Leyes de Kepler. Ley de Gravitación Universal

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1 Leyes de Keple y Ley de Gavitación Univesal J. Eduado Mendoza oes Instituto Nacional de Astofísica Óptica y Electónica, México Pimea Edición onantzintla, Puebla, México 009

2 ÍNDICE 1.- PRIMERA LEY DE KEPLER Paámetos de una elipse (eje mayo, eje meno, focos y excenticidad) Excenticidad de la óbita de la iea Excenticidad de la óbita de Plutón y excenticidad de la óbita de Neptuno. 4.- SEGUNDA LEY DE KEPLER ERCERA LEY DE KEPLER 6.1 Apoximación paa el caso m << M 6. Compaación ente los peíodos y las distancias de dos planetas.. 7. Expesión de la ecea Ley usando como unidades 1 año teeste y 1 UA Cálculo de la distancia de Satuno al Sol 8.5 La mínima y la máxima distancia del cometa Halley al Sol Cálculo de la masa del Sol Ley de la Gavitación Univesal Cálculo de la masa de la iea Leyes de Keple y Ley de Gavitación Univesal

3 Guía paa el video En este texto se hace una evisión del contenido del video Leyes de Keple y Ley de Gavitación Univesal, emas de las Olimpiadas de Astonomía. En el video no se mostaon algunos pasos del pocedimiento matemático. En este texto descibimos dichos pasos con la idea de hace más compensible el pocedimiento. Además, tatamos de descibi con más detalle los ejemplos del video y también incluimos algunos otos ejemplos. Lo anteio lo hacemos con el popósito de que pofesoes de bachilleato y pepaatoia puedan usa esta guía en clases. La idea es que esuelvan algunos ejemplos con los estudiantes paa evisa con más detalle los conceptos abodados en el video. 1.- PRIMERA LEY DE KEPLER La pimea Ley de Keple la podemos descibi de la siguiente manea: Cada planeta gia alededo del Sol descibiendo una óbita elíptica y el Sol se encuenta en uno de los focos de dicha elipse. Paa entende mejo la descipción anteio vamos a evisa algunos conceptos elacionados a la elipse, con los cual podemos entende qué significa que la óbita de un planeta sea elíptica. 1.1 Paámetos de una elipse Eje mayo y eje meno Una elipse tiene dos ejes, el eje mayo y el eje meno peo, en matemáticas es más común usa los semiejes, los cuales coesponden a la mitad de los ejes. El semieje mayo es un témino muy impotante, aquí lo vamos a denota con la leta a (minúscula) aunque, en el video se usó la A (mayúscula) paa denotalo. Este témino se usa mucho en las expesiones matemáticas de la elipse.

4 Focos de una elipse Una elipse tiene dos puntos llamados focos que se encuentan sobe el eje mayo. Usando los focos vamos a esquematiza de una foma sencilla la definición matemática de una elipse. Pimeo, vamos a supone que tenemos dos clavos en una tabla. Si con un hilo hacemos un ao y el ao lo hacemos pasa po los dos clavos y también po un lápiz colocado sobe la tabla, entonces podemos dibuja una elipse, solo tenemos que i giando el lápiz alededo de los clavos manteniendo tenso el hilo. Las posiciones de los clavos son los focos de la elipse. Matemáticamente lo anteio significa que cada uno de los puntos de la elipse debe cumpli con la siguiente condición. La suma de la distancia ente los focos(f), la distancia ente un foco y un punto dado de la elipse (Q) y la distancia ente el oto foco y dicho punto (R), es constante. Es deci, siempe va a se la misma distancia. En el ejemplo esa distancia es simplemente la longitud del hilo que se usó paa hace el ao. Excenticidad

5 Paa tene una idea de que tan alagada es una elipse se usa el témino excenticidad. Una de las fomas de expesa la excenticidad es C ε a donde a es el semieje mayo y C es la distancia ente un foco y el cento de la elipse. La excenticidad de una elipse es mayo ente más alagada sea ésta y su valo siempe va a esta ente ceo y uno. A medida que la excenticidad disminuye el eje mayo de la elipse disminuye y el valo de C también. Si la excenticidad es igual a ceo entonces el cento de la elipse coincide con los focos y tenemos una cicunfeencia. Ese caso lo expesamos matemáticamente como entonces C a Lo cual, pecisamente indica que una elipse con excenticidad igual a ceo es equivalente a que la distancia ente un foco y el cento sea ceo. En téminos de la excenticidad (E), la distancia mínima al Sol es min a 1 ε donde a es el semieje mayo. La distancia máxima es ( ) max a ( 1+ε) El punto más cecano es el afelio y el más lejano es el peihelio. 1. Excenticidad de la óbita de la iea. Sol iea Como ejemplo del uso de la excenticidad de las óbitas, vamos a ve el caso de la óbita de la iea. La excenticidad de la óbita de la iea es de De acuedo a la definición que dimos anteiomente esto quiee deci que

6 a C ε donde C es la distancia ente el cento de la elipse y el foco y a es el semieje mayo. Po lo tanto C a Esto quiee deci que la distancia ente el cento de la elipse y el foco es muy pequeña compaada con el semieje mayo. Esto visualizamos dibujando una elipse en la que el semieje mayo es de 10 cm. Ahoa, vamos a ve cual seia la distancia ente el foco y el cento de la elipse. Matemáticamente esto lo podemos expesa de la siguiente manea a 10 cm Con base en la igualdad ente C y a podemos calcula el valo de C, el cual esulta se C cm C cm C 1. 7 mm Es deci el valo de C, la distancia ente el foco y el cento de la elipse, es de apoximadamente dos milímetos. Esta distancia es muy pequeña compaada con el eje mayo. Si dibujamos la elipse paece un cicunfeencia. Entonces, podemos deci que la óbita de la iea, aunque es elíptica, se apoxima mucho a una cicunfeencia. 1. Excenticidad de la óbita de Plutón y excenticidad de la óbita de Neptuno. Hasta hace pocos años Plutón se consideaba un planeta y se decía que ea el noveno planeta po se el más alejado del Sol. Sin embago, debido a que Plutón tiene una óbita muy excéntica en algunos intevalos de tiempo está más ceca del Sol que Neptuno. Vamos a tata de tene una idea de cómo ocue esto. La excenticidad de Plutón es de 0.5, mientas que la excenticidad de Neptuno es Pluton Sol Neptuno En esta figua se epesenta con una línea punteada la óbita de Neptuno. La línea continua epesenta la óbita de Plutón. De acuedo a la Pimea Ley de Keple el Sol está en uno de los focos de la elipse punteada y en uno de los focos de la elipse continua. Es clao que al hace coincidi los focos esulta que la óbita de Plutón es más alagada que la de Neptuno. En una zona Plutón está más ceca del Sol que Neptuno.

7 En ota zona Plutón está más lejos del Sol que Neptuno..- SEGUNDA LEY DE KEPLER La segunda Ley de Keple se puede expesa de la siguiente manea: La línea que une al Sol con un planeta bae áeas iguales en tiempos iguales. Paa entende mejo esta ley vamos a toma dos áeas iguales, una del lado deecho de la elipse, es deci del lado del foco 1 y ota áea del lado izquiedo de la elipse, donde esta el foco y vamos a supone que el Sol está en el foco 1. Si compaamos los segmentos de elipse que ecoe el planeta podemos nota lo siguiente: Cuando el planeta está más cecano al Sol ecoe un aco mayo que en el oto extemo de la elipse. Si ecodamos que ambos acos se ecoen en el mismo tiempo entonces, es clao que ceca del Sol la velocidad del planeta es mayo que cuando está más lejos. Lo anteio lo podemos deci de manea simplificada como: La velocidad de un planeta es mayo cuando está ceca del Sol que cuando lejos..- ERCERA LEY DE KEPLER Esta ley expesa, mediante una ecuación, la elación que hay ente el peíodo de un planeta alededo del Sol y el semieje mayo de su óbita.

8 ( M m) a G + 4π tiempo que tada un planeta en da una vuelta alededo del Sol (peodo) M masa del Sol m masa de un planeta dado asemieje de la óbita de dicho planeta G constante de gavitación.1 Apoximación paa el caso m << M. La masa (m) de cualquie planeta del sistema Sola es mucho meno que la masa del Sol (M). Entonces en luga de la suma M+m podemos usa M, la masa del Sol. a G M a Po lo tanto, del lado deecho de la ecuación no tenemos ningún témino del planeta. Es deci el lado deecho es igual paa todos los planetas del sistema Sola. 4π. Compaación ente los peíodos y las distancias de dos planetas. Paa entende mejo la ecea Ley de Keple vamos a ve que sucede con dos planetas que están a difeentes distancias del Sol. En el caso geneal vamos a deci que el semieje de la óbita del planeta 1 es a1 el del planeta es a y que sus peíodos son 1 y, espectivamente. Entonces, po la ecuación de la ecea Ley de Keple tenemos las dos siguientes igualdades a1 GM 1 4π y a GM 4π Po lo tanto a1 a 1 Imaginemos que el planeta está a una distancia que es igual a 5 veces la distancia del planeta 1, es deci

9 a 5a 1 Ahoa, vamos a calcula el peiodo en téminos del peiodo 1, paa lo cual escibimos la ecuación anteio de la siguiente manea a a 1 1 Sustituyendo a 5a1 en la ecuación anteio esulta Entonces ( 5a ) 1 1 a1 15a a Lo cual lo podemos escibi como, Esto quiee deci que el planeta 1 da 11. vueltas alededo del Sol en el tiempo que el planeta da una vuelta. Po lo tanto, el peiodo de un planeta que está más cecano al Sol es en meno que el peiodo de un planeta que está más lejos del Sol.. Expesión de la ecea Ley usando años teestes y unidades astonómicas. La ecea Ley de Keple nos puede sevi paa calcula la distancia de un planeta al Sol si conocemos el peíodo de dicho planeta. Como esta ecuación es válida paa cualquie planeta entonces es valida paa la iea. Es impotante menciona que se define la unida astonómica (1 UA) como la distancia media ente el Sol y la iea, que es de 150 millones de km. Si tomamos los valoes de la iea en la ecuación de la ecea Ley de Keple tenemos que a (1 UA) (1 año) Entonces, podemos calcula la distancia al Sol de cualquie oto planeta en UA con solo sabe su peíodo de otación alededo del Sol. enemos que la ecuación queda como a

10 donde a está dada en unidades astonómicas y está dado en años teestes. Esto se puede expesa de la siguiente manea: El tiempo que tada un planeta en da una vuelta al Sol, elevado al cuadado, es igual al semieje mayo de su óbita al cubo..4 Cálculo de la distancia de Satuno al Sol. A pati de la ecuación anteio, podemos calcula el semieje de la óbita de cualquie planeta. Po ejemplo, el peíodo de otación de Satuno alededo del Sol es de 9.5 años. A pati del valo de dicho peíodo, podemos calcula el semieje mayo de la óbita de Satuno Patimos de la ecuación a S S y sustituimos el peíodo de Satuno ( ) S a S (9.5) Es deci, a S (9.5) Lo anteio significa que elevamos 9.5 al cuadado y después calculamos la aíz cúbica del esultado. Entonces, el semieje mayo de la óbita de Satuno es a S 9. 5UA Paa obtene el esultado en kilómetos solo multiplicamos po el valo de 1 UA dada en kilómetos (1 UA km). Entonces a S 9.5 x km a S km Usando el semieje mayo podemos calcula la distancia ente Satuno y el Sol paa alguna posición dada de su óbita..5 La mínima y la máxima distancia del cometa Halley al Sol. Las Leyes de Keple se aplican no solo a los planetas sino también a otos cuepos del sistema sola. El peíodo del cometa Halley es de 76 años, vamos a calcula el semieje mayo de su óbita. Aplicamos la ecea Ley de Keple dada en UA y años teestes. Entonces tenemos que ( ) a 76 Calculando la aíz cúbica de ambos lados de la igualdad tenemos que Lo cual esulta en a ( 76)

11 La excenticidad de la óbita del cometa Halley es a UA ε Podemos calcula la distancia mínima ente el cometa Halley y el Sol y también la distancia máxima. La distancia mínima es min a ( 1 ε) Sustituyendo valoes tenemos que min ( ) La distancia máxima es 0. min 59 UA max ( ) max UA Como podemos ve, de los esultados anteioes, hay una gan difeencia ente la distancia mínima y la distancia máxima. Esto se debe, pecisamente, a que la excenticidad de la óbita del cometa Halley es muy gande..6 Cálculo de la masa del Sol. Uno de los paámetos que apaece en la ecea Ley de Keple epesenta a la masa del Sol (M), Entonces podemos calculala. Paa esto, patimos de la siguiente expesión de la ecea Ley de Keple a G M 4π Pimeo pasamos 4π al oto lado de la igualdad, después pasamos G y entonces queda M sola de un lado de la igualdad 4π a M G Paa la iea conocemos bien estos datos los cuales escibimos a continuación: a km 1 año Sustituyendo estos valoes tenemos que la masa del Sol es

12 M x 10 ( g ) 4.- Ley de la Gavitación Univesal La fueza de atacción gavitacional ente dos cuepos es diectamente popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia ente ellos. Usando la constante de gavitación univesal se tiene la siguiente expesión GMm F donde es la distancia ente los cuepos. Esta expesión es válida paa cualquie pa de cuepos y po lo tanto es válida paa algún planeta y el Sol ó paa la iea y la Luna. Es común usa m paa designa la masa del cuepo menos masivo y M paa designa la masa del más masivo. 4.1 Cálculo de la masa de la iea Una de las fomas de calcula la masa de la iea es a tavés de la Ley de Gavitación Univesal. La Luna es el satélite natual de la iea. Utilizando la distancia ente la Luna y la iea, y el peíodo de otación de la Luna alededo de la iea podemos calcula la masa de esta última. La fueza que existe ente la Luna y la iea se expesa de acuedo a la ley de gavitación Univesal como

13 GMm F Peo la fueza también se puede expesa po la segunda ley de Newton de la siguiente manea F ma donde m masa de la Luna a aceleación centípeta que tiene la Luna debido a la acción de la tiea. Entonces igualando estas fuezas tenemos que GMm ma como en ambos lados de la igualdad se encuenta la masa de la Luna ( m ) podemos simplificala y esulta GM a Debido a que la Luna gia alededo de la tiea, la Luna expeimenta una aceleación centípeta que se expesa de la siguiente manea: υ a Donde (υ ) es la velocidad lineal de la Luna alededo de la iea. Entonces la igualdad queda como GM υ Despejando M del lado izquiedo tenemos la igualdad M υ G Como entonces

14 M υ G Como la velocidad es lineal, la encontamos con su definición matemática, y es: d υ donde d distancia que ecoe el cuepo tiempo en el que se ecoe d. Como el movimiento lo consideamos cicula, el peímeto (d) de una cicunfeencia es simplemente d π. Sustituyendo en la velocidad entonces tenemos π v y si esta se sustituye en la ecuación de la masa M tenemos π M, G Y simplificando 4π M. G Po último, sustituyendo los valoes en esta última ecuación M ( ) ( [ m] ) m ( [ ] ) 6.67x10 7.x86400 s s kg tenemos que la masa de la iea es 4 M 6x10 kg

15 José Eduado Mendoza oes

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