GUÍA ESTUDIO MATEMÁTICAS II

Transcripción

1 I. ÁLGEBRA GUÍA ESTUDIO MATEMÁTICAS II 1. Matrices a. Definición. Tipos. b. Operaciones con matrices: suma de matrices y multiplicación de una matriz por un número. Estructura vectorial de matrices. c. Multiplicación de matrices. Cuándo se puede hacer. No conmutativo. d. Resolución de ecuaciones matriciales. e. Repaso del concepto de vectores linealmente dependiente e independiente. f. Rango de una matriz. Teorema del rango. Cálculo del rango de una matriz. 2. Determinantes a. Definición. Cálculo de determinantes de orden 2 y 3 b. Propiedades de los determinantes (x10) c. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila: menor complementario y adjunto. Aplicación al cálculo de determinantes de orden superior d. Cálculo del rango de una matriz utilizando determinantes e. Inversa de una matriz. f. Resolución de ecuaciones matriciales. 3. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales a. Definición de sistemas de ecuaciones lineales. Solución de un sistema. Sistemas equivalentes. b. Discusión de sistemas de ecuaciones lineales en función del número de soluciones: incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado. Teorema de Rouché Frobenius c. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer d. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales en función de un parámetro 1

2 II. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 1. Vectores a. Definición. Operaciones: suma resta de vectores y multiplicación por escalares. Estructura de espacio vectorial. b. Combinación lineal de vectores. Definición de independencia y dependencia lineal. Criterio. c. Base de un espacio vectorial. Base ortogonal y ortonormal. Expresión de un vector en coordenadas en función de una base. d. Definición del producto escalar. Conocimiento de sus propiedades y cálculo en coordenadas ortonormales. Módulo de un vector, ángulos y ortogonalidad e. Definición del producto vectorial. Conocimiento de sus propiedades. Áreas de paralelogramos y triángulos. f. Definición del producto mixto. Volúmenes de paralelepípedos y tetraedros. 2. Geometría en el espacio a. Sistema de referencia en el espacio b. Ecuaciones de rectas en el espacio: vectorial, paramétrica, continua, implícita y general. Determinación de puntos y vector director c. Ecuaciones de planos en el espacio: vectorial, paramétrica, implícita y general. Determinación de puntos y del vector normal al plano. d. Incidencia. Posición relativas de rectas y planos estudiando las relaciones entre sus vectores directores y normales (rango de matriz, producto escalar o vectorial). i. Posición relativa de rectas: coincidentes, paralelas, se cortan, se cruzan ii. Posición relativa de rectas y planos iii. Posición relativa de planos e. Cálculo de rectas paralelas/perpendiculares a una recta /plano dado que pasan por un punto o que están contenidas en un plano f. Cálculo de planos paralelos/perpendiculares a una recta /plano dado que pasan por un punto. g. Problemas métricos en el espacio i. Cálculo del ángulo formado por dos rectas, por dos planos o por una recta y un plano. ii. Cálculo de distancia entre dos puntos, entre un punto y una recta o un plano, entre dos rectas, entre una recta y un plano y entre dos planos iii. Punto simétrico de un punto respecto de una recta 2

3 III. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1. Probabilidad a. Espacio muestral. Sucesos. Operaciones con sucesos: unión, intersección, diferencia, complementario. Leyes de Morgan. b. Definición de probabilidad. Axiomática de Kolgomorov. Asignación de probabilidad a sucesos y propiedades de la probabilidad. c. Probabilidad condicionada. d. Teorema de la probabilidad total (diagramas de árbol) e. Teorema de Bayes o cálculo de probabilidades a posteriori. 2. Estadística a. Variables aleatorias discretas y continuas. Distribución de probabilidad. Media, varianza y desviación típica. b. Distribución de probabilidad de variable discreta. Binomial. Cálculo de probabilidades. c. Distribución de probabilidad de variable continua. Normal. Tipificación de variables. Cálculo de probabilidades utilizando la tabla. IV. CÁLCULO DIFERENCIAL 1. Límites de funciones a. Definición, propiedades (operativas, unicidad y conservación de signo) y cálculo de límites de funciones en un punto y en el infinito b. Representación de límites de una función en un punto y en el infinito c. Resolución de indeterminaciones 0,,1,0 0, 0, 0. Regla de L`Hôpital. 0 d. Cálculo de valores de parámetros para que un límite sea finito 2. Continuidad a. Definición de continuidad de una función en un punto. b. Diferencia entre límite y continuidad. c. Tipos de discontinuidad: evitable (relacionado con indeterminaciones), salto finito, salto infinito, esencial d. Continuidad de funciones elementales: polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas, exponenciales. e. Estudio de la continuidad de funciones definidas a trozos (ojo con los puntos en los que cambia la definición) f. Continuidad en un intervalo. IMPORTANTE: rigor en los enunciados, interpretación geométrica (gráfica) y aplicación de los teoremas) i. Teorema de Bolzano (aplicación a la resolución de ecuaciones) ii. Teorema de Darboux iii. Teorema de Weierstrass 3

4 3. Técnicas de derivación a. Definición de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. b. Relación derivabilidad y continuidad. Ejemplos y contraejemplos. c. Función derivada. Derivadas de orden sucesivo d. Cálculo de derivadas de funciones: derivada de la suma/ resta, multiplicación y división. Regla de la cadena. e. Derivada de la función inversa. Aplicación al cálculo de derivadas de funciones ciclométricas, logaritmo, raíz cuadrada. f. Estudio de la derivabilidad de funciones definidas a trozos g. Derivada de la función implícita. h. Derivada logarítmica 4. Aplicaciones de la derivadas a. Cálculo de la recta tangente a una función en un punto. b. Definición de función creciente y decreciente en un intervalo. Criterio de estudio a través del signo de la primera derivada. c. Puntos singulares. d. Extremos relativos. Definición. Criterio de estudio de los extremos relativos usando la primera y la segunda derivada e. Curvatura. Definición de concavidad y convexidad. Criterio de estudio de la curvatura de una función a través del signo de la segunda derivada. f. Puntos de inflexión. Definición. Criterio de estudio usando la segunda y tercera derivada. g. Teorema de Rolle. Enunciado e interpretación geométrica. Determinación del punto/s al que se refiere. Aplicación a la demostración de la unicidad de soluciones de ecuaciones. h. Teorema de Lagrange. Enunciado e interpretación geométrica. Determinación del punto/s al que se refiere. i. Problemas de optimización. 5. Representación gráfica de funciones (APLICACIÓN DE TODO LO VISTO) Representación gráfica de todo tipo de funciones: polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas, definidas a trozos, valor absoluto, a. Dominio de las funciones (polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas, exponencial, definida a trozos, trigonométricas, etc ) b. Corte con los ejes 4

5 c. Asíntotas. i. Definición y tipos ii. Aplicación del cálculo y representación de límites al estudio de asíntotas de funciones. OJO con el estudio en menos infinito y más infinito d. Estudio del crecimiento y el decrecimiento. Criterio del signo de la primera derivada e. Cálculo de puntos singulares. Estudio de extremos relativos con los criterios de las derivadas primera y segunda f. Curvatura. Definición de concavidad y convexidad. Criterio de estudio de la curvatura de una función a través del signo de la segunda derivada. g. Puntos de inflexión. Definición. Criterio de estudio usando la segunda y tercera derivada. V. CÁLCULO INTEGRAL 1. Cálculo de primitivas. Integral indefinida a. Definición de primitiva de una función e integral indefinida. Caracterización de todas las primitivas de una función. b. Relación entre integración y derivación c. Propiedades del cálculo de primitivas (la integral indefinida es un operador lineal) d. Integrales inmediatas. TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS e. Métodos de integración i. Sustitución o cambio de variable (equivale a la regla de la cadena en las derivadas). Criterio de búsqueda del cambio ii. Por partes (equivale a la regla del producto). Identificación de quién es u y dv en la integral inicial. udv u v vdu iii. Funciones racionales iv. Funciones racionales e irracionales con funciones exponenciales 2. Integral definida a. Origen de la integral definida. Cálculo de áreas de recintos planos y longitudes de curvas. b. Definición de integral definida e interpretación geométrica. c. Propiedades de la integral definida. Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral d. Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Relación integral definida e indefinida e. Regla de Barrow. f. Cálculo de áreas de recintos planos limitados por curvas (representación aproximada, cálculo de puntos de corte) g. Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución h. Cálculo de longitudes de curvas planas. 5