INDICADORES DE DESEMPEÑO

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1 1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 1 11 ABRIL 8 DE 01 1 UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO Efectúa operaciones entre funciones reales y determina su dominio y su rango, para aplicar sus propiedades. Es dedicada en la realización de las actividades y consultas que se le proponen. FUNCIONES REALES En el núcleo temático que hoy comienzas vas a trabajar las funciones reales, sus propiedades, su dominio y su rango y su aplicación en algunas situaciones que te servirán de base para abordar el estudio de los próximos núcleos. En múltiples ocasiones de nuestra vida práctica nos encontramos con situaciones de cambio: la variación de precios, el recorrido de un móvil, el cambio de temperatura, la variación de un recorrido, las variaciones de nuestros ritmos fisiológicos, entre otros. Para poder analizar los fenómenos de cambio, la matemática nos ofrece la teoría de funciones, a través de la cual podemos estudiar, describir y representar múltiples situaciones en las que intervienen relaciones entre variables que necesitamos manejar y prever su comportamiento. Te invito a que continúes adelante con tu trabajo, procura por dar al máximo de tu potencial... Tú eres capaz!. En cursos anteriores tuviste la oportunidad de estudiar que si te daban dos conjuntos A y B entre los cuales se podía dar una correspondencia de elementos de A con elementos de B mediante alguna ley establecida, podíamos decir que existía una relación de A en B notada R: A B en la cuál A se denomina conjunto de partida (y cada uno de sus elementos se denota con X y se llaman primera componente) y B conjunto de llegada (y cada uno de sus elementos se denota con Y y se llama segunda componente). Además te hablaban de los conceptos de dominio y rango, así: * DOMINIO: Conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que está relacionados con elementos del conjunto de llegada. * RANGO ó RECORRIDO: Conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada a los que les llega relación de elementos del conjunto de partida. Observa detenidamente los ejemplos de elaciones y de reglas de asignación que mostrará el profesor en la clase y toma nota de ello en el cuaderno. De otro lado habías trabajado el CONCEPTO DE FUNCIÓN, así: Una relación es una función cuando todos los elementos del conjunto de partida están relacionados y una sola vez, es decir, todos tienen una sola imagen. En este caso el dominio es el mismo conjunto de partida.

2 También habías trabajado tres tipos de funciones especiales: Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. * Función inyectiva ó uno a uno: Es aquella función en la cuál todos los elementos del conjunto de partida tienen diferente imagen, es decir, no existen elementos del conjunto de partida con la misma imagen. * Función sobreyectiva ó sobre: Es aquella función en la cuál todos los elementos del conjunto de llegada son imagen, es decir, a todos los elementos del conjunto de llegada les llega relación de cualquier elemento del conjunto de partida. * Función biyectiva: Es aquella función que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. ACTIVIDADES 1. UN APORTE MUY IMPORTANTE DE MI PROFE: Presto toda mi atención a los siguientes ejercicios desarrollados por mi profesor en la clase: a. Dados los conjuntos: A = {0. 1,, 3} y B = {x / x < 5}, realizo el diagrama sagital para cada una de las siguientes relaciones, así como el conjunto solución de cada una de ellas y determino su dominio y su rango. Identifico cuál o cuáles de ellas corresponden a funciones y las clasifico: Colocaré toda mi atención en estas actividades. No espabilaré - R 1 = {(x,y)/ la segunda componente es igual a la primera componente} - R = {(x,y)/ la segunda equivale a la primera componente más uno} - R 3 = {(x,y)/ la primera componente equivale a la mitad de la segunda componente} - R 4 = {(x,y)/ y = x + 1} - R 5 = {(x,y)/ la x es divisor de y} - R 6 = {(x,y)/ y < x}. MI TRABAJO EN CLASE CON UNA COMPAÑERA ÚNICAMENTE: Del texto Nuevas matemáticas 11º de Santillana que encuentro en el bibliobanco realizo de la pág. 45 los ejercicios del 1 al AHORA SÍ OBSERVO QUE ES ESE CUENTO DE FUNCIÓN REAL. Si tenemos la expresión W = 4x + 7x 5, decimos que W es una función de x porque el valor de W depende del valor que se le dé a x y escribimos W = f(x) y se lee: W es función de x.

3 3 Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra, es así por ejemplo, sabemos que el perímetro P de un cuadrado depende de su lado L y se relacionan mediante la expresión P = 4L, y para cada valor de L existe un valor de P y por lo tanto P = f(l) (P es una función de L). La población humana P depende del tiempo t y para cada tiempo t existe un valor de P y decimos por tanto que P = f(t). El costo C de enviar una encomienda por correo depende de su peso W y para cada peso W existirá un valor de C y por lo tanto C = f(w). En general: Una función f es una regla que asigna a cada elemento X (variable independiente) de un conjunto A (conjunto de partida = dominio cuando son funciones) exactamente un elemento Y (variable dependiente) de un conjunto B (conjunto de llegada) llamado f(x); por lo tanto Y = f(x). De igual manera una FUNCIÓN REAL es una relación o regla en la cuál su dominio está formado por todos los números reales y cada uno de ellos tiene una sola correspondencia con los elementos del conjunto de llegada que también está formado por los números reales. Por lo tanto si Y = f(x) = 3x + 5x 1, cuando x = 1 a y = f(x) le corresponderá un valor así: f(1) = 3(1) + 5(1) 1 = 7; esto significa que para x= 1 el valor de y = 7 o que f(1) = 7, y se dice que 7 es la imagen de 1. PREUBA DE LA RECTA VERTICAL: Una gráfica en el plano cartesiano corresponde a una función real cuando ninguna recta vertical corta ó intercepta a la gráfica en más de un punto. La forma general de una función real es Y = f (X). OBSERVACIONES BIEN IMPORTANTES: a. Una gráfica en el plano cartesiano es función cuando al trazar mentalmente rectas paralelas al eje Y (rectas verticales), éstas cortan a la gráfica siempre en un solo punto (prueba de la recta vertical). b. Una gráfica en el plano cartesiano corresponde a una función inyectiva si al trazar mentalmente rectas paralelas al eje X éstas cortan siempre a la gráfica en un solo punto. c. Una gráfica en el plano cartesiano corresponde a una función sobreyectiva si al trazar mentalmente rectas paralelas al eje X siempre la cortan en algún punto. FUNCIONES PARES E IMPARES: Una función es par si al reemplazar a x por x en la función dada la función no cambia, es decir, una función Y = F(x) es par sí F(- X) = F(X) para todo su dominio. Gráficamente una función es par si es simétrica respecto al eje y, es decir, si a ambos lados del eje y la figura da igual (como si el eje y fuera un espejo). Una función es impar si al reemplazar a x por x en la función dada la función cambia de signo, es decir, una función Y = F(x) es impar si F(- X) = - F(X) para todo su dominio, es decir, si al cambiar a x por x da la misma función pero con cada uno de sus términos con signo contrario. Gráficamente una función es impar si es simétrica respecto al origen.

4 4 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES REALES Entre las funciones reales se puedo realizar las mismas operaciones que realizo entre polinomios algebraicos, es decir, puedo sumar, restar, multiplicar y dividir funciones de la misma manera que se lo hago con los polinomios algebraicos. FUNCIÓN COMPUESTA: En clase la explicará mi profesor. EJERCICIOS PARA CLASE QUE RESOLVERÉ CON LA AYUDA DE MI PROFE: 1. Sea f(x) = x + 3x 1 determina: 3. f (1) 3 f ( ) a. f (1) b. f (a) c. 4. f ( 1/ ) d. f ( x h) e. f ( x h) h f ( x) ( simplifica) f. Será f(x) una función par, impar o ninguna. Si 3x, x - 1 hallar: x 3, - 1 < x < : f ( 1) 3 f () f(x) = a. f ( 3) b. f (5) c. 3 1 f (1) - x, x 7x 1 3. Sea f(x) = ; si f(- 1) = 1. Determino el valor de k. 4kx 5 4. Si f(x) = x, demuestra que: f(x + y ) = f(f(x)) + f(x).f(y) + f(f(y)). 5. Si f(x) = x, demuestra que: f(x+1) = f(x) 6. Si f ( x) e x a, h( x) e 7. Dadas, f ( x) x y g( x) x 1 hallar: a x y g( y) y a, probar que f x 3 g h( x) a. f(g(1)) b. g(f(1)) c. g(f(0)) d. f(g(0)) e. f(g(- 4)) f. g(f(- 4)) e g. g(3x) h. f (x) h. f(g(x)) i. g(f(x)) j. g(f(g(x))) k. f g( 3) f (16) l. g f (5) g(1/) 8. De las dos funciones dadas en el numeral anterior, decir si alguna de ellas es par o impar. a

5 5 FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES, CONSTANTES, PARES E IMPARES Una función es creciente si a medida que la variable independiente X aumenta, también aumenta la variable dependiente Y. Gráficamente se puede observar que una función es creciente si a medida que la gráfica se extiende a la derecha a lo largo del eje x, también se extiende hacia arriba a lo largo del eje y. Simbólicamente se tiene que una función f(x) es creciente en un intervalo I si X 1,X I, con X 1 < X se tiene que f(x 1 ) < f(x ). Una función es decreciente si a medida que la variable independiente X aumenta, la variable dependiente Y disminuye. Gráficamente se puede observar que una función es decreciente si a medida que la gráfica se extiende a la derecha a lo largo del eje x, ésta se extiende hacia abajo a lo largo del eje y. Simbólicamente se tiene que una función f(x) es creciente en un intervalo I si X 1,X I, con X 1 < X se tiene que f(x 1 ) > f(x ). Una función es constante si a medida que la variable independiente X aumenta, la variables Y siempre toma el mismo valor; gráficamente se pude observar que una función es constante si la gráfica es horizontal. Simbólicamente se tiene que una función f(x) es constante en un intervalo I si X 1,X I, con X 1 < X se tiene que f(x 1 ) = f(x ). 4 Y AHORA MI TRABAJO EN CASA. Del texto Nueva matemáticas Santillana desarrollo de la pág. 56 de la actividad 4 los numerales 1, 6, 7, 8 y 9. 5 Y AHORA MI TRABAJO EN CLASE CON DOS COMPAÑERAS MÁS. Con todo juicio trabajo la siguiente actividad, lo que no termine en clase lo hago por fuera. Del texto Matemática experimental 11º realizo: - De la pág. 101 y 10 el numeral 7. - De la pág. 10 los numerales 17 al. - De la pág. 103 los numerales 5 al De la pág. 13 el numeral. - De la pág. 153 los numerales 4 al 7.

6 6 PARA MI PRUEBA SABER 11 3x 1 ; x f () 5 f ( 1) 1. Sea f(x) = el valor de: es: x x ; x > 1 f (1) f (0) A. 80/3 B. 0 C. - 0 D. -. 5x Sea f ( x) ; Para que f (1) 3 el valor de k debe ser : kx 1 A. 3 B. /5 C. 1/ D Si f(x) = 3x 5, el valor del número x que cumple que: f(x) = 4, es: A. 7 B. 3 C. 1/3 D Sea el conjunto A = {Beatriz, Martín, David, Alonso, Rebeca} y B = {3, 4, 5, 6, 7}. Sea además g la relación que asigna a cada nombre del conjunto A el número de letras diferentes que se requieren para escribir cada nombre. La relación g es una función porque: A. A los elementos del conjunto A se les asigna un elemento un elemento cualquiera del conjunto B. B. A cada elemento del conjunto B se le asigna un único elemento del conjunto A. C. A cada elemento del conjunto A se le asigna un único elemento del conjunto B. D. A los elementos del conjunto B se les asigna un elemento cualquiera del conjunto A. 5. Una función f de un conjunto A en un conjunto B es inyectiva, si a cada elemento del conjunto B le corresponde una única preimagen del conjunto A. Es sobreyectiva, si todo elemento del conjunto B es imagen de algún elemento del conjunto A. Es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Según lo anterior, para que el siguiente diagrama de flechas represente una función biyectiva se debe: A B A. Quitar el triángulo del conjunto A. 1 a B. Agregar una flecha dirigida del triángulo al elemento a. b C. Desplazar la flecha 1 tal que se dirija del triángulo al elemento a. 3 c D. Desplazar la flecha 3 tal que se dirija del círculo al elemento c. La verdadera sabiduría está en reconocer la propia ignorancia