DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1

Transcripción

1 GUI DETERMINNTES DETERMINNTES. Los determinntes fueron originlmente investigdos por el mtemátio jponés Sei Kow lrededor de 8, por seprdo, por el filósofo mtemátio lemán Gottfried Wilhelm Leiniz lrededor de 9. Est notión se utiliz en si tods ls rms de ls mtemátis en ls ienis nturles. El determinnte es un funión que soi d mtriz udrd un número rel. L funión determinnte tiene omo dominio el onjunto de ls mtries udrds omo reorrido el onjunto de los números reles. Si es un mtriz udrd, el determinnte de se represent por. sí, si es un mtriz, se define el determinnte de omo: Por ejemplo. Evlur el vlor del determinnte de l mtriz udrd dd: * * Si es un mtriz, el determinnte se define omo: Evlué el determinnte de l mtriz:

2 GUI DETERMINNTES Si el orden de l mtriz es superior, el lulr el vlor del determinnte por los proedimientos desritos nteriormente suelen tornrse tediosos, es por eso que el desrrollo de estos determinntes se simplifi l trtr de reduir los determinntes l orden. ls siguientes definiiones onduen lulr determinntes de un mner más práti. MENOR DE UN DETERMINNTE: si ij es un elemento de un mtriz udrd de orden nn, entones se define el menor del elemento ij, denotdo por M ij, l determinnte que se otiene l suprimir l fil i l olumn j en l que pree el elemento ij. sí pr el determinnte el menor del elemento, se otiene l suprimir l segund fil l terer olumn, esto es: M El menor del elemento, se otiene l suprimir l terer fil l primer olumn: M Determine el menor de los elementos, 7, en el determinnte:

3 GUI DETERMINNTES OFTOR: Si ij es un elemento de un mtriz udrd de orden nn, M ij es el menor de ij, entones el oftor del elemento ij, denotdo por ij, se define omo: ij = - ) i+j M ij. Por ejemplo, el oftor del elemento en l mtriz dd es: M ) M ) Medinte el empleo de los oneptos de menor oftor, es posile reduir los determinntes hst otener un determinnte de orden, lo ul simplifi el proedimiento pr enontrr el vlor del determinnte de ulquier mtriz udrd. DEFINIIÓN. Si es un mtriz udrd de orden nn, entones el determinnte de es l sum de los n produtos otenidos l multiplir d elemento en ulquier fil o olumn por su oftor. Es deir, si es un mtriz udrd, entones el determinnte de es: i i ii ii.... in n j ij ij Ejemplo: enontrr el determinnte de l mtriz dd. evlumos el determinnte por medio de oftores, tomndo omo se l segund fil. in

4 GUI DETERMINNTES Los oftores de los elementos,, son: 9 ) ) )) * ) ) 8) )8 * ) * ) ) ) ) *) ) * ) ) luego el determinnte de l mtriz dd es: ) ) )) )) Hlle el vlor del determinnte, tomndo los oftores de l terer olumn. TIVIDD. Enontrr el determinnte de ls mtries dds. 8 7 ; 8 ; B Determine el vlor de l inógnit. ; 8 ;

5 GUI DETERMINNTES PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES: Los determinntes umplen ls siguientes propieddes.. Si un mtriz udrd tiene dos fils o dos olumns igules, entones el determinnte es igul ero. d * * * ) e f f e) f f e f * ) e f e) d ) e d) d * ) e f PR REFLEIONR: omo fetrí esto sise trtr de un sistem de euiones lineles.. Si en un mtriz udrd, los elementos de un fil o un olumn son todos igules ero, entones su determinnte d e f * * * es igul ero.. Si en un determinnte se intermin dos fils o dos olumns, entones el determinnte mi de signo. d d d d d) d ) d PR REFLEIONR: Que suede on ls soluiones de un sistem si se min de orden dos euiones. ómo reperutirí esto l plir l regl de rmer.

6 GUI DETERMINNTES. Si los elementos de un fil o un olumn de un determinnte se multiplin por un onstnte, entones el determinnte qued multiplido por es onstnte.. Si se reemplz un fil o un olumn) de un determinnte por l sum de es fil o es olumn) vees otr fil u otr olumn), entones el determinnte no vri. T. Un mtriz su trnspuest tienen el mismo determinnte. ) Det ) Det. 7. Si es un mtriz nn es un eslr ulquier, entones n Det ) Det ) 8. El determinnte de un produto de dos mtries es igul l produto de los determinntes de los ftores, es deir: B) Det ) Det B) 9. Si es un mtriz invertile, entones Det. Det ) Det ). Si B son dos mtries del mismo tmño: entones, el determinnte de l sum de ls mtries es diferente l sum de los determinntes de ls mtries dds. Es deir: Det B) Det ) Det B). Si un mtriz udrd es de form tringulr, entones su determinnte es igul l produto de los elementos de su digonl prinipl.. REGL DE RMER: Uno de los usos más onoidos de los determinntes es en l soluión de sistems lineles. El proedimiento usdo se onoe omo regl de rmer. Pr ilustrr l Regl de rmer, onsideremos un sistem linel, de l form:

7 GUI DETERMINNTES 7 En donde por lo menos un oefiiente de ls vriles es diferente de ero. Soluionndo el sistem por el método de Guss, se tiene: : : l reemplzr l segund fil por l sum de vees l primer fil vees l segund, l mtriz se trnsform en: : : l reemplzr l primer fil por l sum de - ) vees l primer fil vees l segund, l mtriz se trnsform en: : : on lo que se pueden otener ls soluiones ls vriles, sí. ) de donde ) de donde Ls soluiones enontrds, se pueden epresr prtir de l definiión de los determinntes omo los siguientes oientes:

8 GUI DETERMINNTES 8 ; est form de enontrr l soluión un sistem linel se onoe omo l Regl de rmer. Pr plir l regl se rmer se siguen los siguientes psos: o Hllr l mtriz mplid ) soid l sistem linel, esto es: que l primer olumn esté formd por ls entrds de los oefiientes de l primer inógnit de ls euiones; que l segund olumn l formen los oefiientes de ls segunds inógnits, sí hst llegr l últim olumn, que estrá onstituid por los oefiientes de los términos independientes de ls euiones. o lulr el determinnte de l mtriz formd por los oefiientes) o Pr enontrr el vlor de l primer inógnit, sustituir l primer olumn del determinnte por los términos independientes dividir este resultdo por el determinnte de. o ontinur sustituendo los términos independientes en ls distints olumns del determinnte de, hst hllr el resto de ls inógnits. Por ejemplo: enontrr l soluión l sistem: el determinnte de es: ) * 9 9 l soluión l sistem es: 8

9 GUI DETERMINNTES * ) 8* * * ) ) ) 8 8 TIVIDD: RESOLVER PLINDO L REGL DE rmer LOS SIGUIENTES SISTEMS LINELES: 7 PLIIONES. En geometrí nlíti los determinntes desempeñn un ppel ásio en l determinión de áres, volúmenes en l formulión de euiones de ojetos geométrios omo rets, irunferenis, elipses, práols, plnos esfers. Vemos lgunos de ellos.

10 GUI DETERMINNTES ) EUION DE UN RET. Sen los puntos,,. L euión de l ret que ps por los dos puntos es de l form B. omo los puntos ddos deen stisfer l euión de l ret, tenemos el sistem linel: B B B u soluión es no trivil si solo si: Desrrollo que ondue l euión de un ret.. PUNTOS LINEDOS. Sen los puntos, ;,, puntos estn en l mism ret, si solo si: se die que los

11 GUI DETERMINNTES Tres. EUION DE UN IRUNFERENI. Sen, ;,, puntos de un irunfereni. omo l euión de l irunfereni es de l form B D pr determinrl se desrroll el determinnte.. EUION DE UN PRBOL. Ddo que l euión de un práol es de l form B D, l euión de l práol que ps por los puntos, ;,, viene dd por el desrrollo del determinnte.. EUION DE UN PLNO. Si, z ;, z, z,, son tres puntos, del espio, entones omo l euión del plno que los ontiene es de l form Bz D, pr determinrl soluionmos el determinnte: z z z z

12 GUI DETERMINNTES tividd. plir l definiión en determinntes pr enontrr. ) L euión de l ret que ps por los puntos ), ),, ) ), ),, ) ) L euión de l irunfereni que ps por los puntos ), ),, ),, ) ), ),, ),,. ) ) L euión del plno que ontiene los puntos,,, ),,, ) ),, ) ),, ),,, ),,, ) ) Indir si los puntos ddos están linedos ), ),, ),, ) ), ),, ),, )