M a t e m á t i c a s I I 1

Transcripción

1 Matemáticas II

2 Matemáticas II

3 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Prueba A Problemas a) f(x) x El denominador de f(x) nunca se anula; por lo tanto, Dom f. Para los intervalos de crecimiento y decrecimiento calculamos la primera derivada: f (x) 3x (x ) x (x ) f (x) x 3x x (x + 3) x x 3 no se cumple x El único punto crítico es x y tanto en (, ) como en (, ) se tiene que f es mayor que. La monotonía no cambia en x, por lo tanto no es un extremo relativo. Calculamos la derivada segunda: x 6x f (x) (x ) 3 f (x) 6x x (x 3) x x 3 Intervalos de curvatura: Cóncava: (, 3 ) (, 3 ) porque en estos intervalos f. Convexa: ( 3, ) ( 3, ) porque en estos intervalos f Puntos de inflexión: 3,, 3, y (, ). Asíntotas: La función no tiene asíntotas verticales porque no hay ningún punto donde su límite sea. Los límites en y de esta función no existen porque el grado del numerador es mayor que el del denominador. Sin embargo, sí hay asíntota oblicua en y : x m = lim lim x" x x" x x 3x (x ) x n lim x lim x" x x" x La asíntota vertical en y es y x. Con todos estos datos calculados la función tiene el siguiente aspecto: 3 3 3, (, ) O b) Para calcular la integral definida dx, transformamos previamente el integrando efectuando la x división de modo que escribimos el cociente en resto la forma «cociente»: divisor x x x x Calculamos ahora la primitiva: x x x dx ln (x ) x A continuación aplicamos la regla de Barrow: x x dx x x ln(x ) ln ( ln ) a) Calculamos un punto genérico A de la recta, basándonos en las ecuaciones paramétricas de la misma: x 3t y t A( 3t, t, t) r AP $ z t P A (, 8, ) ( 3t, t, t) (3t, 6 t, t) Para que este vector sea perpendicular a r, el producto escalar del mismo por el vector director de la recta tiene que valer : AP $ v " r (3t, 6 t, t) (3,, ) 9t t t t + t Luego el punto buscado es: A( 3,, ) (,, ) Y y x f 3 3 3, X 3

4 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 b) Calculamos previamente el simétrico P de P(, 8, ) respecto de la recta r: Pasos: Calculamos el plano perpendicular a r que pasa por P(, 8, ). 3x y z D, el vector normal del plano ha de coincidir con el vector director de la recta. P(, 8, ) 3 8D D D 3x y z Calculamos el punto M de la intersección de la recta r y el plano, sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano y despejando el parámetro: 3( 3t) ( t) t 3 9t t t t t Así, el punto M es M(3,, ) M(,, ). El punto M divide al segmento PP en dos partes iguales, P P' es decir, M por lo que P M P. P (,, ) (, 8, ) (7,, ) El plano pedido en este enunciado se calcula con el vector v " $ r, el vector P B y un punto cualquiera entre Pr, B o P (elegimos P ). $ Calculamos P B : $ P B B(5,, ) P (7,, ) (,, ) Y ahora construimos el plano: x 7 3 y xy7z7 z La situación se expresa en la siguiente figura: P Cuestiones Aplicamos en el numerador la propiedad sobre los logaritmos de las potencias: ln( sen x ) sen x ln lim lim x" e x x" e x El límite presenta una indeterminación del tipo, que resolvemos aplicando la regla de L Hôpital: sen x ln cos x ln lim L H lim ln x" e x x" e x Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Como la pendiente de la recta tangente la proporciona la derivada, lo que nos pide el enunciado es que calculemos cuándo la derivada de f(x) vale 3 (que es la pendiente de la recta). f (x) 3x 3x 3 x x Luego tenemos dos valores de la x que cumplen el requisito. Los puntos son P (, ) y P (, ). Para calcular este ángulo tenemos en cuenta que: v " r n " sen (r, ) v " r n " (,3,) (,, ) sen (r, ) 3 (),67 Aplicando el arcoseno a esta función, tenemos que el ángulo formado por recta y plano es 38,º. Aplicamos la regla de Sarrus al determinante y obtenemos: x x x x x x v r M r x 8 x x ( x) 6 x x π v r P P B B Resolvemos la ecuación 6 x x, y tenemos que solo existe una solución que es x.

5 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 Prueba B Problemas a) La matriz de los coeficientes del sistema es: A a 3 Su determinante es A a. Este determinante vale cuando a, por lo tanto: Si a, se cumple rango(a) rango(a*) 3 que es el n.º de incógnitas, entonces el sistema es compatible determinado. Si a : A ; A* 3 Se cumple rango(a) rango(a*) (obsérvese que en ambas matrices la tercera fila es la suma de las otras dos). El sistema es compatible indeterminado con 3 grado de libertad. b) La interpretación geométrica de la discusión del apartado anterior es: Si a, el sistema es compatible determinado, es decir, los tres planos se cortan en un punto cuyas coordenadas serían los valores que toman las incógnitas x, y y z al resolver el sistema. Si a, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, lo que significa que los tres planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones generales son las de los planos cuyos coeficientes se utilizan para calcular el rango de las matrices, en este caso las dos primeras. a) Dada la ecuación f(x) sen x + cos x, calculamos su derivada: f (x) cos x sen x Para conocer los extremos igualamos a cero: f (x) cos x sen x cos x sen x En el intervalo [, ], el seno y el coseno coinciden 5 en x rad y x rad. Por tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función son: Creciente:, ya que en ellos se cumple que f >. Decreciente: que f.,, ,, ya que en ellos se cumple Y los extremos son: En x hay un máximo cuyo valor es. 5 En x hay un mínimo cuyo valor es. Para esbozar la gráfica de f(x) calculamos sus puntos de corte con los ejes: Eje X: sen x cos x sen x cos x en [, ] se cumple para x rad y x rad. 3 7 Eje Y: Si x y Cuando acaba el dominio de definición, la función devuelve el valor f(). Según estos datos la función tiene el siguiente aspecto: b) El área del recinto se muestra en la siguiente figura: Esta área se calcula con la siguiente integral definida: A Y O π, (sen xcos x) dx ( sen xcos x) dx x cos x sen x Y f O x x 3π / ( ),57 u 5π, y x π f x 7π X π X 5

6 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 Cuestiones Calculamos el valor de para el que las rectas son paralelas. Las rectas son paralelas si los vectores son proporcionales. Los vectores v " r (,, ), v " s (,, ) son proporcionales si: Para construir el plano que las contiene necesitamos $ crear un vector P r P s uniendo las dos rectas: P r (,, ), P s (,, 3) P r P s P s P r (,, 3) Construimos el plano con v " $ r, P r P s y Pr : x 3 y 3x 7y z z La situación se representa en la siguiente figura: Dada: A Puesto que es una matriz cuadrada, podemos calcular su determinante: A ( ) 3 6 Este determinante se anula para los valores, y 3. Discusión del rango: Si, y 3, el rango de la matriz vale 3. Si 3 3 A, el rango es igual a, pues hay varios menores de orden distintos de. Si A, el es igual a por el mismo motivo que en el anterior caso. P r P r P s P s v r π s r Si 3 A 3, su rango también vale por la misma razón que para los otros valores del parámetro. Sea f(x) x 9 e x Esta función es continua en todo su dominio de definición que es. Por lo tanto, f(x) es continua en cualquier intervalo cerrado de. Buscamos ahora un intervalo donde la función cambie de signo: f() 9 e f() () 9 e e f() () 9 e, no podemos precisar con exactitud este valor, pero podemos afirmar que es menor que, porque () 9 (exponente impar) es un número negativo. En consecuencia: f(x) x 9 e x es continua en [, ] y además f() f() <, es decir, cambia de signo en este intervalo, lo que significa, según el teorema de Bolzano, que existe un punto en el intervalo [, ] en donde la función f(x) vale. El hecho de que alguna vez f(x) valga es equivalente al hecho de que la ecuación x 9 e x tenga alguna solución (sabemos que en [, ]). dx Para calcular la integral ( x) x hacemos el cambio de variable t x, de este modo la raíz desaparece del denominador. Si t x x t dx t dt Cambiando de variable obtenemos: t dt dt ( t )t t El del numerador lo podemos sacar de la integral y así tenemos una integral inmediata, la de arctg t, por lo tanto: dt arctg t t Deshaciendo el cambio de variable: dx arctg x C ( x)x 6