3.- a) [1,25 puntos] Prueba que f(x) = ex e x

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1 EXAMEN DE MATEMATICAS II ENSAYO ª (FUNCIONES) Apllidos: Nombr: Curso: º Grupo: A Día: 6-XII-05 CURSO 05-6 Opción A.- a) [,5 puntos] Dmustra qu ln( -3) y -4 son infinitésimos quivalnts n =. b) [,5 puntos] Sabindo qu s finito, calcula l valor d a y l d dicho límit. a.sn().- Sa g la función dfinida por g() = a para b. b a) [,75 puntos] Halla a y b sabindo qu la rcta y = - s una asíntota d la gráfica d g. b) [0,75 puntos] Dtrmina si la gráfica d g s simétrica. 3.- a) [,5 puntos] Pruba qu f() = s continua n = 0. En caso d qu lo sa, rdfin la función. b) [,5 puntos] Estudia la continuidad d g() = a) [,5 puntos] Sa la función f: (0, +)R dfinida por f() = + ln ( ) (dond ln dnota la función logaritmo npriano). S pud asgurar qu la función alcanza sus trmos absolutos n l intrvalo [ -, ]? Sría posibl indicar dond s alcanzan sin utilizar drivadas? b) [ punto] Sa una función f: [a, b] R continua y c y d dos valors d dicho intrvalo qu vrifican qu g(c) = -3 y g(d) = 3. Dmustra qu la función h()=g() + 4 s tal qu ist un punto, intrior al intrvalo (c, d), para l qu h() = 6 nunciando l o los tormas utilizados n la dmostración. Opción B.- a) [,5 puntos] Dmustra qu tan()-sn() y = 3 son infinitésimos quivalnts n = 0. sn(3) b) [,5 puntos] Sabindo qu = calcula l valor d a. + cos(a) 3.- Sa f la función dfinida por f() =, R-{-, }. a) [ punto] Calcula l límit d f n = - y =, y a partir d dicho valor indica la continuidad d la función. Halla l dominio y l rcorrido d dicha función. b) [,5 puntos] Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f y raliza un sbozo situando la gráfica d la función rspcto d dichas asíntotas. 3.- a) [,5 puntos] Pruba qu f() = sn() 3 s continua n = 0. En caso d qu lo sa, rdfin la función. k cos(), < 0 b) ['5 puntos] Sa la función g: R R dfinida por g() ={ calcula k para qu la, 0 función f sa continua. 4.- [,5 puntos] Sa f una función continua n [0, ] y tal qu 0 f() para todo prtncint a dicho intrvalo. Probar qu ista al mnos un númro ral a[0, ] tal qu f(a) = a. Como aplicación probar qu la cuación - 4 = 0 admit una solución n l intrvalo (0,)

2 SOLUCIÓN DEL EXAMEN Opción A.- a) [,5 puntos] Dmustra qu ln( -3) y -4 son infinitésimos quivalnts n =. b) [,5 puntos] Sabindo qu a.sn() s finito, calcula l valor d a y l d dicho límit. a) Para qu f y g san infinitésimos quivalnts n = ha d cumplirs qu: f() = 0 ln( 3) = ln() = 0, s cumpl. g() = 0 ( 4) = 4-4 = 0, s cumpl. f() g() =. Aplicamos las propidads d los logaritmos nprianos. Efctuamos l cambio d variabl -4 = t = t +4: ln( 3) 4 = ln(t +) t 0 t Efctuamos l nuvo cambio z = t+ ln(z ) z z =.ln(z) z (z ).(z+) ln(z) =. z z. z z+ ln(z) =.. z z = ln(z) z z Dshacindo l cambio antrior y utilizando qu ln(+z) y z son infinitésimos quivalnts n = 0. ln() = ln(z+) =, lugo también s cumpl. z 0 z b) Para qu ista dicho límit ha d sr una indtrminación dl tipo ( 0 ), para llo utilizamos qu 0 sn() y - son infinitésimos quivalnts n = 0 y sacando factor común: a.sn() = a = ( a) a = 0 0 a Est límit srá finito si da lugar a una indtrminación ( 0 ), lugo: 0 0 a = 0 a = El límit pdido, utilizando los infinitésimos quivalnts utilizados n l apartado antrior, srá: sn() = = ( ) = = = =.- Sa g la función dfinida por g() = a para b. b a) [,75 puntos] Halla a y b sabindo qu la rcta y = s una asíntota d la gráfica d g. b) [0,75 puntos] Dtrmina si la gráfica d g s simétrica. a) Si la rcta y = - s una asíntota d la gráfica d g, ha d sr una asíntota oblicua ya qu s una función racional sindo l grado dl numrador una unidad mayor qu l grado dl dnominador. y = m + n = - sindo m = ± g() y n = [g() m] ±

3 g() m = a b = = n = [g() m] = [ b Qudando la función: g() = + a ( b) ] = b) Si la gráfica d g s simétrica par cumpl qu g(- ) = g(). g(-) = ( ) + = g() condición qu no s cirta. Si la gráfica d g s simétrica simtría impar s cumpl qu g(-) = - g(). g(-) = ( ) + = -g() condición qu no s cirta. Por lo tanto, la gráfica d g NO s simétrica. a = b = +b b a = a a = b = = b b = - b = - b 3.- a) [,5 puntos] Pruba qu f() = s continua n = 0. Si lo s, rdfin la función. b) [,5 puntos] Estudia la continuidad d g() = +. a) La función s continua n R-{0} ya qu s cocint d una difrncia d ponncials y una polinómica qu son continuas. El único punto posibl d discontinuidad s 0 = 0, valor dond s anula la función. Para comprobar si s continua n dicho punto han d sr iguals sus límits latrals qu dfinirmos como l nuvo valor d la función f(0). Eprsarmos l numrador tomando - como factor común y aplicarmos las propidads d los límits y l hcho d qu - y son infinitésimos quivalnts n = 0. =. =. u =. = u 0 u f() = = ( ) Al istir límit finito la discontinuidad s vitabl con vrdadro valor d la función f(0) =, por lo tanto rdfinimos la función como: f() = {, 0, = 0 b) Tnindo n cunta qu, < 0 = { podmos tomar, 0 + g() = {, < 0 ( ), < 0 = { +, 0 = {, < 0 +, 0 +, 0 La rama d la izquirda s una constant y, por lo tanto, continua. La rama d la drcha s racional qu no s anula n l dnominador, lugo también s continua. Vamos qu ocurr n l punto d solapaminto = 0: + g() = ( ) = - g() = + + = - Al sr los límits latrals iguals, la función s continua n =0. Por lo tanto f s continua n R. 3

4 4.- a) [,5 puntos] Sa la función f: (0, +)R dfinida por f() = + ln ( ) (dond ln dnota la función logaritmo npriano). S pud asgurar qu la función alcanza sus trmos absolutos n l intrvalo [ -, ]? Sría posibl indicar dond s alcanzan sin utilizar drivadas? b) [ punto] Sa una función f: [a, b] continua y c y d dos valors d dicho intrvalo qu vrifican qu g(c) = -3 y g(d) = 3. Dmustra qu la función h()=g() + 4 s tal qu ist un punto, intrior al intrvalo (c, d), para l qu h() = 6. a) Si s pud asgurar qu la función alcanza sus trmos absolutos n l intrvalo utilizando l torma d Wirtrass ya qu s una función continua por sr suma d funcions continuas n un intrvalo crrado [, ]. Es posibl indicar dond s alcanzan sin utilizar drivadas simplmnt studiando l crciminto d la función n l intrvalo. Suponindo qu sucd qu < : f() - f() = [ + ln ( )] [ + ln ( )] = [ ] + [ ln ( ) ln ( )] = [ ] + [ ln ( )] El primr sumando srá ngativo y por lo tanto la función dcrcint l intrvalo [, ] y positivo y la función crcint n l intrvalo [, ]. El sgundo sumando srá ngativo y la función ln() dcrcint n l intrvalo [, ] y positivo y la función ln() crcint n l intrvalo [, ]. Por lo tanto podmos indicar qu prsnta: Mínimo n =, d valor + ln () = +0 =. Máimo n = d valor + ln / ( ) = +ln-ln = +- 6,39 Máimo n = d valor + ln( ) = - +ln = - +, 3 Lugo prsnta un mínimo absoluto n (, ) y un máimo absoluto n (, + ) b) Considramos la función g: [a, b] R, tal qu h() = f()+ 6 qu s continua n [c, d] [a, b] ya qu s suma d dos funcions continuas. Como: h(c) = g(c) +4 = = h(d) = g(d) +4 = 3 +4 = 7 Aplicando l torma d los valors intrmdios o d Darbou a la función g, para cualquir k tal qu h(c) K h(d) istirá un valor (c, d) tal qu: h(c) 6 h(d) h() = 6 como quríamos dmostrar. Opción B.- a) [,5 puntos] Dmustra qu tan()-sn() y = 3 son infinitésimos quivalnts n = 0. sn(3) b) [,5 puntos] Sabindo qu = calcula l valor d a. + cos(a) Rsolución: a) Para qu f y g san infinitésimos quivalnts n = 0 ha d cumplirs qu: f() = 0 4

5 [tan() sn() ] = 0-0 = 0, s cumpl. g() = 0 3 = 0, s cumpl. f() g() =. Aplicando la dfinición d tan() y rducindo a común dnominador la prsión obtnida: sn() tan() sn() cos () sn() f() g() = 3 = 3 = sn()[ cos()] cos () 3 Utilizando qu n n = 0 son infinitésimos quivalnts -cos(), sn() y tg() y qu por lo tanto cos() - f() g() =. / / 3 Por lo tanto s cumpl. = 3 / ( )/ 3 = 3 3 = = = b) Como -cos() y (a) son infinitésimos quivalnts n = 0 s cumpl -cos(a) y son quivalnts porqu si tomamos u = a: cos(a) cos(u) (a) = u 0 (u) =. Por otro lado, como sn() y son infinitésimos quivalnts n = 0, sn(3) y 3 también lo son porqu si tomamos v = 3: sn() sn(v) = =. v 0 v Por lo tanto l límit pdidos s: + sn(3) cos(a) = + 3 (a) Como l rsultado ha d sr : 3 a = a = 3 = 3 + a. = 3 + a. = 3 a 3.- Sa f la función dfinida por f() =, R-{-, }. a) [ punto] Calcula l límit d f n = - y =, y a partir d dicho valor indica la continuidad d la función. Halla l dominio y l rcorrido d dicha función. b) [,5 puntos] Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f y raliza un sbozo situando la gráfica d la función rspcto d dichas asíntotas. Rsolución: Para hallar si tin límit n dichos puntos dbmos calcular sus límits latrals ya qu al sustituir valors obtnmos una indtrminación = (0 0 ) y = (0 0 ) 3 3 5

6 Calculamos los límits latrals n = -: 3 = + 3 = - + Prsnta una discontinuidad invitabl d salto infinito n = - ya qu no coincidn los límits latrals n dicho punto y uno d llos s +. Calculamos los límits latrals n = : = = + + Prsnta una discontinuidad invitabl d salto infinito n = ya qu no coincidn los límits latrals n dicho punto y uno d llos s +. Por lo tanto la función tin: Dominio: R-{-, }. Rcorrido: R, tal como s v n la figura adjunta. Continua n su dominio. b) Asíntotas. Asíntotas vrticals: son rctas vrticals n las qu f() = ±. Utilizando los rsultados dl a apartado antrior vmos qu son asíntotas vrticals las rctas = - y =. Asíntotas horizontals: son rctas horizontals n las qu 3 = + = - + no hay asíntota horizontal. Asíntotas oblicuas: 3 f() m = = = 3 = - ± ± ± 3 n = [f() m] = ± La cuación s y = - 3 [ 3 ± + ] = ± ± = ± f() = b. Como = 0 Para situarla rspcto d la gráfica vmos l signo d f()+ hacia la drcha: signo + ] = signo = por lo tanto la asíntota s acrca por ncima d la función. [ 3 Para situarla rspcto d la gráfica vmos l signo d f()+ hacia la izquirda: signo + ] = signo = + por lo tanto la asíntota s acrca por dbajo d la función. [ a) [,5 puntos] Pruba qu f() = sn() 3 s continua n = 0. Si lo s, rdfin la función. k cos (), < 0 b) [,5 puntos] Sa la función f: R R dfinida por g() = { calcula k para, 0 qu la función f sa continua. a) La función s continua n R-{0} ya qu s cocint d una snoidal y una ponncial mnos una constant qu son continuas. El único punto posibl d discontinuidad s 0 = 0, valor dond s anula la 6

7 función. Para comprobar si s continua n dicho punto han d sr iguals sus límits latrals qu dfinirmos como l nuvo valor d la función f(0). Eprsarmos l numrador tomando - como factor común y aplicarmos las propidads d los límits y l hcho d qu - y sn() son infinitésimos quivalnts n = 0. sn() 3 f() = 3 3 = sn() =. u 3 u =.. = 3 3 Al istir límit finito la discontinuidad s vitabl con vrdadro valor d la función f(0) =, por lo tanto rdfinimos la función como: sn() f() = { 3, 0 3, = 0 b) Como sgún l nunciado dl problma la función s continua n R, ha d srlo n 0 = 0. Por lo tanto tnmos qu f(0) = g() = g(): + g() = k cos () = k g() = = = 0 =( 0 0 ) Qu rsolvmos utilizando infinitésimos quivalnts n = 0. Eprsarmos l numrador tomando como factor común y aplicarmos las propidads d los límits y l hcho d qu y son infinitésimos quivalnts n = 0. g() = = ( ) = =. u u 0 u Igualando las dos prsions obtnmos k =. =. = 4.- [,5 puntos] Sa f una función continua n [0, ] y tal qu 0 f() para todo prtncint a dicho intrvalo. Probar qu ista al mnos un númro ral a[0, ] tal qu f(a) = a. Como aplicación probar qu la cuación - 4 = 0 admit una solución n l intrvalo (0,) a) Considrmos la función g() = f() - n l mismo intrvalo [0, ] qu s continua n dicho intrvalo por sr difrncia d funcions continuas. Por otra part s cumpl qu: g(0) = f(0) - 0 > 0 g() = f() - < 0 Aplicando l Torma d Bolzano istirá al mnos un númro ral a [0, ] tal qu g(a) = 0, por lo tanto: f(a) - a = 0 f(a) = a como quríamos dmostrar. b) Para dmostrar qu - 4 = 0 admit una solución n l intrvalo (0,) considramos la función h() = 4 n l intrvalo [0, ]. Dicha función: Es continua por sr l producto d una constant por una función continua (la ponncial). Como la ponncial s strictamnt crcint y h(0) = 4 0 = > 0 y 4 h() = 4 < Por lo tanto cumpl las condicions pdidas n l intrvalo antrior por lo tanto ist un valor c(0,) tal qu h(c) = c: h(c) = 4 c = c c 4c = 0 como quríamos dmostrar. 7