Análisis de Supervivencia y su Aplicación para Predecir la Calidad de Vida de los Nacidos Extremadamente Prematuros

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA ESCUELA DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA. TRABAJO DE GRADUACIÓN: Análss de Supervvenca y su Aplcacón para Predecr la Caldad de Vda de los Nacdos Exremadamene Premauros PRESENTADO POR: Esaln Ademr Meía Hernández PARA OPTAR AL TITULO: LICENCIADO EN ESTADÍSTICA. CIUDAD UNIVERSITARIA, SAN SALVADOR, EL SALVADOR, MARZO 2009.

2 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA ESCUELA DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA. TRABAJO DE GRADUACIÓN: Análss de Supervvenca y su Aplcacón para Predecr la Caldad de Vda de los Nacdos Exremadamene Premauros PRESENTADO POR: Esaln Ademr Meía Hernández PARA OPTAR AL TITULO: LICENCIADO EN ESTADÍSTICA. ASESOR: DR. JOSÉ NERYS FUNES TORRES CIUDAD UNIVERSITARIA, SAN SALVADOR, EL SALVADOR, MARZO 2009.

3 AUTORIDADES DE LA UNIVERSIDAD RECTOR : ING. RUFINO ANTONIO QUEZADA. VICE - RECTOR ACADÉMICO : MSC. MIGUEL ÁNGEL PÉREZ. FISCAL GENERAL : DR. RENE MADECADEL PERLA. AUTORIDADES DE LA FACULTAD DECANO : DR. RAFAEL GÓMEZ ESCOTO. SECRETARIA : LICDA. MARIA TRINIDAD TRIGUEROS DE CASTRO. DIRECTOR DE ESCUELA : ING. CARLOS MAURICIO CANJURA

4 AGRADECIMIENTOS A Dos por haberme brndado odo para culmnar ese esfuerzo, en especal el regalo de m ha: KRISTHELL BELEN quen se convere en el úlmo alcene para culmnar ese proyeco y a la Vrgen Mara por ser la nercesora de ms pecones y las oracones de m famla. A ms padres: MAURICIO MEJÍA LÓPEZ Y HORTENSIA HERNÁNDEZ DE MEJÍA ya que sn su apoyo y ánmos no hubese logrado culmnar ese proyeco de vda. A ms hermanos: JOSÉ MAURICIO MEJÍA HERNÁNDEZ Y MARIA IDALIA MEJÍA HERNÁNDEZ por ener la confanza en mí. A m asesor: Dr. JOSÉ NERYS FUNES TORRES por brndarme pare de sus conocmenos, además por movarme a connuar el proyeco aunque las adversdades se presenaran durane su realzacón. A ms Maesros, Compañeros, Amgos y odas aquellas personas que forman o han formado pare de m vda. A la Asocacón Naconal de Árbros de Fúbol y al Arbrae Federado ya que se convreron en el plar económco necesaro durane gran pare de ms esudos, así como la fuene de grandes amsades y de personas con sabos y oporunos conceos.

5 DEDICADO A Ms abuelas: Ángela Meía y Vcorna Hernández por haberme educado durane m nñez y adolescenca. Al don Álvaro Magaña y su Famla ya que fueron los prmeros maesros que uve y que culvaron en mí el deseo de Superacón y la enrega a los esudos. M ha, para que enenda que lo bueno sempre conlleva un esfuerzo, pero al fnal, la graud por los conceos y casgos que los padres brndan se agradecen eernamene. M Sobrno: MICHAEL RIQUELMER, ya que empeza su vda académca y que eso srva como movacón para la culmnacón de sus esudos.

6 ÍNDICE CAPITULO I: INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SUPERVIVENCIA INTRODUCCIÓN ASPECTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS DE SUPERVIVENCIA OBTENCIÓN DE LOS DATOS TIPOS DE DATOS CENSURADOS. ESQUEMAS DE CENSURA CONCEPTOS PROBABILÍSTICOS BÁSICOS DE LA SUPERVIVENCIA MODELOS CONTINUOS MODELOS DISCRETOS INTERPRETACIÓN DE LA FUNCIÓN DE RIESGO ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BÁSICAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS PARA LOS PARÁMETROS DE FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA MODELOS PARA PRUEBAS ACELERADAS CAPITULO II: ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA SUPERVIVENCIA INTRODUCCIÓN TABLAS DE VIDA TABLAS DE VIDA PARA VARIOS GRUPOS ESTIMACIÓN DE LAS FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA: MÉTODO ACTUARIAL ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA: PRODUCTO LÍMITE DE KAPLAN Y MEIER PRECISIÓN DE LAS ESTIMACIONES ESTIMACIÓN DE OTRAS FUNCIONES Y PARÁMETROS DE INTERÉS INFERENCIA SOBRE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ADECUACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN TEST DE LOG RANK RIESGO RELATIVO

7 CAPITULO III: APLICACIÓN DEL ANÁLISIS DE SUPERVIVENCIA INTRODUCCIÓN DESCRICIÓN DE LA BASE DE DATOS Y TERMINOLOGÍA MÉDICA NOMBRE DE LAS VARIABLES EN LA BASE DE DATOS PRINCIPALES DEFINICIONES MÉDICAS UTILIZADAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE LAS VARIABLES TABLAS DE CONTINGENCIA DE ALGUNAS VARIABLES ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA TABLAS DE VIDA Y GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA Y DE RIESGO MÉTODO DE KAPLAN MEIER, GRÁFICOS DE SUPERVIVENCIA Y DE RIESGO ESQUEMA DE CENSURA CONCLUSIONES ANEXOS

8 CAPITULO I: INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SUPERVIVENCIA. 1.1 INTRODUCCIÓN El orgen del análss de supervvenca se remona al sglo XVII con la consruccón de las Tablas de Vda, y se debe prmordalmene a que en muchas aplcacones el suceso de nerés era enonces la muere. No obsane el Análss de Supervvenca que acualmene esudamos se desarrolló ncalmene medane aproxmacones semparamércas (Cox, 1972; Prence y Gloeckler, 1978), sn embargo los modelos paramércos (Ducrocq e al., 1998a,b) presenan venaas mporanes en cuano a empo de compuacón (Ducrocq e al., 2000). Las écncas de Análss de Supervvenca se fundamenan en dos dsrbucones de probabldad específca, sendo esas: las funcones de Supervvenca y de Resgo. La funcón de Supervvenca en el momeno, S (), se defne como la probabldad de que un ndvduo sobrevva más de undades de empo (Cox, 1972). Por oro lado, la funcón de Resgo h () represena la asa nsanánea de muere en el momeno condconada a que el ndvduo a sobrevvdo más de ( T ). El rasgo específco del análss esadísco en el campo de la medcna, por eemplo es la necesdad de realzar nferenca a parr de muesras en las que las observacones de la varable, aparecen observacones ncompleas, parcales o censuradas. La obencón de muesras compleas suele requerr ensayos demasado largos, por lo que es habual ermnar los expermenos cuando se ha observado un deermnado porcenae de fallos o dseñarlos con un horzone emporal prefado, de al forma que frecuenemene no se observe el fallo de un número mporane de elemenos de la muesra

9 En los ensayos clíncos la censura aparece debdo al dseño de los msmos; en esos esudos los pacenes suelen ncorporarse en dferenes nsanes y probablemene no se observa el fallo de aquellos elemenos o ndvduos que se han ncorporado más arde. Además, es frecuene que durane el desarrollo de la prueba algunos ndvduos abandonen el esudo por lo que ampoco es posble conocer su empo de fallo exaco, sno, que ése no se había observado hasa el momeno del abandono. En ese capíulo realzaremos una nroduccón a la eoría necesara del Análss de Supervvenca, presenando las defncones y el comporameno gráfco de la funcón de Resgo y de Supervvenca, segudamene mosraremos las dsrbucones prncpales que exsen en el Análss de Supervvenca, enre ellas: Exponencal, Webull y Log Normal, para fnalmene desarrollar la eoría sobre la Esmacón Punual y por Inervalos para los Parámeros de Funcones de Supervvenca y los Auses de Funcones de Supervvenca y Tes de Bondad de Ause. Por ora pare, se descrbrá brevemene el proceso que se realzó para crear la Base de Daos que ocuparemos para aplcar oda la eoría del Análss de Supervvenca, además daremos la base eórca que servrá de forma nducva para el Capíulo II

10 1.2 ASPECTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS DE SUPERVIVENCIA. En ese aparado daremos a conocer el proceso que se sguó para la creacón de la base de daos que se ulzará para realzar la aplcacón del Análss de Supervvenca, además comenaremos sobre los po de censura que se enen en ese po de esudo, mosrando esquemas en los que se explcará qué es una censura y que papel uegan en el Análss de Supervvenca. Por ora pare eemplarzaremos algunos casos sencllos que servrán como guía para famlarzarnos con algunos concepos báscos en nuesro esudo OBTENCIÓN DE LOS DATOS Los daos de ese esudo se han obendo medane la revsón de odos los expedenes clíncos de aquellas pacenes que uveron un paro denro del Hospal Naconal de Maerndad desde el año 1999 hasa el año 2002, ya sea por cesárea o vagnal. La únca resrccón para ser omado en cuena denro de ese esudo fue que el egreso del recén nacdo fuese vvo, además que al nacer su peso esuvera denro del rango de 500 a 1000 gramos, a fn de ener una poblacón bao esudo que clíncamene se conoce como un recén nacdo exremadamene premauro. La base de daos se forma medane la nformacón obenda en una hoa consruda por un equpo médco del Deparameno de Neonaología y reúne según ésos las varables más mporanes desde el nacmeno hasa el egreso del recén nacdo, en esa hoa se presenan res eapas del recén nacdo, sendo esas: Eapa del nacmeno, en la cual se oman los prmeros sínomas de vda, raameno a posbles complcacones desarrolladas por la premaurez y una úlma pare que consse en conocer el esado de salud con el cual el recén nacdo egresa del Hospal. Denro de ese esudo no se ha omado en cuena el orgen geográfco de la madre n la edad gesaconal del embarazo, y como censuras se enen res pos: nños que al ser buscados ya han fallecdo, nños que no puderon ser localzados o no quseron parcpar de ese esudo por consderacones parculardades de la madre y aquellos que al fnalzar ese esudo aun se encuenran vvos. Debe de omarse en cuena que como en odo esudo - 3 -

11 clínco, debdo a la dfculad para dsponer al comenzo del esudo de un número sufcene de pacenes que sasfagan odos los requsos, la ncorporacón de esos se produce de forma escalonada, en dsnos nsanes de empo. Es por ello, que en ese caso su ncorporacón se da en el momeno de su nacmeno, como se podrá noar la edad que endrá cada nño al fnalzar ese esudo será dferene y por lo ano, se puede esperar que su esado físco y de salud sea dferene, aun más s omamos en cuena los posbles cudados o conrol clínco que las madres han endo con ellos TIPOS DE DATOS CENSURADOS. ESQUEMAS DE CENSURA Los daos correspondenes a esudos de Análss de Supervvenca presenan una parculardad que dfcula su análss esadísco con los méodos cláscos de análss exploraoro o esadísca nferencal. Esa peculardad es la presenca de daos censurados: solo se conoce el empo de fallo para una fraccón, que puede ser pequeña, de los ndvduos de la muesra, menras que del reso se dspone solo de nformacón parcal, habualmene que el empo de vda es mayor que un valor dado. Una observacón se dce censurada a la derecha de L, s se desconoce el valor exaco de la observacón y solo se sabe que ésa es mayor que L. Análogamene, una observacón se dce censurada a la zquerda de L, s solo se sabe que la observacón es menor que el valor L. La censura a la derecha es mucho más frecuene que la censura a la zquerda. En algunos expermenos, dependendo del po de problema y el po de segumeno, aparecen daos censurados en un nervalo, I D ; es decr, que solo se sabe que el suceso de nerés ocurró en el nervalo I T D

12 En resumen los pos de Censura se pueden clasfcar en dos esquemas, los cuales son báscos para esablecer esos límes. Censura de po I. En ese esquema el expermeno se programa con una duracón, C, esablecda a pror. El empo de fallo de un ndvduo se observará, s es menor o gual que ese valor prefado. En oro caso, la observacón correspondene será censurada, con valor C, y la denoaremos C*. Censura de po II. En los ensayos realzados bao un esquema de po II, con n componenes déncos, el ensayo fnalza en el momeno en que se produce el r-ésmo fallo 1 r n. Ese nsane, r será el valor de los daos censurados correspondenes a los componenes que en ese momeno sgan funconando. De esa forma solo se conocen las r observacones más pequeñas de la muesra y aparecen n-r empos censurados en el valor r Es mporane señalar que el valor de C en el esquema de po I y el valor de r (o la fraccón r / n) que ndca la asa de censura en el esquema de po II deben farse anes de ncar el expermeno y no durane el ranscurso del msmo dependendo de los resulados que se observen. La necesdad de que el mecansmo de censura sea ndependene de la observacón del fenómeno, es un requso mprescndble para la valdez de las conclusones. Por ora pare, en los ensayos médcos aunque el expermeno se dseñe con una lmacón emporal como en el esquema I, es normal que los ndvduos se ncorporen al ensayo en nsanes aleaoros, cuando se dspone de los pacenes adecuados; además, es habual que se produzcan abandonos durane la realzacón del ensayo. En consecuenca, las muesras resulanes son múlplemene censuradas. Generalmene, ese po de observacones se presenan medane un par de varables T,, donde T es el empo ranscurrdo desde la enrada del ndvduo al ensayo hasa su salda del msmo, δ es una varable bnara - 5 -

13 pacene pacene ndcadora del po de observacón, que oma el valor 1 s se ha observado el fallo y el valor 0 s se raa de una observacón censurada. a) FIGURA 1. ESQUEMA DE LOS TIEMPOS DE FALLO empo b) empo Las fguras anerores corresponden a un esudo de 18 meses de duracón, pudendo observar en la fgura 1.a) que los dos pacenes que esán ras la línea nermeda han abandonado el esudo, menras que los cuaro que ya pasaron dcha línea pero aun no han llegado al fnal, represenan pacenes que les ha ocurrdo el eveno de nerés anes de fnalzar el esudo, y los que observamos que la línea llega al fnal represenan aquellos que aun permanecían vvos al fnal del esudo

14 En el análss de los empos de vda, el nsane en el que se comenzó a medr cada observacón no suele ser de nerés, por lo que con frecuenca suelen represenarse las observacones con el msmo orgen, como se muesra en la fgura 1.b). TABLA 1. DATOS CORRESPONDIENTES A FIGURA 1. TIEMPO DE TIEMPO DE PACIENTE FALLO O ESTADO ENTRADA CENSURA F C C F C C F C C F En la abla 1 se muesran los daos recogdos en un esudo de 18 meses de duracón, en el que solo fueron admdos pacenes durane los ses prmeros meses, y que de forma análoga a lo que observamos en la Fgura 1 podemos menconar que el valor 18.0 corresponde a pacenes que al fnalzar el esudo aun no les ha ocurrdo el eveno de nerés; los valores 11.8, 12.5, 6.6 y 10.1 represenan aquellos pacenes que ya les ha ocurrdo el eveno de nerés; menras que los valores de 4.4 y 4.9 represenan aquellos pacenes que abandonaron el esudo. Los pacenes que ya les ocurró el eveno de nerés represenan el valor de Fracaso (F), menras que los que han abandonado y los que aun no les a ocurrdo el eveno de nerés represenan valores Censurados (C) como lo podemos observar en la úlma columna de la abla aneror

15 1.3 CONCEPTOS PROBABILÍSTICOS BÁSICOS DE LA SUPERVIVENCIA MODELOS CONTINUOS. Dremos que una varable aleaora es connua s su espaco de resulados es un subconuno connuo de R. En las defncones sguenes supondremos que el espaco de resulados de T es ξ = [0; ). La funcón f(), cuya gráfca es la curva líme que se obene para un número muy grande de observacones y para una amplud de nervalo muy pequeño, es la funcón de densdad de probabldad para una varable aleaora connua T, ya que la escala vercal se elge de al manera que el área oal bao la curva es gual a uno. La funcón de densdad de probabldad de una varable aleaora connua T se defne formalmene de la sguene manera: Defncón 1. Funcón de Densdad S f() es la funcón de densdad de probabldad de la varable aleaora connua T, enonces para cualquer a, b ЄR se ene: 1. f() 0,, (1) 2. f ( ) d 1 (2) b 3. P( a T b) f ( ) d (3) a - 8 -

16 Defncón 2. Funcón de dsrbucón. Sea una varable aleaora T de po connuo que oma un número nfno de valores sobre la reca real y cuya funcón de densdad es f(). Se defne la funcón de dsrbucón acumulava de la varable aleaora T, que noaremos por F (), como la probabldad de que la varable aleaora connua T ome valores menores o guales a, es decr: F( ) P( T ) f ( ) d (4) Por lo ano, la funcón de dsrbucón acumulava F () es el área acoada por la funcón de densdad f() que se encuenra a la zquerda de la reca T =. la funcón F() proporcona la probabldad de que ocurra el eveno de nerés anes o en un momeno, del perodo de esudo que hemos fado. La dsrbucón acumulava F (), es una funcón no decrecene de los valores de la varable aleaora con las sguenes propedades. 1. F ( ) 0; (5) 2. F ( ) 1; (6) b 3. P( a T b) f ( ) d F( b) F( a ); a (7) 4. df( )/ d f ( ). (8) Que son fácles de verfcar, sendo la expresón (8) una consecuenca del eorema fundamenal del cálculo negral. Defncón 3. La funcón de Supervvenca S() es la complemenara de la funcón de dsrbucón, e ndca la probabldad de que un ndvduo sobrevva después de un empo : S( ) P( T ) 1 F( ) (9) Esa funcón es monóona decrecene y verfca que S (0) 1 y S( ) lm S( )

17 Defncón 4. La funcón de resgo o funcón de asa de fallo h(), represena la evolucón de la probabldad de fallo en relacón con la edad de los ndvduos, y se defne como el cocene enre la funcón de densdad y la de supervvenca: h () f() S () (10) Las expresones sguenes, muesran las relacones exsenes enre las funcones más ulzadas, df( ) d(1 S( )) f() d d d f ( ) S( ) S '( ) d (11) h () f ( ) S '( ) S( ) S( ) h( ) d ln S( ) d (12) Inegrando la expresón (12) de 0 a y usando el hecho S(0) = 1, endremos: ó h ( ) d ln S ( ) (13) 0 S( ) exp h( x) dx (14)

18 P MODELOS DISCRETOS En algunos casos, puede ser necesaro raar el empo de vda T como una varable aleaora dscrea; por eemplo, cuando se mde el empo de vda de forma al que el número de valores dsnos que puede omar la varable es pequeño y son frecuenes los empaes en las observacones. Supondremos que el espaco de resulados asocado es ahora (1), (2), (3),... donde 0 (1) (2)... La dsrbucón de T vene deermnada por su funcón de probabldad, p P( T ) = 1,2, (15) ( ) con p 0 y. P 1 La funcón de supervvenca, S( ) P( T ) p (16) : A dferenca del caso connuo, el valor de la funcón de supervvenca dfere en los nsanes de fallo del que se obendrá; defnendo S () = P (T ). La funcón de resgo se defne en los nsanes, como la probabldad condconal de fallo en ese nsane, dado que se ha llegado vvo a él: h( ) h p( T / T ) = 1,2, ( ) ( ) ( )

19 S h 1 S 1 S 1 h : Deducendo, enemos: p( T / T ) p( T T ) p( T ) h ( ) ( ) p S ( ) ( 1) p( T ) p p( T ) p( T ) = 1,2, (17) 1 además, h ( ) 0 s ( ) Como en el caso connuo, esas funcones deermnan compleamene la dsrbucón de T. Las relacones exsenes enre ellas son: h 1 S ( ) S ( ) ( 1) = 1,2, (18) S( ) (1 h ) (19) : La expresón de funcón de resgo acumulado es en ese caso: H( ) (20) h : y no sasface la relacón enconrada en el caso connuo pues, en general, ln S( ) ln(1 h ) h (21) : ( ) : ( ) no obsane, como puede comprobarse desarrollando en sere ln(1 ), ambas expresones producrán resulados próxmos s los valores h son pequeños

20 1.4 INTERPRETACIÓN DE LA FUNCIÓN DE RIESGO Con el fn de ener una nerpreacón de la funcón de resgo comenaremos cuaro eemplos de poblacones cuyo perfl de resgo se corresponde con cada uno de los pos de curvas que se muesran en la fgura 2: FIGURA 2. DISTINTAS FUNCIONES DE RIESGO h1(): El conuno de personas mayor de 65 años. Esa poblacón presena una funcón de resgo crecene que nos ndca que la asa de fallo ende a aumenar con el ranscurso del empo. Por eemplo, la probabldad de que un ndvduo con 70 años vva más de 71, es mayor que la probabldad de que un ndvduo con 80 vva más de 81. h2(): Una poblacón de ndvduos sanos enre los 20 y 40 años de edad, para los que el únco resgo de muere, en la prácca, vene dado por dsnos pos de accdenes (laborales, deporvos, de ráfco, ec.). En esa poblacón, la funcón de resgo es práccamene consane

21 h3(): Una poblacón, por eemplo la de los españoles nacdos en la década de los seena, observada desde el nacmeno hasa la muere. Esa poblacón presenará una funcón de resgo con forma de, llamada ambén resgo "bañera", ípca de las ablas de vda poblaconales. Incalmene se ene un perodo con asa de fallo ala, correspondene a la eapa neonaal e nfanl, que va decrecendo hasa esablzarse. El resgo permanece bao y aproxmadamene consane, hasa una cera edad, en orno a los 40 años, a parr de la cual comenza a aumenar con el empo. h4(): Una poblacón de personas óvenes que padece cero defeco congéno y que es someda a un proceso qurúrgco complcado para corregrlo, analzada menras dura el perodo de recuperacón. Esa poblacón presenará una asa de resgo decrecene ya que en esos casos, el prncpal resgo de muere aparece como consecuenca de la nervencón o de sus complcacones nmedaas

22 1.5 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BÁSICAS. En ese aparado se revsan algunas de las dsrbucones de probabldad más empleadas en Análss de Supervvenca. En prncpo, cualquer dsrbucón no negava se puede ulzar para modelzar el empo de vda de cero suceso de nerés; el obevo es dsponer de un conuno de dsrbucones lo sufcenemene flexbles para adaparse a los dsnos pos de daos y lo más sencllas posbles para faclar su análss. En general, la dsrbucón más ulzada en Esadísca es la dsrbucón Normal. En el Análss de Supervvenca la dsrbucón de referenca es la Exponencal. Las buenas propedades de esa dsrbucón, como consecuenca de su ausenca de memora, permen smplfcar los problemas de nferenca; por el msmo movo su aplcacón prácca es lmada, sendo más ulzadas generalzacones suyas como las dsrbucones Webull o Gamma. Presenamos las dsrbucones bao la hpóess de que el rango de valores de T es [ 0, ). Todas las dsrbucones de empo de fallo admen una versón más general en la que aparece un nuevo parámero G, llamado umbral o empo de garanía, que puede omar cualquer valor no negavo. Esa versón generalzada, en la que el rango de T es [ G; ), se obene al consderar que T G ene una dsrbucón con rango [0; ). Los modelos con parámero de garanía enen nerés en suacones en las que el conocmeno prevo del fenómeno perme suponer que el resgo de fallo en el nervalo [0;G) es nulo. Generalmene el valor de G es desconocdo y es necesaro esmarlo uno con los demás parámeros. S se encuenra una dsrbucón de probabldad que represena ben los daos, se pueden aplcar méodos de nferenca paramércos basados en dcha dsrbucón. Ese po de análss es más frecuene en el campo de la Fabldad que en el Análss de Supervvenca

23 1.5.1 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. La dsrbucón más mporane, en los esudos de supervvenca, es la dsrbucón exponencal. En Análss de Supervvenca, uega un papel análogo al de la dsrbucón normal en oras áreas de la esadísca. Defncón 5. Dremos que una varable aleaora T, de po connuo, sgue una dsrbucón exponencal de parámero λ, sendo λєry λ>0, s su funcón de densdad es: f () e para 0, 0 (22) Esa dsrbucón es un caso parcular de la dsrbucón Gamma, Γ(p,λ) para p = 1, es decr, que corresponde a una Γ(1,λ). Hecho que endremos en cuena para el esudo de la meda y la varanza. La dsrbucón Exponencal esá basane relaconada con la de Posson, así pues s el número de sucesos que ocurren en un deermnado nervalo sgue una dsrbucón de Posson, enonces la varable aleaora que represena el empo enre ocurrenca de sucesos sgue una dsrbucón exponencal. Evdenemene, la funcón de densdad, esá ben defnda, pues para 0, f ( ) 0 y además 0 e d e 1 (23) 0 La correspondene funcón de dsrbucón F(), vene expresada por: F( ) P( T ) e d 0 0 (24)

24 y ocupando el razonameno de la expresón (23), endremos: F( ) 1 e 0 (25) La funcón de Supervvenca, que es la probabldad de sobrevvr a un nsane, la obendremos parendo de la expresón (9) para ener que: S( ) 1 F( ) (26) susuyendo la expresón (25) en (26), endremos: S() e (27) La funcón de resgo, que da la asa condconal de fallo o muere de un elemeno que no haya fallado anes del nsane, vene dado por la expresón: h () f () S() e e 0 (28) es decr: h () 0 (29) Lo que nos muesra que el resgo es consane a lo largo del empo. A esa propedad de la dsrbucón exponencal es a lo que se le suele llamar pérdda de memora. Para llegar a obener la meda calcularemos prevamene el momeno de orden r respeco al orgen, ulzaremos la funcón de densdad de la funcón gamma y algunas propedades de esa funcón

25 Defncón 6. Dremos que una varable T, de po connuo, sgue una dsrbucón gamma de parámeros p (parámero de forma) y λ (parámero de escala), sendo p,λєr y p>0 y λ>0, s su funcón de densdad es: p p 1 f () e ( p) donde ( ) p 1 x P x e dx P>0 (30) 0 La funcón Γ(P) es convergene para P > 0, sendo p un número real posvo pero no necesaramene enero. Algunas propedades de esa funcón son las sguenes: 1. ( p) ( p 1)! s n es un enero posvo ( p 1) p ( p ) enonces, el momeno de orden r con respeco al orgen esá dada por: p r r r p 1 E T f () d e d 0 0 ( p) p p ( p) p r 1 e d 0 ( p). ( p r) p r ( p r) r ( p) (31)

26 Expresón que nos perme calcular fáclmene la meda, solamene hacemos r = 1 ET ( p 1) ( p) p por propedades de funcón gamma (32) Para obener la varanza obendremos prevamene el momeno de orden dos, hacendo para ello r = 2 en la expresón (31) E T 2 ( p 2) 2 por propedades de funcón gamma ( p) ( p 1) p 2 E T 2 (33) luego la varanza será: 2 Var( T) E T E T 2 ( p 1) p p p 2 (34) Enonces, s hacemos p = 1 en las expresones (32) y (34) obendremos que la meda y la varanza de una varable aleaora con dsrbucón exponencal, esán dadas por: ET Var T (35) Los valores de la Funcón Gamma se encuenran abulados en varos lbros de esadísca

27 1.5.2 DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL. La dsrbucón de Webull fue esablecda por el físco suzo del msmo nombre, quen demosró, con base en una evdenca empírca, que el esfuerzo al que se someen los maerales puede modelarse de manera adecuada medane el empleo de esa dsrbucón. Defncón 7. Dremos que una varable aleaora T sgue la dsrbucón de Webull s su funcón de densdad f() ene la forma: 1 f () e s >0 α,θ >0 (36) En la expresón aneror al parámero α se le llama parámero de forma, en ano que θ es el parámero de escala. La Funcón de Dsrbucón de Webull x 1 F( x) e d (37) 0 puede obenerse en forma cerrada medane la evaluacón dreca de la negral en (37), eso es: F() e x 0 1 e 0 (38)

28 Luego la funcón de Supervvenca vene dada por: S( ) P( T ) 1 F( ) e 0 (38) Por lo ano, la funcón de resgo h(), que da la probabldad de sobrevvr a un nsane, es: h () e 1 e 1 h() > 0 (39) para deermnar el valor de la meda y la varanza, enconraremos prmero el r-ésmo momeno cenral alrededor del orgen. r r r E T f () d 0 0 r 1 e d (40) En (40 ), sea u ; enonces 1 u y 1 1 d u du

29 El resulado es: 0 1 r 1 1 ( u) 1 r u e u du r 0 r ( u) u e du r 1 r (41) Enonces la meda de T, es: 1 ET 1 (42) y la varanza de T, es el resulado de evaluar: Var T 1 1 (43)

30 1.5.3 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL. La dsrbucón Log-Normal esá esrechamene relaconada con la normal de al manera que la funcón de densdad de la dsrbucón Log-Normal concde con la funcón de densdad de una varable aleaora cuyo logarmo sgue una dsrbucón normal. Defncón 8. Dremos que una varable aleaora T, de po connua, no negava, sgue una dsrbucón Log-Normal de parámeros μ y σ, s la varable aleaora Y = ln T sgue una dsrbucón N(μ, σ), con y σ > 0 Enonces la funcón de densdad se obene a parr de la propa defncón, enendo que: F ( ) P( T ) P(lnT ln ) T P( Y ln ) FY (ln ) > 0 (44) sendo nula para valores 0. Ahora, dervando la expresón aneror y susuyendo se ene: 2 2 ( ) (ln ), 0 2 (ln ) 1 1 ft fy e 2 (45) que es la funcón de densdad de la dsrbucón Log-Normal de parámeros μ y σ o funcón de Cobb- Douglas

31 S hacemos a e enonces ln a, y la ecuacón (45) se ransforma en: f () 1 2 e (ln a) (46) La funcón de dsrbucón se obene a parr de la expresón (44), pues pfcando y Y enendo en cuena que la varable aleaora Z, es N(0,1), se ene: F ( ) F (ln ) P( Y ln ) T Y P Y ln ln P Z ln ln a F F F (47) Y Lo cual nos ndca que la funcón de dsrbucón de una varable aleaora Log-Normal en el puno es gual a la funcón de dsrbucón de una N(0,1) en el puno ln. La funcón de Supervvenca será enonces: x 2 2 S() e d 2 (ln ) (48)

32 S realzamos los cambos que ulzamos para obener la expresón (46), endremos: 1 S() 2 x e 2 2 (ln a) 2 d ln a S( ) 1 F (49) donde, F(y) es la funcón de dsrbucón acumulava de una varable normal esándar. La funcón de resgo h() vene dada como sabemos por el cocene enre la funcón de densdad y la funcón de supervvenca, por ano: h () f() S () La asa de fallo h () f() ene una fase ncal crecene y luego ende a cero S () (aproxmadamene a parr de la medana) cuando. Para enconrar la meda, prmero calculamos el momeno de orden r respeco al orgen de la varable aleaora T, para lo cual enemos en cuena que: Y = ln T => T e Y y además sabendo que la funcón generadora de momenos para una varable aleaora Y, N(μ,σ) es: 2 2 Y 2 gy () E e e (50)

33 Luego el momeno de orden r es: r ry E T E e que concde con la funcón generadora de momenos, (50) de la varable aleaora Y parcularzada para = r: r r ry E T E e e 2 2 r 2 hacendo r = 1 enemos que la meda es: E T e (51) Para enconrar la varanza, calculamos el momeno de orden 2 que se obene hacendo r = 2, Luego, la varanza es: 2 Var() E T E T e e e e Var( ) e. e 1 (52)

34 1.6 ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS PARA LOS PARÁMETROS DE FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA. ESTIMACIÓN DE MAXIMO VEROSIMIL. Teórcamene cualquer dsrbucón para la cual S(0) = 1, puede ulzarse como dsrbucón de supervvenca. Sn embargo, exsen ceras famlas de dsrbucones específcamene úles para ausarse a los daos de un problema de análss de supervvenca. Procedemos a la esmacón de los parámeros caraceríscos de cada dsrbucón, por máxma verosmlud (donde se oma como esmacón de un parámero aquel valor que hace lo más probable la muesra obenda). Para comprobar s el ause de la dsrbucón, con esos parámeros, a los daos reales es o no sasfacora puede recurrrse a paquees esadíscos que suelen comprobar la bondad del ause medane prueba χ 2. Sea T una varable aleaora. La funcón de densdad de T puede conener uno o varos parámeros. S la varable aleaora es connua, con funcón de densdad que depende de un solo parámero θ, f(;θ), enonces la funcón de verosmlud, L, de una muesra de n valores 1, 2,..., n represena la probabldad de obener esos valores al realzar n veces una oma de daos. Esa funcón va a depender del parámero ; así pues, debemos hallar un valor que maxmce el valor de L, ese valor esmado de, que denoaremos por, es sempre una solucón de la ecuacón de verosmlud: ln L

35 S la funcón de densdad de la varable T depende de k parámeros 1, 2,..., k el méodo de máxma verosmlud proporcona una esmacón del valor de cada uno de ellos, y dchas esmacones 1, 2,..., k, verfcan las ecuacones de verosmlud: ln L ln L ln L 0, 0,..., k es decr, exsen anas ecuacones de verosmlud como parámeros a esmar. Para consrur la funcón de verosmlud a parr de una muesra aleaora, suponendo funcones de probabldad connuas como las que vamos a esudar a connuacón se ene en cuena que la conrbucón a la verosmlud de un eveno de nerés en el empo es f( ), que represena la probabldad de que el eveno de nerés ocurra en ese empo, menras que la conrbucón de una pérdda en el empo será S ( ), que represena la probabldad de que el suceso de nerés ocurra en un empo mayor que. Por ano, la funcón de verosmlud para el conuno de una muesra formada por n observacones ndependenes, de las que d son las ocurrencas del eveno de nerés en los empos ( = 1,, d) y m son pérddas en los empos ( = 1,, m) será el produco de odas las aporacones a la verosmlud en cada momeno: d m L f S 1 1 que enendo en cuena que h f(), se puede escrbr de la forma: S () d m d n L h S S h S

36 Eemplo1. Esmacón del Parámero de la Dsrbucón Exponencal. Decmos que una varable aleaora T sgue la ley exponencal s su funcón de densdad f() ene la forma: f () e s o, 0 La correspondene funcón de dsrbucón F(), vene expresada por: F( ) 1 e o La funcón de Supervvenca, que es la probabldad de sobrevvr a un nsane, será: S( ) 1 F( ) P( T ) e o La funcón de resgo, que da la asa condconal de fallo o que ocurra el eveno de nerés de un elemeno anes del nsane, esá dado por: h () f() S () o es decr, el resgo es consane a lo largo del empo. A esa propedad de la dsrbucón exponencal como hemos menconado anerormene se le suele llamar pérdda de memora. Para enconrar el esmador de de máxma verosmlud, parremos de la expresón general obenda de la funcón d L h S n

37 en ese caso enemos que: d n L e 1 1 su logarmo es: d n n ln L ln d ln y dervando con respeco a λ: ln L d n 1 Igualando a cero se obene el esmador de : Luego, el nervalo de confanza para es. d n d, d, 2 2d 2d donde 2 g () es el cuanl, de una 2 con g grados de lberad. Cuando d es grande (d 25, por eemplo), se dsrbuye aproxmadamene como una normal con meda y varanza 2 d

38 El nervalo de confanza para será: Z d Z 2 2 d donde Z es el cuanl de una Normal esándar. Eemplo 2. Esmacón de Parámeros de la Dsrbucón Webull. Se raa de una generalzacón de la dsrbucón exponencal. Decmos que una varable aleaora T sgue la dsrbucón de Webull s su funcón de densdad f() ene la forma: 1 f () e S realzamos el sguene cambo 1, para evar el fracconameno, endremos la nueva expresón: 1 f () e s 0 En la expresón aneror al parámero se le llama parámero de escala, menras que se conoce como parámero forma. Para esa funcón de densdad, la funcón de dsrbucón es: F( ) f ( s) ds 1 e,

39 La funcón de supervvenca, que da la probabldad de sobrevvr a un nsane, será: S( ) P( T ) 1 F( ) e, 0 la funcón de resgo h() que da la asa condconal de fallo u ocurrenca del eveno anes del nsane, vene dada por la expresón: f() h S () 1 ( ), 0 Dervando h() con respeco a d h'( ) h( ) 1 d 2, 0 Las expresones obendas para h () y h'( ) nos dan nformacón sobre el po de funcón de asa de resgo que puede expresarse para cualquer parámero de forma. 1. Cuando = 0, h'( ) y h () son sempre cero, luego no puede ser cero para una suacón donde el eveno de nerés es un hecho cero. 2. Cuando = 1, h'( ) = 0 y h () =. Eso es una asa consane de resgo luego la densdad de fallo o que el eveno de nerés es f () e que es una densdad exponencal. 3. Cuando 0 1, h'( ) 0. Eso supone que la asa de resgo decrece a medda que pasa el empo. 4. Cuando 1, h'( ) 0. Eso mplca que la asa de resgo aumena a medda que pasa el empo

40 Recordemos que la dsrbucón exponencal es úl cuando la asa de resgo es consane y no depende del empo; de forma que, en el segumeno de un ndvduo, la probabldad de que le ocurra el eveno de nerés, en los sucesvos nervalos de empo, no camba. Para enconrar el esmador de, ocuparemos la funcón de máxma verosmlud, enendo que: d L h( ) S( ) n 1 1 en ese caso endremos que. d n d d 1 d d L e e y su logarmo es: d n ln L d ln d ln ( 1) ln 1 1 dervando e gualando a cero sus dervadas parcales con respeco a y, enconramos los esmadores para y : ln L d n 1 0 s y solo s d n

41 luego d n 1 ln L d d ln ln 1 1 n d n ln L d d ln ln 0 n que es una ecuacón no lneal en méodo eravo como el méodo de Newon Raphson., y en consecuenca se puede resolver medane un Los nervalos de confanza vendrán dados por las expresones sguenes: Z var Z 2 2 var Z var Z 2 2 var

42 1.7 MODELOS PARA PRUEBAS ACELERADAS. Los ensayos acelerados surgen debdo a que en ocasones algunos producos o esudos enen duracones an elevadas que es mposble segur el expermeno hasa el fnal. Por eemplo: En componenes dseñados para durar 40 años, es muy mprobable que ocurra el eveno de nerés (Fallo) en el empo en que razonablemene se puede realzar el ensayo. Para ello, se pone a prueba el componene bao condcones de rabao mucho más desfavorables de las habuales y se propca que el eveno de nerés se produzca anes del empo esmado. La realzacón de ensayos acelerados es complea y debe ser planfcada por los propos nvesgadores del esudo, ya que hay que ener en cuena qué facores hay que acelerar y en que medda. Un posble esquema de rabao podría ser el sguene: Se obenen daos de empos de fallo con dversas aceleracones. Se esma medane un análss Webull la dsrbucón para cada uno de esos nveles. Se calcula la medana y los percenles 10% y 90%. Se dbua en un gráfco la medana y los percenles respeco al nvel de carga. Para la aplcacón de un modelo de vda acelerada se supone que hay una funcón que depende de las condcones a las que esá someda la undad x al que: S ; x P T / x So x donde S o es una funcón de confabldad base y x

43 Eemplo: Sea T el empo de rupura de un aslador elécrco sueo a un volae consane x ; suponga que x x para algún y la funcón de confabldad base es S () e enonces lo que se esá dcendo es que la dsrbucón de T es exponencal con Meda del Tempo de Fallo (MTTF), o MTTF 1 x x En los modelos de vda acelerada se puede pensar que el empo `escalado' T x ene funcón de Supervvenca S o ; así que s consderamos la `Log vda' lnt ln x lnw donde W es una varable aleaora con confabldad S o, o lo que es lo msmo, la dsrbucón de lnt es la msma que la de lnw suea a un cambo de localzacón de amaño ln x. La funcón de resgo sasface la ecuacón: h ; x log S ; x h ; x log S o x x h o x S esamos en presenca de daos de pruebas aceleradas se puede consderar grafcar la `log vda' conra los valores de x, para obener nformacón sobre la forma de x

44 Eemplo: Supóngase que se desea nvesgar el proceso de deeroro que sufre la capa aslane de los moores elécrcos. Dchos moores soporan habualmene emperauras de enre 80º y 100º C Con el fn de mnmzar los cosos del esudo (ano de empo como de dnero), se llevará a cabo un es de vda acelerada. En prmer lugar, para acelerar el proceso de desgase, se regsrarán los empos de deeroro de la capa a emperauras exremas de 110, 130, 150, y 170º C. Con esos daos, guardados en el archvo Aslane.mw, será posble esmar los empos de fallo para las emperauras habuales de 80 a 100º C: Enrada de daos (npu): En ese caso, se usará una ransformacón de Arrhenus para la varable aceleradora, se omará X = Arr(Z), sendo Z la varable aceleradora que represena la emperaura (Temp en ese eemplo). En base a un esudo aneror, se sabe ambén que los empos de fallo son ausables medane una dsrbucón Webull. Será necesaro especfcar la columna que conene el ndcador de censura (F = fallo, C = censura). Es posble solcar ambén, además de los gráfcos por defeco, un gráfco de probabldad para los resduos. Con dcho gráfco se podrá comprobar vsualmene s la dsrbucón elegda para los empos de fallo (la Webull en ese caso) es correca:

45 Fnalmene, ambén se pedrá a MINITAB que, a parr del modelo obendo, realce las predccones sobre los empos de fallo del percenl 50 a las emperauras de 80 y 100º C (ncludas en la columna Dseño). Es decr, se obendrán esmacones del empo que ardarían en deerorarse el 50% de las capas aslanes para una emperaura de 80º C y para una emperaura de 100º C:

46 La abla de regresón proporcona los coefcenes del modelo. Para una dsrbucón de Webull (como la que se ha elegdo), nuesro modelo sería: ln T ( 15,1874 0,83072) Arr( Temp ) p 1 2,8246 p donde sgue una dsrbucón de valores exremos (0,1). La abla de percenles muesra los percenles de orden 50 para las emperauras solcadas de 80 y 100º C. El percenl 50 es un buen esmador para el empo de duracón esperada de una capa de aslameno someda a una deermnada emperaura. A 80º C, la proeccón funconaría alrededor de ,5 horas (o 18,20 años); a 100º C, la msma proeccón no superaría las ,57 horas (4,21 años)

47 A parr del gráfco sguene es posble obener nformacón sobre la dsrbucón de empos de fallo para cada emperaura. En ese caso, es posble esmar los percenles de orden 10, 50, y 90. Como podemos observar por medo del gráfco de probabldad de los resduos la dsrbucón elegda se ausa de forma correca a las observacones

48 Además como nos muesra la sguene gráfca los punos esán ubcados muy próxmos a la reca cenral, por lo que podemos conclur que la dsrbucón elegda para modelar el proceso de deeroro que sufre la capa aslane de los moores elécrcos, proporcona una muy buena aproxmacón bao las condcones de emperaura dadas

49 CAPITULO II: ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA SUPERVIVENCIA. 2.1 INTRODUCCIÓN El obevo prncpal en los problemas de Fabldad y Análss de Supervvenca es la esmacón de la funcón de supervvenca S(). Esa funcón es la base para esmar la mayor pare de las funcones y parámeros de nerés en el análss del empo de vda. S la muesra no conene observacones censuradas, la funcón de supervvenca se esma medane la funcón de supervvenca empírca, fse, defnda como, S Nº ndvduos enla muesra que sobrevven al nsane Nº oal dendvduos enla muesra Ese esmador es una funcón no crecene, oma el valor 1 en odo nsane aneror al empo de fallo más pequeño y 0 a parr del máxmo empo de fallo observado; la funcón permanece consane enre dos nsanes de fallo consecuvos y presena un salo descendene en cada empo de fallo observado. S no hay empaes en la muesra, odos los salos de la funcón son de alura 1/n, menras que s se observan d empos de vda guales a, el salo de S () en ese nsane será de alura d / n. Cuando en la muesra exsen observacones censuradas la fse no es un esmador adecuado porque ende a subesmar la funcón de supervvenca. En efeco, el ulzar ese esmador es equvalene a consderar que odos los ndvduos censurados fallan en el nsane de censura. Dado que es posble que alguno de los ndvduos con empo de censura menor que esé vvo en dcho nsane, será necesaro nroducr alguna modfcacón en el esmador para evar ese sesgo

50 Los méodos esadíscos para esmar los parámeros y funcones de la dsrbucón del empo de vda se clasfcan en paramércos y no paramércos según se basen, en hpóess específcas sobre la famla a la que perenece la dsrbucón de T. Las écncas no paramércas, que ulzan menos hpóess, se emplean preferenemene en las prmeras fases del esudo cuando se ene poca nformacón sobre el comporameno del fenómeno; los resulados obendos en esos análss ayudan a deermnar qué dsrbucón de probabldad represena meor los daos observados. En ese capíulo se esudan dos procedmenos no paramércos de esmacón a parr de una muesra homogénea: la esmacón medane Tablas de Vda, que se basa en daos agrupados en nervalos, y el esmador de Kaplan-Meer de la funcón de supervvenca, que requere observacones ndvduales

51 2.2 TABLAS DE VIDA El empo de supervvenca, es una varable connua y por ano la represenacón de meddas relaconadas con ella ha de mosrar dcha connudad, por eemplo medane los gráfcos a los que nos hemos referdo con anerordad. No obsane, una oporuna dscrezacón de esa varable nos puede permr elaborar una abla de gran uldad prácca. Por dscrezacón de la varable enenderemos aquí una agrupacón de los daos en nervalos. Para crear una abla de vda procederemos como se explca a connuacón. Se subdvde el nervalo emporal de observacón desde el puno ncal en nervalos menores, por eemplo en años. Se conarán las personas que han sobrevvdo al menos hasa algún puno de ese nervalo para calcular deermnadas probabldades relaconadas con el momeno ermnal. Esas probabldades se ulzarán para calcular o esmar la probabldad genérca de que una persona vva en un momeno deermnado. Por lo dcho anerormene, observamos dos pos de dfculades a la hora de efecuar el análss de daos: el orgen de empo no es el msmo para los dferenes ndvduos obeo de esudo y exse ausenca de nformacón, en relacón al empo de supervvenca, de algunos de los ndvduos obeo de esudo. Esas dfculades serán salvadas por el conuno de méodos y écncas propos del análss de supervvenca. Para consrur una abla de vda han de cumplrse las sguenes hpóess: a) Las condcones expermenales de supervvenca no camban a lo largo del esudo. Por eemplo, s se aplca a los pacenes una nueva erapa o medcameno a parr de un momeno dado o s se modernzan las condcones de rabao de los empleados de la compañía en la cual se raa de esudar la permanenca de los msmos en la empresa, no podríamos realzar una abla de vda real

52 b) Una persona/máquna que se comenza a esudar ahora ha de responder de la msma forma que s se hubera nroducdo en el esudo hace, por eemplo, 5 años. c) Las observacones censuradas no dferen de las que no lo son. De no ser así, eso sgnfcaría que las mueres/fallos se producen de manera no aleaora nfluencada por una varable que no se esá enendo en cuena ahora. REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE LOS DATOS. La marz de daos del dseño podríamos represenarla como la Tabla 2.1, donde una de las varables ndcará el empo de supervvenca,, y ora el esado de endad en el momeno del cerre del esudo codfcada conforme a creros del po: 1 muere/fallo y 0 censura. Cada uno de los n ndvduos o undades esadíscas que son obeo de esudo corresponden a un caso y vene represenado en una fla. Los daos del problema conssen en n(k+2) observacones, n por cada una de las k+2 varables o arbuos que descrben el conexo de la nvesgacón y que caracerzan a los ndvduos obeo de esudo. Tabla 2.1: Formao ípco de las varables y de los casos VARIABLES Casos Δ K X 11 X 12 X 13 X 1k X 21 X 22 X 23 X 2k n n n X n1 X n2 n3 X X nk Una represenacón ípca de los daos observados es la que se muesra en la Tabla 2.1. La represenacón puede hacerse en empo real como se muesra en el gráfco de la zquerda a lo largo de los años 1980 a 2000, con momenos ncales y ermnales reales

53 En el gráfco de la derecha la represenacón se hace ponendo a cero odos los momenos ncales. En ambos casos una ndcará que el suceso (muere) ha ocurrdo, menras que ndcará que el dao esá censurado. De esa forma, ulzando el segundo gráfco podemos hacer una dvsón del empo en nervalos de cnco años. Fgura 2.1: Represenacón de empos de vda Los daos correspondenes al gráfco de la derecha se muesran en la Tabla 2.2. Tabla 2.2: Tempos de vda correspondenes a la Fgura 2.1. Tempo Esado

54 S se realza la abla de vda con el programa esadísco SPSS, será necesaro proporconar la varable empo de supervvenca, así como la varable esado, especfcando el valor correspondene a la ocurrenca del suceso muere/fallo. La varable empo puede esar medda en cualesquer undades y ha de ener sempre valores posvos. Dchos valores corresponden al empo de supervvenca de los no censurados y al empo de segumeno para los censurados. En el programa SPSS la ocurrenca del suceso (muere/fallo) vene dada por un valor/valores de la(s) varable(s) esado, de modo que por exclusón odos los demás casos se consderan censurados. S algún empo esá ausene (mssng), ese caso debería consderarse de modo especal en el esudo. Del msmo modo s alguna censura ha sdo producda por movos relaconados con el esudo, debería raarse, como ya se ha comenado, con écncas de análss de daos perddos. Para hacer la abla de vda es necesaro defnr la longud de los nervalos y el momeno fnal de esudo. Pueso que a parr de la abla pueden consrurse las dsnas funcones de supervvenca y resgo, su consruccón suele ser una opcón gráfca de los programas esadíscos, que en parcular el SPSS proporcona como lo podemos ver en la sguene Tabla: Tabla 2.2: Tabla de vda ' 1 n c n d q p S f H ES Ef EH La medana del empo de supervvenca es

55 S parmos en cuaro nervalos el gráfco de la derecha de la Fgura 2.1 y omamos el líme nferor obendremos la prmera columna de la Tabla 2.2, además al saber cuanos casos enran en cada nervalo obendremos la segunda columna y s sabemos cuanos han sdo censurados en cada nervalo obendremos la ercera columna, la cuara columna son los expuesos a resgo, menras que la quna columna represena los sucesos ermnales, el reso de columnas represenan cálculos esadíscos cuya explcacón la descrbremos más adelane. A parr de ahora supondremos que los daos venen represenados como en el segundo gráfco de la Fgura 2.1, donde se presenan los empos que medían enre el nco de la observacón y el momeno en que se produce la muere o la censura, habría que precsar que los nervalos en cada columna se enenden aberos por la zquerda y cerrados por la derecha, en oras palabras, en cada nervalo se consdera el puno ncal, pero no el puno fnal. El líme superor del úlmo nervalo se corresponde aproxmadamene con el momeno en el que se nerrumpe el esudo, aunque para algunos ndvduos no se haya producdo el suceso. Así pues, supondremos que el perodo de observacón se dvde en k nervalos de empo, de 0 a el prmero, de a el segundo, y de k 1 a k el úlmo, así al nervalo correspondene a la poblacón lo llamaremos I, 1, donde esá ncludo 1, pero no, como ya se apunó anerormene. Supondremos que la longud de cada uno de los nervalos se manene fa a lo largo del esudo, aunque podría consderarse de ora forma, el puno medo del nervalo -ésmo será m. Su conocmeno es necesaro, pues las funcones de supervvenca y de resgo serán represenadas en esos punos

56 La amplud o longud del nervalo se llamará b 1, y se ulzará para la esmacón de las funcones de densdad y de resgo, en cada nervalo pueden darse cuaro casos posbles para las observacones que enran en él. Para lusrar los casos omaremos como eemplo las observacones en el segundo nervalo del segundo gráfco de la Fgura 2.1, comenzando la numeracón desde abao haca arrba. a) Se produce el suceso denro del nervalo (observacón 4): Observacones ermnales en el nervalo. b) No se produce el suceso en el nervalo, pero sí en algún nervalo poseror (observacón 1): Observacones ermnales en un momeno poseror al nervalo. c) No se produce el suceso en el nervalo n en nngún nervalo poseror del esudo (observacón 2 y 6): Observacones censuradas en un momeno poseror al nervalo. d) Se produce la censura de la observacón denro del nervalo (observacón 5): Observacones censuradas en el nervalo. Recordemos que las censuras en los dos úlmos casos podrían producrse por ser supervvenes al fnal del esudo o ben por raarse de abandonos. Pasamos ahora a deallar lo que represena cada una de las columnas de la abla de vda dada anerormene: a) Puno ncal del nervalo ( 1 ): Exremo zquerdo de cada nervalo. b) Enradas en el nervalo ' n : Supervvenes hasa el nco de ese nervalo. Son los que llegaron al nervalo aneror, menos los que se perderon o mureron en ese nervalo. Así al nco del ercer nervalo enemos 3 supervvenes