I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez. Ejemplo 1. 3x 4x si x 2 f(x) en todos sus puntos. Estudiar la derivabilidad de la función

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1 Los límits qu intrvinn n los problmas qu gun, s han rsulto con la calculadora cuando su compljidad lo ha rqurido. En las funcions dfinidas a trozos, cuando studimos la drivabilidad n un punto, la función s continua n dicho punto las drivadas latrals las podmos calcular utilizando la tabla d drivadas, para lo cual s ncsario habr studiado prviamnt la continuidad. En caso contrario, dbmos calcular las drivadas latrals aplicando la dfinición. Ejmplo Estudiar la drivabilidad d la función En = Continuidad f( ) f() a b n todos sus puntos. f( ) a b 4a b f( ) a b 4 b 4 4a Drivabilidad Si f( ) s continua para b 44 a, podmos drivar utilizando la tabla d drivadas: La drivada por la izquirda d la función f( ) n l punto s: f( ) 6 4 f ( ) 8 La drivada por la drcha d la función f ( ) n l punto s: Para qu sa drivabl n f( ) a f( ) 4 a tin qu vrificars qu las drivadas latrals san iguals. f( ) f ( ) 8 4a a b 4 por tanto: f ( ) f ( ) 8 I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguz

2 Lugo para qu la función sa drivabl n db d sr f( ) La función drivada s: 64 f( ) 8 4 Ejmplo 3 5 Estudiar la continuidad d la función: f() ln 5 3 ( 3 ) f( ) Como 3 s una función continua n R y ln s también continua, l único problma s sabr cómo mpalman. En 5 f() 5 ( 3) 5 5 f( ) 5 La función f( ) s continua R. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguz

3 Ejmplo 3 S condra la función f: R R dfinida por f() a) Estudiar n qué puntos s continua y n cuáls s drivabl. b) Encontrar f (). a) Lo mjor s dscomponr la función distinguindo los intrvalos corrspondints, con lo qu rsultará más fácil rspondr a las custions qu s proponn. f( ) Continuidad La función n. s claramnt continua n y la función s también continua En = f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) s continua n Drivabilidad Como f ( ) s continua n, podmos drivar utilizando la tabla d drivadas: La drivada por la izquirda d la función f( ) n l punto s: f( ) ( ) f ( ) La drivada por la drcha d la función f ( ) n l punto s: f( ) ( ) f ( ) I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguz

4 Como f ( ) f ( ), la función f ( ) s drivabl n. Por tanto la drivada ist R y s: f( ) Si rprsntamos gráficamnt f( ) vmos qu s drivabl n todos sus puntos: b) Ya qu tnmos f( ), srá sncillo obtnr f( ) allí dond ista. En f f ( ) f ( ) ( ) f f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Como f( ) f( ), la función f( ) no s drivabl n. La función drivada sgunda s: f( ) 3 3 Si rprsntamos gráficamnt f( ) obsrvamos como n = hay un punto anguloso: I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguz

5 Ejmplo 4 a) Dibujar y studiar la continuidad d la función dfinida al margn. b) Estudiar n qué puntos no s drivabl. c) Calcular f() cos f() sn a) Continuidad En = f( ) cos 3 (cos ) 3 3 f( ) No s continua n En = f sn sn f( ) Es continua n La función f s continua ( ),, b) Drivabilidad En = No s drivabl por no sr continua. En = Como la función s continua n, podmos obtnr las drivadas latrals a través d la tabla d drivadas. I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguz

6 La drivada por la izquirda d la función f( ) n l punto s: f ( ) f La drivada por la drcha d la función f( ) n l punto s: Como f f f ( ) cos f, la función f ( ) no s drivabl n. Por tanto, la función drivada s: sn f( ) cos c) Como f( ) no stá dfinida n ni n, la drivada s: f( ) cos sn I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguz

7 Ejmplo 5 ln ( sn ) a) Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa 3 a b drivabl n. b) Calcular f (). c) Estudiar la continuidad y la drivabilidad d la función f () n. a) Continuidad n Para qu la función sa drivabl n tin qu sr continua n dicho punto. Para qu la función sa continua, los límits latrals tinn qu coincidir. ln ( sn ) ln 3 ( a b) b b Drivabilidad n Para qu la función sa drivabl n, las drivadas latrals n dicho punto tinn qu coincidir. ln ( sn ) Si sustituimos b n la función f () obtnmos f() 3 a La drivabilidad n la podmos calcular d dos formas: Aplicando la tabla d drivadas (ya qu la función s continua n ) La drivada d la función f () n s: cos f () sn 3 a cos f () sn f () 3 a a Como s tin qu vrificar qu f () f () f () a, lugo Por tanto, para qu la función sa drivabl n s tin qu vrificar qu a y b y la función s: ln ( sn ) f() 3 I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguz

8 Aplicando la dfinición d las drivadas latrals cos ln( sn ) f () ln( sn ) sn f () 3 3 a f () a 3 a f () a a Es dcir qu f (). La gráfica d la función f () para sos valors d a y b s: b) Sgún l apartado a) la drivada d la función f() s: cos sn f () 3 ó cos sn f () 3 ó cos sn f () 3 I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguz

9 c) La función f () s continua n, ya qu s vrifica: a) f () 3 b) cos sn 3 f () Drivabilidad n Calculamos f () para. sn sn cos f () ( sn ) 6 Como f () s continua n, aplicando la tabla d drivadas tnmos: sn sn cos f () Como f () f () No ist f ( ) lo ( sn ) qu gnifica qu la función f () no s drivabl n. f () 6 La gráfica d la función f () s: I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguz

10 Ejmplo 6 Dada la función f() l intrvalo 3,. m ln( ) studiar su continuidad y drivabilidad n Continuidad n Para qu la función sa continua, los límits latrals tinn qu coincidir. ( m ) ln( ) f () f ( ) Como la función g() m s continua (por sr polinómica) y la función ln( ) g() s continua s vrifica qu la función f () s continua R. Drivabilidad n Para qu la función sa drivabl n, las drivadas latrals n dicho punto tinn qu coincidir. Aplicando la tabla d drivadas (ya qu la función s continua n ) La drivada d la función f () n s: m f () ln( ) f () m f () Como al calcular la drivada latral por la drcha s prsnta una indtrminación, no tnmos más altrnativa qu aplicar la dfinición d drivada latral n un punto. f () f () () ln( ) ln( ) ln( ) f ( ) 5 Como s tin qu vrificar qu f () f () m 5, lugo f () 5 I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguz

11 f () 5 ln( ) 5 f () ln( ) Como no hay ningún punto d discontinuidad y las dos funcions son drivabls n sus intrvalos rspctivos s vrifica qu f () s drivabl R. Ejmplo 7 Sa la función dfinida por 3 3 f() a b c d( ) Halla razonadamnt los valors d a, b, c y d para qu la función sa continua y drivabl para todo ral. Continuidad n ( ) 3 3 a b c c c Continuidad n 3 3 a b 8a b d( ) 4 d 8a 6 b 4 d 8a b d Drivabilidad n y La drivada d la función f () y s: f () 3a 3 d b f () f () b b f () a 6 b f () 4 d a 4 4 d Rsolvindo l stma I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguz

12 8a b d a d 8a d a d 8a a a d 6 f() f () 3 6 La gráfica d la función f () s: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguz

13 Estudio d la drivabilidad d algunas funcions a través d sus gráficas La gráfica corrspond a la función y 3 No s drivabl n (punto anguloso), pro sí s continua n dicho punto. La gráfica corrspond a la función y sn No s drivabl n (punto anguloso), pro sí s continua n dicho punto. La gráfica corrspond a la función f( ) 68 No s drivabl,4 I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguz

14 La gráfica corrspond a la función y arccos 5 Es drivabl 6,, La gráfica corrspond a la función part ntra d y Ent ( ) y salvo para Z qu son los puntos n los qu no s drivabl ni continua La gráfica corrspond a la función part dcimal d. y y salvo para Z I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguz

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