FIUBA Análisis Matemático II (61.03, 81.01) Integrador Tema 2 EL EXAMEN SE APRUEBA CON 3 EJERCICIOS BIEN RESUELTOS. Apellido:.

Transcripción

1 FIUBA -7-4 Análisis Matmático II 6 8 Intgrador Tma Indicar claramnt apllido númro d padrón n cada hoja qu ntrgu Todas las rspustas dbn star dbidamnt justiicadas No s acptarán cálculos disprsos poco claros o sin comntarios E EXAMEN E APRUEBA ON EJERIIO BIEN REUETO Apllido: Nombrs: Padrón: Hallar mdiant una intgral d lína l lujo dl rotor dl campo a través d la porción d suprici con 4 Indicar n un gráico l sntido d circulación la orintación d la suprici lgida a suprici d cuación = tin trs puntos n los qu su plano tangnt s horiontal a Hallar mdiant una intgral d suprici l ára dl triángulo qu tin dichos puntos como vértics b alcular l prímtro dl triángulo a la cuación dirncial + d d = a Mostrar qu no s una cuación dirncial acta b Hallar la solución gnral 4 a la suprici : ; 4 Hallar l lujo dl campo cos sn a través d Indicar n un gráico l sntido d la normal utiliada 5 a la rgión : ; 4 Hallar la masa d una placa cua orma coincid con la d la rgión sindo la dnsidad n cada punto AMII intgrador dl -7-4 pág

2 AMII intgrador dl -7-4 pág F F : R Q P dond R Q P F con F AMII INTEGRAOR dl -7-4 rsulto Hallar mdiant una intgral d lína l lujo dl rotor dl campo a través d la porción d suprici con Indicar n un gráico l sntido d circulación la orintación d la suprici lgida Analio la orma d la suprici: smicono positivo cntrado n l j puntos qu stán aura dl cilindro d radio cntrado n l j puntos qu stán adntro dl cilindro d radio cntrado n l j gún l Torma d toks l lujo dl rotor d un campo s igual a la circulación a lo largo dl bord d cua orintación db sr compatibl con la orintación d En l gráico s v qu son los bords dl cono truncado pro no orman part d UNA curva son O Para transormarlas n UNA cré las curvas iguals pro d sntido contrario así sus lujos son iguals pro d sntido contrario s anula ntr sí: a = U U U Vriico qu s cumplan las hipótsis dl Torma d toks: a la suprici prtncint al cono truncado ncrrada por vo qu s una suprici suav orintabl bord d s una curva suav orintada positivamnt pus son polinomios omo s cump las hipótsis pudo calcular la circulación utiliando l Torma d toks: c ds rot 4 A 4 B

3 Para calcular las circulacions sobr paramtrio las curvas Para so procto l smicono n l plano por la orma qu tin la suprici : : t t cos t sn t t ' sn tcos t t sn tcos t t ' cos t sn t M parc important rcordar qu la paramtriación costsnt sntcost con t ε [П] dinn la misma circunrncia pro n sntido contrario t rot ds c sn t cos t sn tcos t 4cos t 4 4 sn t cos t sn t sn t cos t dt 8cos t 8 sn t dt dt t ' t c t ' t rot ds dt rot ds AMII intgrador dl -7-4 pág

4 a suprici d cuación = tin trs puntos n los qu su plano tangnt s horiontal a Hallar mdiant una intgral d suprici l ára dl triángulo qu tin dichos puntos como vértics a = = busco n qué puntos dl dominio R l gradint s anula pus si P = ntoncs n l plano tangnt srá horiontal por 4 4 por = P = ; P = - = P = 4 Por lo tanto los trs puntos dond l planto tangnt s horiontal son: A = = = A B = -- = - = B = = - = Para hallar la normal a hallo l producto vctorial B B 4 N N BA A B 4 68 B BA Un punto d paso P pud sr cualquira d los trs lijo A= : + = d ; d = N P = = : + = Para paramtriar la suprici tngo qu = Procto sobr l plano = los vértics proctados son los P hallados δuv = u v - u u -+ v -u δ u = - δ v = N N 5 AMII intgrador dl -7-4 pág 4

5 Ára 5 d s d s N du dv u u u dvdu udu 5u 4 5 Ára Ára u u du 5 4 u du b alcular l prímtro dl triángulo Pidn l prímtro no lo pidn qu s haga con intgrals d línas así qu opto por l método más simpl: sumar los módulos d los lados: BA 4 B 4 A 4 BA B A Prímtro Prímtro AMII intgrador dl -7-4 pág 5

6 AMII intgrador dl -7-4 pág 6 du d d du u var u du u du u d d d iabl d ambio d d d a la cuación dirncial + d d = a Mostrar qu no s una cuación dirncial acta an P = + Q= + + P Q Є R por sr polinomios P Q Є R ntoncs la cuación dirncial s total acta sí sólo si Vamos si s cumpl: i P Q son distintas por lo tanto si No s una cuación dirncial acta b Hallar la solución gnral Es una cuación dirncial d variabls sparabls as rsulvo por sparado dspués las igualo para hallar la solución gnral: = : d d d d d d Q P 4 Q P ; ; K K K K K ;

7 4 a la suprici : ; 4 Hallar l lujo dl campo cos sn a través d Indicar n un gráico l sntido d la normal utiliada Analio la orma d : 4 paraboloid cntrado n l j Y puntos a la drcha dl plano = puntos a la iquirda dl plano =4 Para calcular l lujo analio si s cump las hipótsis dl Torma d Gauss o d la divrgncia Para so cirro la suprici con una tapa un disco d radio máimo cntrado n 4 qu la vo a llamar para ormar la rontra dl curpo W I a P Q R ; : pus P Q R son sumas algbraicas d uncions lmntals polinomios ponncials trigonométricas ε R II a = U la suprici rontra d W una suprici orintada hacia l trior III W s una rgión n R contnida por la suprici vriicaron las hipótsis por lo tanto: Y como: ntoncs: alculo la divrgncia: d s d s d s d s d s d s ds W div dvol P Q R div AMII intgrador dl -7-4 pág 7

8 P cos Q sn R P cos P cos R P Q R div cos cos div ds div dvol W alculo l lujo sobr l disco : omo s un disco sobr l plano =4 convin pasarlo a coordnadas cilíndricas: ' r t r ' t rcos t4 r sn t cos t sn t r sn t rcos t ; r N r ; t omo r ntoncs N s AIENTE d W d s * Por lo tanto: * r t ' t ' r dr dt cos sn N 4 4 rcos t rcos tcos4 r sn t sn4 r sn t rdr dt r sn t r sn4 dr dt 8 sn t sn4 dt 4 sn4 r r sn t d s sn4 dt d s d s d s 4 sn4 d s 4 sn4 AMII intgrador dl -7-4 pág 8

9 5 a la rgión : ; 4 Hallar la masa d una placa cua orma coincid con la d la rgión sindo la dnsidad n cada punto Analio la orma d : 4 4 los puntos qu s ncuntran ntr las rctas = = os puntos qu s ncuntran aura d la smicirc radio cntrada n l orign os puntos qu stán dbajo d la rcta a orma d la placa coincid con la rgión Para calcular la masa calculo la intgral: Para hacr la intgración hago un cambio d variabls a coordnadas polars: = r cost = r snt d d Intrvalo d t: a rgión stá dscripta ntr la rcta valors s muv t : r sn t t r sn t r sn t rcos t Hallo sus ángulos para vr ntr qué l valor d t sirv para los valors d mnors qu cro por lo tanto s dscarta Intrvalo d r: r sn t rcos t r sn t cos t tg t arctg El valor d r s muv dsd aura d la smicircunrncia d radio cntrada n l orign hasta la rcta = rcos t rcos t cos t NOsanula n l int rvalo dt r cos t El jacobiano d st cambio d coordnadas s l r l omo r s maor qu cro usamos r Planto la intgral: ambio jacob var iabl d r rcos t Masa cos cos dd t cos dr dt t t dr dt r cos t r cos t dt cos t dt cos t Éitos n los ámns!!! i todo t da igual stás hacindo mal las cuntas Albrt Einstin si ncuntran algún rror algo no stá mu claro o stá mal plicado por avor scríbanm un mail a slvina64@gmailcom así lo corrijo AMII intgrador dl -7-4 pág 9 t t r cos t cos t dt t sn t Masa 4 t