en la cual M ( 2 / ) 1, donde M es el número de susttutos y es la probabldad de falsos rechazos y está relaconada con el nvel de confanza de la prueba 1. Para este análss el nvel de confanza es del 95%, sendo de esta manera M 39 susttutos y las seres a procesar serán M 1 (2/ ). Así la probabldad de que se rechace la hpótess cuando esta es certa es 100%, para este caso rechazar la hpótess se refere a que la estadístco de los datos es mayor o menor que el conjunto de estadístcos de los susttutos, este tpo de prueba se conoce como prueba de dos datos. En la fgura 2 se puede observar como las propedades estadístcas de la señal orgnal no son constantes a través del tempo y como estas se establzan en la sere transformada en estaconara, condcón necesara para el respectvo análss [5]. 3. MATERIALES Las sere empleadas para el análss fue la prmera poscón del preco del Oro tomado de manera dara en la bolsa de Londres, meddo en dólares por onza, la cual cuenta con datos y fue obtenda de 4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN El análss de cada sere de tempo en este trabajo se hzo a partr de partcones de la msma, por tramos de 120, 240, 1200, 2400, 4800 y 9600 datos; cada tramo representa medo año, un año, cnco años, dez años, vente años y de vente a cuarenta años respectvamente; para extraer cada tramo de cada una de las seres se ubcó en la mtad de las medcones de cada señal orgnal, de allí se selecconó la msma proporcón de datos a derecha e zquerda. Es decr la sere del oro cuenta con un total de 7911 medcones, para generar una señal con 120 datos, se procede a ubcar el dato 3955 y de allí se Fgura 2. Sere temporal del oro orgnal a) Sere temporal orgnal del preco del oro b) Sere temporal del oro transformada en estaconara Para el cálculo del tempo de retardo de la seres del preco del oro se utlzó la funcón no lneal llamada Informacón Mutua Promedo (AMI), concluyendo que este estadístco no arrojó resultados, dado que no se pudo observar con clardad el prmer mínmo de la curva, condcón necesara para detectar el valor del ( ) ; por esta razón se utlzó la auto correlacón. En la fgura 3 se apreca la gráfca de auto correlacón contra el tempo de retardo ( ) para cada una de las ses seres del preco del oro analzadas de 120, 240, 1.200, 2.400, y datos. El tempo de retardo se defne cuando la funcón de auto correlacón toma el valor de cero; para estos casos el ( ) es gual a 1.
6 Scenta et Technca Año XVII, No 47, Abrl de Unversdad Tecnológca de Perera. 75 En las sguentes fguras se compara la auto correlacón y la dstrbucón de frecuenca de la sere orgnal (línea en negrlla) con un susttuto generado con cada uno de los algortmos. En la fgura 5 se observa que la auto correlacón no es gual para ambas seres, pero la dstrbucón de frecuenca es gual. En la fgura 6 se apreca que la auto correlacón es gual para las seres, pero la dstrbucón de frecuenca dfere para ambas. En la fgura 7 se evdenca que la auto correlacón y la dstrbucón de frecuenca es gual para ambas seres. Fgura 3. Funcón de autocorrelacón a) 120 datos, b) 240 datos, c) 1200 datos, d) 2400 datos, e) 4800 datos, f) 7911 datos. Se calcula el porcentaje de falsos vecnos que hay para cada sere analzada del preco del oro dependendo de la dmensón de embebmento (m), (Tabla 1). Obsérvese que para la señal 1, se toma una dmensón de embebmento m 6, donde la geometría del atractor queda descuberta y nada nuevo surgrá s se aumentan las dmensones [24]. Un m 6 mplca que hay 6 grados de lbertad o 6 ecuacones dferencales que gobernan la evolucón de las varables dnámcas. Cuando el número de falsos vecnos cae a cero, ndca a partr de cual dmensón el atractor queda sn auto nterseccones, cabe anotar que a medda que aumenta la longtud de las señales, la dmensón de embebmento aumenta. Fgura 5. Autocorrelacón y dstrbucón de frecuencas con el algortmo 0. Tabla 1. Porcentaje de falsos vecnos para la señal del oro Se generan los datos susttutos para cada una de las ses seres, en las fguras 4 se hace referenca a las señal uno (120 datos) en donde se apreca la sere orgnal del preco del oro y los susttutos generados con cada algortmo. Al observar detendamente, el susttuto generado por el algortmo 2, se apreca que tene mayor smltud con la sere orgnal. Fgura 6. Autocorrelacón y dstrbucón de frecuencas con el algortmo 1. Fgura 7. Autocorrelacón y dstrbucón de frecuencas con el algortmo 2. Fgura 4. Datos susttutos del oro señal 1 La fgura 8 presenta gráfcamente el tercer estadístco (suma de correlacón) utlzado para valdar la hpótess del algortmo 0. Esta magen exhbe la dstrbucón de probabldad como una gráfca de contorno para los Las notas de pe de págna deberán estar en la págna donde se ctan. Letra Tmes New Roman de 8 puntos
7 76 Scenta et Technca Año XVII, No 47, Abrl de Unversdad Tecnológca de Perera. susttutos y una línea gruesa que representa los datos orgnales (línea en negrlla); los resultados de este estadístco para la señal 3, en el algortmo 0, se obtuveron con 1y m = 14; para aceptar la hpótess la línea que representa los datos debe estar dentro del contorno de los susttutos y conservar su pendente. Fgura 8. Curva de correlacón algortmo 0 señal 3. Se efectúa el cálculo de los estadístcos nformacón mutua promedo (AMI) y complejdad de Lempel-Zv para cada señal de la sere del preco del oro, con los algortmos 0, 1 y 2 respectvamente, a su vez se ndca el valor máxmo y mínmo que arroja cada uno de los estadístcos para los susttutos y el valor para los datos orgnales. En la tabla 2, se muestra el resumen de los resultados para las señales con el algortmo 0. Tabla 2. Resultados batería de estadístcos con el algortmo 0 La hpótess 0 para la señal 1 se acepta con las tres estadístcas, de acuerdo a estos resultados se puede conclur que la sere 1 tene un comportamento como rudo..d; cabe notar que la complejdad de Lempel-Zv es cercana a 1 para los susttutos generados por el algortmo 0, lo cual concuerda con rudo ndependente e déntcamente dstrbudo. La hpótess del algortmo 1 para la señal 1 es aceptada de acuerdo a la suma de correlacón y la complejdad de Lempel-Zv, lo cual es consstente con la aceptacón que tuvo la hpótess 0 con estos dos estadístcos; no sucede lo msmo con el estadístco AMI que acepta la hpótess 0 y luego rechaza la hpótess 1, esto no debe suceder, la aceptacón de la hpótess 0 mplca la aceptacón de la hpótess 1 y 2, o la aceptacón de la hpótess 1 mplca la aceptacón de la hpótess 2. Casos en los cuales aceptar la hpótess 0 y rechazar la 1, o aceptar la 1 y rechazar la 2, da lugar a un falso postvo, o falso negatvo. Como lo defne (Theler 1992) el algortmo 0 es contendo en el algortmo 1 y este a su vez es contendo en el algortmo 2 [5]. Para este caso se presenta una nconsstenca con el estadístco AMI. La hpótess del algortmo 2 es aceptada por los tres estadístcos lo cual se ajusta a los lneamentos y estructura de la metodología de datos susttutos. Para la señal 2 ocurre la msma stuacón que se do para la sere 1, esta converge a un comportamento de rudo ndependente e déntcamente dstrbudo. En la señal 3, los tres estadístcos aceptan la hpótess del algortmo 2 permtendo conclur en prmera nstanca que la sere se comporta como una transformacón no lneal de un proceso gaussano lneal estocástco. El estadístco de suma de correlacón y la complejdad de Lempel-Zv aceptan las hpótess del algortmo 0 y 1, lo que no ocurre con el estadístco AMI, el cual puede detectar una dferenca entre los datos y los susttutos, esta dferenca se debe ver en detalle tenendo en cuenta el valor que arrojo el estadístco para los datos y los susttutos. Las señales 4 y 5 obtuveron los msmos resultados de aceptacón y rechazo de las hpótess; las hpótess de los 3 algortmos fueron aceptadas por los estadístcos suma de correlacón y la complejdad de Lempel-Zv, pero fueron rechazadas por el estadístco AMI, esto evdenca la necesdad de amplar las baterías estadístcas y plantear otras pruebas de hpótess. La señal 6 muestra resultados nconsstentes con la metodología al aplcar dos estadístcos, la suma de correlacón y el AMI. 5. CONCLUSIONES La sere del preco del oro muestra un comportamento gaussano lneal estocástco, lo cual se derva en térmnos de procesamento de la señal en una dfcultad al momento de comprobar e nterpretar los datos a causa del rudo ntrínseco del sstema, la transtoredad de los patrones o una combnacón de ambos, en térmnos fnanceros corrobora los métodos de evaluacón fnancera desarrollados por el análss fundamental. 6. BIBLIOGRAFÍA [1] M. Matlla García, Análss de seres bursátles a partr de la Teoría de Caos, curso de verano Pontevedra [2] C. Monroy, Teoría del Caos, Tecnologías emergentes de cómputo, Computec, pp. 183, [3] C. Kyrtsou, W.C. Labys and M. Terraza, Nosy Chaotc Dynamcs n Commodty Markets, Emprcal Economcs, Vol 29, pp , [4] Peters, Edgar E., Chaos and order n the captal markets. (John Wley & Sons, Inc. New York), ISBN , pp. 271, [5] J. Theler, B. Galdrkan, A. Longtn, S. Eubank, & J.D. Farmer, Testng for nonlnearty n tme seres: The method of surrogate data, Physca Vol. 58, pp ,
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