TEMA 3 FUNCIONES ELEMENTALES.

Transcripción

1 TEMA 3 FUNCIONES ELEMENTALES. 1. Concepto de unción.. Propiedades. 3. Funciones elementales. (Polinómicas, racionales, irracionales, trozos, valor absoluto) 4. Transormaciones elementales. 5. Composición de unciones. 6. Función Inversa. 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Deinición: Una unción es una correspondencia numérica entre dos conjuntos, tal que, a cada elemento del conjunto inicial le corresponde a lo sumo una imagen (una o ninguna). criterio o órmula IR IR ( ) y A se le llama variable independiente y a y variable dependiente ( ) No es una unción porque por ejemplo a 4 le hace corresponder dos imágenes y -. Para ser unción se tendría que deinir como ( ) Gráica: Se denomina gráica de una unción al conjunto de puntos ormado por los elementos del conjunto inicial y sus imágenes:, / Dom. Y lo representamos en el plano. Ejemplo: ( ) 1 Hacemos una pequeña tabla de valores y Punto (1,3) (,5) (0,1) (-1,-1) (-,-3) Para que una gráica pertenezca a una unción la miramos siempre de izquierda a derecha: Será unción si siempre avanza de izquierda a derecha, es decir nunca se para ni retrocede. Es unción. PROPIEDADES. NO es unción (retrocede) NO es unción (se para) A. Dominio: Es el conjunto de los elementos del conjunto inicial que tienen imagen. Dom (). Gráicamente es lanzar rectas paralelas al eje y (valores que toma ) B. Recorrido: Es el conjunto de los elemento del conjunto inal que son imagen de algún punto del dominio. Gráicamente es lanzar rectas paralelas al eje (valores que toma y) IR a b M Dom, Rec, No está acotada ineriormente. Está acotada superiormente. C. Acotación: Una unción () está acotada superiormente si hay algún valor que es mayor o igual que cualquier valor de las imágenes, es acotada ineriormente si hay algún valor que es menor o igual que cualquier valor de las imágenes.

2 () está acotada Está acotada ineriormente y superiormente Para ver la acotación nos ijamos en el recorrido. Si el recorrido tiene no está acotada ineriormente, y si tiene no está acotada superiormente. Si no está ninguno de los dos la unción estará acotada. D. Punto de corte con los ejes: Eje OX: Igualamos la unción a 0 y resolvemos ()=0. Si las soluciones son a, b, c. Los puntos de corte son (a,0), (b,0), (c,0),. Puede tener de ninguno a ininitos puntos de corte. Eje OY: Calculamos (0) (0)=M El punto es (0,M). Tiene uno o ninguno. E. Monotonía: Creciente: si b b a a 0 es creciente Decreciente: si b b a a 0 es decreciente Máimo relativo: La unción pasa de ser creciente a decreciente. Mínimo relativo: La unción pasa de ser decreciente a creciente. Creciente en:, a b, c d, Decreciente en a, b c, d Máimo relativos en a, Nyc, M Mínimo relativos en b, Ñyd, Ñ F. Curvatura: Convea Cóncava Punto de inleión: Cambia de cóncava a convea (0,0) es el punto inleión. Cóncava en,0 Convea en 0,. G. Signo de la unción: Cuando la unción está por encima del eje X se dice que es positiva(+), y cuando está por debajo es negativa (-). Es positiva en Es negativa en y 1,0 y 1,,1 0,1 H. Asíntotas: Decimos que una unción presenta una asíntota cuando se acerca a una recta (casi se solapan) pero sin llegar a tocarla. Tiene una asíntota vertical en =-a Tiene una asíntota oblicua y=a+b Tiene una asíntota horizontal en y=b I. Continuidad: Una unción es continua cuando se puede trazar sin levantar el lápiz del papel (en mi caso la tiza de la pizarra). Si se levanta se dice que es discontinua.

3 Continua Discontinua en a. Evitable por alta de deinición Discontinua en a. Evitable por punto desplazado. Discontinua en a. Es inevitable de salto ininito. Discontinua en a. Es inevitable de salto inito. Discontinuidad en 0. Ausencia de limite (esencial de segunda especie) 3. FUNCIONES ELEMENTALES. A. FUNCIONES POLINÓMICAS n a a n 1 a0. El dominio de una unción polinómica es IR. A1. Grado cero. Función constante ()=c. Su representación gráica es una recta paralela al eje OX por el punto c () c c c c c A. Grado uno. Función lineal ()=m+n. Su representación gráica es una recta. Con dos valores se puede representar. m se llama pendiente (nos va a indicar la inclinación) y n se llama ordenada en el origen (nos indica el valor de la unción en 0). y () -1 0 Cálculo de la pendiente a partir de dos puntos: Si la recta pasa por los puntos (a,(a)) y (b,(b)). y=5-1 La pendiente m=5 y m b b a a Si una unción lineal pasa por los puntos (,9) y (3,14) su pendiente será m Ecuación punto-pendiente: Si tenemos en una unción lineal la pendiente m y un punto (a,(a)) la ecuación de la recta en su orma punto pendiente será: y a m a Cuál es la unción lineal que pasa por los puntos (1,1) y (,0)? 0 1 m 1 y 1 1( 1) y 11 y 1

4 A3. Grado dos. Función cuadrática ()=a +b+c. Parábola. Pasos: Ejemplo: y Si a>0 la gráica será convea.. Si a<0 la gráica será a=1>0 la gráica será convea.. cóncava b 6 3. Hallamos el vértice a 1 b b (3) V, a a V (3, 1) 3. Puntos de corte con el eje OX. a +b+c=0 4 (4,0) (si no tiene puntos de corte se le dan dos valores) (,0) A4.Función polinómica de grado mayor que dos. Pasos: Ej.: Puntos de corte 9 con el eje OX Darle unos cuantos valores entre los puntos z de corte 9 3. Dibujar aproimadament 1 y 3 e (-3,0), (-1,0), (1,0) y (3,0) () B. FUNCIONES RACIONALES P. Dominio de una unción racional es IR-{raíces del denominador} Q Normalmente tiene una asíntota vertical en cada raíz del denominador. 3 Por Ruini las raíces del denominador son -1, y -. Dom ()=IR-{-,-1,} Hipérbolas: Tienen por ecuación c a b Dom ()=IR-{b/a} tiene una asíntota vertical en =-b/a. Ejemplos: y=1/ y=-1/ y=1/(+a) y=1/(-a) C. FUNCIONES IRRACIONALES. n algo. Dominio depende de lo que hay dentro de la raíz y del valor de n. Si n es par Dominio de la unción son los valores para los que el algo 0 Si n es impar el dominio de la unción es el dominio del algo

5 ( ) Dom () -,-, 1 ( ) 3 el domino será el de (+3=0 =-3) Dom ()=IR-{-3} y y D. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Dominio depende de la deinición de la unción en cada trozo, normalmente el dominio será la unión de cada trozo de deinición. Para representarlo se representará todas las unciones (algunas nos olvidaremos de los trozos de deinición) y nos quedaremos con el trozo dónde esté deinida. Siempre se deben dar los valores de la unción en los límites de cada trozo. 3 si y y y 1 si si 1 Son trozos de rectas Dom ()=IR-{} E. VALOR ABSOLUTO. Dominio depende de la deinición de la unción y será el dominio de la unción. El valor absoluto es poner siempre el número con signo positivo, por lo tanto hay que convertir la unción en positiva. Pasos a seguir: 1. Se pinta la unción sin tener en cuenta el valor absoluto.. Lo negativo se convierte en positiva (se releja arriba) Ejemplo: ( ) 6 8 a=1>0 la gráica será convea.. b 6 3 a 1 (3) V (3, 1) 4 (4,0) (,0) 4. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Queremos encontrar la gráica de una unción a partir de otra parecida GRAFICA DE y k y a partir de la Si le sumamos un número la gráica se desplaza k unidades hacia arriba Si le restamos un número la gráica se desplaza k unidades hacia abajo.

6 y y 3 GRAFICA DE y a a partir de la y Se desplaza 3 unidades arriba Si le sumamos un número la gráica se desplaza a unidades hacia la izquierda (va adelantada) Si le restamos un número la gráica se desplaza a unidades hacia la derecha. (va atrasada) y Se desplaza unidades abajo y y 3 GRAFICA DE y a partir de la y y Se desplaza 3 unidades a la izquierda Se desplaza unidades a la derecha Cambia de signo la, por lo tanto cambia el eje de las y se produce un giro respecto al eje y. GRAFICA DE a partir de la y y

7 Cambia de signo la y, por lo tanto cambia el eje de las y y se produce un giro respecto al eje. 5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Deinición: Dadas dos unciones y g se llama unción compuesta de y g g transorma en g (primero se aplica y al resultado obtenido se aplica g ) g g g g Nota: g se lee compuesta con g, a la unción que Ejemplos: ( ) ; g 5 g 4 g 4 g4 g4 g g g g 4 g g 5 5 g 5 (en g sustituimos por ) ) 5 (en sustituimos por 5 Con estos ejemplos nos damos cuenta que la operación composición NO es conmutativa. 6. FUNCIÓN INVERSA Deinición: Se llama unción inversa de a otra unción (que se designa por a, bes un punto de la gráica de, entonces a cambian sus coordenadas por las y y viceversa. 1 Para ser inversas de debe veriicar que: Nota: 1 b, es un punto de la gráica de 1 ) que cumple la siguiente condición: Si 1. Es decir una unción y su inversa 1 debe ser también una unción, por lo tanto en para cada valor que tome y le ha corresponder un único valor de. Esta propiedad se llama inyectividad. Si no ocurre esto debemos partir la unción en trozos y obtener en cada uno de ellos su inversa. (las separamos en trozos dónde sea creciente, y en trozos dónde sea decreciente) Dominio ()= Recorrido ( -1 ) Recorrido ()= Dominio ( -1 ) Ejemplo: ; y 6 3 g g g g g g son inversas una de la otra? Son inversas

8 OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN INVERSA. GRÁFICAMENTE: Hay que cambiar el eje de las por el de las y. Se puede hacer a través de la bisectriz del primer cuadrante (recta y=), doblando por esa línea y ver a dónde se traslada, o mediante el método casero de calcarla por la parte de atrás de la hoja y situar los ejes correctamente. ANALÍTICAMENTE: 1er Paso: Cambiamos la por la y 3 6 o Paso: Despeamos la y. 3 6 y Ejemplo: y 3 6 y y 6 y (no es inyectiva, la separamos en dos trozos, uno para 0, y otro para 0 ) 6 y y aquí aparecen ya la solución para cada trozo (raíz positiva es la inversa en el trozo dónde 0 ) raíz negativa en el trozo 0, y