Curso de Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales

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1 Curso de Estadística Aplicada a las Ciecias Sociales Tema 11. Estimació de ua media (Cap. 21 del libro) 1 Tema 11. Estimació de ua media Itroducció 1. Distribució de la media e el muestreo 2. La media muestral es cetrada 3. El error típico de la estimació 4. Itervalos de cofiaza 5. Estimació para poblacioes pequeñas Resume Ejercicios Tema 11, Estimació de ua media 2

2 Itroducció Tema aterior: teemos ua muestra. Calculamos ua proporció primero e la muestra y luego e la població. Ahora: lo que queremos iferir es la media de ua variable e la població Ejemplos: gasto, edad, putuació de u líder, úmero de hijos de cada familia... Tema 11, Estimació de ua media 3 Itroducció (2) Procedimieto (como ates): tomar ua muestra aleatoria simple (lo vimos e tema 8); Calcular la media que tiee la variable e la muestra (estimador) Calcular el valor de la media e la població, para lo que teemos que teer ua idea sobre la precisió del estimador Tema 11, Estimació de ua media 4

3 Itroducció (3) El mismo estimador puede teer iveles de precisió muy diferetes Ejemplo, estimació de tres variables de gasto co ua muestra de 5 estudiates Desplaz. Est 1 2. Est Est 3 2. Est Est 5 2. Media muestral 2. Ocio Libros Tema 11, Estimació de ua media 5 Itroducció (4) La media muestral es igual e los 3 casos Es fácil deducir que la estimació o es igualmete precisa e los tres La precisió depederá de La variabilidad de los datos e la població: más variabilidad, meos precisa la estimació El tamaño muestral: más grade la muestra, más precisa la estimació Tema 11, Estimació de ua media 6

4 1. Distribució de la media e el muestreo Como e lecció aterior, vamos a imagiar situació ficticia co ua variable co distribució coocida Ejemplo: variable úmero de hijos e las familias Distribució e la població es: La media es 1,95 La desviació típica es 1,359 Número Proporció,15,25,3,15,1,5 Tema 11, Estimació de ua media 7 1. Distribució de la media e el muestreo Partimos de ua població muy grade Represetamos la població como ua ura co bolas. Ua bola por familia, co valor de a 5 (ura A), e proporció correspodiete Sacamos muestra co 1 elemetos. Calculamos media de la muestra. Ejemplo 1,6. Escribimos la media e ua papeleta: otra ura distita (ura B) Devolvemos bolas a ura A y seguimos sacado muestras de 1 elemetos Tema 11, Estimació de ua media 8

5 1. Distribució de la media e el muestreo Al fial, ura B, llea de papeletas que represeta las medias de cada ua de las muestras Qué valores tedríamos e ura B? La mayor parte de los valores: e toro a la media e la població (1,95) Si las muestras ha sido pequeñas (1, 15, 25): habrá alguas muestras co valores alejados de 1,95:,5; 1; 2,5; 3 Si muestras más grades (más de 3 elemetos): casi todas las muestras co poca variació respecto a 1,95 Tema 11, Estimació de ua media 9 1. Distribució de la media e el muestreo La forma del histograma de las medias muestrales es la de ua distribució ormal (propiedades coocidas) Como e lecció aterior: cuato mayor sea la muestra, más se acerca la forma de la distribució de las medias muestrales a la distribució ormal Tema 11, Estimació de ua media 1

6 1. Distribució de la media e el muestreo 3. muestras de 1 elemetos,18,16,14,12,1,8,6,4,2,7,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 4, Distribució de la media e el muestreo 3. muestras de 1 elemetos,16,14,12,1,8,6,4,2 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95 2 2,5 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 12

7 2. La media muestral es cetrada La variable media muestral estimada (la variable cuyos valores está e la ura B) se puede describir como cualquier variable Se puede demostrar que la media de la ura B media de la ura A Lógico: media ura B media valores ura A cotados muchas veces Tema 11, Estimació de ua media El error típico Recuperamos el cocepto visto e el tema 1 El error típico de estimació es la desviació típica de la variable aleatoria costituida por los valores de la media de todas las muestras que potecialmete podríamos sacar Es ua medida de la dispersió de los estimadores respecto de su media Tema 11, Estimació de ua media 14

8 3. El error típico La fórmula es la misma que veíamos e el tema aterior: sx ET Es decir, como etoces: el error típico es siempre meor que la desviació típica e la població Y será meor cuato mayor sea la muestra Pero teemos el mismo problema que e el tema aterior: si la fórmula para calcular ET icluye la desviació típica e la població (s x ), estamos e u círculo vicioso Tema 11, Estimació de ua media El error típico Solució: se puede demostrar (aquí o), que la desviació típica de la població se aproxima bastate al valor modificado de la desviació típica de la muestra, segú la siguiete fórmula sˆ x ( xi x) 1 Cuado el tamaño muestral es grade, la diferecia etre usar e el deomiador o -1 o es demasiado importate E resume, calculamos ET co la fórmula ET sˆ Tema 11, Estimació de ua media 16 2 ( x i x 1 x) 2

9 3. El error típico Ejemplo: muestra de 1. ecuestados. Pregutamos cuátas veces ha ido al cie e el último mes. La media de la muestra es 1,3 y la desviació típica (corregida co -1) es 2,1. sˆ x ET 2,1 1 2,1 31,623,664 Tema 11, Estimació de ua media Itervalos de cofiaza Como e el tema aterior: podemos usar el ET para estimar u rago de valores, o itervalo detro del que debe de estar el valor medio e la població Ejemplo aterior: muestra de 1. persoas, media de 1,3 y ET de,664 Cuado la muestra es grade (más de 3 elemetos), la variable aleatoria formada por las medias de las muestras tiee tambié ua distribució ormal Su media es la media de la població Su desviació típica es ET Sabemos exactamete qué proporció de los casos está a diferetes distacias de la media, medidas e ET (valores z) Tema 11, Estimació de ua media 18

10 4. Itervalos de cofiaza Recordamos que las las distribucioes ormales tiee esta propiedad: 68,3% de los valores a meos de 1dt de la media 95,5% de los valores a meos de 2dt de la media 99,7% de los valores a meos de 3 dt de la media Tema 11, Estimació de ua media Itervalos de cofiaza Por esa razó, cuado teemos ua muestra, e la que hemos calculado ua media y u ET (que es la desviació típica de las muestras) Podemos decir que la media e la població estará co u 68,3% de cofiaza (o de probabilidad) e el itervalo: estimador ± ET 95,5% de cofiaza (o de probabilidad) e el itervalo: estimador ± 2 ET 99,7% de cofiaza (o de probabilidad) e el itervalo: estimador ± 3 ET El itervalo de cofiaza es rago de valores que icluye, co ua determiada probabilidad, el valor del parámetro e la població 2

11 4. Itervalos de cofiaza E el ejemplo que poíamos (media de 1,3 y ET de,664) Podemos decir que el verdadero parámetro, co u 68,3% de cofiaza está e e el itervalo de 1,3 ±,664 (es decir, etre 1,2336 y 1,3664) 95,5% de cofiaza está e el itervalo de 1,3 ± 2*,664 (es decir, etre 1,1672 y 1,4328) 99,7% de cofiaza está e el itervalo de 1,3 ± 3*,664 (es decir, etre 1,18 y 1,4992) (Precisió exagerada) Tema 11, Estimació de ua media Estimació e poblacioes pequeñas Al igual que sucedía co la estimació de proporcioes, cuado el tamaño de la població es pequeño comparado co el tamaño de la muestra y se hace u muestreo si reposició (por ejemplo, se etrevista a 6 alumos de clase de 9): la fórmula del ET cambia La media de las muestras sigue siedo la media de la població Tema 11, Estimació de ua media 22

12 5. Estimació e poblacioes pequeñas Pero: el error típico (la desviació típica de las medias e las muestras respecto a la media de la població) es meor que el caso de població muy grade Fórmula: si la fracció de muestreo es f /N sˆ x ET 1 f Tema 11, Estimació de ua media Estimació e poblacioes pequeñas Ejemplo. Si el estudio aterior sobre etradas de cie estuviera hecho de ua població de 5. persoas (f 1./5.,2) sˆ x ET 1 f 2,1 31,623 2,1 1 1,2,8,664,894,5936 Correspodiete, los itervalos de cofiaza será tambié más pequeños Tema 11, Estimació de ua media 24

13 Resume Distribució e el muestreo Media de las medias de las muestras media població Desviació típica de las medias muestrales error típico Fórmula del ET sˆ x ET Itervalos de cofiaza: para el 95,5% de cofiaza, media muestral ± 2 ET ET corregido e poblacioes pequeñas Tema 11, Estimació de ua media 25 Ejercicios recomedados Del maual: 21.4 (El itervalo co cofiaza del 95% es la media ± 1,96 ET) 21.6 De los exámees: Feb4: 12 Jul4: 11 Feb6: 8 Jul6: 9 Jul7: 8 Ee8, Ju8: 9 Tema 11, Estimació de ua media 26

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