INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

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1 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 0 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad. y corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para coger el autobús en marca. 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Al viajero lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y alla la velocidad a la que corre. b) Cuál es la velocidad aproimada del autobús en el momento que lo alcanza el pasajero? Entra este pasajero suavemente en el autobús? a) El pasajero llega a la parada 0 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 6 s después, 50 m más allá. 50 Corrió, por tanto, a 8, m/s. Es decir: 8,,6 0 km/ 6 b) En el instante 5 s está a m de la parada. En el instante 7 s está a 59 m de la parada. 6 m Velocidad media 8 m/s 8,8 km s Las velocidades del pasajero y del autobús son, aproimadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente. Página 0 Es preferible esperar o correr tras el autobús? Los viajeros y, en el momento de la salida del autobús, estaban a 00 m de la parada. El decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí. El tiene un etraño comportamiento. Etraño? Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

2 00 m 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Describe el movimiento del pasajero. b) Eplica por qué el comportamiento del pasajero es muco más sensato que el del, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús. a) Intenta alcanzar aproimadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente. b) El pasajero accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproimadamente); sin embargo, el no. Carrera de relevos La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo, durante una carrera de relevos: -º relevista - er relevista a) Por qué en las carreras de relevos 00 m cada relevista eca a correr antes de que llegue su compañero? b) Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro? c) Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del testigo? a) Para que el testigo pase sin brusquedades del que llega al que se va. b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo. c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproimadamente. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

3 Página 0. Dibuja una función y señala dos puntos en ella (a, f (a)) y (b, f (b)) tales que a < b y f (b) < f (a). Observa en ella que la T.V.M. es negativa. f (a) f (b) Vemos que la T.V.M. es negativa, f (b) f (a) puesto que T.V.M., b a siendo en este caso f (b) f (a) < 0 y b a > 0. a b. Dibuja una función en la que puedas señalar dos puntos (c, f (c)) y (d, f (d)) tales que c < d y f (c) < f (d). Cómo es T.V.M. [c, d]? f (d) f (c) T.V.M. [c, d] f (d) d c positiva, ya que f (d) f (c) > 0 y d c > 0. f (c) c d Página 05. Halla la T.V.M. de la función y 8 + en los intervalos [, ], [, ], [, ], [, 5], [, 6], [, 7], [, 8]. f () f () 0 5 T.V.M. [, ] 5 f () f () 5 T.V.M. [, ] f () f () 5 T.V.M. [, ] f (5) f () 5 T.V.M. [, 5] 5 f (6) f () 0 5 T.V.M. [, 6] 6 5 f (7) f () 5 5 T.V.M. [, 7] f (8) f () 5 T.V.M. [, 8] 8 7 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

4 . Halla la T.V.M. de y 8 + en el intervalo variable [, + ]. Comprueba, dando a los valores adecuados, que se obtienen los resultados del ejercicio anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + ) 8 ( + ) ( 6) 6 Dando a los valores,,,, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior. Página 08. Halla la derivada de y 5 en los puntos de abscisas y 5. f ( + ) f () f'() 5 ( + ) ( + ) 0 ( ) ( ) 0 f (5 + ) f (5) f'(5) 5 (5 + ) (5 + ) 0 0 (5 + ) (5 5 ) ( 5 ) 5 0. Halla la derivada de y en los puntos de abscisas, y 5. f ( + ) f () [/( + )] ( ) f'() [/( )] ( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) [/( )] + + ( ) f (5 + ) f (5) [/(5 + )] f'(5) [/( + )] ( + ) + Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

5 . Halla la derivada de y en los puntos de abscisas,, y. f ( + ) f ( ) [/( + )] ( /) f'( ) /( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) /( ) f ( + ) f () [/( + )] f'() ( ) ( + ) 0 + f ( + ) f () [/( + )] (/) f'() ( )/ ( + ) ( + ) 0 +. Halla la derivada de y en los puntos de abscisas,, 0,,, y. f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) ( 6) 6 0 f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) 0 ( ) f (0 + ) f (0) ( ) f'(0) 0 f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

6 f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) 0 ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) 8 0 ( + 6) Página 09. Halla la derivada de f () 5 y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos allados en el ejercicio resuelto y en el ejercicio de la página anterior. f ( + ) f () f'() 5( + ) ( + ) (5 ) ( + 5) ( + 5) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'(0) 5 f'() f'() f'(5) 5. Halla la derivada de f ( ). f ( + ) f () f'() ( + ) ( + + ). Halla la derivada de f ( ) y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos calculados en el ejercicio resuelto y en el ejercicio de la página anterior. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 6

7 f ( + ) f () /( + ) /( ) f'() 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) 0 ( ) ( + ) ( ) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'() f'( ) f'(5). Halla la función derivada de y +. f ( + ) f () f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( ) Página Halla la función derivada de las siguientes funciones:. f () f'() 6 6. f () + f'() +. f () f'() + 5. f () f () / f '() 5/ 5 5. f () sen cos f'() cos sen Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

8 6. f () tg f'() + tg cos 7. f () e f'() e + e e ( + ) 8. f () f'() + ln ( + ln ) 9. f () ( + ) log f'() log + ( + ) log + ln ( + ) ln 0. f () + ( f'() ) ( + ) ( ) ( ) ( ). f () ( f'() + 6 5) ( ) + +. f () log f'() [/(ln 0)] log ln 0 log ln 0 Página Halla la función derivada de las siguientes funciones:. f () sen ( 5 + 7) f'() ( 5) cos ( 5 + 7). f () (5 + ) (5 + ) / f'() (5 + ) / Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 8

9 5. f () sen ( + ) cos ( + ) f'() [cos ( + ) sen ( + )] 6. f () log log f () f'() ( ln 0 log ) ln 0 7. f () cos ( π) f'() sen ( π) 8. f () + f'() + 9. f () e + f'() e + + e + e + ( + ) 0. f () sen ( + ) f'() cos ( + ) + [ sen ( + )]/ ( ) cos ( + ) + sen ( + ) ( ) Página. Calcula la función derivada de f () + y alla: a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas, y. b) Las ecuaciones de dicas rectas tangentes. c) Las abscisas de los posibles máimos y mínimos relativos. d) Es f () creciente o decreciente en? f'() 8 a), 5 y b) y ( + ) ; y 5( ) ; y ( ) 8 c) f'() 0 0, 8/ d) f'() < 0 decreciente Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

10 Página 5. Representa estas funciones: a) y + 8 b) y c) y + a) f'() 6 6 0, Máimo en (, 5). Mínimo en (, ) b) f'() ( 6) 0 0 ± + ± 5 Máimo en (, 6) y en (, 99). Mínimo en (0, 90) c) f'() + ( + ) 0 Mínimo en (, 7) Punto de infleión en (0, 0). f () 0 0 ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) 0 0 Página 7. Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la página anterior: a) y + + b) y + c) y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 0

11 d) y e) y + f) y + a) f'() ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) + 8 ( + ) 0, Máimo en (, 5). Mínimo en (, 7). 0 0 Asíntota vertical: 8 8 Asíntota oblicua: y ( + ) ( + ) ( b) f'() + ) ( + ) ( + ) ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) 0 Asíntota vertical: 8 8 Asíntota oblicua: y ( c) f'() + ) + ( + ) ( + ) ( + ) 0 Mínimo en (0, 0). Asíntota orizontal: y d) f'() 0 ( + ) Máimo en (0, ). Asíntota orizontal: y 0 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

12 ( e) f'() ) ( + ) ( ) + + ( ) ( ) + ± 0 ( ) 0,7,7 Máimo en (0,7;,7). Mínimo en (,7; 0,7). Asíntotas verticales: 0, Asíntota orizontal: y f) Dominio Á {0} Asíntota vertical: Asíntota orizontal: 0 es asíntota vertical y ; y es asíntota orizontal Cuando, y < ; y cuando +, y <. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares: f'() ( ) + f'() 0 f () no tiene puntos singulares Observamos que f'() < 0 si < 0; y que f'() > 0 si > 0. Luego la función es decreciente en (, 0) y es creciente en (0, + ). Corta al eje en (, 0) y (, 0). Gráfica: 6 y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

13 Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos: a) [, 0] 0 5 b) [0, ] c) [, 5] f (0) f ( ) a) T.V.M. [, 0] 0 + f () f (0) 0 b) T.V.M. [0, ] 0 f (5) f () 0 c) T.V.M. [, 5] 5 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [, ] e indica si dicas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () Si la T.V.M. es positiva, la función crece. f () f () T.V.M. [, ] f () f () / a) T.V.M. [, ] Decrece b) T.V.M. [, ] Decrece 7 c) T.V.M. [, ] Crece 8 d) T.V.M. [, ] Crece Dada la función f (), alla la tasa de variación media en el intervalo [, + ]. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

14 Comprueba que la T.V.M. de la función f () +5 en el intervalo [, + ] es igual a +. Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [, ], [;,5], utilizando la epresión anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + + ) T.V.M. [, ] T.V.M. [;,5],5 5 Compara la T.V.M. de las funciones f () y g () en los intervalos [, ] y [, ] y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] 7 Para g(): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] 5 En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g(). 6 Aplicando la definición de derivada, calcula f'( ) y f'(), siendo: f () ( + ) 7 f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) f ( + ) f () f'() Halla la derivada de las siguientes funciones en, utilizando la definición de derivada: a) f () b) f () ( + ) c) f () / d) f () /( + ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

15 f ( + ) f () a) f'() ( + ) ( + + ) ( + 6) 6 f ( + ) f () b) f'() ( ( + ) + ) 9 ( + ) 9 ( + ) f ( + ) f () /( + ) c) f'() ( + ) f ( + ) f () + + d) f'() 0 ( + ) 9 8 Halla el valor del crecimiento de f () ( ) en los puntos y. f'() ( ) f'() ; f'() 0 9 Halla la pendiente de la tangente a la curva y 5 + en el punto de abscisa. f'() 5; m f'( ) 9 0 Halla la pendiente de la tangente a la curva y en el punto de abscisa. f'() ; f'() 0 Comprueba que la función y 5 + tiene un punto de tangente orizontal en,5. f'() 5 0,5 Comprueba, utilizando la definición, que la función derivada de las siguientes funciones es la que se indica en cada caso: a) f () 5 f'() 5 b) f () 7 f'() c) f () + f'() + d) f () f'() Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

16 f ( + ) f () 5( + ) a) f'() 5 5 f ( + ) f () b) f'() 7( + ) 7 7( + + ) (7 + ) f ( + ) f () c) f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + + ) + f ( + ) f () + d) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 0 ( + ) Sabiendo que la derivada de f () es f'(), responde: a) Cuál es la ecuación de la tangente en? b) Tiene f puntos de tangente orizontal? c) Es creciente o decreciente en? a) m f'() ; g () La recta es: y ( ) b) No, puesto que f'() 0 c) f'() > 0 Es creciente en. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 6

17 Halla los puntos singulares de la función y +, de la que conocemos su derivada y' 6 6. y' 0 0,. Puntos (0, ) y (, 0). Reglas de derivación Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que se indican: 5 y + 6; y' 6 + 6; y'() 6 y cos ( + π); 0 y' sen ( + π); y'(0) 0 7 y + ; y' ; y' ( 7 ) 7 8 y ; y' 7 ; y' (0) 7 (7 + ) 9 y sen + cos ; π ; y' (π) y' ( cos sen ) 0 y ; ( + ) y ( + ) y' 6( + ) 6 y' ( ) ( + ) y + ; y' + ; y' () Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

18 y ; 8 y' ; y' (8) ( ) 6 Página π y sen (π ); y' sen (π ) + cos (π ) ( ) sen (π ) co (π ) π y' ( ) y (5 ) ; 5 5 y' 5 (5 ) ; y' ( ) y ; 5 5 y' 0 ; y' () ( 5) Halla la función derivada de estas funciones: 6 a) y e + e b) y ( ) a) y' e + e b) y' 6 ( ) 7 a) y b) y + a) y' (si 0) b) y' + 8 a) y ( + 6) b) y sen a) y' b) y' ( + 6) cos Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 8

19 9 a) y b) y 7 + e a) y ( ) / ; y' ( ) / ( ) ( ) b) y' 7 + ln 7 e e ( ) 7 + e (ln 7 ) 0 a) y + b) y ln + e a) y' + b) y' + e + e + a) y' ( ) + ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b) y' e tg + e ( + tg ) e ( tg + + tg ) e ( + tg ) a) y ( ) b) y e tg a) y b) y cos + e sen ( ) a) y' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) y' cos ( sen ) + e sen cos cos ( sen + e sen ) a) y b) y ( ) e a) y ( ) / y' ( ) / ( ) / ( ) b) y' ( ) ( ) e + ( ) e ( ) e e e ( ) ( ) e 8 8 ( ) ( ) 8 ( ) 8 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

20 π a) y sen b) y log a) y' 0 b) y log log ( ) log log ( ) y' + ln 0 ( ) ln 0 5 a) y tg b) y ln a) y' tg ( + tg ) 6 tg ( + tg ) b) y' ln 6 a) y arc sen b) y arc tg ( + ) / a) y' ( /) /9 9 b) y' + ( + ) + ( + ) 7 a) y arc cos b) y arc tg a) y' / (/) / b) y' + ( /) ( + (/)) ( + ) 8 a) y arc tg b) y arc cos e a) y' arc tg ( + ) ( + ) arc tg b) y' e ( ) e e e Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 0

21 9 a) y b) y arc tg ( + + ) a) y' ( + ) ( ) ( + ) + + b) y' ( + ) ( ) + [( )/( + )] ( + ) + + [( ) /( + ) ] ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + PARA RESOLVER 0 0 VALOR (en miles de euros) TIEMPO (en años) Los coces, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 0% cada año, aproimadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coce desde que se compró asta años más tarde. Calcula lo que se deprecia el coce en los dos primeros años, entre los años y 6, y entre los años 8 y 0. Es constante la depreciación? Depreciación: [0, ] [, 6] 500 [8, 0] 500 La depreciación no es constante. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

22 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones: a) y + b) y a) y' 6 0. Punto (, ) b) y' 0,. Puntos (, ) y (, ) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa. y' 5; m y' (), y () 0 La recta es y ( ) Escribe la ecuación de la tangente a y en el punto de abscisa. y' + ; m y' ( ), y ( ) La recta es y ( + ) Escribe la ecuación de la tangente a y + +, cuya pendiente sea igual a. y' + ; y ( ) La recta es y ( + ) 5 Halla la ecuación de la tangente a la curva y + en 0. y' ; m y' (0), y (0) + La recta es y + 6 La tasa de variación media de una función f () en el intervalo [, + ] es igual a. Cuál es el crecimiento de esa función en? + f'() + 7 Escribe las ecuaciones de las tangentes a la curva y que sean paralelas a la recta 6 y +00. La pendiente de la recta es el coeficiente de cuando la y está despejada. y' 6,. Puntos: (, 0) y (, 0) Rectas: y 6 ( + ), y 6 ( ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

23 8 Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y en los puntos de corte con el eje de abscisas. Puntos de corte con el eje de abscisas: 0, Puntos (, 0) y (, 0) y', y' (), y' ( ) Las rectas son: En, y + 8 En, y + 8 Página 9 Halla los puntos de tangente orizontal de la función y 9. y' 6 9 0,. Puntos (, ) y (, 8). 50 En qué puntos de y / la tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante? Eiste algún punto de tangente orizontal en esa función? y',. Puntos (, ) y (, ). No eiste ningún punto de tangente orizontal, pues y' 0 no tiene solución. 5 a) Cuál es la derivada de y 8 en cualquier punto? b) Cuánto a de valer para que la derivada de y sea igual a? c) En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función y es paralela a la recta y + 8? a) y' b) y' 6 c) En el punto (, ). 5 En qué puntos la recta tangente a y tiene la pendiente igual a 8? y' 8, Puntos (, 0) y (, 0). 5 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que son paralelas a la recta + y 0. y' ( ) ( ) ( ) ( ) 0, En (0, 0), y En (, ), y ( ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

24 5 Halla f' en los puntos de abscisas, 0 y. Halla las pendientes de las tangentes trazadas en esos puntos. f'( ), f'(0), f'() 6 f 55 Indica, en la gráfica del ejercicio anterior, los puntos en los que la derivada es cero. En, la derivada es positiva o negativa? Y en? f'() 0 en (, ) y en (, 7). En la derivada es positiva. En es negativa. 56 Eiste algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa? Compara los valores de f'( ), f'() y f'(0). No, pues es creciente. f'( ) < f'(0) < f'() 57 La ecuación de la recta tangente a una función f () en el punto de abscisa es y +0. Cuál es el valor de f'()? Y el de f ()? Halla la pendiente de esa recta y ten en cuenta su relación con la derivada. + La recta tangente es y ; su pendiente es f'() f () 58 Indica en cada una de estas funciones los valores de en los que f' es positiva y en los que f' es negativa. Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si <. a) f' > 0 si < f' < 0 si > b) f' > 0 si < 0 f' < 0 si > 0 c) f' > 0 si (, ) U (, + ) f' < 0 si (, ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

25 59 Representa una función y f () de la que sabemos: Es continua. f () + ; f () + Tiene tangente orizontal en (, ) y en (, 5). Indica si los puntos de tangente orizontal son máimos o mínimos. (, ) es un mínimo. (, 5) es un máimo. 60 De una función polinómica sabemos que: f () + ; f () + + Su derivada es 0 en (, ) y en (, ). Corta a los ejes en (0, 0) y en (, 0). Represéntala gráficamente. 6 Representa la función continua y f () de la que sabemos: En los puntos (, ) y (, ) la tangente es orizontal. Sus ramas infinitas son así: Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

26 6 Comprueba que la función y ( ) pasa por los puntos (0, ), (, 0) y (, ). Su derivada se anula en el punto (, 0). Puede ser un máimo o un mínimo ese punto? y' () ( ) : y (0) pasa por (0, ) y' () 0 y () 0 pasa por (, 0) y () pasa por (, ) El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo. 6 Comprueba que la función y + tiene dos puntos de tangente orizontal, (, ) y (, ); sus asíntotas son 0 e y y la posición de la curva respecto de las asíntotas es la de la dereca. Represéntala. y + y' 0, Puntos (, ) y (, ). f () + ; f () Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y Página 5 6 Comprueba que la función y : + Tiene derivada nula en (0, 0). La recta y es una asíntota orizontal. Posición de la curva respecto a la asíntota: Si, y < Si +, y < Represéntala. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 6

27 ( y' () + ) ( ) ( + ) ( + ) y' (0) 0; y (0) 0 ± + 65 Completa la gráfica de una función de la que sabemos que tiene tres puntos de tangente orizontal: ( 5 5, ) (0, 0) y (, ) y que sus ramas infinitas son las representadas. 66 En cada una de las siguientes funciones, alla los puntos de tangente orizontal y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máimos o mínimos. Represéntalas: a) y b) y + c) y + d) y e) y f) y + g) y ) y 8 + Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

28 a) y' 6 y' () f (0) 0 (0, 0) f () (, ) + ( ) ( ) y b) y' y' () 0 ± f () 0 (, 0) f ( ) (, ) + ( + ) ( + ) + 6 y c) y' + y' () 0 0 f (0) 0 (0, 0) f ( ) 7 (, 7) ( + ) ( + ) y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 8

29 d) y' 8 + ; y' () 0 6 ± 6 6 ± f () (, ) f () 0 (, 0) + ( 9 + 0) ( 9 + 0) + y e) y' ; y' () 0 ± f () 6 (, 6) f ( ) 6 (, 6) + ( ) + ( ) y f) y' () + ; y' () 0 0 f (0) 0 (0, 0) ( ) f (, ) f ( ) (, ) y + ( + ) ; ( + ) + g) y' 5 8 8; y' () 0 f () (, ) f ( ) (, ) + ( ) ( ) + y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

30 ) y' 6; y' () 0 0 f (0) (0, ) f () (, ) f ( ) (, ) + ( 8 + ) + y ( 8 + ) 67 Representa estas funciones allando los puntos de tangente orizontal y estudiando sus ramas infinitas: a) y + b) y + c) y d) y e) y f ) y ( + 5) + + a) y' + 0, Puntos de tangente orizontal: + (, 7 ), (, 0) ( + ) + ( + ) y + b) y' + ( ) 0 y + 0,, Puntos de tangente orizontal: (, ), (0, 0) y (, ) + ( + ) ( + ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 0

31 c) y' ( + 5) + 0, ( ) ( ) Puntos de tangente orizontal: (, ), (, 9 ) y d) y' ( ) 0 ( + ) Puntos de tangente orizontal: + (, ) y + (, ) 5 ( + 5) e) y' ( + 5) ( + 5) ( + 5) Puntos de tangente orizontal: ( 5, 0 ) 0; 0 + ( + 5) ( + 5) y ( + 5) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

32 ( + ) f) y' + 8 ( + ) 0 0, ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de tangente orizontal: 5 (, 6), (0, 0) ± (asíntota oblicua) y Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente orizontal. Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los ejes: a) y b) y c) y + d) y + a) y' 5 0 ( + ) Los puntos de corte son: ( 0, ), (, 0) y ( ) 6 8 b) y' + 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

33 c) y' + 0 El punto de corte es: (0, 0) y d) y' 0 ( ) El punto de corte es: ( 0, ) 6 y ( ) 69 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y 6 c) y + d) y e) y f ) y + g) y ) y + i) y + j) y + + ( ) + ( ) 5 a) y' 6 ( 6) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. 6 Y y X 6 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

34 b) y' + ( ) Y Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. y X c) y' + 7 ( 6 + 5) Asíntotas verticales: 5,,5 + y Y Asíntotas orizontales: y 0 0,5 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: 6 0,5 6 X ( 6,58; 0,05), (,58;,97),5 d) y' + 5 ( + ) Asíntotas verticales: Y 5 ( ) y + Asíntotas oblicuas: y 0 No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), ( 5, ) 6 y X Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

35 e) y' + + ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y y + 6 Y No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: 6 6 X ( 0,6; 0,5), (,7; 7,6) 6 y f) y' ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) 6 Y 6 y 6 X g) y' + 6 ( + ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y y + Y 6 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0), (, ) X Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

36 ) y' ( ) Asíntotas verticales: y ( ) Y 6 Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) 6 6 X i) y' ( + + ) Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas verticales ni oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (, ), (, ) y Y 6 6 X 6 j) y' ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y + No ay asíntotas orizontales ni puntos de tangente orizontal. Y 6 y 5 6 X 70 Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (0, ) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (, ) vale 0. Llama a la función f () a + b + c y ten en cuenta que f (0), f () y f'() 0. f () a + b + c f'() a + b f (0) c f () a + b + c f'() 0 0 a + b a / b c La función es f () +. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 6

37 7 Halla el vértice de la parábola y +6 + teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es orizontal. f'() Punto (, ). 7 Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(5, ). f () a + b + c f'() a + b f () a + b + c f'() a + b f (5) 5a + 5b + c a b 6 c 7 La función es f () Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y +5 e y +6 sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. y + 5 y' 6 y + 6 y' Para y + 5 la tangente en es: y 0 ( ) + y 0 7 Para y + 6 la tangente en es: y 0 ( ) + 6 y 0 7 Halla a, b y c en f () + a + b + c de modo que la gráfica de f tenga tangente orizontal en y en 0 y que pase por (, ). f () + a + b + c f'() + a + b f'( ) 0 8 8a + b 0 f'(0) 0 b 0 f () + a + b + c a 6 b 0 c 6 La función es f () Página 6 75 Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) y + b) y 5 c) y e + e d) y ln e) y sen f ) y cos ( + ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

38 a) y' + ln b) y' 5 ln 5 c) y' e e d) y' ln / (ln ) (ln ) ln e) y' cos sen cos sen f) y' cos ( + ) ( sen ( + )) 6 cos ( + ) sen ( + ) 76 Aplica las propiedades de los logaritmos para derivar las siguientes funciones: a) y ln + b) y ln c) y ln e d) y log ( 5) e) y log (tg ) f) y ln a) y ln ( + ) ln ( ) + y' + b) y [ln ln ( + )] y' [ ] [ ] + c) y ln + ln e ln y' d) y log ( 5) log 5 ln 0 y' [ ] ln 0 ( 5) ln 0 ln ln 0 ( 5) 9 5 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 8

39 e) y log (tg ) + tg y' tg ln 0 ( + tg ) tg ln 0 f) y ln y' ln + ln + 77 Dada la función f () , obtén su función derivada y estudia su signo. Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f? Tiene f máimo o mínimo? f'() + 9 ( + ) ( ) ( ) f'() 0, f'() > 0 (, ) U (, + ) Intervalos de crecimiento. f'() < 0 (, ) Intervalo de decrecimiento. Máimo en (, 8) y mínimo en (, ). 78 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f () 8 +. f'() ( ) f'() 0, f'() > 0 (, ) U (, + ) f () creciente f'() < 0 (, ) f () decreciente 79 Estudia el crecimiento y el decrecimiento de estas funciones analizando el signo de su derivada: a) y 5 b) y 5 + c) y + d) y + e) y f) y ( + ) g) y ( ) 5 ) y ( ) a) y'. Creciente para todo d) y'. Crece en (, ). Decrece en (, + ). b) y' 5. Decrece en (, ). Crece en (, + ). c) y'. Decrece en (, ). Crece en (, + ). Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

40 e) y'. Creciente para todo 0. f) y' ( + ). Decrece en (, ). Crece en (, + ). g) y' 5 ( ). Decreciente para todo. ) y' ( ) ( ) ( ) ; y' < 0 para ; y' 0 en. La función es decreciente. CUESTIONES TEÓRICAS 80 Calcula la T.V.M. de f () en los intervalos [, ], [, ] y [, ]. Justifica por qué obtienes el mismo resultado. + 5 T.V.M. [, ] 7 T.V.M. [, ] 0 + T.V.M. [, ] 7 T.V.M. para todos. La función es una recta de pendiente. 8 Dibuja una función que tenga derivada nula en y en, derivada negativa en el intervalo [, ] y positiva para cualquier otro valor de. 8 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f'(). Cuántas eisten? Eisten infinitas. f () + k, donde es cualquier número. 8 Esta es la gráfica de la función y. Halla su tangente en 0 y comprueba que obtienes la recta y 0. Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es la tangente de esa curva en (0, 0)? Porque la ecuación del eje de abscisas es y 0. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 0

41 8 Y Qué relación eiste entre f y g? f g X 0 Y entre f' y g'? f g + f' g' Son rectas paralelas (de igual pendiente). 85 Eiste algún punto de la función y en que la tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (, )? En caso afirmativo, állalo. y' Pendiente de la recta 5 Punto (, ) 86 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola y a b + b + c es. a y' a + b 0 b a 87 Si f'() 0, cuál de estas afirmaciones es correcta? a) La función f tiene máimo o mínimo en. b) La tangente en es orizontal. c) La función pasa por el punto (, 0). La correcta es la b). 88 Y Esta es la gráfica de la función derivada de f. f' X a) Tiene f algún punto de tangente orizontal? b) Es creciente o decreciente? Justifica tus respuestas. a) Sí, en,, puesto que f' (, ) 0 b) Si <, es creciente, pues f' > 0; y si >, es decreciente, pues f' > 0. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

42 Página 7 PARA PROFUNDIZAR 89 Halla la derivada de f () en el punto de abscisa aplicando la definición. f ( + ) f () + f'() ( + ) ( + + ) ( + + ( ) 0 ) Halla los puntos singulares de las siguientes funciones y estudia el crecimiento y decrecimiento para decidir si son máimos o mínimos. a) y e b) y c) y e e a) y' ( + ) e 0 y' < 0 si < Decrece y' > 0 si > Crece Mínimo en (, e ) b) y' 0 e y' > 0 si < Crece y' < 0 si > Decrece Mínimo en (, e ) c) y' e 0 0 y' > 0 si < 0 Crece y' < 0 si > 0 Decrece Mínimo en (0, ) 9 Halla la ecuación de la tangente a la curva y ln que es paralela a la recta y. y' ; f ( ) ln ln La recta es y ( ) ln ln 9 Cuáles son los puntos singulares de las funciones y sen e y cos en el intervalo [0, π]? π y sen y' cos 0, π Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

43 π π Máimo en (, ) y mínimo en (, ). y cos y' sen 0 0, π Máimo en (0, ) y mínimo en (π, ). 9 Tiene algún punto de tangente orizontal la función y tg? No, puesto que y' 0 para todo. cos 9 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y ( + ) + c) y d) y a) y' + 0 Y No ay puntos de tangente orizontal. Puntos de corte con los ejes: (, 0), (, 0) Dominio Á {0} X Asíntota vertical: 0 Asíntota oblicua: y b) y' ( + ) ( + ) 9( + ) 9( + ) ( + ) ( + ) 0 0,,5 ( + ) Mínimo en (,5;,5). Punto de infleión en (0, 0). Puntos de corte con los ejes: (0, 0). Dominio Á { } Asíntota vertical: Y X Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

44 ( ( c) y' ) ( + ) ) ( + ) Mínimo en (, 5). Dominio Á {0} Asíntota vertical: 0 Asíntota oblicua: y ( d) y' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( + + ] + ) 0 0 ( ) ( ) Mínimo en (0, 0). Puntos de corte con los ejes: (0, 0), (, 0), (, 0) Y 8 6 X Dominio Á {, } X Asíntotas verticales:, Y 95 Calcula el punto de corte de las tangentes a las curvas f () 5 + y g () en. Recta tangente a f () 5 + en : f'() 5; f'() ; f () y ( ) + Recta tangente a g() en : g'() ; g'() ; g() Punto de corte: y y + El punto de corte es (, ). y ( ) ; ; ; y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

45 96 Halla los polinomios de segundo grado que pasan por el origen de coordenadas y tienen un mínimo en. Cuál de ellos pasa por el punto (5, )? f () a + b + c; f'() a + b f (0) 0 c 0 f' ( ) 0 a + b 0 b a; a > 0 (para que sea mínimo). Son los polinomios de la forma f () a + a, con a > 0. El que pasa por (5, ) será: f (5) 5a + 5a ; 0a ; a 0 5 f () Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R (), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierte,, en miles de euros, por medio de la siguiente epresión: R () 0,00 + 0,0 +,5 a) Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máima rentabilidad? b) Qué rentabilidad se obtendrá? a) R'() 0,00 + 0,0 0 0 Se deben invertir b) R (0),9 Se obtendrán 900 de rentabilidad. 98 El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es: C (q) q + 5q + 75 dólares C (q) El coste medio por unidad es M (q). q a) Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que as allado en el apartado a). q a) M(q) + 5q + 75 q (6q + 5)q (q 6q M' + 5q + 75) + 5q q 5q 75 q 75 0 q 5 q 5 unidades q q Se deben fabricar 5 unidades. b) C(5) 75; M(5) 5 q Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

46 99 La función f () 60 indica los beneficios obtenidos por una empresa + 9 desde que comenzó a funcionar ( f () en miles de euros, en años, 0 indica el momento de constitución de la empresa). a) Haz una representación gráfica aproimada de la función teniendo en cuenta el dominio válido en el conteto del problema. b) Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máimo? Cuál es ese beneficio? c) Perderá dinero la empresa en algún momento? Es posible que llegue un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas? Razona la respuesta. 60 ( a) f'() + 9) ( + 9) ( + 9) ( + 9) ( no está en el dominio) Máimo en (, 0) f () 0 asíntota orizontal: y 0 + La gráfica sería: b) Beneficio máimo en A los años. El beneficio sería f () 0 miles de euros. c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f () 0 y f () > 0 para todo > 0. PARA PENSAR UN POCO MÁS 00 Averigua qué función y f () cumple las siguientes condiciones: a) Su derivada es f'() b) Pasa por el punto (, 6). f () k, donde k es constante. Hallamos el valor de k teniendo en cuenta que: f ( ) k 6 k 6 Por tanto: f () Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 6

47 0 La ecuación de un movimiento es e t 6t + 9, t (e recorrido en metros, t tiempo en segundos). Halla la ecuación de un movimiento uniforme (velocidad constante) que en el instante t 5 está en el mismo lugar y con la misma velocidad que el anterior. Representa ambas ecuaciones en un diagrama e t. Llamamos a la función buscada f (t ) at + b Ha de cumplir que f (5) e (5) y que f'(5) e'(5) Como: tenemos que: f'(t ) a, e'(t ) t 6 f (5) e (5) 5a + b f'(5) e'(5) a a b 6 Luego: f (t ) t 6 Las gráficas serían: 5 e e (t) f (t) 5 6 t Página 8 RESUELVE TÚ Dejamos mil moscas en una isla en la que no abía ninguna y en la cual ay condiciones para que vivan, a lo sumo, Cada día, el número de moscas aumenta el %. a) Epresa el crecimiento según el modelo eponencial, como si no ubiera limitación. b) Epresa el crecimiento según el modelo logístico. c) Compara el número de moscas que abría a los 0, 00, 50, 00, 50, 00 y 00 días según cada modelo y razona sobre las diferencias observadas. a) La función eponencial que epresa el crecimiento de la población de moscas es M 000 (,0) t ; t en días. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

48 b) El crecimiento, según el modelo logístico, será: M , t en días + ( ) (,0) t (,0) t 000 c) TIEMPO M : MODELO M : MODELO DIFERENCIA (días) EXPONENCIAL LOGÍSTICO M M En los primeros días (0, 00 y 50) las diferencias son muy pequeñas. A partir de los 50 días se empieza a apreciar una mayor diferencia, siendo bastante grande al cabo de los 00 días. A los 00 días el número de moscas, según el modelo eponencial, no tiene nada que ver con el número de moscas que obtenemos según el modelo logístico (el nivel de saturación está alrededor de los ejemplares). Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 8