EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE PIMER GRADO SISTEMA DE CRAMER

Transcripción

1 EXPRESIÓN MTRICIL DE UN SISTEM DE ECUCIONES DE PIMER GRDO Un sise de ecuciones lineles con n incógnis, x, x,, xn iene l for: x x n xn b x x n xn b x x n xn b Recordndo el produco ricil, podeos decir: x x nxn b n x b x x nxn b n x b x x nxn b n xn b Designndo por M,n l riz de coeficienes, por n, B M,, el sise se puede expresr de for brevid coo: Definición: X B SISTEM DE CRMER X X M l riz de incógnis y por Se dice que un sise de ecuciones es un sise de Crer cundo iene el iso núero de ecuciones que de incógnis y deás el deerinne de l riz de coeficienes es disino de cero. Teore: Un sise de Crer iene solución y deás és es únic. B Deosrción: Por ener el iso núero de ecuciones que de incógnis, l riz de coeficienes será un riz cudrd, coo deás por hipóesis y es únic. Luego: X B X B X B, es decir: X B es l únic solución del sise - -

2 Regl de Crer Priendo de l solución en for ricil obenid en el prdo nerior: x n b x b n X B x b x x x n n b b bn n b b bn n b b b n n nn n b n b n b b n n nn n b n b n n nn b b b n n n nn n n n En un sise de Crer el vlor de cd incógni se obiene coo cociene de dos deerinnes: El nuerdor es el deerinne de l riz que resul l susiuir en l de coeficienes, l colun de coeficienes de l incógni en cuesión por l colun de érinos independienes. El denoindor es siepre el deerinne de l riz de coeficienes del sise. TEOREM DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS x x nxx b x x nxn b En el sise de ecuciones con n incógnis x x x b n n riz de coeficienes: y l plid n n n, consideros l n b n b. n b El sise iene solución si y solo si el rngo de es igul l rngo de. Y deás, si nr rng( ) rng( ) r, el sise iene ns soluciones coo eleenos el conjuno R. - -

3 Deosrción: Hipóesis: El sise iene solución. Tesis: rng( ) rng( ) Que el sise iene solución quiere decir que exisen unos núeros reles : λ, λ, λ n que verificn ls ecuciones, es decir, pr cd ecución i endreos : λ λ λ b. Lo que signific que en i i in n i l úli colun es cobinción linel de ls ors n, pr deerinr el rngo se prescinde enonces de es úli colun. Si en independienes, es evidene que rng( ) rng( ). se eliin l colun de érinos Hipóesis : rng( ) rng( ) r Tesis : El sise iene solución. Si el rngo de ls dos rices es r signific que exise un enor de orden r no nulo y que odos los r r de orden superior r son nulos. Supongos que ese enor no nulo es. r r rr x r ls incógnis cuyos coeficienes forn pre del enor no nulo ( x, x, en nuesro cso) se les ll incógnis principles, ienrs que ls ecuciones que cuplen l is condición reciben el nobre de ecuciones principles (ls r resnes serán cobinción linel de ls principles). Toos el sise fordo por ls r ecuciones principles y en el consideros coo incógnis únicene ls r principles, ienrs que el reso se rn coo pre de los érinos independienes: x x r xr b r xr nxn x x x b x x rx rx rr xr br rr xr rnxn r r r r n n Si ls incógnis no principles le signos los vlores λ, r, λn endreos un deerinne de r ecuciones con r incógnis y su deerinne, es decir, es un sise de Crer y coo l endrá solución únic λ, λ, λ r. Los λ i fijdos juno los λ i obenidos forn un solución ( λ, λ,, λ, λ,, λ ) r r n del sise fordo por ls r ecuciones principles, pero bién serán solución de ls no principles por ser éss cobinción linel de ls neriores, en definiiv son solución del sise inicil. Hbrá ns soluciones coo vlores disinos podos dr ls n r incógnis no principles, es decir, ns coo eleenos iene el conjuno nr R - 3 -

4 Sises hoogéneos Se ll sise hoogéneo quel en el que odos sus érinos independienes son nulos: x x n xx x x nxn x x nxn En esos sises, sus rices de coeficienes y plids son, respecivene. n n n n y n n Coo se diferencin en un colun en lo que odos sus eleeno son nulos, es evidene que en lo rng rng, y en consecuenci odo sise sises hoogéneos siepre es ( ) ( ) hoogéneo es copible. Hecho por or pre evidene, porque l enos ienen coo solución l rivil: x x x n. Si en un sise hoogéneo el rngo de l riz de coeficienes coincide con el núero de rng n, es decir, es deerindo, su únic solución es l rivil. Si incógnis, ( ) rng ( ) n, < iene soluciones disins de l rivil

5 S I S T E M S D E E C U C I O N E S. Resuelve por el éodo de Crer los siguienes sises de ecuciones: x y z x 3y - z 4 x - y z ) x 3y z 4 b) 4x - y z c) x y - z 3 x y z 3 x y - z 3 3x y - z 8 d) 4x y 8 x y z y 3z 6 e) 3x y 4z x z b x 3y 7z c f) bx 3bx y y c 4c. Resuelve cundo se posible: 5x y z ) x 3y 3z 4 b) 4x y z 6 5x x x 3y y y z 5z 3z c) x 4x 3x 3y y y z 5z 3z d) x y z x y z x y z x x e) 5x y 3y 5y 5y z z z 3z 3 5 f) x x x x y y y y z z z z g) 3x 5y z x y z x y h) x y 4z x 4y z x y z i) 3 5 x x x 6y y y 3z 5z z 3. Discuir los siguienes sises según los disinos vlores del práero, resolviendo cundo se posible. x y z 4 x y z x y z ) x z b) x y c) x y z x y z x z x y z e) ( ) x y z x ( ) y z 3 x y ( ) z 4 ( ) x y z f) x ( ) y z x y z - 5 -

6 CUESTIONES PROPUESTS EN SELECTIVIDD. Considérese el siguiene sise de ecuciones lineles (en él,, b y c son dos; ls incógnis son x,y y z ) y bx c cx z b bz cy Si, b y c son no nulos, el sise iene solución únic. Hllr dich solución.. Resuelve el siguiene sise: x y z 3v 4 x y z 3v 4 x 4y z 6v 8 x z x y 3 3. Ddo el sise de ecuciones: x 3y k : 3x 5y k ) Discuirlo pr los disinos vlores del práero k. b) Resolverlo cundo se posible. 4. Pr cd vlor del práero rel k se consider el sise de ecuciones: x y 3 x 3y k 3x 5y k ) Discuir el sise según los vlores de k. b) Resolver el sise en los csos que se copible. x y 5. Ddo el sise: 3 x y, se pide: 3x y 7 ) Discuirlo pr los diferenes del práero. b) Resolverlo cundo se copible. x y λ 6. Ddo el sise λx y 4, se pide: 3x y ) Discuir el sise según los vlores del práero λ. b) Resolver el sise cundo se posible. x y 7. Ddo el sise de ecuciones lineles: {, se pide: x y - 6 -

7 ) Discuir el sise según los vlores del práero. Resolverlo cundo l solución se únic. b) Deerinr pr que vlor o vlores de el sise iene un solución en l que y. x y 8. Ddo el sise de ecuciones lineles: x y x y ) Discuirlo según los vlores de. b) Resolverlo cundo se copible indeerindo 3 9. Se l riz. Pr cd núero rel λ definios l riz B λi, donde I es l riz idenidd. ) Hllr los vlores de λ que hcen que el deerinne de B se nulo. x b) Resolver el sise B pr los diferenes vlores de λ. y x y 3z. ) Resolver el sise de ecuciones: x y z b) Hllr ls consnes α y β de ner que l ñdir l sise nerior un ercer ecución 5x y α z β, el sise resulne se copible indeerindo. x y 3z 3. Ddo el sise de ecuciones:, se pide: x 3y z 5 ) Clculr y b de ner que l ñdir un ercer ecución de l for x y bz el sise resulne eng ls iss soluciones que el sise originl. b) Clculr ls soluciones del sise ddo les que l su de los vlores de ls incógnis se igul 4.. Se considern el sise S y el deerinne D: x b y c b c S x b y c D b c 3x b3 y c3 b c ) Si S es copible, se verific enonces que D? b) Si D, se verific enonces que S es copible? Discuir según los vlores de el sise: 3x y 5x 8y x y z 9z 3z 3-7 -

8 4. Ddo el sise de ecuciones: x ky k z x ky kz k x ky k z k ) Discuirlo según los disinos vlores de k. b) Resolverlo pr k x y z 5 x y z, se pide: x y z 3 ) Discuirlo según los vlores del práero. b) Resolverlo cundo se posible. x,, z. 5. Ddo el sise de ecuciones lineles: ( ) c) Enconrr ods ls soluciones de l for ( ) 6. Se consider el sise de ecuciones lineles 3 3 x z y ) Discuirlo según los vlores de b) Resolverlo pr el cso λx y z 7. Se consider el sise de ecuciones: x y λ x λy z ) Discuir su copibilidd en función del práero λ. b) Hllr, cundo exisn, sus soluciones 8. Discuir el sise según los vlores del práero. x y 6z x y 4z x y 6z Resolverlo pr. 9. Ddo el sise x x λx ) Discuirlo según los vlores de λ. b) Resolverlo pr λ c) Resolverlo pr λ λy λy y z z z λ λ - 8 -

9 . Discuir el sise según los vlores del práero y resolverlo cundo se posible ( ) x x x y y 3y z z 3. Consideros el sise de ecuciones: ( λ ) x x ) Discuir según los vlores del práero λ b) Resolver pr λ. c) Resolver pr λ 3. y z y z λ ( λ ) y z. ) Discuir en función del práero k y resolver el sise b) Discuir en función de λ y resolver cundo se posible x S x x x x S x x y ky y y 3y y y 5z z 5z z λz λ x y 3. Ddo el sise: x y z x y z ) Discuir el sise según los vlores del práero b) Resolver el sise pr c) Resolver el sise pr 4. Se consider el sise de ecuciones: ( ) x ( ) y z 3 x y z x y z ) Discuirlo pr los disinos vlores de b) Resolverlo pr 5. Ddo el sise de ecuciones: ( ) x ( y ) z ( ) 3 x y 3z x y z 4 ) Discuirlo según los disinos vlores del práero. b) Resolverlo cundo se copible indeerindo

10 ( ) x k y z 6. Ddo el sise de ecuciones lineles: kx y z k, ( k ) x y z k ) Discuirlo según los disinos vlores del práero k. b) Resolverlo cundo eng infinis soluciones. se pide: 4x 4λ y z λ 7. Ddo el sise: λx y λx λ, se pide: 4λx 4λ y λz 9 ) Discuir el sise según los vlores del práero λ. b) Resolver el sise pr λ 8. Discuir según los vlores del práero λ y resolver cundo se posible: 6x 4y λz λx y z 5x 3y 3z λ 9. Ddo el sise: ( ) ( ) x y 4z x y z x y z ) Esudir su copibilidd según los vlores del práero. b) Resolver el sise nerior cundo se copible indeerindo. λx y z 3. Ddo el sise: λx y z, se pide: x λ y z ) Obener los vlores del práero λ pr los cules el sise iene soluciones disins de x y z. b) Resolver el sise pr λ 5 3. Discuir rzondene, en función del práero k, el siguiene sise: x ky z k kx y z k x y kz ( k ) x ky z 3. Ddo el sise hoogéneo: x y z, x 4y kz ) Deerínese pr qué vlores de k el sise iene soluciones disins de l rivil. b) Resuélvse pr el cso k 3 - -

11 x y z 33. Ddo el sise: x z, se pide: x z ) Discuirlo pr los disinos vlores del práero. b) Resolverlo pr. x y 3z Se consider el sise: x y z. 5 x ( ) y z 9 ) Discúse según los vlores de. b) Resuélvse pr. x 4 y 4k Ddo el sise: k x k y kz, se pide: x ky k ) Discuirlo según los vlores del práero k. b) Resolverlo pr k. c) Resolverlo pr k x 7y 5z 36. Ddo el sise: x y z 3, se pide: y z ) Discuirlo según los vlores de. b) Resolverlo cundo 4. c) Resolverlo cundo x y z x y z 37. Ddo el sise de ecuciones: ( ) ( ) ( ) ( ) x 3y z 3 4 ) Discuirlo según los disinos vlores del práero rel b) Resolverlo cundo eng infinis soluciones., se pide: 38. Se consider el sise en ls incógnis x, y, z, x y z y z x λy ) Encuenr los vlores de λ pr los que el rngo de l riz de coeficienes del sise es b) Resolver el sise nerior pr λ - -

12 λ x λ 39. Se consider el sise de ecuciones: y λ z λ ) Discuirlos según los vlores de λ b) Resolverlo pr λ 3 c) Resolverlo pr λ 4. Dd l riz, se pide: b) Esudir el rngo de según los vlores del práero. x y c) En el cso, resolver el sise z. 3 λ 4. Se considern ls rices y B λ con λ R. ) Encuenr los vlores de λ pr los que B es inverible. b) Encuenr los vlores de λ pr los que B es inverible. c) Ddos y b núeros reles cules quier, puede ser copible deerindo el sise: x y? b x 4. Dds ls rices: 4, B, X ) Esudir el rngo de según los vlores de. b) Clculr el deerinne de. c) Pr, resolver el sise X O. d) Pr, resolver el sise X B. x y, z O, se pide: 43. Siendo ls rices: y B 3 rngo B rngo rngo B? Jusific l respues. ) Se cuple l iguldd ( ) ( ) ( ) - -

13 - 3 - b) Encuenr ods ls rices f e d c b X les que I X c) Exise lgun riz Y cudrd de orden, l que B Y? Jusific l respues. 44. Esudi, en función de, el rngo de M. Pr, coprueb si exise un riz d b d b c c d b c X l que I X M. 45. Se consider l riz ) ( ) Deerin los vlores del núero rel pr los que el deerinne de ) ( es cero. b) Hllr l invers de l riz ) ( pr c) Resolver pr el sise: ) ( z y x 46. Dd l riz λ λ λ, se pide: ) Enconrr los vlores de λ pr los que iene invers. b) Pr λ, hllr l invers de y coprobr el resuldo. c) Resolver el sise z y x pr λ 47. Dd l riz ) Clcul el rngo de en función de los vlores de. b) Pr el cso, discue el sise x y z b en función de los vlores de b y resuélvelo cundo se posible.

14 c) Pr, resuelve x y. z 48. ) Discuir, según los vlores de, el sise de ecuciones X B, donde: x, x y, B z b) Resolver el sise en los csos y k k k 4 x 49. Dds ls rices: k, B 3, C 3 y X y, k 3 3 z ) Hllr el rngo de, en función de los vlores de k. b) Pr k, hllr, si exise, l solución del sise X B. c) Pr k, hllr, si exise, l solución del sise X C. se pide: x 5. Dd ls rices y, X y O, se pide: z ) Clculr el deerinne de. Deerinr el rngo de según los vlores de. b) Resolver el sise hoogéneo X O en el cso. c) Resolver el sise hoogéneo X O pr Dd l riz, 3 X λ X pr lgún λ R. deerin ods ls rices X x y z no nuls les que 5. Consider el sise de ecuciones lineles: x y z x y z donde R ( ) x z ) Deerin pr qué vlores de el sise es copible deerindo. b) Deerin pr qué vlores el sise es copible indeerindo y clcul sus soluciones. c) Clcul B, siendo l riz de coeficienes del sise, B y > 3. Indicción: no se necesi clculr - 4 -

15 53. Se consider un sise S de ecuciones lineles con n incógnis, que es copible deerindo. Se S el sise que resul de prescindir en S de l úli ecución. Cones de for rzond: ) Puede ser incopible el sise S? b) Es copible el sise S? c) H de ser copible indeerindo el sise S? - 5 -