Mostrará la convergencia o divergencia de funciones mediante el criterio de límite de una función en un punto.

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1 Un i d a d Lí m i t e s Objetivos Al inalizar la unidad, el alumno: Mostrará la convergencia o divergencia de funciones mediante el criterio de límite de una función en un punto. Calculará límites de funciones aplicando los teoremas correspondientes, dependiendo de la función que se trate. Identiicará cuándo una función tiene límite o no, mediante el análisis de límites laterales. Resolverá ejercicios que involucren el límite al ininito de funciones algebraicas, racionales y trascendentes.

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3 Cálculo diferencial e integral 7 Introducción La idea y el método de los límites de funciones surge en el siglo XIX como una herramienta para acceder al entendimiento del cálculo y análisis matemático, desde entonces es considerado un elemento esencial de la matemática. En esta unidad se presentará el desarrollo de los límites de funciones de la siguiente manera: definición de límite, interpretación geométrica, procedimientos para calcular límites, así como los teoremas involucrados. Comenzaremos recordando el concepto de función y ofreceremos algunas nociones básicas sobre las funciones, para dar paso al estudio del límite de una función y al cálculo de límites de funciones. En este tema la intuición juega un papel definitivo; así, hemos procurado evitar las formalizaciones rigurosas, pues formalizar lo que muchas veces es claro intuitivamente, no aporta más claridad. Las funciones están presentes en la vida cotidiana, a saber: el espacio que recorre un móvil en función del tiempo, el crecimiento de una planta en función del tiempo, el costo de cierto papel en función de la cantidad, el aumento o disminución de la temperatura del agua en función del tiempo, etcétera. Concepto de función Definición. Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I, y se representa por f: D I. El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función o campo de eistencia de la función, y se representa por Dom ( f ). Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra, y es la variable independiente. Cada elemento de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se epresa escribiendo y = f (). El conjunto I es el contradominio o conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im( f )), rango de la función o recorrido de la función ( f (D)): f(d) = { f() D}

4 8 Unidad Función real de variable real Se llama función real de variable real a toda función definida en un subconjunto D de los números reales R, tal que a cada elemento de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R: se representa f: D R o f () = y Representación de una función La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento. Una función f asigna a cada número del conjunto origen un número y = f () del conjunto imagen. Cada par de números (, f ()) corresponde a un punto del plano, que al ser ubicado en un sistema cartesiano da como resultado la gráfica de la función. Operaciones con funciones Suma de funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo, se llama suma de ambas funciones y se representa por f + g a la función definida por ( f +g) () = f () + g () Resta de funciones. Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, la resta de dos funciones reales de variable real f y g se define como la función: (f g) () = f () g (). Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Producto de funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo, se llama función producto de f y g a la función definida por: (f g) () = f () g () Cociente de funciones. Dadas dos funciones reales de variable real f y g definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por: f ( g ) = f( ) g ( ) La función f /g está definida en todos los puntos en que la función g no se anula. Producto de un número por una función. Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por: (a f ) () = a f ()

5 Cálculo diferencial e integral 9 Composición de funciones Esta operación será de gran utilidad en las siguientes unidades, por lo cual se le dará más importancia. Definición. Dadas dos funciones reales de variable real f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f ( f seguida de g), a la función definida de R en R, por (g o f )() = g[ f ()]. Donde f g R R R f: D(f) R R g: D(g) R R g o f:{ D(f) f() D(g)} R R go f Funciones simétricas Funciones pares. Una función f es par cuando cumple f () = f ( ). Es decir, las imágenes de valores de signo contrario coinciden. Por lo que la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje y. Funciones impares. Una función f es impar si cumple f ( ) = f (). A valores opuestos de corresponden imágenes de signo contrario. Por lo que la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Funciones inversas. Dada una función f (), si tiene inversa ésta es otra función designada por f () de forma que se verifica: f (a) = b, si y sólo si f (b) = a para toda a en el dominio de f. Las gráficas de la función y de su inversa son simétricas respecto de la recta y =... Concepto de entorno Antes de estudiar funciones específicas y ejemplos numéricos se establecerá la siguiente definición.

6 0 Unidad Definición. Sea 0 R y ε > 0. Una vecindad o entorno de 0 es un intervalo de la forma ( 0 ε, 0 + ε). Figura.... Límite de una función en un punto Idea intuitiva de límite de una función en un punto. El límite de una función y = f () en un punto 0 es el valor al que tiende la función en puntos muy cercanos a 0. Con frecuencia surgen situaciones de carácter físico o geométrico que dan lugar a eventos que pueden ser relacionados con el límite de una función determinada. Algunas veces el valor de la función proporciona directamente el límite, en otras el límite se intuye por las condiciones del problema. Asimismo, en varias ocasiones el valor de la función no está definido, pero el límite eiste. Definición. Se dice que una función f () tiene como límite a L en el punto 0, o que su límite en 0 es L y se escribe lim f( ) 0 > 0 tal que si 0 < 0 < entonces f() L < ε = L, cuando para toda ε > 0 eiste Ejemplo Considera la función lineal y = +, a qué valor se aproima la función, cuando se aproima al valor? Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando tiende a, hay que observar los valores que toma la función en puntos próimos a. Para ello se puede elaborar la siguiente tabla de valores:

7 Cálculo diferencial e integral Tabla.. Observa que al tomar valores de próimos a, ya sean mayores o menores, sus imágenes se acercan al valor 7. Cuanto mayor es la proimidad de a, mayor es la proimidad de f () a 7. Esto se epresa así: cuando tiende a, el límite de la función y = + es 7, y se escribe de la siguiente forma: lim ( + ) = 7 Ejemplo Calcula el límite aproimado cuando tiende a de la función definida por: f( ) =, si Para calcular el límite de la función cuando tiende a, puede elaborarse una tabla de valores para puntos de abscisa próimos a : Tabla.. Observa que al tomar valores de próimos a, ya sean mayores o menores, sus imágenes se acercan al valor 4. Cuanto mayor es la proimidad de a, mayor es la proimidad de f () a 4, esto es: lim f( ) = 4

8 Unidad... Interpretación geométrica del límite La interpretación geométrica de una función es de gran utilidad ya que dadas las características de una gráfica se pueden conocer sus elementos; asimismo, conociendo los elementos de una gráfica se puede intuir su ecuación. La definición de límite se puede interpretar como sigue: Una función f () tiene por límite L en 0, si dada una vecindad de L ( L ε, L+ ε ) eiste una vecindad en 0, ( 0 δ, 0 + δ ), tal que para cualquier 0 en la vecindad de 0 la imagen f () está en la vecindad de L, ( L ε, L+ ε ). Geométricamente tenemos que: Figura.... Teoremas sobre límites Un hecho fundamental acerca de los límites es que cumplen con ciertos teoremas: Sean f y g dos funciones tales que lim f( ) 0 = A y lim g ( ) = B Límite de una suma de funciones. El límite de una suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de cada una de ellas: lim ( f + g)( ) = lim f( ) + lim g( ) = A+ B Límite de una resta de funciones. El límite de una resta de dos funciones es igual a la diferencia de los límites de cada una de ellas: lim ( f g)( ) = lim f( ) lim g( ) = A B Límite de un producto de funciones. El límite de un producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una de ellas: lim ( f g)( ) = lim f( ) lim g( ) = A B

9 Cálculo diferencial e integral Límite de un cociente de funciones. El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo: f lim f( ) A 0 lim ( ) = = ; esto sólo si B 0 0 g lim g ( ) B Ejemplo 0 Si f( )= + y g ( )=, calcula: a) lim ( f + g)( ) b) lim ( f g)( ) c) lim ( f g)( ) f d) lim ( ) g Se tiene que: lim f( ) = + = ; asimismo, lim g ( ) = a) lim ( f + g)( ) = lim f( ) + lim g( ) = + = b) lim ( f g)( ) = lim f( ) lim g( ) = = c) lim ( f g)( ) = lim f( ) lim g( ) = = f d) lim ( ) = = g Ejemplo 4 Calcula el límite de 4, cuando tiende a, esto es: lim ( 4 ) 4, entonces:

10 4 Unidad Se tiene que: lim ( 4 ) = 4( ) ( ) = 4+ = Por lo tanto, lim ( 4 ) =... Formas determinadas e indeterminadas de límites Para saber si el límite de una función se puede determinar o no, es necesario el estudio de las funciones racionales, así como el entendimiento de las propiedades que estas funciones cumplen, razón por la cual estudiaremos el cálculo de límites de funciones racionales: Cálculo de límites de funciones racionales. Una función racional es del tipo P ( ) f( ) = ; donde P() y Q() son polinomios. Ahora bien, se verá cómo obtener Q ( ) el límite de una función racional en un punto 0. Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones: P lim ( ) 0 Q ( ) lim P ( ) 0 = lim Q ( ) 0 Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se eplicó en el apartado anterior. Al calcular los límites de las funciones racionales pueden presentarse varias situaciones: Caso. El límite del denominador es distinto de cero: lim Q ( ) 0. En este caso, se calculan los límites de P() y Q() como funciones polinómicas y se realiza su cociente. 0 0 Caso. El límite del denominador es cero: lim Q ( ) = 0. En este caso, el denominador se anula en 0. Por lo que lo estudiaremos de la siguiente forma.

11 Cálculo diferencial e integral 5 a) El límite del numerador y denominador es cero: lim Q ( ) = 0 ; lim P ( ) = 0. En este el resultado es 0 0, indeterminado. 0 0 Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q( 0 ) = 0 y P( 0 ) = 0, 0 es raíz de los polinomios P() y Q(), entonces el cociente P ( ) se puede simplificar Q ( ) antes de calcular los límites. b) El límite del numerador es diferente de cero y el denominador es cero: P lim Q ( ) = 0 ; lim P ( ) 0 ; entonces: lim ( ) Q ( ) lim P ( ) =. 0 0 Para resolver esta indeterminación será necesario estudiar el apartado.. referente a los límites laterales de una función P ( ) f( ) = en el punto Q ( ) 0 Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite. Ejemplo 5 Calcula el límite de la función f( )= 4, cuando 0. lim( 4) lim f( ) lim = = =, indeterminado por lo que se 0 0 lim 0 0 simplifican numerador y denominador: lim f( ) lim lim ( = 4 4 = ) = lim( 4 ) = Ejemplo 6 Calcula el límite de las siguientes funciones: a) f( ) =, cuando tiende a. + 4

12 6 Unidad 6 + b) g ( ) =, cuando tiende a. + 0 a) lim f( ) = lim b) lim g ( ) = lim lim( ) + = = 4 lim( + 4) 6 + = + 0 lim( 6 + ) ( ) 6( ) + = = lim( + 0) + ( ) Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente, para lo cual se obtiene la factorización de los polinomios P() = 6 + y Q() = + 0; esto es: P() = 6 + = ( ) ( 6); asimismo, Q() = + 0 = ( ) (+5), entonces, el límite del cociente P()/Q() es: lim ( ) lim lim ( ) 6 + ( ) g = = lim ( 6 6 ) = = + 0 ( )( + 5) ( + 5) 7... Límites laterales Ahora eaminaremos la condición para que el límite eista, con base en los límites laterales de una función. El límite por la izquierda de una función y = f (), cuando tiende a 0, es el valor al que tiende la función para puntos próimos menores que 0. Para epresar el límite por la izquierda se escribe: lim f( ). 0 El límite por la derecha de una función y = f (), cuando tiende a 0, es el valor al que tiende la función para puntos próimos mayores que 0. Para epresar el límite por la derecha se escribe: lim f( ). 0 +

13 Cálculo diferencial e integral 7 La relación entre el límite y los límites laterales de una función es: El límite de una función y = f () eiste en un punto 0 si y sólo si eisten los límites laterales, izquierda y derecha, y además son iguales, esto es: lim f( ) = L, si y sólo si: lim f( ) = lim f( ) = L Ejemplo 7 Calcula los límites laterales de las siguientes funciones cuando 0 = 0 a) f( )= b) g ( )= a) Para calcular el límite de la función f( )=, hay que estudiar los valores que toman las imágenes de puntos próimos a 0. De lo que se deduce que: para valores próimos y menores que 0, la función toma valores cada vez mayores. Lo que significa que: lim f( ) = lim =+ 0 0 Asimismo, para valores próimos mayores que 0, la función toma valores cada vez mayores. Lo que significa que: lim f( ) = lim + + =+. Por lo tanto, lim =+ b) Para la función g ( )=, el límite de esta función en el punto = 0 es 0 ya que para valores próimos a 0 y distintos de 0, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores que toma la función son cada vez menores. Por lo tanto, lim 0 =

14 8 Unidad Ejemplo 8 Calcula el límite de la función f( )=, cuando. Se tiene que: lim f( ) = lim se analizan los límites laterales. lim( ) = = lim ( ) ; indeterminado por lo que 0 Para valores próimos mayores que, la función toma valores cada vez más grandes. Lo que significa: lim f( ) = lim + + lim( ) + = =+ lim ( ) + Para valores próimos menores que, la función toma valores cada vez más chicos. Lo que significa: lim f( ) = lim lim( ) = = lim ( ) Como los límites laterales no coinciden, la función f () = /( ) no tiene límite cuando tiende a. Ejemplo 9, si < A qué valor se aproima la función f( ) = cuando se aproima a?, si > definida en R Cuando se aproima a, tanto por la izquierda como por la derecha, la función f () se aproima al valor de uno. Por lo tanto, se intuye que: lim f( ) =

15 Cálculo diferencial e integral 9 Ejercicio 4. Calcula el lim. Calcula el lim 5 + h + 8. Calcula el lim h 0 h + 4. Calcula el lim( ) 5. Calcula el lim t 0 + t t.. Límite de una función cuando la variable independiente tiende a infinito Ahora eaminaremos los límites infinitos de funciones y daremos un criterio para el cálculo del límite de funciones polinómicas, utilizando las propiedades definidas con anterioridad. Límites infinitos de funciones. Para observar el límite de una función cuando la variable independiente tiende a ±, se estudiarán los siguientes límites: a) lim f( ) = L ; b) lim f( ) =± ± ± Límites de funciones polinómicas. Una función polinómica es una función del n tipo: f( ) = a0 + a+ a a n. El límite de una función polinómica en el infinito es + o, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo, esto es: n lim( a + a + a a ) =+ ; si a n > 0 0 n lim( a + a + a a ) = ; si a n < 0 0 n n

16 0 Unidad Ejemplo 0 Calcula los siguientes límites: a) lim ± b) lim ( + 5 ) ± a) Dando valores cada vez más grandes a la variable independiente de la función f( )=, se observa que a medida que toma valores cada vez mayores, la función se aproima más a. Por lo tanto, el límite de la función cuando + es, lo que se escribe como: lim f( ) = lim + + = Ahora bien, a medida que toma valores cada vez menores, la función se aproima más a. Por lo tanto, el límite de la función cuando es también. lim f( ) = lim = Por lo tanto, lim ± = b) De la función f () = + 5, se ve claramente que cuando +, la función f() +. Es decir, a valores cada vez mayores de, corresponden valores cada vez mayores de la función. Por lo tanto: lim f( ) = lim ( + 5) =+ + + Asimismo, cuando toma valores cada vez menores, la función también toma valores cada vez menores. Por lo tanto: lim f( ) = lim ( + 5) = Entonces, lim ± ( + 5) =±

17 Cálculo diferencial e integral Ejemplo Calcula los límites siguientes: a) lim ( ) 8 5 b) lim a) Para ( ) el coeficiente del término de mayor grado es 4, entonces: 5 lim ( ) = 8 5 b) Para + 6, el coeficiente del término de mayor grado 8/ es positivo, 8 5 entonces: lim + 6 =+... Límites de funciones racionales cuando la variable tiende a infinito En este apartado abordaremos otro caso particular de la obtención de límites de funciones donde la variable tiende a, utilizando para esto las mismas reglas que en el caso anterior. Límite de una función racional. El límite de una función racional cuando +, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador, P ( ) = a + a + a a 0 n n y Q ( ) = b + b+ b b 0 m m. Entonces: lim ( ) P a0 + a+ a an = lim Q ( ) b + b+ b b 0 m n m a n n = lim m b m El valor de este límite depende del valor que tengan n y m: Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es + si a n an > 0 o si < 0 b b m m

18 Unidad Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el límite es el cociente a n / b m. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n < m), el límite es 0. Ejemplo Calcula el límite de las funciones siguientes cuando : 5 a) f( )= 4 5 b) g ( )= 4 a) En este caso, el grado del numerador,, es mayor que el grado del denominador,, por lo tanto: 5 lim f( ) = = lim = lim = b) El grado del numerador es mayor que el grado del denominador y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por lo tanto: 5 lim g ( ) = lim 4 = lim = lim = Ejemplo Calcula los límites siguientes: + 5 a) lim b) lim 4+

19 Cálculo diferencial e integral a) El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por lo tanto: + 5 lim = lim = 4 b) El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo tanto: + lim 4+ = lim = lim = 0.4. Límites de funciones trascendentes cuando tiende a cero En este apartado analizaremos las funciones trascendentes cuya variable tiende a cero, para esto, iniciamos con la siguiente propiedad. Dadas las funciones f () y g () tales que f() g(), entonces lim f() lim g() o lim f() lim g() si estos límites eisten. o o Ahora bien, si f() g() h () y lim f( ) = L= lim h( ), entonces, 0 0 lim g ( ) = L 0 Ejemplo 4 Muestra que lim 0 sen = 0. De acuerdo con la figura., si OP = y el ángulo > 0, se tiene que OQ = cos, PQ = sen, PR =, además se observa que: sen <, como > 0, entonces, sen <. Figura.

20 4 Unidad Por las propiedades anteriores tenemos que lim( ) lim sen lim por lo que se puede concluir que lim sen lim = 0 donde limsen = Ejemplo 5 Utilizando la figura del problema anterior, muestra que lim sen = 0 0 En efecto sen < sen y dado que lim( sen) lim sen lim sen, tenemos lim sen lim sen = El número e Definición. Se denomina número e al límite de la variable +, cuando n n n, lo que se escribe como lim e n + n =. Su valor con diez cifras decimales es: e = Donde, por el criterio de convergencia, el número e satisface la desigualdad e, es irracional y se puede calcular con la precisión que se requiera. n Ejemplo 6 Calcula los siguientes límites: a) lim n n+ 5 + n

21 Cálculo diferencial e integral 5 b) lim + n+ 5 n 5 a) El lim + lim n n n = + n + n = lim n n + lim e e n n + n = =. Por lo tanto, lim n n = e n b) El lim + lim = + + +, luego entonces lim + lim lim e + + = e e= e. Por lo tanto, lim Ejercicio + = e. 5. Calcula el lim. +. Calcula el lim +.. Calcula el lim( 00 ) Calcula el lim csc 5. Calcula el lim 0 +. cos.

22 6 Unidad Ejercicios resueltos En cada uno de los siguientes ejercicios determina el límite de la función cuando su variable tiende al valor que se indica:. lim( + ) Sustituyendo el valor de la variable en la función directamente se tiene: lim( + ) = () + = () 9 + = 8 + = 9, que es el límite al que tiende la función cuando tiende a.. lim 5 + Sustituyendo el valor de la variable en la función directamente se tiene 5 ( ) lim + = 5 ( ) + = =, que es el valor del límite lim Observa que esta función no está definida cuando =, porque cuando es el numerador y el denominador son 0. No obstante, puedes preguntar: cómo se comporta f () cuando está cerca de pero no es? Ahora bien, considerando la identidad algebraica = ( + + )( ), entonces, lim lim lim = ( + + )( ) = ( + + ) = () + + =, por lo tanto, el límite de la función es. 4. lim

23 Cálculo diferencial e integral 7 Sustituyendo el valor al que tiende en la función resulta () () lim = = = = 0, donde el límite de la función es 0. () lim + Sustituyendo el valor al que tiende en la función, se obtiene: + + ( ) lim = = =, que es valor al que tiende el límite en + ( ) + ( ) la función dada. 6. lim( a) a Sustituyendo el valor al que tiende en la función resulta: lim( a) = a aa ( ) = a a = 0, que es el valor del límite de la función. a 7. lim 0 Nota que esta función no está definida cuando = 0, porque cuando es 0, el numerador y el denominador son 0. No obstante, tenemos todo el derecho de preguntar: cómo se comporta f () cuando está cerca de 0 pero no es 0? Factorizando el numerador se obtiene ( ) ; luego, sustituyendo: ( ) lim = lim = lim( )= 0 ( ) = 0 =, que es el valor del límite de la función cuando tiende a cero. 8. lim sen θ θ 0 tanθ

24 8 Unidad Sustituyendo el valor al que tiende θ en la función se obtiene: lim sen θ sen( 0) 0 = =, como se observa, al sustituir directamente el valor al que θ 0 tanθ tan( 0) 0 tiende el ángulo la función se indefine al quedar un cociente de cero entre cero, por lo que mediante identidades trigonométricas se intentará encontrar el límite de la función si es que tiene. senθ De la trigonometría elemental se tiene que tanθ =, entonces, sustituyendo en la epresión original se tiene cosθ senθ lim sen θ lim sen θ = = lim senθcosθ = lim = lim cosθ = cos( 0) =, que es el θ 0 tanθ θ 0 senθ θ 0 senθ θ 0 senθ θ 0 cosθ cosθ valor del límite de la función. 9. lim ( ) Sustituyendo el valor al que tiende en la función resulta: lim ( ) = ( ) =, que es el valor del límite de la función. 0. lim + + Sustituyendo el valor al que tiende en la función, resulta: lim + + = ( ) + = 4 = 4, que es el límite de la función. +. lim + Nota que esta función no está definida cuando =, porque cuando es, el numerador y el denominador son 0. No obstante, podemos preguntar: cómo se comporta f () cuando está cerca de pero no es?

25 Cálculo diferencial e integral 9 Del álgebra se tiene la siguiente identidad: + = ( + )( + ), sustituyendo en la epresión dada se obtiene: + lim lim lim + = ( + )( + ) = ( + ) = ( ) ( ) + = + + =, + que es el valor del límite de la función.. Encuentra los límites laterales en = 0 de la función f( ) = +, ( 0 ). + lim = lim + lim = lim + lim = lim = lim lim lim lim + = ( ) + ( ) = que son los límites de la función por la derecha y por la izquierda. 7. lim Como 7 = 7, cuando toma valores muy grandes, toma valores cada vez 7 más pequeños, por lo que lim = 0, por lo tanto, lim = 7 lim = 70 ()= 0 En los siguientes ejercicios para calcular los límites haremos uso del resultado enunciado en la sección lim lim = lim =

26 40 Unidad lim lim + = =, límite de la función dada lim lim = =, que es el valor del límite de la función lim lim = + + < 8. Si f()= > lim f() + lim f()= lim ( )= () = 9 = < 9. Si f()= > lim f() lim f()= lim + = + = 5

27 Cálculo diferencial e integral 4 Ejercicios propuestos ( + h). Calcula el lim h 0 h. Calcula el lim e cos. Calcula el lim 0 ctg 4. Calcula el lim Calcula el lim( + )

28 4 Unidad Autoevaluación. Calcula el lim a) 8 7 b) 8 7 c) y selecciona la opción correcta: d). Calcula el lim ( + sen + 8 ) y selecciona la opción correcta: π a) π + 8 b) π + 8 c) π d) π Calcula el lim 5 a) 6 b) 4 c) d) 8 4. Calcula el lim a) 8 b) 4 c) 0 d) 8 y selecciona la opción correcta: y selecciona la opción correcta: 5. Calcula el lim ( 0+ ) a) Ninguna es correcta b) 0 c) d) y selecciona la opción correcta:

29 Cálculo diferencial e integral 4 6. Calcula el lim y selecciona la opción correcta: a) 7 b) c) d) 7 7. Calcula el lim tan θ θ 0 senθ a) b) 0 c) d) Calcula el lim sen 0 a) b) c) 0 d) y selecciona la opción correcta: y selecciona la opción correcta: 9. Calcula el lim ( 4 + )( 7 ) y selecciona la opción correcta: a) b) 0 c) + d) Ninguna es correcta. 0. Calcula el lim a) b) y selecciona la opción correcta: c) 8 d) 4

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31 Cálculo diferencial e integral 45 Respuestas a los ejercicios Ejercicio ) L = 4 ) L = 9 ) L = 4 4) L = 5) L = 4 Ejercicio ) L = 0 ) L = ) L = + 4) L = 0 5) L = Respuestas a los ejercicios propuestos ) L = ) L = ) L = 0 4) L = 0 5) L = 0

32 46 Unidad Respuestas a la autoevaluación ) L = 8 7 ) L = π + 8 ) L = 4) L = 8 5) L = 6) L = 7) L = 8) L = 9) L = 0) L = 4