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1 CAPITULO 4 Descrpcón del algormo propueso En ese capíulo se presena a dealle el esquema de relaacón Lagrangeana ulzado para la obencón de coas nferores; así como ambén, la descrpcón de la heurísca prmal ulzada para la obencón de coas superores y solucones facbles eneras al problema de CMCLP. 4.1 Implemenacón del algormo de relaacón Lagrangeana. El modelo propueso para dar solucón al CMCLP, ulza el ULM de Hllsman; donde la funcón obevo es la sguene: v( CMCLP = h v( pcmp donde: J J h, es la demanda agregada, y v ( pcmp, es el oal de la demanda nsasfecha (valor de la funcón obevo usando los coefcenes C de la ransformacón de Hllsman. Por lo ano, el valor del problema de máxma coberura capacado, es la dferenca enre la demanda agregada y el valor del p-medana capacado. Debdo a que la demanda agregada es un valor consane, el problema se reduce a resolver el pcmp. Dado lo 1

2 aneror, la meodología propuesa se ulza para enconrar coas de buena caldad (cercanas al ópmo para el problema de p-medana capacado. Para obener solucones de buena caldad para el pcmp, se ulza un esquema de relaacón Lagrangeana Relaacón Lagrangeana del modelo pcmp. Tomando como referenca el modelo pcmp (ver 3.4, se relaan las resrccones de asgnacón (1 de ese modelo, obenendo lo sguene: ( LR Mn sueo a I J J ( C x I a y h x x + = J p b y { 0,1} I I, J (2 (3 (4 y { 0,1} I ( Solucón de (LR La solucón ópma de ( LR se obene de la sguene manera. Sea κ p la solucón ópma del -ésmo problema de la mochla ( { : x = 1en la solucón ópma de KP( } KP. Enonces A = es el conuno de clenes que se asgnarían 2

3 a la nsalacón, s esa nsalacón fuera a ser selecconada, y κ p = ( C A x. Los índces del conuno I se ordenan ascendenemene con respeco a los valores de κ p, = 1, L, I, es decr, se obene el conuno de índces ordenado { 1, 2, L, I }, al que κp { } κp L κp 1 2. Sea = mín p, máx{ r : p < 0} I r p κ, enonces, se selecconan las nsalacones 1, 2, L, p con sus asgnacones correspondenes, eso es, y = 1 para = 1, L, p, = 0 y para = p +1, L, I y x = 1, s y = 1 y A. Adconalmene, s C < 0 y a = 0, enonces, = 1 h x en la solucón ópma de ( LR. Sean ω C S C < 0 y ah = 0 = 0 en oro caso W = ω y KP = κ I J p = 1 p. El valor ópmo de ( LR esará dado por W + KP +. J Dual Lagrangeano Poserormene es necesaro resolver el dual Lagrangeano (en ese caso es un problema de maxmzacón, defndo: maxv ( LR Resolucón del dual Lagrangeano 3

4 Una alernava que es smple y fácl de mplemenar para resolver el dual Lagrangeano es el algormo de opmzacón subgradene Opmzacón subgradene propuesa. El algormo de opmzacón de subgradene propueso se resume en los sguenes ses pasos: I. Incalzar los mulplcadores Lagrangeanos, = 1,.., J, la coa nferor, la coa superor y el parámero ε. m Los componenes del vecor R se ncalzan con los valores aleaoros generaros en el nervalo [0-10]. La coa nferor (η se ncalza con cero, y la coa superor (η, se ncalza con la demanda agregada. El valor ( 0,2] ε se ncalza con el valor 2, y es mulplcado por 0.9 cada vez que se efecúan 25 eracones sn meorar el valor de la coa nferor. II. Resolver el LR, para obener una solucón x ( y una coa nferor. III. Calcular la coa superor UB, medane un heurísco prmal. El heurísco prmal, pare de la solucón x ( enconrada por la relaacón Lagrangeana; esa solucón puede ener asgnacones múlples de los clenes en las p nsalacones a ubcar. Las asgnacones múlples se deben a la relaacón de las resrccones x = 1, por lo ano, el heurísco prmal ausa esas asgnacones, a una sola asgnacón; con lo I 4

5 aneror se obene una solucón enera facble al problema prmal y una coa superor. Asmsmo, nena asgnar clenes no asgnados a las localzacones selecconadas. IV. Obener el subgradene, s = (1- I x. ε ( η η V. Calcular una longud de paso µ = 2 s +1 VI. Acualzar los mulplcadores Lagrangeanos, = + s µ. VII. Aplcar el crero de ermnacón. S se sasface ermnar; en caso conraro volver al paso 2. Los creros de ermnacón de la opmzacón del subgradene, son los sguenes: ε ( η η <1. 2 s = 0. Nº Ieracones = µ En la fgura 4.1 se muesra el algormo propueso de la relaacón Lagrangeana: 5

6 Algormo propueso de relaacón Lagrangeana η = demanda agregada, Incalzar Whle ( condcon de ermnac ón no sasfecha Resolver KP ( ordenar p KP W v( LR = mn = 1 = f ( v( LR η = = p J I los índces del conuno I con respeco { p, max{ r : KP < 0 } KP J KP > η v( LR enonces endf Aplcar heursca prmal para obener UB f (UB < η η UB endf Calcular el subgraden e, s Calcular la longud de paso µ Calcular mulplca dores w + W = 0, = 1 J + 1 Evaluar condcone s de ermnacó n η 1 r I = 1 + µ s do a los valores KP enddo Fgura 4.1 Algormo propueso de relaacón Lagrangeana. 6

7 4.2 Heurísca Prmal Para obener solucones facbles para el problema, el procedmeno se complemena con una heurísca prmal muy smple, la cual es aplcada en cada eracón del algormo de opmzacón subgradene. La heurísca ulzada es un procedmeno consrucvo que ulza como enrada la solucón de la relaacón Lagrangeana (en ese caso se ulza sólo la nformacón de los problemas de la mochla asocados a las nsalacones selecconadas. Sea ( LR la solucón del problema relaado en la eracón para el vecor de mulplcadores. Dado que las resrccones de asgnacón han sdo relaadas, en la solucón ópma de ( LR algunos clenes no esarán asgnados a nnguna nsalacón, menras que algunos oros podrán esar servdos por una o más nsalacones aberas. La heurísca consrucva funcona de la sguene manera. Prmero, los clenes que esán servdos por una o varas nsalacones serán asgnados a una únca nsalacón (enre aquellas que dan servco al clene en la solucón ópma de LR. Después, los clenes que no esán servdos por nnguna nsalacón abera serán asgnados a las nsalacones aberas que aún enen capacdad dsponble para aender al clene. En caso de que algún clene no pueda ser asgnado a nnguna de las nsalacones aberas (s su demanda excede la capacdad dsponble de odas las nsalacones aberas, dcho clene quedará sn asgnar y por lo ano su demanda no será cubera. La heurísca prmal se muesra en la fgura

8 Heursca prmal U a( denoa la lsa de los clenes que no han sdo asgnados a nnguna nsalacón abera, U J UB 0 for ( = 1o n do f (clene esá asgnado a una o más nsalacones en Asgnar el clene a( = arg máx b b h UB UB + h U U\ endf endfor f endf endfor denoa la asgnacón del clene {} for ( = 1o U do {} { b : I, x = 1, y = 1} con capacdad dsponble para aenderlo hen a( = arg máx b b h UB UB + h U U \ { b : I : y = 1, h b } y UB denoa la coa superor ( LR hen a la nsalacón con mayor capacdad, es decr, Ordenar los clenes de la lsa U en orden descendene con respeco a su demanda h (el clene Asgnar el clene Sea el prmer clene de la lsa Fgura 4.2 Heurísca prmal. ordenada esá denro del rado de coberura de una a la nsalacón con mayor capacdad, es decr, o más nsalacones aberas 8

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