Contenidos. Concepto de aplicación Dominio e Imagen Igualdad Función Compuesta Función Inversa Crecimiento. Decrecimiento Función Acotada

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1 Contenidos Concepto de aplicación Dominio e Imagen Igualdad Función Compuesta Función Inversa Crecimiento. Decrecimiento Función Acotada Máximo, mínimo Función par o impar Función periódica Función Potencial Entera Potencia y raíz Función Racional Factorización de Q (x). Ejemplos Funciones circulares Funciones circulares inversas Exponencial Logarítmica Funciones hiperbólicas Funciones hiperbólicas inversas 1 / 37

2 Concepto de aplicación Sea f : A IR B IR x A f (x) B es una aplicación si 1 x A y B y = f (x) Todos los elementos de A tienen su correspondiente en B. x 1 A y 1 y y 1 = f (x 1 ) ; y = f (x 1 ) La imagen es única Si a x A le corresponden varios valores de y, por ejemplo f : x A IR IR x y = ± no existe función real de x variable real, aunque se le califica como función multiforme o multivaluada. / 37

3 Dominio e Imagen 1 Dominio: Al conjunto A IR en el que se define la aplicación. Imagen: Al conjunto B = {y IR y = f (x)} Imagen Rango Recorrido. 3 Gráfica: Al conjunto D = { (x, y) IR x A, y = f (x) } 3 / 37

4 Igualdad. Algebra de funciones Igualdad Dos funciones f y g, f : A IR IR x y = f (x) g : A IR IR x y = g (x) se dice que son iguales, f = g, si: x A f (x) = g (x). Han de tener el mismo dominio de definición y el mismo rango. Algebra de funciones Si las funciones f y g tienen el mismo dominio de definición A, x A se define: Suma: (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) Producto: (fg) (x) = f (x) g (x) Cociente: si x A g (x) = 0 es f g (x) = f (x) g (x) 4 / 37

5 Función compuesta Sea f definida en A y cuya Imagen es B Y Sea g definida en Y y cuyo Imagen es C Z Se llama función compuesta de f y g a una función h, escribimos h = g f, definida en A que asocia a cada elemento x A el elemento z Z, tal que z = h (x) = g (f (x)). Ejemplos f (x) = x + 1; g (x) = sen x h (x) = (g f ) (x) = sen ( x + 1 ) (f g) (x) = sen x + 1 La composición de funciones no es conmutativa. 5 / 37

6 Función inversa Si f : A IR es inyectiva, es decir, si x 1, x A tales que x 1 x es f (x 1 ) f (x ), entonces existe una única función h definida sobre la imagen de f, h : Img f IR que verifica que la función compuesta h f es la función h f : A IR identidad: x y = h [f (x)] = x La función h se denomina inversa de f y se denota por, h = f 1. Los puntos de la gráfica de la función f están definidos por el par (x, f (x)). Los puntos de la gráfica de la función f 1 están definidos por el par ( f (x), f 1 [f (x)] = x ). Ambas gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. 6 / 37

7 Crecimiento; decrecimiento; monotonía. Sea B A IR, y sea f : A IR, decimos que f es { creciente\decreciente } en B A, si x1, x B, x 1 < x, es { f (x1 ) f (x )\f (x 1 ) f (x ) }. Si se cumple { f (x 1 ) < f (x )\f (x 1 ) > f (x ) } el { crecimiento\decrecimiento } se dice que es en sentido estricto. Ejemplos: { } creciente y = k puede ser tomada como función. decreciente { } { } creciente [0, + ) y = x es estrictamente en decreciente (, 0] Función Monótona: Cuando es creciente o decreciente en el dominio de definición. 7 / 37

8 Función acotada Sea f : A IR, está acotada { superiormente\inferiormente } si existe { K IR\k IR } tal que x A es { f (x) K\f (x) k }. Una función está acotada superior e inferiormente decimos que está acotada. Ejemplos: y = sen x está acotada superior e inferiormente x IR. y = 1, x (0, 13] está acotada inferiormente, pero no lo está x superiormente. 8 / 37

9 Extremo relativo o local. Si existe { E (x 1 ; r 1 )\E (x ; r ) } tal que es { f (x) f (x1 )\f (x) f (x ) } x { E (x 1 ; r 1 )\E (x ; r ) } decimos que la función tiene un { máximo relativo o local\mínimo relativo o local } en { x1 \x } en sentido amplio. Si en vez de ser { \ } es { <\> } decimos que la función tiene un { \máximo relativo\mínimo relativo } en sentido estricto. 9 / 37

10 Función par o impar: Definición y algebra. Sea f : A R, f es { par\impar } si x 0, x 0 A es { f (x0 ) = f ( x 0 ) \f (x 0 ) = f ( x 0 ) } Ejemplos: { y = x \y = x 3 } son { par\impar } La suma de dos funciones pares es otra función par. La suma de dos funciones impares es otra función impar. El producto de dos funciones pares es otra función par. El producto de dos funciones impares es otra función par. El cociente de dos funciones pares es otra función par. El cociente de dos funciones impares es otra función par. El producto o el cociente de dos funciones una par y otra impar es otra función impar. La gráfica de una par es simétrica respecto x = 0. La gráfica de una impar es simétrica respecto al origen. 10 / 37

11 Función periódica: período. Cero o raíz de una función. Sea f : A R es periódica si h R + x, x + h A f (x) = f (x + h) Si es periódica de período h: f (x + 3h) = f ([x + h] + h) = f (x + h) = f ([x + h] + h) = f (x + h) = f (x) también lo es de período k h, k IN. Se define Período de una función periódica: al menor valor de h que verifica la propiedad anterior. Ejemplos: y = sen x: sen (x) = sen (x + kπ) si k N. El período es π. y = tg x: tg (x) = tg (x + kπ) si k N. El período es π. y = x [x]: x [x] = (x + n) [x + n] si n N. El período es 1. Cero f : A IR. x 0 A es un cero o raíz de f si f (x 0 ) = / 37

12 Función Potencial Entera f : R R x y = x n, n N. Si n = k, k IN, son {0} funciones pares; si n = k + 1, k IN, son funciones impares. La combinación lineal de funciones potenciales enteras nos da lugar a las funciones polinómicas: f (x) a n x n + a n 1 x n a j x j + + a 1 x + a 0, a n 0 denominándose: grado del polinomio al valor de n, siendo {a n, a n 1, a 1, a 0 } los coeficientes del polinomio. Una función polinómica particular, si b IR y n IN, es j=n ( (x + b) n n = j j=0 ) x n j b j ; ( n j ) = n (n 1) (n [j 1]) j! Es: j! j (j 1) 3 1. Se conviene: 0! = 0. 1 / 37

13 Potencia y raíz Figure: potencia y raíz A la izquierda potencia y a la derecha, su inversa: raíz 13 / 37

14 Función Racional P (x) Son aquellas que son el cociente de dos polinomios: Q (x). Se denomina racional propiamente dicha o también fracción propia cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Las funciones racionales no están definidas en aquellos puntos en los que la función del denominador se anula; es decir en los ceros o raíces o del denominador. Como P (x) R (x) = C (x) + si el grado de P (x) que el de Q (x) Q (x) Q (x), estudiaremos las funciones racionales si: el grado de P (x) es < que el de Q (x). 14 / 37

15 Factorización de un polinomio. Estudio sus ceros o raíces Todos son reales y simples. Sus factores son de la forma (x b 1 ) Todos son reales, alguno con multiplicidad mayor que 1. Sus factores son de la forma (x b 1 ), (x b ) β Hay raíces reales, simples o múltiples, y complejas simples. Sus factores son de la forma (x b 1 ), (x b ) β, [(x r) + s ] hay raíces reales y complejas tanto simples como múltiples. Sus factores ] son [ de la forma ] (x b 1 ), γ (x b ) β, [(x r) + s, (x r 1 ) + s1 15 / 37

16 Raíces imaginarias Si x = a + i b es raíz de una ecuación con coeficientes reales, también lo ha de ser x = a i b. Es decir si una ecuación con coeficientes reales tiene como raíz un número complejo también es raíz el complejo conjugado. Trabajamos con ambas conjuntamente, con lo que en la descomposición en factores nos aparecerá uno de la forma [x (a + i b)] [x (a i b)] [(x a) + b ] 16 / 37

17 Descomposición en fracciones simples Tenemos una fracción propia y Q (x) = (x b 1 ) (x b ) β [ (x r) + s ] [ (x r 1 ) + s 1 ] γ entonces P (x) Q (x) = A + x b 1 B 1 (x b ) 1 + B (x b ) + + B β (x b ) β + Mx + N (x r) + s + M 1 x + N 1 M x + N M γ x + N γ (x r 1 ) + + s1 [ ] + + [ (x r 1 ) + s1 (x r 1 ) + s1 ] γ 17 / 37

18 Ejemplo todas la raíces reales simples x 1 5 (x + 1) (x ) (x 3) = 1 [ A 5 x B x + C ] x 3 x 1 = A (x ) (x 3) + B (x + 1) (x 3) + C (x + 1) (x ) Si en la igualdad anterior hacemos, sucesivamente, x = 1, x = y x = 3, obtenemos, respectivamente, A, B, C x = = A ( 1 ) ( 1 3) x = 1 = B ( + 1) ( 3) x = = C (3 + 1) (3 ) 18 / 37

19 Ejemplo todas la raíces reales x 1 5 (x + 1) (x ) = 1 [ A 5 x B x + ] C (x ) x 1 = A (x ) + B (x + 1) (x ) + C (x + 1) Si en la igualdad anterior hacemos, sucesivamente, x = 1, x =, obtenemos, respectivamente, A, C x = = A ( 1 ) x = 1 = C ( + 1) Resta por determinar B, que, por ejemplo, si analizamos los coeficientes de x, tenemos 0 = A + B 19 / 37

20 Ejemplo raíces reales y múltiples x 4 + 5x 3 + 7x + 9x + (x 1) (x + 4) 3 = 4 = 15 (x 1) (x 1) + 13x x x (x 3 + 4) 15 (4 + x ) 65 (4 + x ) 0 / 37

21 Errores frecuentes A veces, trabajando con funciones racionales se comete, alguno de los errores siguientes: f 1 (x) + f (x) g 1 (x) + g (x) f 1 (x) + f (x) g 1 (x) + g (x) f 1 (x) + f (x) g 1 (x) g (x) = f 1 (x) + f (x) g 1 (x) = f 1 (x) g 1 (x) + f (x) g (x) = f 1 (x) g 1 (x) + f (x) g (x) + f 1 (x) + f (x) g (x) 1 / 37

22 Funciones circulares: seno Figure: seno Dominio IR y = sen x Imagen [ 1, 1] Impar y periódica π / 37

23 Funciones circulares: coseno Figure: coseno Dominio IR y = cos x Imagen [ 1, 1] Par y periódica π 3 / 37

24 Funciones circulares: tangente y = tg x sen x cos x Dominio Figure: tangente IR Imagen [, ] Impar y periódica π { } (k 1)π, k ZZ 4 / 37

25 Otras funciones circulares. Relaciones fundamentales. Cotangente: es la recíproca de la tangente: cotg x = 1 tg x = cos x sen x. Cosecante: es la recíproca del seno: cosec x = 1 sen x. Secante: es la recíproca del coseno: sec x = 1 cos x. Relaciones fundamentales: sen x + cos x = 1 sen (a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b cos (a ± b) = cos a cos b sen a sen b cos 1 + cos a a =, sen a = tg a ± tg b tg (a ± b) = 1 tg a tg b 1 cos a 5 / 37

26 Funciones Circulares Inversas: Arco seno Como en la función seno un valor del seno lo podemos obtener mediante infinitos valores de la variable x en general no existirá función inversa, [ ahora bien si el seno lo estudiamos en el intervalo π, π ] si existirá función inversa: Dominio [ 1, [ 1] y = arc sen x Imagen π, π ] Impar 6 / 37

27 Funciones Circulares Inversas: Arco coseno Como en la función coseno un valor del coseno lo podemos obtener mediante infinitos valores de la variable x en general no existirá función inversa, ahora bien si el coseno lo estudiamos en el intervalo [0, π] si existirá función inversa: { Dominio [ 1, 1] y = arc cos x Imagen [0, π] 7 / 37

28 Funciones Circulares Inversas: Arco tangente Como en la función tangente un valor de la tangente lo podemos obtener mediante infinitos valores de la variable x en general no existirá función inversa, ahora ( bien si la tangente la estudiamos en el intervalo π, π ) si existirá función inversa: Dominio (, ( ) y = arc tg x Imagen π, π ) Impar 8 / 37

29 Función Exponencial 6 exponencial 4 logarítmica { Dominio IR Exponencial: y = a x Imagen IR + ; {1} si a = 1 a IR + Es creciente estric. si a > 1 y decreciente estric. si a < 1. Propiedades fundamentales a 0 = 1, a IR + a x a y = a x+y, a IR +, x, y IR (a x ) y = a x y, a IR +, x, y IR a x = 1 a x, a IR +, x IR 9 / 37

30 Función Logarítmica y = log a x es la inversa de y = a x, a IR + {1} y es la potencia a la que hay que elevar { a para obtener x Dominio IR x = a c + log a x = c: y = log a x Es creciente Imagen IR estrictamente si a > 1 y decreciente estrictamente si a < 1. Propiedades fundamentales log a 1 = 0, a R + {1} log a x y = log a x + log a y, a R + {1}, x, y R + ; si x, y R : log a x y = log a x + log a y log a x y = y log a x, a R + {1}, x R +, y R x log a y = log a x log a y, a R + {1}, x, y R + ; si x, y R x : log a y = log a x log a y (log b x) (log a b) = log a x 30 / 37

31 Logaritmos naturales. Errores Si escribimos log x estamos denotando el logaritmo neperiano o natural de x. La base es el número e. Tres errores muy frecuentes son los siguientes: Decir que log a (x ± y) es igual a log a x ± log a y Decir que log a (x y) es igual a (log a x) (log a y) ( ) x Decir que log a es igual a log a x y log a y 31 / 37

32 Funciones Hiperbólicas coseno tangente - seno Seno hiperbólico: y = sh x = ex e x -3 Coseno hiperbólico: y = ch x = ex +e x Tangente hiperbólica: y = th x = sh x ch x Dominio IR Imagen IR Impar Dominio IR Imagen [1, ) Par Dominio IR Imagen ( 1, 1) Impar 3 / 37

33 Otras funciones hiperbólicas. Relaciones fundamentales Cotangente hiperbólica, recíproca de la tangente, coth x = 1 th x = ch x sh x. Cosecante hiperbólica: recíproca del seno, cosech x = 1 sh x. Secante hiperbólica: recíproca del coseno, sech x = 1 ch x. Relaciones fundamentales ch x sh x = 1 sh (a ± b) = sh a ch b ± ch a sh b ch (a ± b) = ch a ch b ± sh a sh b ch 1 + ch a a =, sh ch a 1 a = th a ± th b th (a ± b) = 1 ± th a th b 33 / 37

34 Hiperbólicas Inversas: Argumento seno hiperbólico A cada valor del seno le corresponde un único valor de x, existirá función inversa: Dominio (, + ) y = arg sh x Imagen (, + ) Impar Expresión logarítmica del Argumento cuyo seno hiperbólico es f (x): y = arg sh f (x) f (x) = sh y y ch y > 0 ch y = sh y = (f (x)) entonces ch y + sh y = e y = f (x) (f (x)) ( ) y = log f (x) (f (x)) 34 / 37

35 Argumento coseno hiperbólico Un valor del coseno lo podemos obtener mediante dos valores de la variable x, luego en general no existirá función inversa. Si el coseno lo estudiamos en el intervalo [0, + ] si existirá función inversa: { Dominio [1, + ) y = arg ch x Imagen [0, + ) Expresión logarítmica del Argumento cuyo coseno hiperbólico es f (x): y = arg ch f (x) f (x) = ch y y 0 sh y > 0 sh y = + ch y 1 = + (f (x)) 1 entonces: ch y + sh y = e y = f (x) + ( y = log f (x) + (f (x)) 1 (f (x)) 1 ) 35 / 37

36 Argumento tangente hiperbólica A un valor de la tangente le corresponde un único valor de x: Dominio ( 1, +1) y = arg th x Imagen (, + ) Impar Expresión logarítmica del Argumento cuyo tangente hiperbólica es f (x): y = arg th f (x) f (x) = th y = ey 1 e y + 1 e y f (x) + f (x) = e y 1 e y = 1 + f (x) 1 f (x) y = f (x) log 1 f (x) 36 / 37

37 Fórmulas de Euler Haciendo uso de la exponencial compleja, tenemos, Seno de x Coseno de x sen x = eix e ix i cos x = eix + e ix Tangente de x tg x = sen x cos x = 1 i eix e ix e ix + e ix = 1 i 1 e ix 1 + e ix Operando podemos obtener las expresiones logarítmicas del arc sen x, arc cos x y arc tg x. 37 / 37