1. Empleando sustitución universal, calcular: dx.
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- Elizabeth Coronel
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1 Escuela Superior Politécnica del Litoral Práctica 1.4 de Cálculo Integral 1. Empleando sustitución universal, calcular: a) b) 1 sen(x) + cos(x) dx cos(x) dx. c) d) sen(x) 1 sen(x) dx. dx 8 4sen(x) + 7cos(x). 2. La sustitución z = tan(x); π 2 < x < π, se emplea en lugar de la sustitución universal, siempre que R(cos(x), sen(x)) = R( cos(x), 2 sen(x)), donde R denota la función racional de sen(x) y cos(x) a integrar. De acuerdo a esto, deduzca las expresiones correspondientes a cos(x), sen(x) y dx en términos de z, similar al trabajo realizado para la sustitución universal vista en clases. 3. Para las siguientes integrales, verique que en cada caso se cumple que R(cos(x), sen(x)) = R( cos(x), sen(x)). Luego realice la sustitución descrita en el numeral anterior. Compruebe con una de estas integrales, que en este caso no es eciente usar sustitución universal. a) b) c) 1 + tan(x) 1 tan(x) dx sen 2 (x) dx. sen(x) 2cos(x) sen(x) + 3cos(x) dx. d) e) f ) dx 1 + 3cos 2 (x). cos(x) sen(x) + cos(x) dx. cos(2x) cos 4 (x) + sen 4 (x) dx. 4. Mediante técnicas diversas, calcular: a) b) c) ( x x 1 ) x dx. x ( 2x + e 2x+5) dx. (x 7) 3 1 2x dx. d) e) f ) dt e t e t. x x dx. (x 1) 2 x 4 1 dx. SS 1
2 Escuela Superior Politécnica del Litoral Práctica 1.4 de Cálculo Integral x 3 1 g) x 3 (x 4) 2 (x 1) dx. h) t 5 t dt. 1 i) x(x 2 + 1) 2 dx. 1 j ) x 2 8x + 15 dx. xe 2x k) (2x + 1) 2 dx. 1 l) 2x 2 + 2x + 1 dx. 1 m) 1 + sen(θ) dθ. 1 n) t t dt. 2 x 2 + 7x + 2 ñ) x 3 + x 2 2 dx. ( ) log 3 (x) o) + e 3 x x x 2 dx. 5. Demuestre que p) q) e x+ex dx. 1 9x2 + 6x + 2 dx. e t ln(1 + e t ) r) 1 + e t dt. x 3 s) 1 + x 4 dx. 1 t) dt. tan(t) u) v) w) x ) y) ( ) 2 xln 2 (x) + x3 x2 dx. arctan(cot(x))dx. 1 x 1 + 3ln 2 (x) dx e x dx. x x 3 + x 2 + x + 1 dx. 1 dt = arcsenh(t) + K. Sugerencia: resuelva 1 + t 2 esta integral mediante sustitución trigonométrica. Luego, obtenga la función inversa de senh(t) y compare estos resultados. 6. Demuestre las siguientes integrales hiperbólicas. a) cosh 2 (x) senh 2 (x) = 1 b) senh 2 (x) = 1 (cosh(2x) 1) 2 c) cosh 2 (x) = 1 (cosh(2x) + 1) 2 d) senh(x)cosh(x) = 1 2 senh(2x) SS 2
3 Escuela Superior Politécnica del Litoral Práctica 1.4 de Cálculo Integral 7. Utilizando las identidades anteriores, integrales de funciones hiperbólicas y técnicas diversas, calcular: a) senh 3 (x)cosh(x)dx b) cosh 3 (x)dx c) senh 4 (x)dx 1 d) senh 2 (x)cosh 2 (x) dx SS 3
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