1 VECTORES EN EL ESPACIO

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1 1 VECTORES EN EL ESPACIO 1.1 OPERACIONES CON VECTORES El vector AB, definido entre los puntos A y B tiene las siguientes características: Módulo AB : Distancia de A a B. Dirección: es la recta sobre la que están los puntos A y B. Sentido: de A a B. Dos vectores son iguales sólo cuando sus tres características sean iguales Producto de un vector por un número Al multiplicar un vector v por un número k, se obtiene un vector con: La misma dirección que v. El mismo sentido que v si k>0, y sentido contrario si k<0. Módulo k v. (siendo v el módulo de v ). Propiedades: Asociativa: a (b v ) = (a b) v Distributiva en R: (a + b) v = a v + b v Distributiva en V : a ( v + w ) = a v + a w Elemento neutro: 1 v = v Suma de vectores Para sumar gráficamente dos vectores v y u, se sitúa el origen de u en el extremo de v. El vector ( u + v ) tiene su origen en el origen de u y su extremo en el extremo de v. La resta de los vectores v y u consiste en sumar v +( u ). Propiedades: Asociativa: ( u + v)+ w= u+( v + w) Conmutativa: u + v = v + u Elemento neutro: 0+ v = v Elemento simétrico (u opuesto): v+( v)= 0 Las propiedades de la suma de vectores y del producto de vectores por un número confieren al conjunto de vectores la estructura de espacio vectorial sobre R. 1.2 EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR Combinación lineal de vectores La expresión a u+b v+c w+ +z x es una combinación lineal de los vectores u, v, w x, siendo a, b, c z números reales. Varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Si no se puede, son linealmente independientes. 1

2 1.2.2 Base vectorial En un espacio de dimensión 3, tres vectores linealmente independientes tales que cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de ellos de forma única, forman una base. Para que sean linealmente independientes deben ser no coplanarios. Si los tres vectores son ortogonales, la base es ortogonal, y si además son unitarios, la base es ortonormal Coordenadas Si el vector v es combinación lineal de los vectores x, y y z, v=a x+b y+c z, entonces (a, b, c) son las coordenadas de v respecto de la base ( x, y, z ). Suma: u+ v=(x 1 +x 2, y 1 + y 2,z 1 +z 2 ) Producto por un número: k u=(k x,k y,k z) Combinación lineal: a u+b v=(a x 1 +b x 2,a y 1 +b y 2,a z 1 +b z 2 ) 1.3 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES a b= a b cos α El resultado es un escalar (un número) Propiedades del producto escalar de dos vectores 1) Propiedad conmutativa: v u= u v u, v 2) Propiedad asociativa: a ( v u)=(a u) v= u (a v) u, v 3) Propiedad distributiva: u ( v+ w)= u v+ u w u, v, w 4) v 0= 0 v=0 Siendo el ángulo que forman ambos vectores. 5) Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es nulo. ( cos π 2 =0 ) Por ello, si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, es que son perpendiculares. 6) El producto escalar de dos vectores es el producto uno de ellos por la proyección del otro sobre él. 7) Si B ( i, j, k) es una base ortonormal: i i =1 j j=1 k k=1 i j=0 i k=0 j k=0 Por ello, el producto escalar en coordenadas se puede expresar como: u v=(x u i + y u j+z u k) (x v i + y v j +z v k)=x u x v + y u y v +z u z v Aplicaciones del producto escalar Producto escalar de dos vectores: u v= u v cos α=x u x v + y u y v + z u z v Módulo de un vector: v = v v= x v 2 + y v 2 +z v 2 Ángulo entre dos vectores: cosα= u v u v = x u x v + y u y v +z u z v x u 2 + y u 2 +z u2 x v 2 + y v 2 +z v 2 2

3 Proyección de u sobre v : Segmento proyección: u v u v '= v = x x + y y +z u v u v u z v x 2 v + y 2 2 v +z v Vector proyección: u v u v '= v v= x u x 2 v + y u y 2 2 v +z u z v 2 x 2 v + y 2 2 v + z v 1.4 PRODUCTO VECTORIAL El resultado del producto vectorial de dos vectores es un vector u v= w tal que: Módulo: w = u v senα Siendo α el ángulo que forman u y v Dirección: perpendicular al plano que forman u y v Sentido: el del avance de un sacacorchos que gire desde u hasta v. Expresión analítica del producto vectorial siendo u(x u, y u,z u ) y v(x v, y v, z v ) u v= i j k x u y u z u x v y v z v Propiedades del producto vectorial. 1) No conmutativa: u v= v u 2) No asociativa 3) Distributiva: u ( v w)= u v + u w 4) a ( u v)=(a u) v= u (a v) 5) u u= 0 6) En la base ortonormal B ( i, j, k) se cumple: i j= k, j k= i, k i = j Aplicaciones del producto vectorial 1) El módulo del producto vectorial u v es igual al área del paralelogramo cuyos lados son los vectores u y v. 2) Permite encontrar rápidamente un vector perpendicular a dos vectores no alineados. 1.5 PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Producto mixto de u, v, w : [ u, v, w ]= u ( v w) Expresión analítica: [ u, v, w ]= u ( v w)= x u y u z u x v y v z v x w y w z w Interpretación geométrica: Por las propiedades del producto escalar y del producto vectorial, el producto mixto de los vectores u, v, w es el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores. v w es el área de un paralelogramo (base del paralelepípedo) u ( v w)= v w u cos α donde la expresión en negrita representa la proyección del vector u sobre una perpendicular al plano definido por v y w (es decir, la altura del paralelepípedo) Por las propiedades de los determinantes vemos que el orden de los vectores en el producto mixto sólo afecta al signo del resultado, no a su valor absoluto. 3

4 2 PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 2.1 APLICACIONES DE LOS VECTORES Un sistema de referencia consiste en un conjunto R={O,( i, j, k)} donde O es un punto fijo llamado origen ( i, j, k) es una base vectorial Coordenadas de un vector que une dos puntos: El vector que une los puntos P(x 1, y 1, z 1 ) y Q(x 2, y 2, z 2 ) es PQ(x2 x 1, y 2 y 1,z 2 z 1 ). Alineación de tres puntos: Tres puntos A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ) y C(x 3, y 3, z 3 ) están alineados si los vectores que los unen ( AB y BC ) tienen la misma dirección, es decir, sus coordenadas son x proporcionales: 2 x 1 = y y 2 1 = z z 2 1 x 3 x 2 y 3 y 2 z 3 z 2 Punto medio de un segmento: Las coordenadas del punto medio M del segmento de extremos A(x 1, y 1, z 1 ) y B(x 2, y 2, z 2 ) son: M ( x +x 1 2, y + y 1 2, z +z ) Para hallar el punto simétrico A' de un punto A con centro de simetría C, consideramos C como el punto medio del segmento formado por los puntos A y A y resolvemos las tres ecuaciones resultantes. 2.2 ECUACIONES DE LA RECTA Ecuación vectorial: OX = p+λ d siendo p el vector posición de un punto de la recta y d un vector director de ésta. Tomando las coordenadas de los vectores (x, y, z)=(x p, y p, z p )+λ (x d, y d,z d ) por separado, tenemos las x=x p +λ x d Ecuaciones paramétricas: y= y r { p +λ y d z=z p +λ z d Eliminando el parámetro λ (despejando e igualando) tenemos la Recta en forma continua: x x p x d = y y p = z z p y d z d Recta en forma implícita: r { ax+by+cz=0 a' x+b ' y+c' z=0 Una recta está constituida por los infinitos puntos en que se intersectan dos planos. 4

5 2.3 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Estudio geométrico Dadas dos rectas en forma vectorial: r OX= p(x p, y p,z p )+ d(x d, y d, z d ) s OX '= q(x q, y q, z q )+ e(x e, y e,z e ) 1) d y e son paralelos ( k R/(x p, y p,z p )=k (x q, y q,z q ) ): Tomamos un punto P que pertenezca a la recta r: 1.1) Si P pertenece también a la recta s, ambas rectas coinciden. 1.2) Si no pertenece a s, ambas rectas son paralelas. 2) Si los vectores no son paralelos: 2.1) Si los vectores PQ, d y e son coplanarios, es decir, linealmente dependientes, ambas rectas se cortan en un punto. 2.2) Si los vectores PQ, d y e son linealmente independientes, ambas rectas se cruzan en el espacio Estudio mediante rangos x Estudiando el rango de la matriz M '=( M p x q (x q x p ) 1) ran (M) = 1 y p z p y q z q ( y q y p ) ( y q y p )) 1.1) ran (M ) = 1: ambas rectas coinciden (S. compatible indeterminado con 1 parámetro). 1.2) ran (M ) = 2: ambas rectas son paralelas (S. incompatible). 2) ran (M) = 2 2.1) ran (M ) = 2: ambas rectas se cortan (S. compatible determinado). 2.2) ran (M ) = 3: ambas rectas se cruzan (S. incompatible). 2.4 ECUACIONES DEL PLANO Ecuación vectorial: OX = p+λ u +μ v siendo p el vector posición de un punto del plano y u y v dos vectores paralelos a él. Tomando las coordenadas de los vectores por separado, Ecuaciones paramétricas: π { x=x p +λ x u +μ x v y= y p +λ y u +μ y v z=z p +λ z u +μ z v Eliminando los parámetros λ y μ (despejando e igualando), Ecuación implícita: ax +by +cz + d=0 El vector (a, b, c) es perpendicular al plano. Por ello, conocido un punto del plano (x 0, y 0, z 0 ) y un vector perpendicular a él (a,b,c) ecuación es: a(x x 0 )+b( y y 0 )+c(z z 0 )+d=0, su 5

6 2.5 POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS Dos planos π ax+by+cz+d=0 π ' a' x+b' y+c ' z+d'=0 dan lugar a las matrices M= ( a b c a' b' c') y M '= ( a b c d a' b' c' d ') 1) ran (M) = ran (M ) = 2: Ambos planos se cortan en una recta (S. compatible indeterminado con 1 parámetro). 2) ran (M) = 1, ran (M ) = 2: Ambos planos son paralelos (S. incompatible). 3) ran (M) = ran (M ) = 1: Ambos planos coinciden (S. incompatible con 2 parámetros) Recta y plano Una recta r (con vector director d ) está contenida o es paralela a un plano (con vector normal n ) si y sólo si ambos vectores son perpendiculares. r π r // π d n=0 6

7 3 PROBLEMAS MÉTRICOS 3.1 MEDIDA DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS Ángulo entre dos rectas Usando el producto escalar entre los vectores directores de ambas rectas ( d y e) : Ángulo entre dos planos Usando el producto escalar entre los vectores normales de ambos planos ( n y n') : cosα= d e d e cosα= n n' n n ' Ángulo entre recta y plano Usando el producto escalar entre el vector director de la recta ( d) y el normal del plano ( n) : cos ( π 2 α ) = d n d n ángulo entre la recta y el plano 3.2 DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS Distancia entre dos puntos dist (P 1, P 2 )= P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 +( y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) Distancia entre punto y recta 1) dist(p, r) = dist (P, r) P es la proyección del punto P sobre la recta r. - Hallamos el plano perpendicular a r que pasa por P - La intersección del plano y la recta es el punto P 2) dist(p,r)= RP d d R es un punto de r y d es su vector director - El área del paralelogramo formado por RP y d, dividido por su base, es la altura, que es la distancia del punto a la recta Distancia de un punto a un plano dist(p, π)= a x 0 +b y 0 +c z 0 +d a 2 +b 2 +c 2 Punto: P(x 0, y 0, z 0 ) Plano: π a x+b y+c z+d Distancia de una recta a un plano dist (r, ) = dist (P, ) Si r y son paralelos y P es un punto de la recta r. Si se cortan, la distancia es 0. 7

8 3.2.5 Distancia entre dos planos dist (, ) = dist (P, ) Distancia entre dos rectas dist (r, s) = dist (s, ) h= [ u, v, PQ] u v Si y son paralelos y P es un punto del plano. Si se cortan, la distancia es 0. es un plano paralelo a s que contiene a r P y Q son puntos de r y s respectivamente u y v son vectores directores de r y s respectivamente 3.3 MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES Área de un paralelogramo A= u v Paralelogramo cuyos lados son u y v Área de un triángulo A T = 1 2 AB AC A, B y C son los vértices del triángulo Volumen de un tetraedro V T = 1 u [ u, v, w ] 6, v y w son los vectores cuyos extremos son los vértices del tetraedro 3.4 LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO Plano mediador: Lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremos de un segmento. Plano bisector: Lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos semiplanos que forman un ángulo diedro. Esfera: Lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = r 2 Elipsoide: Lugar geométrico de los puntos del espacio cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Hiperboloide: Lugar geométrico de los puntos del espacio cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Paraboloide: Lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado foco y de un plano fijo. 8