INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN OPCIÓN A

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1 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN INSTRUCCIONES: Escoja entre una de las dos opciones A o B. Lea con atención y detenimiento los enunciados de las cuestiones y responda de manera razonada a los puntos concretos que se preguntan en la opción elegida. DURACIÓN DEL EJERCICIO: 9 minutos. CALIFICACIÓN: Se indica en cada apartado. OPCIÓN A Se considera el sistema: (a + 5)x + (2a 1)y z = x + (a 2)y z = 1 } 3x + 2y + z = a) (1,75 Puntos). Estudie, en función del parámetro a, cuándo es compatible determinado, compatible indeterminado, o incompatible. b) (,75 Puntos). Resuélvalo en el caso a =. Sean a, b y c los vectores de coordenadas: a : (1, 1, ) b : (, 1, 1) c : (1, 1, 1) a) (1,25 Puntos). Qué ángulo forman los vectores a y b? b) (1,25 Puntos). Halle las coordenadas del vector a (b c ). ( denota el producto vectorial) La recta r está definida como intersección de los dos planos: x + y = 5 x + 4y + z = 12 } a) (1 Punto). Halle las ecuaciones paramétricas de r. b) (1,5 Puntos). Halle las ecuaciones, en forma continua, de la recta s que es perpendicular a r, paralela al plano π: 2x + y z = 3 y pasa por el punto P(1, 2, -1). Dada la función f(x) = x³ - x² - 2x : a) (1 Punto). Halle sus puntos de corte con los ejes y determine en qué intervalos la función es positiva y en cuáles es negativa. b) (1,5 Puntos). Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas.

2 OPCIÓN B Sea la ecuación matricial A X B = I, donde I es la matriz unidad de orden 2. a) (1,75 Puntos). Si A = ( ) y B = ( 3 1 ), halle X. 2 1 b) (,75 Puntos). La ecuación tiene solución si A = ( ) y B = ( )? Se consideran las rectas r y s, de ecuaciones: x + z = 1 r: x = y = z s: { y = a) (1,25 Puntos). Averigüe qué ángulo determinan. b) (1,25 Puntos). Halle las coordenadas de un vector director de la recta r que tenga módulo 1. Dada la función: sen x, x π/2 f(x) = { a sen x + b, π/2 < x < π/2 2 cos x, x π/2 a) (1,25 Puntos). Halle qué valores deben tomar a y b para que la función sea continua en todos sus puntos. b) (1,25 Puntos). Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x = π. Calcule las siguientes integrales: a) (1,25 Puntos). 2/2 x dx 1 x 4 b) (1,25 Puntos). x ln x dx

3 CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN OPCIÓN A Apartado a). Planteamiento:,75 puntos. Resolución: 1 punto. Apartado b). Resolución correcta:,75 puntos. Apartado a). Planteamiento:,75 puntos. Resolución,5 puntos. Apartado b). Planteamiento:,75 puntos. Resolución,5 puntos. Apartado a). Planteamiento:,5 puntos. Resolución,5 puntos. Apartado b). Planteamiento:,75 puntos. Resolución:,75 puntos. Apartado a). Puntos de corte:,5 puntos. Determinación de los intervalos y averiguación de cuándo la función es positiva o negativa:,5 puntos. Apartado b). Planteamiento:,75 puntos. Resolución:,75 puntos. OPCIÓN B Apartado a). Planteamiento: 1 punto. Resolución:,75 puntos. Apartado b). Respuesta correcta y su justificación:,75 puntos. Apartado a). Planteamiento:,75 puntos. Resolución:,5 puntos. Apartado b). Planteamiento:,75 puntos. Resolución:,5 puntos. Apartado a). Planteamiento:,75 puntos. Resolución:,5 puntos. Apartado b). Planteamiento:,75 puntos. Resolución:,5 puntos. Apartado a). Cálculo de la primitiva:,75 puntos. Aplicación correcta de la regla de Barrow:,5 puntos. Apartado b). Planteamiento:,5 puntos. Resolución:,75 puntos.

4 SOLUCIONES OPCIÓN A Ejercicio 1. a) a + 5 2a 1 1 a + 5 2a 1 1 A = ( 1 a 2 1), A* = ( 1 a 2 1 1) A = a² - 4 = (a+2) (a-2) a 2, -2, rango (A) = rango (A*) = 3. Compatible determinado. 3 1 a = 2, 1 1, rango (A) < 3, rango (A*) = 3. Incompatible a = -2, 1 4 1, rango (A) < 3, rango (A*) = 3. Incompatible. 3 2 b) Por tanto, nunca es compatible indeterminado. 5x x 3x y 2y +2y z = z = 1 +z = } Solución: x = 1 4, y = 2, z = 13 4 Ejercicio 2. a) a b = (1, 1, ) (, 1, 1) = 1, a = 2, b = 2, cos (a, b ) = a b = 1 a y b forman un ángulo de 6º. a b 2 b) b c : (, 1, -1), a (b c ): ( 1, 1, 1). Ejercicio 3. a) Un vector director es: a = u 1 u 2 u = (1, 1, 3), y un punto: A: (5,, 7) Ecuaciones paramétricas: x = 5 + λ, y = -λ, z = 7+3 λ b) s es perpendicular al vector a y al vector normal al plano, b = (2, 1, -1). Por tanto, el vector director de s es paralelo a su producto vectorial: a b = (-2, 7, 3). Como pasa por P, sus ecuaciones en forma continua son: x 1 = y 2 = z Ejercicio 4. a) f(x) = x(x + 1)(x + 2). Puntos de corte: (,), (-1, ), (2, ).

5 Para hallar el signo de f en cada intervalo, basta con ver qué signo tiene en un valor interior a cada uno de ellos. Resulta: f es negativa en los intervalos (-, -1) y (, 2) f es positiva en los intervalos (-1,) y (2, + ) b) Área = (x 3 x 2 2 2x)dx (x 3 x 2 2x)dx = [ x4 x x2 ] 1 - [x4 x3 4 3 x2 ] 2 = ud2

6 OPCIÓN B Ejercicio 1. a) A -1 A X B B -1 = A -1 I B -1, X = A -1 B -1. A = 2, A -1 = ( 1 1/2 1/2 ), B = -1, B-1 = ( ) X = ( 2 3 1/2 1 ). b) A = -2, pero B =, luego no existe B -1. Por tanto, la ecuación matricial no tiene solución. Ejercicio 2. a) Vector director de r: a = (1, 1, 1). Vector director de s: b = u 1 u 2 u = ( 1,, 1). 1 El producto escalar a b es cero: a y b son perpendiculares, luego, r y s también (ángulo de 9º). b) a = 3, a = a 1. El vector c = ( 1, 1, 1 ) es un vector director de la recta r que tiene módulo Ejercicio 3. a) f1(x) = sen x, f2(x) = a sen x + b y f3(x) = 2 cos x son continuas en todos sus puntos. Los únicos que hay que estudiar son x = -π/2 y x = π/2. lim x π/2 f(x) = 1, lim f(x) = a + b, f( π/2) = 1 a + b = 1. x π/2 + lim x π/2 f(x) = a + b, lim f(x) =, f(π/2) = a + b =. x π/2 + Resolviendo el sistema: a = 1/2, b = -1/2. b) y f(π) = f (π) (x π), f(π) = -2, f (x) = -2 sen x, f (π) =. La ecuación de la recta tangente es: y + 2 =. Ejercicio 4. a) x dx 2x dx = 1 = 1 1 x (x 2 ) 2 2 arc sen x2 + C b) Se hace por partes: u = ln x, dv = x dx Resulta: x ln x dx = x2 2 2/2 x dx = 1 x 4 x2 ln x 1 x2 x2 dx = ln x + C 2 x 2 4 [ 1 2 arc sen x2 ] 2/2 = 1 2 π 6 = π 12

7 OBJETIVOS GENERALES Y CONTENIDOS De acuerdo con la Resolución de 29 de mayo de 212, de la Dirección General de Universidades e Investigación, por la que se da publicidad al Acuerdo de la Comisión Organizadora, por el que se dictan las normas e instrucciones reguladoras de la prueba de acceso a la universidad para mayores de veinticinco años en el ámbito de la Comunidad de Madrid, publicado en el BOCM el 21 de junio de 212 (BOCM nº 147, pg. 37 y siguientes), el currículo de los ejercicios para la materia de Matemáticas será el establecido para la materia Matemáticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado en el Real Decreto 1467/27, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas. Específicamente, los contenidos correspondientes para la materia Matemáticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado en el Real Decreto 1467/27 de 2 de noviembre son: 1. Álgebra lineal: Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 2. Geometría: Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. 3. Análisis: Concepto de límite de una función. Calculo de límites. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función. Problemas de optimización. Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas. Según el mismo Real Decreto 1467/27 de 2 de noviembre: Matemáticas II requiere conocimientos de Matemáticas I. En relación con los bloques Álgebra Lineal, Geometría y Análisis correspondientes a los contenidos para la materia Matemáticas II, los contenidos para la materia Matemáticas I son: 1. Aritmética y Álgebra: Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias entre la recta real. Intervalos y entornos. Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones. Utilización de las herramientas algebraicas en la resolución de problemas. 2. Geometría: Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos. Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de un vector. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resolución de problemas. Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas. 3. Análisis: Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Dominio, recorrido y extremos de una función. Operaciones y composición de funciones. Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad. Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo. Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que describan situaciones reales.